國立高師大附中106學年度第一學期高一數學科第二次期中考試題

(1)

國立高師大附中106學年度第一學期高一數學科第二次期中考試題

(考試時間：80分鐘，應考班級：高一仁~和)

一、多重選擇題：（每題6分，共30分。每題全對得6分，只錯一個選項可得4分，

錯兩個選項可得2分，錯超過兩個選項或未作答不給分。）

1.已知　f（x）＝3x³＋ax²＋bx＋4為整係數多項式，則下列哪些正確？

(1)方程式　f（x）＝0　至少有一個有理根

(2)若一次整係數多項式　 px q 整除　f（x），則　商式為整係數多項式

(3若 p 整除3且 q 整除　4，其中 ,

p q

為互質整數，

p

 ，　則 px q0  為　f（x）的因式 (4)若方程式　f（x）＝0　只有一個有理根，則另外兩個根一定是共軛虛根

(5)方程式　f（x）

 5 x  2

必有奇數個實根

2.已知 ,  為方程式

x

² 15

x

  的兩根﹐則下列哪些正確？9 0 (1)

   15

(2)

2 2

 

=243　(3)

 

 

= 23　 (4)



^ ^ ^



²

= 21 (5)以_{   ﹐}



¹



   為兩根的一元二次方程式為



¹

 x

² 3

x

45 0

3.已知四次實係數多項式

^{f x}  

^

^ax

⁴^

^bx

³^

^cx

²^

^{dx e}

_{ ﹐已知}

^f  

²

ⁱ

_{ ﹐且}⁰

_{f x 的某些取值}  

正負如下表﹐則下列哪些正確？

^{f x}   ^x

^{0 1 2 3}^{   } ^大於^ ³

(1)方程式

^{f x}  

_{ 在2 與}⁰

³

之間沒有實根 (2)

^{f x}  

_{ 在}⁰

⁰

_與¹_{之間恰有一實根}

(3)

^f 

   (4)方程式^{2 1}

ⁱ 

⁰

^{f x}  

 沒有負根 (5)方程式⁰

^{f x}  

_{ 恰有一個實根}⁰

4.下列哪些選項的不等式與不等式



²^

^{x x} 

_{  有相同的解﹖}³



⁰

(1)

 ^x

^²

 

²

^x

^{ }³



⁰ ₍₂₎

 ^x

^¹

 

²²

^x

^²

 ^x

^{ }³



⁰ ₍₃₎

 ^x

^²

 ^x

^³

  ^x

²^{  }

^x

¹



⁰

(4)

2 0 3

x x

 

 (5)

2 1 3 1

x x

 

 ﹒

5.設

f x 為不小於三次之多項式﹐以    ^{x b x c}

^



 ﹐(x c)(x a)﹐(x a)(x b)除



f x 之餘式分別為   ³ ^x ^ ¹

﹐

^x ^ ¹

﹐

² ^x ^ ³

﹐則下列哪些正確？

(1)

^a ^{ } ²

　 (2)

^b ^ ⁴

(3)

^c ^ ⁰

　 (4) f (x) 除以

 ^x

^¹

 ^x

^⁴



_餘式為

³ ^x ^ ¹

(5)

^{f x}  

除以⁽

^x

^²⁾

 ^x

^¹

 ^x

^⁴



餘式為

1

2

4 1 3

x

 3

x

 3

二、填充題(全對才給分。不依題號順序，依答對格數給分，請參考分數對照表，共70分)

格數 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

得分 7 14 21 28 34 40 45 50 54 58 61 64 67 70

1.若多項式

^{f x}  

^²

^x

⁴^⁷

^x

³^¹³

^x

²^

^{ax b}

_{ 除以}⁽

^x

^¹⁾²_的餘式為

⁸ ^x ^ ⁷

_，則數對^{( , ) ____}

^{a b}

^

2

.

設 , ,

a b c

為實數﹐且

 

⁶ ⁽ ⁰⁾⁽ ¹⁾ ¹² ⁽ ¹⁾⁽ ³⁾ ¹⁰ ⁽ ⁰⁾⁽ ³⁾

(3 0)(3 1) (0 1)(0 3) (1 0)(1 3)

x x x x x x

f x

           

      ﹐

(2)

^{g x}

^{( )}^

^{ax x} 

^{ }¹

 ^{bx x} 

^{ }³

 ^{c x}

⁽ ^¹⁾⁽

^x

_{ ，若}³⁾

_{f x 與}   g x 是相等的多項式﹐則序組(  

a b c )=

, ,

____________

3.若

^{f x}  

^

^x

³^³

^x

²^²

^x

_{ ，則多項式}⁵

^{g x}  

^

^{f f x}

^{( ( ))}_除以

^x ^ ²

_之餘式為

___________

4.設

^{f x}  

^⁵⁴

^x

³^⁹⁹

^x

² ^⁶⁶

^x

^²⁰_，則

^f 

^0.33



的近似值為____________（四捨五入到小數點後第二位）﹒

5.設不等式

2 10 0

ax



x b

 

的解為 3 1

x

2

  

，則不等式

2 2 9 0

ax



bx

 

的解為_____

6.計算

2 3 98 3

... 1 2

i i i i i a bi

i

       

 且知

,

a b

均為實數﹐則數對

( , ) ____

a b



7.一實係數多項式

^{f x}  

^

^x

⁴^³

^x

²^

^{ax b}

_{  有一根為}⁰

^{ } ^{1 i}

﹐則此方程式的其它根為______

8.已知不等式⁽

^k

^²⁾

^x

²^^{2 2}

 ^k

^³

 ^x

^⁵

^k

  的解為全體實數﹐則^{6 0}

^k

的範圍為______

9.右圖為實係數四次多項式　

^{f x}  

^

^ax

⁴^

^bx

³^

^cx

²^

^{dx e}

^

的圖形，試問⁽²

^x

^{ }¹⁾

^f 

²

^x

  的解為______¹



⁰

10

.

已知整係數多項式

^{f x}  

^³

^x

³^

^ax

²^

^bx

^¹²

﹐且

^f  

¹ ^⁰

﹐

^f  

^{ }¹

^f  

^ ² ^⁰_{﹒若方程式}

 

⁰

f x

 的三根均為有理根﹐則數對(a,b)為______

11.若

f x 是領導係數為　1　的四次整係數多項式，而且   ^f  

¹ _{ ，}⁵

^f  

² ^¹⁰_，

^f  

³ ^¹⁵

，則　

^f  

⁸ ^

^f

^{( 4)} 之值為　　　　。　

12.______(單選)請問對於下列那一個選項，可以找到實數 a ，使得選項裡面所有的數都同時 滿足一元二次不等式

x

² (4

a x

) 4

a

 　？　－2，5 　1，2，3，…（所有的正整數0

）

－5，－6，－7，…（所有小於－4　的整數）　－97，2017　－π，π（π是圓周率）

13.設實係數多項式 ( )

f x 滿足 (2 3 ) 2 f



i

 　與 ( ) 18 8

f

 

i

 　（其中　

i i

 －），且 ( )1

f x

除以(

x

²4

x

13)(

x

² 的餘式為　 ( )1)

g x ﹐則　 ( ) g x

____________﹒

14.已知實係數方程式　

x

⁴ 4

mx

²(

m

  　有四個相異純虛根，則　 m 　的範圍為3) 0 　　　　。

【試題結束】

國立高師大附中106學年度第一學期高一數學科第二次期中考答案卷

(3)

高一班座號：姓名：

一、多重選擇題：（每題6分，共30分。每題全對得6分，只錯一個選項可得4分，

錯兩個選項可得2分，錯超過兩個選項或未作答不給分。）

題號 1 2 3 4 5

答案

5 14 12 245 1245

二、填充題(全對才給分。不依題號順序，依答對格數給分，請參考分數對照表，共70分)

格數 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

得分 7 14 21 28 34 40 45 50 54 58 61 64 67 70

題

號 1 2 3 4

答

案 ( 5, 2)  (1,5, 4)

_ ₆₅ _ _7.06

題

號 5. 6 7 8

答案

3

2

(0, 2)  1 ,1 2 ,1 2

i



i



i k  1

題

號 9 10 11 12

答案

3 x 2

或

   ¹ 2

x

²

( 8, 7) 

2540 E

題

號 13 14

答

案

^x

³

^ ³ ^x

²

^ ⁹ ^x ^ ¹⁵

3 3

m

4

   

國立高師大附中106學年度第一學期高一數學科第二次期中考試題