高中數學(2)‧習作甲 第 3 章 機 率 48
第 3 章 綜合演練
基礎題
1. 甲、乙、丙各出刀、石、布猜拳,則:
(1)樣本空間 S 共有 個元素。(5 分)
(2)其中彼此不分勝負之事件為 。(5 分)
解 (1) 33=27(個)
(2) {(刀 , 石 , 布),(刀 , 布 , 石),(石 , 布 , 刀),(石 , 刀 , 布),(布 , 石 , 刀),
(布 , 刀 , 石),(石 , 石 , 石),(刀 , 刀 , 刀),(布 , 布 , 布)}
2. 從五本不同的書 A,B,C,D,E 中任選兩本書,則:
(1)樣本空間 S 為 。(5 分)
(2)所抽到的書中都有 B 書在內的事件為 。(5 分)
解 (1) 樣本空間 S={AB , AC , AD , AE , BC , BD , BE , CD , CE , DE}
共C =10 個樣本 25
(2) 抽到包含B 書的事件為{AB , BC , BD , BE}
3. 投擲 4 枚均勻硬幣,則:
(1)4 枚都出現正面的機率為 。(4 分)
(2)出現 1 枚正面,3 枚反面的機率為 。(4 分)
(3)出現 2 枚正面,2 枚反面的機率為 。(4 分)
解 (1) 14 2 = 1
16 (2)
4 1
24
C = 4 16=1
4 (3)
4 2
24
C = 6 16=3
8
4. 分別記有 1,2,3,4,5,6 的卡片各 1 張,今一次取 2 張,若較小的數為m、較大的數 為 n,則 n
m 為整數的機率為 。(8 分)
解 m 1 2 3
n 2,3,4,5,6 4,6 6 故 n
m 為整數的機率為 6
2
5 2 1 C
+ + = 8 15
5. 設 A,B 為互斥事件,若 P(A'∩B')=3
5,P(A'∩B)= 1
10,則:
(1)P(B)= 。(4 分)
(2)P(A∪B)= 。(4 分)
(3)P(A)= 。(4 分)
解 (1) ∵A,B 為互斥事件
∴P(A∩B)=0
P(A'∩B)=P(B)-P(A∩B)=P(B)
高中數學(2)‧習作甲 第 3 章 機 率 49
故 P(B)= 1 10
(2) ∵P(A'∩B')=P((A∪B)')
=1-P(A∪B)=3 5
P(A∪B)=1-3 5=2
5
(3) ∵P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
2
5=P(A)+ 1 10-0
P(A)=2 5- 1
10= 3 10
6. 投擲三枚均勻硬幣,若三枚均出現同一面,則可得 1 分,否則得 0 分,今連投 5 次,若機 會均等且每次投幣互不影響,則:
(1)恰得 3 分的機率為 。(4 分)
(2)至少得 3 分的機率為 。(4 分)
解 擲硬幣三枚,三枚均出現同一面的機率為2 8=1
4 (1) 恰得 3 分的機率為C35
1 3
4
3 2
4
= 90
1024= 45 512 (2) 至少得 3 分的機率為
5
C3
1 3
4
3 2
4
+C45 1 4
4
3 1
4
+C55 1 5
4
=90 15 1 1024
+ + = 106
1024= 53 512
7. 髮禁開放,今某校有 12%的學生燙了頭髮,有 10%的學生染了頭髮,有 4%的學生既燙又 染頭髮。今任選一學生,試問:
(1)若她燙了頭髮,則她染了頭髮的機率為 。(4 分)
(2)若她染了頭髮,則她燙了頭髮的機率為 。(4 分)
(4)她沒有燙頭髮也沒有染頭髮的機率為 。(4 分)
解 由題意知 P(燙)=12%,P(染)=10%,P(燙∩染)=4%
(1) P(染|燙)=P P
(染 燙)
(燙) =
4 12
%
%
=1 3 (2) P(燙|染)=PP
(燙 染)
(染) =
4 10
%
%
=2 5(3) P(燙'∩染')=1-P(燙∪染)=1-(8%+4%+6%)
=1-18%=82%=41 50
8. 甲袋中有 5 紅球 3 白球,乙袋中有 2 紅球 6 白球,若選袋及選球之機會均等,試問:
(1)任選一袋且任選一球,得白球之機率為 。(4 分)
(2)任選一球為甲袋之白球的機率為 。(4 分)
(3)任選一球,在選中白球之情況,其來自甲袋的機率為 。(4 分)
高中數學(2)‧習作甲 第 3 章 機 率 50
解 (1) P(W)=P(甲)P(W|甲)+P(乙)P(W|乙)
=1 2×3
8+1 2×6
8= 3 16+ 6
16= 9 16 (2) P(甲∩W)=P(甲)P(W|甲)=1
2×3 8= 3
16 (3) P(甲|W)=P W
P W
(甲 )
( ) = 3 16
9 16
=3 9=1
3
進階題
1. 甲、乙兩人射擊中靶之機率分別為5 6、3
4,已知今甲射一發子彈,則乙至少應發射 發 子彈才可使該靶至少命中一發的機率達 0.999 以上。(log20.3010,log30.4771)(8 分)
解 設乙至少應發射 n 發子彈
1- 5 1 6
- 3 1 4
n
- >0.999
1-1 6× 1
4
n
>0.999
1 6× 1
4
n
<0.001
1 4
n
< 6 1000
4n>1662 3
n>3.……
取 n=4
故乙至少應發射 4 發子彈才可使命中率達 0.999 以上
2. 設工廠由甲、乙、丙三部機器製造某一產品,其產量依次各占總量的 50%、30%、20%。
依照過去的經驗,甲、乙、丙不良品的比率分別為 3%、x%、5%。今任選一產品,若此 產品為不良品,而此產品由乙所製造的機率為12
37 ,則乙機器產不良品的機率為 。
(8 分)
解 設 A 表不良品的事件,則依題意得到下列的樹狀圖:
P(A)=P(甲)P(A|甲)+P(乙)P(A|乙)+P(丙)P(A|丙)
=50%×3%+30%×x%+20 %×5%
高中數學(2)‧習作甲 第 3 章 機 率 51
=150 30 100 10000
+ x+
=250 30 10000
+ x
由題意知 P(乙|A)=12 37
=P P A P A
(乙) ( │乙)
( )
= 30 10000 250 30
10000 x
+ x
= 30 250 30
x
+ x
12(250+30x)=37×30x
x=4
故得由乙機器產不良品的機率為 4%