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碩 士 論 文

題目:Sobolev 退化賽局的封閉性

系 所 別:應用數學系碩士班 學號姓名:M09309014 黃吉成 指導教授:蔣世中 副教授

中華民國 九十四 年 六 月

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目 錄

第一章、 緒論

1-1 前言 2

1-2 退化局的解 3

第二章、 定義 2-1 superadditive、convex 及 essential 賽局 4

2-2 賽局中 prenucleolus 的定義 4

2-3 Sobolev 的退化賽局(P,vσP) 5

第三章、Sobolev退化賽局的封閉性 3-1 退化局的封閉性 8

3-2 滿足CRG的最大子集 12

3-3 一個賽局是convex其退化局亦是convex 15

第四章、結論 19

第五章、參考文獻 20

(7)

Sobolev 退化賽局的封閉性 (Closedness under Sobolev Reduction)

第一章、 緒論

1-1 前言

賽局論是涉及到理性決策者之間合作與利益衝突的問題。理性的決策者可 能指的是個人或者廠商,甚至可以是一個國家而衝突的情況,就本質而言,可 能指的是社會或者經濟或者政治上的衝突。一本由Von Neuman 和 Morgenstern[9]

寫的賽局論與經濟行為理論的書,建立了賽局論的基礎。然後在接下來的十年 間,賽局論已經發展出各式各樣的模型與分配的概念。

這篇文章所探討的是特徵函數型式的合作賽局。如何得到最後的分配結 果?當所有參賽者皆同意或者是經由裁判的推薦決定最後的分配方式,一般來 講,我們是以公設化的手法,來尋求上面的答案;也就是說,我們找到一些我 們認為分配應該要有的公理,然後研究這些公理在邏輯上與數學上的結果。

在這裡我們僅考慮效益可轉換的賽局,在這類的賽局,對於每個聯盟合理 的報酬向量集合,指的是如果一個報酬向量是合理的,那麼另一個報酬向量,

如果有相同的和,那它也是一個合理的報酬向量。於是這隱含了介於參賽者之 間的效益轉換。在這類的賽局,已經有一些著名的分配公設化,像是Shapley value,prenucleolus 和 core 等等[2,4,5,7]。

(8)

1-2 退化局的解

從一個賽局的解中選定某一個報酬向量,假設一部份的人不滿意原有的分 配結果,而想要重新交涉他們的報酬分配,退化賽局即是描述這樣的情況,在 這種情況下,每個子團體所能給它成員的報酬,必須根據某種相容的原則。若 一個解滿足退化賽局性質,這解依然是原來賽局的解。

退化賽局性質在公設化中扮演一個相當重要的角色。如果一個解不滿足退 化賽局性質,那麼某一群人可能不重視原始的分配,而是想要重新分配,造成 不穩定,因此退化賽局性質是承諾的一種內部強健需要。有很多種退化賽局的 定義,各種不同的定義仰賴如何去給付在子團體外面的參賽者,Sobolev[4]和 Peleg[7,8]己經利用 Davis 和 Maschler[5]所定的退化賽局,經由退化賽局性質來 分別公設化prenucleolus 和 the core。Hart 和 Mas-Colell[2]也利用另一個退化賽 局,經由退化賽局性質來特徵化Shapley value。

在這篇文章中,我們繼續研究在某一特定賽局集合中的退化賽局。若我們 想要使用退化賽局性質,在某一特定賽局集合中來特徵化一個解,一個必要的 條件是,原始的賽局與退化賽局必須在同一個賽局集合中。但是一般來講,不 會如此,Chang 和 Hwang[1]刻劃了在 Hart-MasColell[2]的退化作用下,essential 賽局,superadditive 賽局及 convex 賽局的最大不變子集。但是在 Sobolev 的退化 作用下,我們證明convex 賽局是不變的,另外我們也將找出在 Sobolev 的退化 作用下essential 賽局與 superadditive 賽局的最大不變子集。

(9)

第二章、 定義

2-1 superadditive、convex 及 essential 賽局

令R 記為實數集,若 S 為一集合,2 記為 S 的冪集合, S 代表 S 的元素個S 數。一個TU 賽局以(N,v)表示,這裡 N 代表一個有限參賽者的集合且 v:2N R 是一個特徵函數,滿足v(φ)=0。令 G 是所有 TU 賽局的集合。若 S 為 N 的一個 子集,我們稱它為一個聯盟,(S,v)為(N,v)的一個子賽局,且僅限制 v 作用在所 有S 的子集合中。

一個賽局(N,v)稱為 essential,即表示對於所有在 N 的子集合 S,滿足

i∈Σ v({i})S v(S)的性質。一個賽局(N,v)稱為 superadditive,即表示對於所有在 N 的 子集合S,T,S∩T=φ,滿足v(S∪T)≥v(S)+v(T)的性質。稱賽局(N,v)是 convex,

即表示對所有在N 的子集合 S,T,滿足 v(S∪T)+v(S∩ T)≥v(S)+v(T)性質。我 們將G ,E G ,S G 分別記做 essential 賽局的集合,superadditive 賽局的集合及C convex 賽局的集合,很明顯的,GC⊂GS⊂GE ⊂ G。

2-2 賽局中 prenucleolus 的定義

令(N,v)是一個賽局且x是RN的一個向量。賽局(N,v)的preimputation set記為

X(N,v)={xRN |

i∈ΣN x =v(N)} i

任一聯盟S,S ⊂ N,對於點x的抱怨為一個實數e(S,x,v)=v(S)−

i∈ΣSx 。 i

(10)

Schmeidler[3]引入prenucleolus φ 的概念。賽局中prenucleolus 的定義,雖然

在 數 學 上 的 很 吸 引 人 , 但 是 相 當 複 雜 。 若(N,v) 是 一 個 賽 局 , 對 於 每 一 個 x∈X(N,v),我們先定義Θ (x,v)是

Θ (x v)=(e(S ,x,v),e(1 S ,x,v),…,e(2 S2N ,x,v))

這裡Θ (x,v)代表所有聯盟對點x的抱怨整理成從大排到小的一個向量。

我們說Θ (x,v)在字典排序上是較小於Θ (y,v)的,記作Θ (x,v)< Θ (y,v),如果lex 存在一個正整數j,使得當i<j時,Θ (x,v)=i Θ (y,v)和i Θ (x,v)<j Θ (y,v)。 j

定義 2.1 賽局(N,v)的prenucleolus是φ(N,v)={x∈X(N,v)|Θ (x,v)≤ Θ (y,v) for all lex y∈X(N,v)}。

也就是說,在X(N,v)中Θ 的字典排序是最小的向量所成的集合。

事實上prenucleolus φ 只是一個點的集合是為人所熟知的,因此在沒有模糊 不清的情況下,我們將φ (N,v)以一個點表示,也就是φ (N,v)∈RN

2-3 Sobolev 的退化賽局(P,v ) σP

就數學上而言,上面的定義當然沒錯,但有什麼可以使人信服的直覺意義 嗎?下面正是Maschler,Peleg和Shapley[6]所企圖要說的。考慮有一個仲裁者和參

(11)

賽者們要求他去決定如何分配利益v(N)。仲裁者可能將各聯盟的抱怨視為不滿意 程度的一個測度和熱切地希望儘可能地降低各聯盟的抱怨。如此做,也將增加 穩定度。接下來仲裁者將找出報酬中的最高抱怨是最低的那些報酬,若這樣的 報酬不只一個,仲裁者將告訴有最高抱怨的聯盟說:我已經盡我所能地幫助了 你們,而我仍舊需要去幫助其它的聯盟。然後仲裁者將繼續去找出報酬中第二 高的抱怨中最小的那些報酬,如此繼續做下去。

令σ 是一分配原則。Sobolev[4]定義了賽局(N,v)中關於聯盟P和σ 的退化賽局 (P,v )如下: σP

) S ( vPσ =

⎪⎪

⎪⎪⎨

=

=

S if , 0

S P, S P, S if )}, v , N ( )

Q S ( v { max

P S if , ) v , N ( )

N ( v

Q

i i

P)

\ (N Q

) P

\ N (

i i

σ σ

φ φ

退化賽局(P,v )描述下列的情況,假設所有N的成員同意N\P的每一個成員σP i∈N\P將獲得σ (N,v),那麼P的成員將可獲得v(N)-i

) P

\ N

i∈(Σ σ (N,v)。更進一步地說,i 假設N\P的成員繼續去與P的成員合作(在先前的協議下),那麼對於每一個S⊆ P,

S ≠ P,S ≠φ,v (S)將是S成員所預期去獲得的報酬和。然而,請注意不同聯盟σP 的期望值可能不是相容的,因為他們可能需要與N\P中相同的子集合去合作。因 此,特徵函數v 僅提供如何去決定P成員之間的分配。現在考慮一個賽局(N,v)σP 和假設我們住在一個相信分配概念σ 的社會中,令P是任一N的非空子集合,P的

(12)

成員可能想要玩他們自己的賽局(P,v )和詢問他們自己是否對於每一個i∈P,σP

σ (N,v)是(P,i v )的解。若不是,則在σP σ 中一定有不穩定性,因為在P中的參賽者i 可能想要重新分配σ (N,v)。這些想法,導出了一個我們想要的解概念的穩定性 如下:

定義 2.2 一個解σ 在G'⊆ G擁有退化局性質,若它滿足下面的條件:如果 (N,v)G ,P' ⊆ N,P ≠φ,則(P,vσP )G 和' σ (N,v)=i σ (P,i vσP )對於每一個iP。

結束這章節之前,我們給一個例子去實際說明一個賽局和它的退化賽局可 能不在同一個集合中,這個例子包括了essential和superadditive賽局。

例 2.1

令(N,v)∈G,此時N={1,2,3},它的特徵函數v被定義成:對於所有的i∈N,

v({i})=0,否則v(S)=1,它是superadditive,和essential賽局,(N,v)中的prenucleolus 是(3

1, 3 1,

3 1).

考量它的退化賽局({1,2},vφ{1,2}),vφ{1,2}({1,2})=vφ{1,2}({1})=vφ{1,2}({2})=

3 2

很明顯的vφ{1,2}({1,2})<v{φ1,2}({1})+vφ{1,2}({2}),我們可以得到一個superadditive (essential)賽局的退化賽局並不是superadditive (essential).

(13)

第三章、Sobolev退化賽局的封閉性

3-1 退化局的封閉性

令G'是G集合的一個子集,我們稱G'滿足退化賽局的封閉性(CRG),即對於在 G'內所有的賽局(N,v) ,在φ 及P⊂ N下,它的退化賽局(P,v )仍在G'φP 內。

令(N,v)∈G,我們定義下面四個狀況:

maxQ⊂(K\A){v(S∪Q)-

j∈ΣQφ (N,v)}j

i∈ΣSmax

) A

\ K

Q⊂( {v({i}∪Q)-

j∈ΣQφ (N,v)} j

對所有集合S⊂ A⊂ K⊂ N,但S≠ A (3.1)

j∈ΣPφ (N,v)j

i∈ΣPmax

) P

\ N Q⊂(

{v({i} ∪ Q)-

j∈ΣQφ (N,v)} j

對所有集合P ⊂ N (3.2)

max(K\A)

Q⊂ {v(S∪T∪Q)-

j∈ΣQφ (N,v)}j ≥max

) A

\ K

Q⊂( {v(S∪Q)-

j∈ΣQφ (N,v)} j +max

) A

\ K Q⊂(

{v(T∪ Q)-

j∈ΣQφ (N,v)} j

對所有S,T⊂ A⊂ K⊂ N,但S∩T=φ,S∪T≠ A (3.3)

j∈ΣPφ (N,v)≥j max

) P

\ N

Q⊂( {v(S∪Q)-

j∈ΣQφ (N,v)}+j max

) P

\ N

Q⊂( {v(T∪Q)-

j∈ΣQφj(N,v)}

對所有S,T ⊂ P ⊂ N但S∩ T=φ,S ∪ T=P (3.4)

(14)

定義

E={(N,v)∈G|(N,v)滿足(3.1)及(3.2)}

Σ={(N,v)∈G|(N,v)滿足(3.3)及(3.4)},

很明顯的可以看出E是GE中的一個子集和Σ是GS中的一個子集。

引理 3.1 E和Σ滿足CRG。

證明:首先,我們要證明E滿足CRG 性質:

令賽局(N,v)是E中的一個元素,對於所有N中的子集合P,我們將證明退化 賽局(P,v )仍是E中的一個元素。當然我們也需要去證明退化賽局(P,φP v )滿足(3.1)φP

以及(3.2)。

要證明退化賽局(P,v )滿足(3.1),首先令SφP ⊂ A ⊂ K ⊂ P,再經由下面三個理 由:(1)依退化賽局中的定義,(2)對於所有的i∈P,使得φ (P,i v )=φP φ (N,v)均成立,i (3)賽局(N,v)滿足(3.1),我們可得到:

max(K\A)

Q⊂ {v (S∪ Q)-φP

j∈ΣQ φ (P,j v )} φP

=max

) A

\ K

Q⊂( {max

) P

\ N (

Q1 [v(S ∪ Q ∪Q )-1

Q1

j∈Σ φ (N,v)]-j

j∈ΣQφ (P,j v )} φP

(15)

=max

) A

\ K

Q⊂( {max

) P

\ N (

Q1 [v(S ∪ Q ∪Q )-1

Q1

j∈Σ φ (N,v)-j

j∈ΣQφ (N,v)]} j

= max

A

\ ) P

\ N K (

Q {v(S∪Q)-

j∈ΣQφ (N,v)} j

i∈ΣS max

A

\ ) P

\ N K (

Q {v({i}∪Q)-

j∈ΣQ φ (N,v)} j

=i∈ΣSmax

) A

\ K

Q⊂( {max

) P

\ N (

Q1 [v({i}∪ Q ∪Q )-1

Q1

j∈Σ φ (N,v)-j

j∈ΣQφ (N,v)]} j

=i∈ΣSmax

) A

\ K

Q⊂( {v ({i} ∪ Q)-φP

j∈ΣQ φ (N,v)} j

=i∈ΣSmax

) A

\ K

Q⊂( {v ({i} ∪ Q)-φP

j∈ΣQφ (P,j v )} φP

相類似的,去證明(P,v )滿足(3.2)時,首先令AφP ⊂ P,再經由下面三個理由:

(1)對於所有的i∈P,使得φ (P,i v )=φP φ (N,v)均成立(2)賽局(N,v)滿足(3.2),(3)依退i 化賽局的定義,我們會得到

i∈ΣA φ (P,i v ) φP

=i∈ΣA φ (N,v) i

i∈ΣA max

) A

\ N

Q⊂( [v({i} ∪ Q)-

j∈ΣQ φ (N,v)] j

=i∈ΣA max

) A

\ P

Q⊂( {max

) P

\ N (

Q1 [v({i}∪Q∪Q )-1

Q1

j∈Σ φ (N,v)]-j

j∈ΣQφ (N,v)} j

=i∈ΣAmax

) A

\ P

Q⊂( {v ({i} ∪ Q)-φP

j∈ΣQφ (N,v)} j

格式化: 字型: (英文)Times New Roman, (中文) 標楷體, 14 點, 下移 6 pt

格式化: 字型: (英文)Times New Roman, (中文) 標楷體, 14 點, 下移 11 pt

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格式化: 字型: (英文)Times New Roman, (中文) 標楷體, 14 點, 下移 11 pt

刪除:

(16)

=i∈ΣA max

) A

\ P

Q⊂( {v ({i}φP ∪Q)-

j∈ΣQ φ (P,j v )} φP

這些證明了(P,v )是E中的一個元素。 φP

接下來,我們將證明Σ滿足CRG性質。令(N,v)∈Σ,對於所有的P⊂ N,我們將 說明退化賽局(P,v )∈Σ,此時我們需要去證明(P,φP v )滿足(3.3)以及(3.4)。 φP

要證明滿足(3.3),首先假設S,T⊂ A⊂ K⊂ P,但S∩ T=φ和S∪ T≠ A,從相同 的討論,我們可得到:

max(K\A)

Q⊂ {v (S∪ T ∪ Q)-φP

j∈ΣQ φ (P,j v )} φP

=max

) A

\ K

Q⊂( {max

) P

\ N (

Q1 [v(S∪T∪Q∪Q )-1

Q1

j∈Σ φ (N,v)]-j

j∈ΣQ φ (P,j v )} φP

=max

) A

\ K

Q⊂( {max

) P

\ N (

Q1 [v(S ∪ T ∪ Q ∪Q )-1

Q1

j∈Σ φ (N,v)-j

j∈ΣQφ (N,v)]} j

= max

A

\ ) P

\ N K (

Q {v(S ∪ T ∪ Q)-

j∈ΣQφ (N,v)} j

max

A

\ ) P

\ N K (

Q {v(S ∪ Q)-

j∈ΣQ φ (N,v)}+j max

A

\ ) P

\ N K (

Q {v(T∪ Q)-

j∈ΣQ φ (N,v)} j

=max

) A

\ K Q⊂(

{max

) P

\ N ( Q1

[v(S∪Q∪Q )-1

Q1

j∈Σ φ (N,v)-j

j∈ΣQφ (N,v)]} j +max

) A

\ K

Q⊂( {max

) P

\ N (

Q1 [v(T∪Q∪Q )-1

Q1

j∈Σ φ (N,v)-j

j∈ΣQφ (N,v)]} j

=max{v (SφP ∪Q)-j∈ΣQφ (N,v)}+j max{v (TφP ∪Q)-j∈ΣQ φ (N,v)} j

(17)

=max

) A

\ K Q⊂(

{vφP(S∪Q)-

j∈ΣQφ (P,j v )+φP max

) A

\ K Q⊂(

{vφP(T∪Q)-

j∈ΣQφ (P,j v )} φP

相類似的,從相同的論點去證明它也滿足(3.4),假設S,T⊂ A⊂ P但S∩T=φ 和S ∪ T=A,我們可以得到

i∈ΣA φ (P,i v ) φP

=i∈ΣA φ (N,v) i

≥max

) A

\ N

Q⊂( [v(S∪Q)-

j∈ΣQφ (N,v)]+j max

) A

\ N

Q⊂( [v(T∪Q)-

j∈ΣQ φ (N,v)] j

=max

) A

\ P

Q⊂( {max

) P

\ N (

Q1 [v(S∪Q∪Q )-1

Q1

j∈Σ φ (N,v)]-j

j∈ΣQφ (N,v)} j +max

) A

\ P Q⊂(

{max

) P

\ N ( Q1

[v(T ∪ Q ∪Q )-1

Q1

j∈Σ φ (N,v)]-j

j∈ΣQφ (N,v)} j

=max

) A

\ P Q⊂(

{v (SφP ∪Q)-

j∈ΣQφ (N,v)}+j max

) A

\ P Q⊂(

{v (TφP ∪Q)-

j∈ΣQ φ (N,v)} j

=max

) A

\ P

Q⊂( {v (S∪ Q)-φP

j∈ΣQφ (P,j v )}+φP max

) A

\ P

Q⊂( {v (T∪ Q)-φP

j∈ΣQφ (P,j v )} φP

這些證實了(P,v )∈Σ Q.E.D. φP

3-2 滿足CRG的最大子集

定理 3.2 E和Σ 是滿足CRG,且為G 及E G 的最大子集。 S

證明:從Lemma 3.1我們己經知道E滿足CRG的特質。現在要說明E是最大的,

(18)

我們假設G'⊂ GEG'滿足CRG特性,我們需要去證明G'是E的一個子集。

令(N,v)是G'中的元素,去證明它滿足(3.1),令S⊂ A⊂ K⊂ N但S

A,從G' 滿足CRG性質,對於所有的P⊂ N,(P,v )∈G'⊂φP G ,我們可以得到 E

max(K\A)

Q⊂ {v(S∪Q)-

j∈ΣQφ (N,v)} j

=vφN\(K\A)(S)

i∈ΣSvφN\(K\A)({i})

=i∈ΣSmax

) A

\ K

Q⊂( {v({i}∪Q)-

j∈ΣQ φ (N,v)} j

相同的,去證實它滿足(3.2),首先假設P ⊂ N,從相同的論點,我們會得到

i∈ΣPφ (N,v) i

=i∈ΣPφ (P,i v ) φP

=v (P) φP

i∈ΣPv ({i}) φP

=i∈ΣPmax

) P

\ N

Q⊂( {v({i} ∪ Q)-

j∈ΣQ φ (N,v)} j

(19)

因此,(N,v)∈E及G'⊂ E。

相同的,從Lemma 3.1我們知道Σ滿足CRG性質。再接下來去證實Σ是最大的。

令G'⊂ GS和G'滿足CRG 性質。我們需去證明G'⊂ Σ,令(N,v)∈G',去證實它滿 足(3.3),令S,T⊂ A⊂ K⊂ N 且S∩T=φ和S∪T≠ A,從G'滿足CRG性質,對所有 的P⊂ N,(P,v )∈G'⊂ GφP S,我們可得

max(K\A) Q⊂

{v(S∪T∪Q)-

j∈ΣQφ (N,v)} j

=vφN\(K\A)(S∪T)

≥vφN\(K\A)(S)+vφN\(K\A)(T)

=max

) A

\ K Q⊂(

{v(S∪Q)-

j∈ΣQ φ (N,v)}+j max

) A

\ K Q⊂(

{v(T∪Q)-

j∈ΣQφ (N,v)} j

相同的,去說明它滿足(3.4),當S,T⊂ P⊂ N且S∩T=φ和S∪T=P時,從相同的 論點我們可得

i∈ΣPφ (N,v) i

=i∈ΣPφ (P,i v ) φP

=v (P) φP

(20)

=v (SφP ∪T)

≥v (S)+φP v (T) φP

=max

) P

\ N

Q⊂( {v(S∪Q)-

j∈ΣQ φ (N,v)}+j max

) P

\ N

Q⊂( {v(T∪Q)-

j∈ΣQφ (N,v)} j

因此,(N,v)∈Σ和G'⊂ Σ。 Q.E.D.

3-3 一個賽局convex其退化局亦是convex

接下來,我們將說明當一個賽局convex,它的退化局亦同。

定理 3.3 G 會滿足CRG的性質。 C

證明:令(N,v)在G 內,對於所有的PC ⊂ N,我們將說明其退化局(P,v )∈φP G ,如C 果S=P或T=P則S,T ⊂ P ⊂ N是很明顯的。假設S ≠ P和T ≠ P。可分成二種狀況

狀況1: S ∪ T ≠ P

從退化賽局(P,v )的定義,我們假設φP Q ,1 Q2⊂ N\P存在,因此

φ

v (S)=P max

) P

\ N Q⊂(

{v(S∪Q)-

j∈ΣQ φ (N,v)} j =v(S∪Q )-1

Q1

j∈Σ φ (N,v) j

(21)

φ

v (T)=P max

) P

\ N

Q⊂( {v(T∪Q)-

j∈ΣQ φ (N,v)} j =v(T∪Q )-2

Q2

j∈Σ φ (N,v) j 因此,我們可得

φ

v (S)+P v (T) φP

=v(S∪Q )-1

Q1

j∈Σ φ (N,v)+v(T∪j Q )-2

Q2

j∈Σ φ (N,v) j

≤v(S∪T∪Q1∪Q )+v((S2 ∩T)∪(Q1∩Q )) 2

-

Q1

j∈Σ φ (N,v)-j

Q2

j∈Σ φ (N,v) (since v is convex) j

=v(S ∪ T ∪Q1∪Q )-2

2 1\Q

j∈QΣ φ (N,v)-j

1 2\Q

j∈QΣ φ (N,v)-j

2

1 Q

Q

jΣ φ (N,v) j +v((S ∩ T) ∪ (Q1∩Q ))-2

2

1 Q

Q

jΣ φ (N,v) j

≤max

) P

\ N

Q⊂( {v((S∪ T) ∪ Q)-

j∈ΣQ φ (N,v)}+j max

) P

\ N

Q⊂( {v((S∩ T) ∪ Q)-

j∈ΣQφ (N,v)} j

=v (S ∪ T)+φP v (S ∩ T) φP

Case (2): S∪T=P

相同的,從退化賽局(P,v )的定義,我們假設φP Q ,1 Q2⊂ N\P存在,因此

(22)

φ

v (S)=P max

) P

\ N

Q⊂( {v(S∪Q)-

j∈ΣQφ (N,v)} j =v(S∪Q )-1

Q1

j∈Σ φ (N,v) j

φ

v (T)=P max

) P

\ N

Q⊂( {v(T∪Q)-

j∈ΣQφ (N,v)} j =v(T∪Q )-2

Q2

j∈Σ φ (N,v) j 因此我們得到

φ

v (S)+P v (T) φP

=v(S ∪Q )-1

Q1

j∈Σ φ (N,v)+v(T∪j Q )-2

Q2

j∈Σ φ (N,v) j

≤v(S∪T∪Q1∪Q )+v((S2 ∩T)∪(Q1∩Q )) 2

-

Q1

j∈Σ φ (N,v)-j

Q2

j∈Σ φ (N,v) (since v is convex) j

=v(S∪T∪Q1∪Q )-2

2 1\Q

j∈QΣ φ (N,v)-j

1 2\Q

j∈QΣ φ (N,v)-j

2

1 Q

Q

jΣ φ (N,v) j +v((S∩T)∪(Q1∩Q ))-2

2

1 Q

Q

jΣ φ (N,v) j

≤v(P∪Q1Q )-2

2 1\Q

j∈QΣ φ (N,v)-j

1 2\Q

j∈QΣ φ (N,v)-j

1

2 Q

Q

jΣ φ (N,v) j +max

) P

\ N

Q⊂( {v((S∩ T) ∪ Q)-

j∈ΣQφ (N,v)} j

(23)

=v(P∪Q1Q )-2

2 1\Q

j∈QΣ φ (N,v)-j

1 2\Q

j∈QΣ φ (N,v)-j

2

1 Q

Q

jΣ φ (N,v)-j

j∈P

Σ φ (N,v)+j

j∈P

Σ φ (N,v)+j

max(N\P)

Q⊂ {v((S∩T)∪Q)-

j∈ΣQ φ (N,v)} j

=e(P∪Q ∪1 Q , φ (N,v),v)+2

j∈P

Σ φ (N,v)+j v (S∩ T) φP

因此(N,v)是convex,e(K,φ (N,v),v)0,對所有的K⊂ N,和

j∈ΣNφ (N,v)=v(N),這j 些說明

φ

v (S)+P v (T) φP

≤e(P∪Q1∪Q ,2 φ (N,v),v)+

j∈P

Σ φ (N,v)+j v (S∩T) φP

j∈ΣPφ (N,v)+j v (S∩T) φP

=v (SφP ∪T)+v (SφP ∩T)

因此G 滿足CRG. Q.E.D. C

(24)

第四章、 結論

在Sobolev(1975)退化的作用下,我們證明當一賽局是convex,它的退化賽局也 會呈現convex。此外,我們分別在essential及superadditive的賽局集合中找到二個 最大的子集,使得它的退化賽局,也會滿足essential及superadditive的賽局特徵。

(25)

第五章、 參考文獻

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(26)

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