提要 249：曲面之面積
曲面之面積
如圖 1 所示，若曲面 S 可以位置向量r
u,v 加以表示，則曲面 S 之面積 A 可表 為：
S S
S
v dudv d u
dA
A r r
A
(1)圖 1 在曲面r
u,v 上取微小面積元素 dA 之*示意圖【證明】
已知微小面積
dudv
v
d u
r r
A
，故其面積大小dudv
v d u
dA
r r
A
，所以：
S S
S
v dudv d u
dA
A r r
A
故得證。
範例一
已知如圖 2 所示半徑為 a 之圓球曲面 S 可表為：
i j kr u,v acosucosv asinucosv asinv 、0 u2、
2 2
v
試求圓球曲面之表面積。
圖 2 圓球曲面示意圖
解答：
2 2
2 0 2 2
2 0
cos cos sin cos sin cos cos sin cos sin
sin cos cos cos cos sin sin sin cos
sin cos cos cos 0 cos sin s
S
A dudv
u v
a u v a u v a v a u v a u v a v
u v dudv
a u v a u v a u v a u v a v dudv
a u v a u v
a u v a
r r
i j k i j k
i j i j k
i j k
2 2
2 0 in sin cos
dudv
u v a v
2 2
2 0
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 0 2 2
2 2 2 2 2
2 0
2 2
sin cos cos cos 0 cos sin sin sin cos
cos cos sin cos sin sin cos cos sin cos
cos cos sin cos sin cos
cos cos
A a u v a u v dudv
a u v a u v a v
a u v a u v a u v v a u v v dudv
a u v a u v a v v dudv
a u
i j k
i j k
i j k
2 2
2
2 0
2 2 2 2 2
2 2 2
2 0 2 2
2 2 4 2 4 2 2
2 0 2 2
2 2 2 4 2 2
2 0
2 4 2 2
sin cos sin cos
cos cos sin cos sin cos
cos cos sin cos sin cos
cos sin cos sin cos
cos sin cos
v u v v v dudv
a u v u v v v dudv
a u v u v v v dudv
a u u v v v dudv
a v v v dud
i j k
2 2
2 0 2 2
2 2 2 2
2 0 2 2
2 2
2 0 2 2 2
2 0 2 2 2
0 2
2 2
2 2 2
2
2
2
2
cos sin cos
cos
cos
cos
2 cos
2 sin
2 sin sin
2 2
2 1 1
4
u u
v v
v
a v v v dudv
a v dudv
a v dudv
a v u dv
a v dv
a v
a
a a
即圓球曲面之表面積為4 a
