高雄市明誠中學

高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：93.04.29 班級

範

圍 2-4 廣意角+Ans

座號

姓 名 一. 單選題(每題 10 分)

1. θ 不是象限角且 tanθ > 0，secθ <0，則點 P(cosθ，sinθ)在

(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 (E)兩坐標軸上 答案：(C)

解析：(1) tanθ > 0，secθ <0 θ 在第三象限

(2)∴ sinθ <0，cosθ <0 點P(cosθ，sinθ)在第三象限

⇒

⇒

2. 下列何者無意義？(複選)

(a) tan540° (B) cot180° (C) cot0° (D) sec180° (E) csc1080°

答案：(B)(C)(E)

解析：(1) 540°與 180°同界，1080°與 0°同界

(2) tanθ，secθ 在 θ = 90°，270°時不存在，cotθ，cscθ 在 θ = 0°，180°時不存在 (3)∴ cot180°，cot0°，csc1080°不存在（無意義）

二、填充題(每題 10 分)

3. 在坐標平面上，始邊為正向x軸，設P點在有向角 510°的終邊上，且P點距離原點 1 單位，

求P點坐標為 。 答案：( −

2 3，

2 1) 解析：

∵ 510° = 360° + 150° ∴ P 點為第二象限角，且距離原點 1 單位，

∴ P 點坐標( − cos30°，sin30°) = ( − 2

3， 2

1)

1 2

3 2 1

4. 若 270° <θ <360°且 6sin²θ − sinθ = 1，則tanθ = 。 答案：− 4

2

解析：6sin²θ − sinθ − 1 = 0 ⇒ (3sinθ + 1)(2sinθ − 1) = 0 ⇒ sinθ = − 3 1或

2

1（不合）

5. 試求cos1770° tan1110° + sin (− 1560°) cot510° = 。 答案：2

解析：原式

= 30°．tan30° − cos30°．(−tan 60°) =

cos(90 19 60 ) tan(90 12 30 ) sin(90 17 30 ) cot(90 5 60 )

= °× + ° ⋅ °× + ° − °× + ° ⋅ °× + °

sin 2

3． 3 1 −

2

3．(− 3)= 2

6. (1)求 1395°的最小正同界角 = 。 (2)求sin1395° = 。 答案：(1) 315° (2)

2

− 2

解析：(1) 1395° = 360° × 3 + 315° ∴ 最小正同界角為 315°

(2) sin1395° = sin(90°× + °15 45 )= − cos45° = 2

− 2

7. 設

θ

為一個第四象限角，tan

θ

= − 4 3，求

θ θ cos 1

sin 1

−

+ = 。

y 4 x 5 3 答案：2

解析：

θ

在第四象限，且tan

θ

= − 4

3 ⇒ sin

θ

= 5

−3

，cos

θ

= 5 4

θ θ cos 1

sin 1

−

+ =

5 1 4

5 ) ( 3 1

− + −

= 5 1 5 2

= 2

8. x∈R，sinx + cosx = 4

5，則cosx．sinx = ，sinx − cosx = 。

答案：32 9 ，

4

± 7

解析：將sinx + cosx = 4 5平方

sin²x + 2sinx cosx + cos²x = 16

25 ⇒ 1 + 2sinx cosx = 16

25 ⇒ sinx cosx = 32

9

(sinx − cosx)² = sin²x − 2sinx cosx + cos²x = 1 − 2 × 32

9 = 16

7

∵ x∈R ∴ sinx − cosx = 4

± 7

9. 設sinθ = 3

1，90° <θ <180°，則：

(1) cosθ = 。 (2) tan( − 630° + θ ) = 。

3 2

2 (2) 2 2 答案：(1) −

解析：

(1)如圖所示，令 PO= 3，PQ= 1，則OQ= 3² − = 2 2 1²

∵ 90° <

θ

< 180° ∴ cos

θ

= − 3

2 2

(2) tan (− 630° +

θ

) = − tan(630°−

θ

) = − cot

θ

= −( − 2 2 ) = 2 2

10.(log2sin855°)² + log3tan( − 510°)之值為 。 答案：−4

1

解析：

sin 855 sin(90 9 45 ) cos 45 1 2

tan( 510 ) tan 510 tan(90 5 60 ) cot 60 1 3

° = °× + ° = ° =

− ° = − ° = − °× + ° = ° =

(log2sin855°)² + log3tan( − 510°)

= (log2

2

1 )² + log3

3

1 = (log22 ²

−1

)² + log33 ²

−1

= ( − 2

1)² + ( − 2 1) =

4 1−

2 1= −

4 1

11.設cos( −100°) = k，以k表出：(1) tan( −80°) = 。 (2) csc 1360° = 。 答案：(1)

k k² 1− (2)

1 2

1

−k

−

解析：(1) cos( −100°) = k ⇒ cos 100° = k

⇒ −sin10° = k ⇒ sin10° = −k ⇒sin10 1

−k

° = ⇒

10

1 -k

1 k- 2

∴ tan (− 80°) = − tan 80° = − 1 k² k

−

−

(2) csc 1360° = csc (90°× + °15 10 ) =−sec10° =

2

1 1 k

− −

12.求下列各值：

(1) sin120°cos150° − cos225°sin315° = 。

(2) sin1080° + cos180° + tan180° + cot810° + sec720° + csc90°= 。 答案：(1) −

4

5 (2) 1

解析：(1)原式 = 2

3× ( − 2

3 ) − ( − 2

2 ) × (−

2 2 ) = −

4 5

(2)原式 = 0 + ( − 1) + 0 + 0 + 1 + 1 = 1

。 答案：−1

解析：(1)∵ cos20° + cos200° = cos20° + cos(9 = cos20° − cos20° = 0 cos40° + cos220° = cos40° + cos(180° + 40°) = cos40° − cos40° = 0 …cos160° + cos340° = cos160° − cos160° = 0

(2)原式 = (cos20° + cos200°) + (cos40° + cos220°)+ (cos60° + cos240°) + (cos80° + cos260°) + (cos100° + cos280°) + (cos120° + cos300°)+ (cos140° + cos320°) +

(cos160° + cos340°) + cos180° = 0 + cos180° = −1 0°× + °2 20 )

14.設a =

）

．

）

θ

θ θ

+

°

−

°

−

°

270 cos(

) 360 ( tan 180

sin( ²

− sin(540 )

) 270 ( csc 90

cos( ²

θ

θ θ

−

°

−

°

⋅

−

° ）

，則a = 。 答案：−1

解析：a =

θ θ θ

sin tan sin ⋅ ² −

θ θ θ

sin sec

sin ⋅ ² = tan²θ − sec²θ = −1

15.設P(−5 3 ，y) 在有向角θ的終邊上，若tanθ = 3

2 ，則y = ，而cscθ = 。

答案：−10； − 2

7

解析：

P( −5 3 ，y ) ⇒ tanθ = 3

−5

y = 　　⇒ 3

2 y = −10

又r= OP= ( 5 3)− ²+ −( 10)² = 5 7 ∴ cscθ = ^{5 7} 10 r

= =x

− = − 2

7

16.設S = {θn | θn = 45° × n，n∈Z，1 n≤ ≤ 100}，則S中有 個角為第二象限角。

答案：13 解析：

令 90° + 360° × t <θn = 45° × n <180° + 360° × t，t∈Z ∴ 2 + 8t <n <4 + 8t，t∈Z 故n = 8t + 3，t∈Z，又 1≤ n = 8t + 3 ≤ 100 ⇒ − 2 ≤ 8t ≤ 97 ⇒ −

4 1 ≤ t ≤

8

97，t∈Z

∴ t = 0，1，2，…，12 共 13 個 ∴ S中有 13 個角為第二象限角

17.已知cos69°20′ = 0.3529，cos69°30′ = 0.3502，則cos(− 290°38′)之近似值為 。

（取到小數點後第四位）

答案：0.3524

解析：cos(− 290°38′) = cos290°38′ =cos(90°× − °4 69 20 ')= cos69°22′

由內插法

θ sinθ 69°20' 0.3529 69°22′ y 69°30′ 0.0.3502 2

10=

0.0027 a

− ⇒ = −a 0.00054 ⇒ cos69°22′= y=0.3529 0.00054− 0.3524

18.設 90°<

θ

< 180°，cosθ = − 0.4900，又已知sin29.3° = 0.4893，sin29.4° = 0.4909，則可知θ 的度數為 。（以四捨五入法算到度為止）

答案：119°(20.625)′

解析：設 sinx = 0.4900

由內插法知 0.1

a =

0016 . 0

0007 .

0 x = 29.3 + 0.04375 = 29.34375

∴ cosθ = − sin29.34375° = − cos60.65625° = − cos(180° − 119.34375°) = cos119.34375°

∴ θ = 119.34375° = 119° (20.625)′

⇒a=0.04375⇒

19.設 90° <θ <135°，則 1+2sin

θ

cos

θ

− 1−2sin

θ

cos

θ

= 。 答案：2cosθ

解析：90° <

θ

< 135° ∴ cosθ <sinθ 且 sinθ + cosθ > 0

θ

θ

cos sin

1+2 − 1−2sin

θ

cos

θ

= (sinθ +cosθ)² − (sinθ −cosθ)² = sinθ + cos

θ

− sinθ + cosθ = 2cosθ

20.設 0° ≤θ ≤180°，則y =

7 cos 5

7 cos 5

− + θ

θ 之範圍為 。

答案： − 6 ≤ y −≤ 6 1

解析：y =

7 cos 5

7 cos 5

− + θ

θ = 1 +

7 cos 5

14

θ − ∵ − 1 ≤ cosθ ≤ 1 − 12 ≤ 5sinθ − 7 ≤ − 2

⇒ −

⇒ 1

2 ≤ ¹

5 cosθ −7≤ − ¹

12⇒ − 7 ≤

7 cos 5

14

θ − ≤ − 6

7 ⇒ − 6 ≤ 1 +

7 cos 5

14

θ − ≤ − 6 1

21.設 0° <θ <90°，若 2x³ + (2 − 3 )x² + (2 − 3 )x除以x − sinθ得餘式 3 ，則log₃tanθ =

。 答案：2

1

解析：2sin³θ + (2 − 3 )sin²θ + (2 − 3 )sinθ = 3 ⇒ (2sinθ − 3 )(sin²θ + sinθ + 1) = 0

⇒ sinθ = ³，∴ tanθ = 3 ∴ log3tanθ = log3 3 =¹

22.求_∑^∞

=1 ) 2 (1

n

n ．sin(n．90°)之值_______________。

答案：5 2

解析：_∑^∞

=1 ) 2 (1

n

n．sin(n．90°)

= (2

1)sin90° + ( 2

1)²．sin180° + ( 2

1)³sin270° + ( 2

1)⁴sin360° + ( 2

1)⁵sin90° + ( 2

1)⁶sin180° +

(2

1)⁷sin270° + ( 2

1)⁸sin360° + ( 2

1)⁹．sin90° + ( 2

1)¹⁰sin180° + ( 2

1)¹¹sin270° + ( 2

1)¹²sin360°

+ …= [ 2 1+ (

2 1)⁵ + (

2

1)⁹ + …] − [(

2 1)³ + (

2 1)⁷ + (

2

1)¹¹ + …] =

)4

2 (1 1

2 1

−

−

4 3

2) (1 1

2) (1

−

=15 6 =

5 2

23.求 y =

1 sin sin

6

2θ − θ + 的最大值，最小值__________ ; __________。

答案：最大值為 8，最小值為 2 解析：(1) −1 ≤ sinθ ≤ 1

(2) k = sin²θ − sinθ + 1 = (sinθ − 2 1)² +

4

3 ∵ − 2

3≤ sinθ − 2 1≤

2

1，0 ≤ (sinθ − 2 1)² ≤

4 9

∴ 4

3≤ k ≤ 3 ⇒ 3 4≥

k 1≥

3

1 ⇒ 8 ≥ k

6≥ 2 ⇒ 2 ≤ y ≤ 8 (3)∴ y的最大值為 8，最小值為 2