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第3章 綜合演練 基礎題

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Academic year: 2021

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(1)

高中數學(2)‧習作甲 第 3 章 機 率 48

第 3 章 綜合演練

基礎題

1. 甲、乙、丙各出刀、石、布猜拳,則:

(1)樣本空間 S 共有 個元素。(5 分)

(2)其中彼此不分勝負之事件為 。(5 分)

解 (1) 33=27(個)

(2) {(刀 , 石 , 布),(刀 , 布 , 石),(石 , 布 , 刀),(石 , 刀 , 布),(布 , 石 , 刀),

(布 , 刀 , 石),(石 , 石 , 石),(刀 , 刀 , 刀),(布 , 布 , 布)}

2. 從五本不同的書 A,B,C,D,E 中任選兩本書,則:

(1)樣本空間 S 為 。(5 分)

(2)所抽到的書中都有 B 書在內的事件為 。(5 分)

解 (1) 樣本空間 S={AB , AC , AD , AE , BC , BD , BE , CD , CE , DE}

C =10 個樣本 25

(2) 抽到包含B 書的事件為{AB , BC , BD , BE}

3. 投擲 4 枚均勻硬幣,則:

(1)4 枚都出現正面的機率為 。(4 分)

(2)出現 1 枚正面,3 枚反面的機率為 。(4 分)

(3)出現 2 枚正面,2 枚反面的機率為 。(4 分)

解 (1) 14 2 = 1

16 (2)

4 1

24

C = 4 16=1

4 (3)

4 2

24

C = 6 16=3

8

4. 分別記有 1,2,3,4,5,6 的卡片各 1 張,今一次取 2 張,若較小的數為m、較大的數 為 n,則 n

m 為整數的機率為 。(8 分)

m 1 2 3

n 2,3,4,5,6 4,6 6 故 n

m 為整數的機率為 6

2

5 2 1 C

+ + = 8 15

5. 設 A,B 為互斥事件,若 P(A'∩B')=3

5,P(A'∩B)= 1

10,則:

(1)P(B)= 。(4 分)

(2)P(A∪B)= 。(4 分)

(3)P(A)= 。(4 分)

解 (1) ∵A,B 為互斥事件

∴P(A∩B)=0

 P(A'∩B)=P(B)-P(A∩B)=P(B)

(2)

高中數學(2)‧習作甲 第 3 章 機 率 49

故 P(B)= 1 10

(2) ∵P(A'∩B')=P((A∪B)')

=1-P(A∪B)=3 5

 P(A∪B)=1-3 5=2

5

(3) ∵P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)

2

5=P(A)+ 1 10-0

 P(A)=2 5- 1

10= 3 10

6. 投擲三枚均勻硬幣,若三枚均出現同一面,則可得 1 分,否則得 0 分,今連投 5 次,若機 會均等且每次投幣互不影響,則:

(1)恰得 3 分的機率為 。(4 分)

(2)至少得 3 分的機率為 。(4 分)

解 擲硬幣三枚,三枚均出現同一面的機率為2 8=1

4 (1) 恰得 3 分的機率為C35

1 3

4

  

  3 2

4

  

  = 90

1024= 45 512 (2) 至少得 3 分的機率為

5

C3

1 3

4

  

  3 2

4

  

  +C45 1 4

4

  

  3 1

4

  

  +C55 1 5

4

  

 

=90 15 1 1024

+ + = 106

1024= 53 512

7. 髮禁開放,今某校有 12%的學生燙了頭髮,有 10%的學生染了頭髮,有 4%的學生既燙又 染頭髮。今任選一學生,試問:

(1)若她燙了頭髮,則她染了頭髮的機率為 。(4 分)

(2)若她染了頭髮,則她燙了頭髮的機率為 。(4 分)

(4)她沒有燙頭髮也沒有染頭髮的機率為 。(4 分)

解 由題意知 P(燙)=12%,P(染)=10%,P(燙∩染)=4%

(1) P(染|燙)=P P

(染 燙)

(燙) =

4 12

=1 3 (2) P(燙|染)=P

P

(燙 染)

(染) =

4 10

=2 5

(3) P(燙'∩染')=1-P(燙∪染)=1-(8%+4%+6%)

=1-18%=82%=41 50

8. 甲袋中有 5 紅球 3 白球,乙袋中有 2 紅球 6 白球,若選袋及選球之機會均等,試問:

(1)任選一袋且任選一球,得白球之機率為 。(4 分)

(2)任選一球為甲袋之白球的機率為 。(4 分)

(3)任選一球,在選中白球之情況,其來自甲袋的機率為 。(4 分)

(3)

高中數學(2)‧習作甲 第 3 章 機 率 50

解 (1) P(W)=P(甲)P(W|甲)+P(乙)P(W|乙)

=1 2×3

8+1 2×6

8= 3 16+ 6

16= 9 16 (2) P(甲∩W)=P(甲)P(W|甲)=1

2×3 8= 3

16 (3) P(甲|W)=P W

P W

(甲 )

( ) = 3 16

9 16

=3 9=1

3

進階題

1. 甲、乙兩人射擊中靶之機率分別為5 6、3

4,已知今甲射一發子彈,則乙至少應發射 發 子彈才可使該靶至少命中一發的機率達 0.999 以上。(log20.3010,log30.4771)(8 分)

解 設乙至少應發射 n 發子彈

 1- 5 1 6

 

 

 -  3 1 4

 n

 

-  >0.999

 1-1 6× 1

4

 n

   >0.999

1 6× 1

4

 n

   <0.001

 1 4

 n

   < 6 1000

 4n>1662 3

 n>3.……

取 n=4

故乙至少應發射 4 發子彈才可使命中率達 0.999 以上

2. 設工廠由甲、乙、丙三部機器製造某一產品,其產量依次各占總量的 50%、30%、20%。

依照過去的經驗,甲、乙、丙不良品的比率分別為 3%、x%、5%。今任選一產品,若此 產品為不良品,而此產品由乙所製造的機率為12

37 ,則乙機器產不良品的機率為 。

(8 分)

解 設 A 表不良品的事件,則依題意得到下列的樹狀圖:

P(A)=P(甲)P(A|甲)+P(乙)P(A|乙)+P(丙)P(A|丙)

=50%×3%+30%×x%+20 %×5%

(4)

高中數學(2)‧習作甲 第 3 章 機 率 51

=150 30 100 10000

x

=250 30 10000

x

由題意知 P(乙|A)=12 37

P P A P A

(乙) ( │乙)

( )

= 30 10000 250 30

10000 x

x

= 30 250 30

x

x

 12(250+30x)=37×30x

 x=4

故得由乙機器產不良品的機率為 4%

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