高師大附中 108 學年度第 1 學期第 1 次段考高中部三年級數學科試題(不分組) (仁義禮智信忠孝和)
考試時間 80 分鐘
一、多重選擇題：每題答對得6 分，只錯一個可獲 4 分，錯兩個可獲 2 分，錯兩個以上不 給分，未作答不給分。共18 分。
1.有一個不透明的箱子內裝有 10 顆大小相同的球，分別編號為 1，1，2，2，4，4，4，5，5，6。若 從箱中任取一球，令隨機變數 X 為取出球之球號，則下列何者正確？
(Ａ) (P X 1) 0.1 (Ｂ) (P X 3) 0.1 (Ｃ) (P X 5) 0.2 (Ｄ) ( ) 3.2E X (Ｅ) Var X( ) 2.84 。
2.一枚不均勻的銅板，出現正面的機率為 2
3 ，出現反面的機率為 1
3 ，今丟銅板 5 次，若 X 表示出現
正面的次數，則下列敘述何者正確？ (Ａ)
( 3) 80 P X 243
(Ｂ)
( 2) 20 P X 243
(Ｃ) X 的期望值為 3
次 (Ｄ) X 的變異數為 10
9 (Ｅ) X 的標準差為 10
3 次。
3.某民調中心在甲、乙兩個城市調查民眾接到詐騙電話的比率（以下簡稱「接詐率」）。結果如下：在 95% 信心水準之下，在甲、乙兩城市的「接詐率」之信賴區間分別為 [ 0.36，0.44 ]、[ 0.58，0.62 ]。試判斷下列哪些選項是正確的？ (Ａ)乙城市的全體民眾接到詐騙電話的比率比甲城市的全體民眾接 到詐騙電話的比率更高 (Ｂ)在 99.7% 信心水準之下，甲城市的「接詐率」之信賴區間為 [ 0.34，0.46 ] (Ｃ)如果不區分城市，此次抽樣「接詐率」的標準差介於 0.01 與 0.02 之間 (Ｄ)民調中心在甲城市 再次進行民調，並增加訪問人數達原人數的四倍，則在 95% 信心水準之下，甲城市的「接詐率」之信賴 區間寬度會減半 (Ｅ)在 95% 信心水準之下在甲城市再次進行很多次民調，得到很多個信賴區間，這很 多個信賴區間中約有 95% 個會包含甲城市全體民眾的「接詐率」。
二、填充題：答案全對才給分。
答對格數 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0
1 1
1 2
1 3
1 4
1 5
得分 8 1
6 2 4
3 2
4 0
4 6
5 2
5 8
6 4
6 8
7 2
7 6
7 8
8 0
8 2
1.若 IQ 測驗有 10000 人參加，成績直方圖大致呈常態分布，平均分數是 100 分，標準差為 15 分，則大 約有多少人IQ 成績在 130 分以上？
2.設 X 為隨機變數，且
2 10 Y 3 X
，已知 ( ) 6E X ， ( ) 0.9Var X ，若 ( )E Y ， ( ) Var Y ，則數對 ( , ) 。
3.有一個遊戲玩法如下：
莊家一次擲二個骰子，其他人可下注在 1～6 格中的任一格 ( 如右圖 )。
若下注10 元在格 2，莊家擲二個骰子中，若擲出零個 2 時，則下注的人輸 10 元，若恰有一個骰子是點 數2 時，則下注的人贏 10 元，若恰有兩個骰子點數 2 時，則下注的人贏 20 元。 則小明下注一次所得 的錢的期望值為 。
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1 2 3 4 5 6
4.若有一顆特殊的骰子，點數出現與其出現的機率成正比。若投擲該骰子 4 次，令 X 代表 4 次當中出現 點數為 3 的次數，則 (P X 2)的值為 。
5.某校班聯會針對高三學生做“舉辦畢業舞會”議題支持度的調查，回收的有效問卷為 150 張，其中 贊成有 90 張，則支持舉辦畢業舞會此議題的比率p
的95%
信賴區間為 。
6.網球比賽約定先贏 5 局者為勝，勝者可得獎金 16000 元，依過去比賽經驗，甲、乙兩人實力相當，比 賽進行到第5 局結束時，甲 3 勝 2 負，由於下雨不再繼續比賽，以現在成績及未來獲勝的機率分配獎金，
請問甲應得多少獎金才公平？
7.針對某學校的學生做調查後發現：「有 95% 的信心水準認為約有56% 到 64% 的學生喜歡上社團課」。
則此次調查的樣本中，喜歡上社團課的學生約有 人。
8.某次考試中有一題多重選擇題，共有 A、B、C、D、E 五個選項，而五個選項中至少有一個選項是正 確的。計分方式為：「完全正確得5 分，只錯一個選項可得 3 分，只錯兩個選項可得 1 分，答錯三個或 三個以上選項者不給分」。若小明只確定A 選項一定是正確的，另外 B、C、D、E 四個選項他不經考慮 隨意猜答，則小明此題得分之期望值為 分。
9.某科技廠欲徵求員工 135 人，其性別與國籍分配如表：
若欲使性別與國籍獨立，且 x ，則數對( , )y x y
。
10.袋中有 1，2，3 號卡片各 2 張，每張卡片被取中的機率相等，現在從袋中一次取出 2 張卡片時， X 代表兩張卡片數字的乘積，則 X 的期望值為 。
11.有一不公正的硬幣擲出正面的機率 p (其中
1 1 2 p
)，重複投擲 30 次，設隨機變數 X 表示擲出正面
的次數，若 X 的變異數為 20
3 ，且當 X k時的機率值最大，則k值為 。
12.某人想了解某地區擁有手機的人的比率p
有多少，他想要信心水準為99.7%
，而抽樣誤差在0.02之內，
請問他需要調查多少人？
13.設 X 是參數為 (6，12) 之二項分布，若 X 的期望值為 ，標準差為 ，則 (P X )
。
14.袋中有編號 1 到 10 號的球各一顆，每次從中取出兩顆計算其和再放回，重複同樣的動作 20 次， X 表示20 次中出現和為偶數的次數，若 X 的期望值為 ，標準差為 ，則數對 ( , ) 。
15.箱子中有 3 個白球，若干個黑球，現從箱子中任取兩球，每個球被取到的機會均等，設隨機變數 X
表示取到的白球個數，若 X 的期望值 ( ) 3 E X 4
，則 X 的變異數Var X( ) 。
本國籍 外國籍
男性 50 x
女性 y 20
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國立高師大附中108 學年度第 1 學期第 1 次段考高三數學科 答案卷(不分組)
高三 班 座號: 姓名:
一、多重選擇題：每題答對得6 分，只錯 1 個選項得 4 分，只錯 2 個選項得 2 分，其餘不給分，未作答 者不給分，合計18 分。
1 2 3
CE AD BE
二、填充題：答案全對才給分
答對格數 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0
1 1
1 2
1 3
1 4
1 5
得分 8 1
6 2 4
3 2
4 0
4 6
5 2
5 8
6 4
6 8
7 2
7 6
7 8
8 0
8 2
1 2 3
250 (14, 0.4)
65
18
4 5 6
216
2401 [0.52, 0.68] 11000
7 8 9
360
23
16 (40, 25)
10 11 12
58
15 20 5625
13 14 15
25 32
80 20 ( , )
9 9
45 112
