中文摘要 本研究以等向性元素微分法求解穩態可壓縮

中文摘要

本研究以等向性元素微分法求解穩態可壓縮Navier-Stokes 方程式應用於正 方形孔穴內自然對流之現象。其中 Navier-Stoke 方程式之流通量分解成流速項、

擴散項與壓力項三個部份，加總之淨流通量以四階 Runge-Kutta 方式進行時間積 分，以收斂至穩態流動。首先利用文獻所提供之標準解，探討不同微分階數對分 析結果之影響，其中在瑞理數10³與10⁴時，以高階微分可有效改善數值收斂精度。

但在瑞理數10⁵下，則採用網格增加方式較能改善其精度。最後將此數值方法應用 於不同傾斜角度下之正方形孔穴流。探討不同傾斜角度、波型壁之波數以及其振 幅對散熱效果之影響，其分析結果顯示採用120^o夾角，波數為2 個效果最佳，至 於增加波型壁之振幅的貢獻只有幾個百分比。

關鍵詞： 等向元素高階微分法、瑞理數、波型壁、孔穴傾角、波數與振輻

Abstract

A numerical study of natural convection inside a cavity based on a high order Galerkin discretization scheme for the steady compressible Navier-Stokes equations was carried out. The pointwise numerical fluxes are separated into convective/ viscous fluxes and acoustic fluxes. The decoupling of the acoustic flux is due to non-central scheme employed near the wall. The overall residual is integrated using the

fourth-order Runge-Kutta scheme with a preconditioning matrix. The validation of the numerical code used is ascertained by comparing our results with previously published results. For the differential heated vertical wall problem, the accuracy of the solution is improved by using a high order scheme when the Rayleigh numbers are 10³ and 10⁴. However, for Rayleigh number at 10⁵, the grid refinement is more effective to improve the accuracy of the solution than the differential order increment. For the natural convection inside an inclined cavity with a hot wavy wall problem, the results are

presented for different angle of inclination (0^o-180^o) for three different undulations (1-3) with different wave amplitude (0.0-0.4) and also different temperature differences. The results obtained show that the angle of inclination at 120^o using two undulations gives the highest heat transfer rate. With the increase of amplitude from 0.1 to 0.4, the average Nusselt number raises by only 5%.

Keywords: Isoparametric high-order differential scheme, Rayleigh number, Wavy wall, Angle of inclination, Number of undulation and amplitude of wavy wall

致謝

在求學與研究過程中，承蒙好友許瑜倩、林奕婷、陳怡文、王秋淩、林 青佳等人對我的支持鼓勵與扶持。

最後，在此僅向我最敬愛的父親及在天上的母親與家人以及在求學過程 中給予我鼓勵的人獻上敬意，願將本文獻給關心我的每一個人。

目錄

中文摘要………..……….i

Abstract.……….….………..………....ii

致謝………..…………...iii

目錄………..…………...iv

表目錄………..………..………...vi

圖目錄………..………..………....vii

符號說明………..…………..………...ix

第一章 緒論………..………1

1.1 前言………..……...1

1.2 文獻回顧………..…...1

1.3 研究方法………..…...3

1.3 文章安排………..……...3

第二章 物理問題………...……4

2.1 流場基本假設………...………...4

2.2 流場狀態………...………...5

第三章 數值方法……….…..……6

3.1 Navier-Stokes 方程式……….……….………6

3.2 時間積分………..………..….…...7

3.3 流通量計算……….……….……...………..…...8

第四章 結果與分析………...………..10

4.1 不同預置矩陣………...………….10

4.2 格點效應………...……….10

4.3 不同微分階數………...……….11

4.4 可壓縮流之影響………...………..11

4.5 傾斜角度之影響………...………...12

4.6 波振幅之影響………...……….14

4.7 波型壁於不同溫差下之熱傳分析………...……….15

第五章 結論與未來工作………...………..16

5.1 結論………...……….16

5.2 未來工作………...……….17

參考文獻………...………..18

表目錄

表一 網格數在不同瑞理數下，最大紐塞爾數(Numax)。..……….………...…....…21 表二 網格數在不同瑞理數下，孔穴內最大水平方向速度(Umax)。………..….…21 表三 網格數在不同瑞理數下，孔穴內最大垂直方向速度(Vmax)。..…………..…21 表四 階數在不同瑞理數下，最大紐塞數(Numax)。……….………...……22 表五 階數在不同瑞理數下，孔穴內最大水平方向速度(Umax)。.…….…….……22 表六 階數在不同瑞理數下，孔穴內最大垂直方向速度(Vmax)。..…..…….….…22 表七 溫差在不同瑞理數下，最大紐塞爾數(Numax)。..……….………..……....…23 表八 溫差在不同瑞理數下，孔穴內最大水平方向速度(Umax）。………..….……23 表九 溫差在不同瑞理數下，孔穴內最大垂直方向速度(Vmax)。……….….……23 表十 不同角度紐塞爾之平均數值（A=0.1，ΔT=1℃，Ra=10⁵）。……….……….…24 表十一 紐塞爾平均數值在不同波型壁面的振幅（N=2，Ra=10⁵)。...….….….……24 表十二 網格數在不同瑞理數下，孔穴內最大水平方向速度(Umax)。……….……24

圖目錄

圖2-1 正方形孔穴計算格點與傾斜角度示意圖(81 x 81)。………...…………25

圖4-1 採用不同預置矩陣之係數對收斂之影響(Ra=10³)。………..…………26

圖4-2 溫度分佈圖 161x161。………..………..………27

圖4-3 流線分佈圖 161x161。………..28

圖4-4 不同網格數對 Nu 分佈之影響。………...………...29

圖4-5 不同計算階數對 Nu 分佈之影響。………..…….30

圖4-6 左右壁面溫差對溫度分佈之影響(Y=0.5）。……….….…31

圖4-7 左右壁面溫差對馬赫數分佈之影響(Y=0.5）。……….………32

圖4-8(a) 溫度分佈圖（N=0，Ra=10⁵）。………...……….………33

圖4-8(b) 溫度分佈圖（N=1，Ra=10⁵）。………...………...………….………34

圖4-8(c) 溫度分佈圖（N=2，Ra=10⁵）。………...………….………35

圖4-8(d) 溫度分佈圖（N=3，Ra=10⁵）。………..……….………36

圖4-9(a) 流線分佈圖（N=0，Ra=10⁵）。………...………….………37

圖4-9(b) 流線分佈圖（N=1，Ra=10⁵）。……...………...………….………38

圖4-9(c) 流線分佈圖（N=2，Ra=10⁵）。………...………….………39

圖4-9(d) 流線分佈圖（N=3，Ra=10⁵）。………..……….………40

圖4-10 波型壁面之局部紐塞爾分佈。………..…………...……41

圖4-11 平均紐塞爾數隨傾斜角度之變化。………..….…....…42

圖4-12(a) 波型壁面溫度分佈圖（N=2，φ=60^o）。……….………..…43

圖4-12(b) 波型壁面溫度分佈圖（N=2，φ=90^o）。………..…44

圖4-12(c) 波型壁面溫度分佈圖（N=2，φ =120^o）。………..……45

圖4-13(a) 波型壁面流線分佈圖（N=2，φ =60^o）。………..…..…46

圖4-13(b) 波型壁面流線分佈圖（N=2，φ=90^o）。………..………..…47

圖4-13(c) 波型壁面流線分佈圖（N=2，φ =120^o）。………..….………..…48 圖4-14 局部紐塞爾數隨波型壁震輻之影響（N=2）。……….…49 圖4-15 平均紐塞爾數隨波型壁震輻之變化（N=2）。………...…50 圖4-14 不同溫差下馬赫數分佈(Y=0.5，A=0.1，φ=120^o，N=2)。…………...….…51 圖4-15 局部紐塞爾數受溫差之影響(A=0.1，φ=120^o，N=2) 。…………...….…52

符號說明

A：波型壁之振幅。

C：局部音速。

c

c F

E , ：流速流通量。

a

a F

E , ：壓力流通量。

v

v F

E , ：擴散流通量。

g：重力加速度。

K：常數項。

k：局部熱傳導係數。

K0：孔穴內平均溫度之熱傳導係數。

H：總焓。

Hi：內插函數(interpolation function)。

L：正方形孔穴之寬度。

N：耦合之點數。

Nu：局部紐塞爾數(Nusselt number)

x T Tk Nu Hk

∂

∂

= Δ

0

。 P：壓力。

Ra：瑞理數(Rayleigh number)

0 0 0

3

α Tν

TL Ra = gΔ 。 S：重力項。

T：溫度。

T0：孔穴內平均溫度之平均溫度。

U：流場變數。

Vmax：正方形孔穴內最大流速。

希臘符號

α ：熱擴散係數。 0

ν

Δ ：左右垂直壁面之溫差。 T Δt：物理時間。

ρ

u ： x 方向之速度。

v ： y 方向之速度。

τ

Γ ：預置矩陣(Preconditioned)。

下標符號

c：低溫壁面。

h：高溫壁面。

第一章 緒論

1.1 前言

傳統數值計算方法在自然對流分析上，大多以不可壓縮流場來近似，因此，

對氣體的散熱分析上無法觀察到溫差之影響，所以本論文採用可壓縮流場統御方 程式，分別計算流速項、擴散項與壓力項，透過中央與外差方式進行通量計算，

可以提供高精度之解答，並同時觀察密度隨溫度與壓力的影響下之熱傳增益。

1.2 文獻回顧

傳統上於電子構裝、冷凍裝備、熱交換器等，常利用非平面之造型以增加散 熱面積以及對流效應，因此，波浪形狀、波浪數目以及振幅對流場與溫度分佈之 影響，值得深入探討以提供最佳之散熱組合。

近年來自然對流流場之相關研究已有相當多的文獻報告，早期De Vahl Davis [1]利用二階有限差分方法與 Richardson 外差方式進行正方型孔穴流內自然對流之 模擬，提供瑞理數（Rayleigh number）為 10³至10⁶之標準數值解，後續Henkes 與 Hoogendoorn [2] 其計算方法為 Navier-Stokes 與 Boundary layer 方程式提供瑞理數 10⁹至 10¹¹更高階之數值解，其壓力採用”SIMPLE”中央差分方法計算，其中數值 計算方式分別討論垂直面邊界層、中央區域、角落與水平面邊界層之計算，而 Marakatos 與 Pericleous [3] 也進行浮力項、紊流場與熱傳導下，當瑞理數為 10³ 至10¹⁶之模擬，其中央平均溫度為293K，計算方法採用”SIMPLEST”方法計算，

採用k−ε紊流模式進行過渡區與紊流場下之模擬。Le Quere [4] 則利用 Chebyshev 與Legendre spectral 數值方法做瑞理數為 10⁸高精度之自然對流分析。近年來利用 波茲曼精格法處理自然熱對流問題也逐漸普遍，Dixit 與 Babu [5] 提供高瑞理數為 10⁷至10¹⁰之數值解，Kao 與 Yang [6] 則提供垂直與水平壁面瑞里數 10⁶之數值解，

其計算方法採LBM(Lattice Boltzmann method)與 BGK(Bhatnagar -Gross- Krook )其 比對標準數值解。

Yao [7] 利用座標轉換方式處理垂直正弦波壁面之自然對流現象，其熱傳分佈 隨著正弦波的起伏變化，但隨著邊界層成長越下游熱傳量會隨之遞減。Zhong 等 人 [8] 探討瑞理數 10³至 10⁶之熱傳導係數、黏滯係數與比熱對傾斜角度分別為 0^o至180^o正方形孔穴內之自然對流現象，並針對平均紐塞爾數（Nusselt number）

歸納出隨傾斜角度變化之關係。Hamady 等人 [9] 於傾斜角度分別為 0^o至180^o瑞 理數為10⁴至 10⁶之間進行實驗量測，平均熱傳量由傾斜角增加而遞增，而最大熱 傳量發生在 110^o至 120^o之間，超過 120^o之傾斜角熱傳量會隨之下降，在 150^o至 160^o 之間有一個局部最小熱傳值，其熱傳減少之原因在於存在三維迴流，之後傾 斜角增加熱傳會上升，直到180^o有一局部最大熱傳量。Kuyper 等人 [10] 進行瑞 理數 10⁴至 10¹¹之層流與擾流於不同傾斜角度下的自然對流分析，其結果顯示紐 塞爾數與傾斜角有密切關聯，也隨著瑞理數之增加而有次方的關係。Cheng [11] 則 擴充至多孔隙材料受溫度與濃度效應下之自然對流分析。Kenjeres 等人 [12] 採用 三維造型，其中兩個對面具有溫差另外四面側邊銜接面溫度線性分佈之熱傳分析 其計算結果與實驗量測相當一致。Wang 與 Cheng [13] 則採用微極流體進行垂直 波形壁之混合熱對流分析。Mahmud 等人 [14] 進行兩個絕熱平面與兩個波形壁之 正方形孔穴流在不同傾斜角與不同葛拉斯赫夫數（Grashof number）為 10⁰至 10⁷ 之熱傳分析。Adjlout 等人 [15] 進行採用 1 個與 3 個正弦波之加熱面進行自然對 流之分析，其結論是採用1 個正弦波較佳。Das 與 Mahmud [16] 針對水平正弦波 對自然對流之影響，採用葛拉斯赫夫數為10³至10⁷之熱傳分析，其結論是局部熱 傳量變化明顯，但平均值差異很小。Jang 與 Yan [17] 利用普朗特數（Prandtl number）之轉換原理探討混合對流之現象，除了瑞理數與雷諾數（Reynolds number）

外並額外增加質量傳遞之Sherwood 數之影響。Dalal 與 Das [18] 採用 SIMPLE 算 則之 deferred QUICK 方法以正弦波型溫度分佈探討正方形孔穴內自然對流之影 響。Aounallah 等人 [19] 採用 FLUENT 軟體進行瑞里數為 1.58x10⁹之擾動自然對

流分析，其結果顯示最大熱傳量發生在傾斜角 100 度，而在 144 度時會有局部最 低點。Dalal 與 Das [20] 利用 heatline 方法繪製出對流與擴散總合在流道中之分 佈，能清楚協助熱傳設計。

1.3 研究方法

本研究利用等向性元素進行不同階數之數值微分，處理可壓縮流場之分 析，以提供較高解析流場之解答，並能探討高低溫下密度隨溫度與壓力變化之 熱傳現象，由於自然對流情況其流動之馬赫數（Mach number）較低，將會造 成數值收斂困難，其對流項矩陣之最大最小特徵值差異值過大，必須透過預置 矩陣以加速流場數值收斂。此外，本研究處理的流體為空氣，其黏滯係數與熱 傳導係數透過 Sutherland＇s 公式計算。

1.4 文章安排

第一章為前言與文獻回顧，第二章則探討物理問題之定義與邊界條件，第三 章則介紹統御方程式與數值解法，第四張則進行結果分析與討論，第五章則總研 究之結論並提出未來工作之方向。

第二章 物理問題

2.1 流場基本假設

熱對流分為自然對流以及由外力造成流體流動的強制對流，本論文探討之問 題為兩個對面處於固定溫度差下，孔穴內之空氣因密度不同，透過浮力之影響形 成自然運動結果，並透過不同壁面之造型與重力方向探討摩擦與浮力之交互影 響。本文係以二維可壓縮Navier-Stokes 方程式來描述正方形孔穴內空氣之流動，

對於流場的特性提出以下幾點基本假設：

(1)流體為理想氣體(P=ρRT)。

(2)流體流動為層流。

(3)流體在板面具不滑動性質。

(4)流體黏滯係數與熱傳導係數隨溫度變化之關係透過 Sutherland’s Law 近似。

當垂直平板受熱時，因熱傳產生的密度梯度及流體重力所形成的浮力效應，

會形成自然對流邊界層，但由於不滑動性質（No-Slip），因此平板壁面的速度為零。

最初邊界層發展為層流，但距離平板越遠會因流體不穩定而開始形成紊流邊界 層。對於直平板而言，由熱層流邊界層轉換至紊流邊界層通常取決於浮力與黏滯 力之相對大小，也就是瑞里數的大小來決定，文獻指出當瑞理數大約在10⁹時邊界 層會由層流轉換至紊流，而本研究之瑞理數僅執行至10⁶，因此本論文只考慮層流 邊界層的發展。至於傳統不可壓縮流之瑞理數之流體膨脹係數為一定值，由於氣 體於孔穴中每一點溫度皆不一致，因此採用冷熱壁面之平均溫度(T0)定義流場之平 均膨脹係數，同理流體黏滯係數與熱傳導係數於瑞理數計算時亦採用平均溫度(T0) 處理，其瑞理數定義如下：

0 0 0

3

α ν T

TL

Ra= gΔ (1)

其中，g 為重力加速度， TΔ 在左右垂直壁面之溫差，L 正方形孔穴之寬度，T 壁₀ 面為左右平均溫度 300K，ν₀與α₀分別為空氣在平均溫度下之動黏滯係數與熱擴 散係數。至於分析壁面熱傳導量之多寡上，皆採用無因次之紐塞爾數表示，其定 義如下：

x T TK Nu HK

∂

∂

= Δ

0

（2）

其中k 局部熱傳導係數，而k 亦為 300K 下之熱傳導係數。 ₀

2.2 流場狀態

本論文所探討之問題為正方形孔穴內其中左右垂直壁面有不同的溫度差，而 上下壁面為絕熱之自然熱對流問題。其幾何形狀如圖 2-1 所示，其中熱壁面將進 行不同正弦波之大小，以探討加熱面之長度與曲度對熱傳之影響，其壁面之幾何 造型以函數表示為

( )

[

]

A

x= /21−cos 2 π

其中A 為波型壁之縱深，由於程式採用結構性網格計算，因此文章進行 A= 0.0~0.4 分析，至於正方形孔穴之傾斜角度φ=0^o~180^o，間隔為30^o。

第三章 數值方法

3.1 Navier-Stokes 方程式

本研究之數值方法求解二維Navier-Stokes 方程式，其守恆方程式可表示如下：

y S F x E y F x E y F x E t

U c c a a v v+

∂ +∂

∂

=∂

∂ +∂

∂ +∂

∂ +∂

∂ +∂

∂

Γ∂

其中U為流場變數

[

]

[ ]

c u u uv uH

E = ρ ,ρ ²,ρ ,ρ

[ ]

c v uv v vH

F = ρ ,ρ ,ρ ²,ρ

[ ]

a p

E = 0, ,0,0

[ ]

a p

F = 0,0, ,0

[

]

v u v k T x

E = 0,τ ,τ , τ + τ + ∂ ∂

[

]

v u v k T y

F = 0,τ ,τ , τ + τ + ∂ ∂

[

]

S

= 0 , 0 , − ρ , − ρ

其中ρ為密度，u為x方向之速度，v為 y 方向之速度， P 為壓力，T 為溫度， H 為總焓，τ_ij流體層間的剪應力， g 為重力加速度與Γ 為預置矩陣(Preconditioned)。

其中流速流通量與擴散流通量無論高階與低階微分皆採用中央差分進行計算，至 於壓力流通量在近壁面採用外差方式計算。Choi 與 Merkle [21] 最早提出使用 此矩陣以修改對流項之特徵值以改善收斂狀況。後續 Weiss 與 Smith [22]之研

究。建議Γ ：

[ ]

[ ]

[ ] [ ( ) ]

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

− +

Θ

− +

Θ

− +

Θ

− +

Θ

= Γ

T H C v u RT H

T v RT

v

T u RT

u

T RT

ρ p

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

ρ

1

0 1

0 1

0 0 1

其中Θ=1V_ref² −1c²而C為局部音速。

本研究參考 Edwards 與 Liou [23] 所提出之參考速度V_ref，其結果如下

( )

[

]

2 min , max , _lid

ref c V KV

V =

其中

為正方形孔穴內最大流速，

為常數項。

3.2 時間積分

在本研究中所使用之時間積分法為 4階 Runge-Kutta來進行守恆通量形式之 時間積分。

( ) ( ) ( ) ( )

1 1

2 1 3

1 1 2

1 1

2 1 3 4 1 1

U R t U U

U R t U

U

U R t U

U

U R t U

U

n n

n n

n n

− +

−

−

−

Γ Δ +

=

Γ Δ +

=

Γ Δ +

=

Γ Δ +

=

(7)

其中Δt為物理時間，而

y S F x E y

F x E y

F x

R E^{c c a a v v}⎟⎟⎠+

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ +∂

∂ + ∂

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ +∂

∂

− ∂

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ +∂

∂

− ∂

= (8)

為統御方程式之殘值，程式之收斂與否也是透過殘值量做判斷。

3.3 流通量計算

Irons [24] 首先以等向性元素來進行任意網格之微分與積分。此任意四邊形之 元素，由於方便描述任意曲線之邊緣或是網格的疏密控制，因此廣泛應用於固體 力學之結構分析上，其等向性元素座標之處理在於物理座標(x, )，與數值計算之y 自然座標(ξ, )以多項式方式進行耦合(mapping)，以二維幾何可表示為 η

∑

∑

=

=

=

=

N

i i i

N

i i i

y H

y

x H

x

1 1

) , ( )

, (

) , ( )

, (

η ξ η

ξ

η ξ η

ξ

(9)

其中H 為內插函數(interpolation function)，_i N為耦合之點數，本研究進行不同點 數之處理以探討數值精度與數值收斂之狀況。至於流場變數與通量計算也採用相 同之方式處理，以φ

( )

( )

( )

= ^N= i

i

H i

1 ,

,η ξ η φ

ξ

φ (10)

而此一物理量之計算網格二維微分可透過下式計算之

[ ]

⎩⎨

= ⎧

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧

⎪⎪

⎭

⎪⎪⎬

⎫

∂

∂

∂ +∂

∂

∂

∂

=∂

∂

∂ ∂

∂

∂ +∂

∂

∂

∂

=∂

∂

∂

y

J x

y y x x

y y x

x φ

φ φ

φ η φ η φ η

φ ξ

φ ξ φ ξ φ

η

or ξ (11)

其中

[ ]

[ ]

⎩⎨

= ⎧

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧ ₋

η ξ

φ φ φ

φ ₁

J

y

x (12)

而(Eq.12)中

[ ]

第四章 結果與分析

4.1 不同預置矩陣係數

流場初始條件為停滯流場，由於流速低(M<10^-4)，因此透過預置矩陣之轉換 以使流場之特徵值差異減少，而此預置矩陣之參數 K(Eq.6)對收斂之影響相當顯 著，圖4-1 所示，當瑞理數為 10³時係數K 分別為 1、10 與 100 之 Y 方向動量守 恆之殘值收斂情形。發現大數的K 值大於 10 時會加快收斂速率，但當 K 大於 1000 時則會產生震盪甚至發散不穩定的現象（沒有顯示在圖4-1 中），此一係數在調整 動量守恆之殘值與質量及能量守恆之殘值的比例，因此，過小之K 值其質量及能 量守恆會較慢，但是當K 值過大，則動量守恆收斂較慢。所以，必須配合流場之 特性取適當之K 值以產生較佳之收斂過程。

4.2 格點效應

研究利用文獻[1]正方形孔穴流於左右垂直壁面不同的溫度，而上下壁面為絕 熱之熱傳問題探討數值計算精度之影響，利用每一個剖面其底面至頂面之傳導與 對流之總量做一曲線以表示能量方程式之誤差量，正確之解答需維持一個固定 值。首先採用二階算則（41×41）、（81×81）與（161×161）三種不同網格數進行比 較。圖 4-2 與圖 4-3 分別繪製瑞理數在 10³、10⁴與 10⁵下之溫度分佈與流線圖與 De Vahl Davis 文獻公佈之結果比對，目前可壓縮流場於溫差 1^o下之結果與不可壓 縮流場之解非常一致。圖4-4 為不同網格下每一個剖面之傳導與對流之總量分佈，

圖中可明顯看出熱傳量最大誤差將會隨瑞理數的增加而放大，另外網格數越多則 流道中間之熱傳總量越接近左右壁面的熱傳導值，其中瑞理數值為10³採用網格數

（41×41）、（81×81）與（161×161），熱傳量最大誤差最大誤差為 6.1%、2.4%與 1.4%；瑞理數值為 10⁴時，則最大誤差為28%、9.2%與 2.8%；瑞理數值為 10⁵時，

其最大誤差為80%、21%與 7.9%。因此，愈高之瑞理數值的分析則須要愈多網格

數方能維持其計算之精度。

至於詳細數值結果比對，可見表一至表三，其中表一為不同瑞理數下，最大 紐塞爾數(Numax)以及其發生之高度；表二為孔穴內最大水平方向速度(Umax) 以及 其發生之高度，表三為孔穴內最大垂直方向速度(Vmax)以及其發生之位置，局部最 大值與文獻結果相當一致誤差不到1%。其判斷截面只有傳導或是垂直速度為 0 或 是水平速度為 0 的剖面，因此誤差相對較小，如果在任意切面其流動方向有任意 角度之誤差對熱通量計算之結果將遠大於壁面之熱傳導量。

4.3 不同微分階數

本節針對正方形孔穴內自然對流之計算，採用不同階數之也是透過傳導與 對流之總量來比較其計算精度。圖 4-5 不同計算階數對紐塞爾分佈之影響，採用 二階、四階與六階三種不同微分精度，其中瑞理數為10³時，紐塞爾數最大誤差分 別為6.1%、0.5%與 0.5%；瑞理數值為 10⁴時，紐塞爾數值範圍內誤差分別為2.8%、

4.0%與 4.4%；而當瑞理數值為 10⁵時，紐塞爾數值範圍內誤差分別為 80%、28%

與 29%。由數據可整理出，當計算方法為四階與六階，六階的準確性為較少，建 議使用四階差分法。常數差分階層方法在計算低瑞里數值可得到較好的數值；反 之，當瑞理數值較高時，改善的方法是有限的。

四階與六階計算變化很小其結果比對可見表四至表六，當瑞理數值較高時，

計算四階與六階過程中驗算的答案不如二階穩定，未來將在流場範圍內研究流體 在基本演算中使用不同階層來計算。

4.4 可壓縮流之影響

目前採用統御方程式為可壓縮流場來求解，流場中有溫度、壓力、水平方向 速度與垂直方向速度四個未知數，由於密度可隨著溫度與壓力的改變，所以可以 透過左右壁面溫差的大小來觀察可壓縮流之效應，隨著溫差的增加，孔穴內之流

速也隨之增加，圖 4-6 為溫差在 Y=0.5 之無因次分佈，溫差小時左右對稱分佈，

但在溫差100℃時其溫度分佈會偏向右側，顯示左半側之密度較低因此流線寬度略 增，相反，右半側密度略大流線會變窄。至於瑞理數為10³傳導為主之結果其偏向 右側發生在中央處，而瑞理數為10⁴與10⁵之中央的溫度幾乎維持在300K 所以不 受溫差之影響，所以無因次計算溫度外形會向右邊移動之現象發生在近牆處。

當溫差為 1K、10K 與 100K 對瑞理數 10³之分析其孔穴內最大之馬赫數分別 為1.1e^-5、2.5e^-5與5.8e^-5，所以溫差加大100 倍自然對流之流速只有放大 5.8 倍，

當瑞理數為10⁴則其孔穴內最大之馬赫數別為 2.8e^-5、6.1e^-5與1.4e^-4，以及瑞理數 10⁵時之 4.5e^-5、9.8e^-5與 2.2e^-4，其溫差增加對流速增強之效果有減緩之趨勢，圖 4-7 為 Y=0.5 處三種不同瑞理數之馬赫數分佈，其最大馬赫數皆發生在冷壁側。不 同溫差之最大紐塞爾數與其發生之高度於表七，至於孔穴內最大水平方向速度以 及其高度於表八，孔穴內最大垂直方向速度與其發生之位置於表九。瑞理數為10³ 左側壁面最大紐塞爾數與孔穴流內最大無因次速度皆會隨溫差增加而略為減少 (~3%)。而在瑞理數 10⁴與 10⁵對流明顯時，左側壁面最大紐塞爾數與孔穴流內最 大無因次速度皆會隨溫差加大而略為增加(~3%)，除了瑞理數 10⁴最大無因次垂直 方向速度會減小(1.5%左半側)。隨著空氣溫度之增加，其空氣之普朗特數會減少因 此不利於熱傳，但密度變化造成馬赫數增加之結果會改善紐塞爾數之減少，但在 瑞理數為10³時其傳導為主，流速加大有限，因此下降較明顯。

4.5 傾斜角度之影響

至於傾斜角度對自然對流之影響，分別採用0^o、30 ^o、60 ^o、90 ^o、120 ^o、150 ^o 與180 ^o七個角度進行，而加熱壁面之波數則以N=0、1、2、3 等四種造型分別討 論，圖4-8 與圖 4-9 分別顯示溫度與流線之分佈圖。當傾斜角為 0^o至60^o為上熱下 冷，因此浮力作用不強對流較弱，因此溫度邊界層皆較厚，90^o以上則對流明顯，

因此溫度邊界層皆較薄，孔穴中央形成等溫區，以瑞理數10⁵而言其中央處有兩個 自然對流之漩渦，但隨者傾斜角度增加會越來越靠近，且會縮小，當傾斜角度150^o

以上時，此兩個漩渦完全消失，但在180^o浮力作用最強時，其孔穴左上與右下角 落產生另外之反轉漩渦，此一反轉漩渦阻礙對流效應，因此減弱180^o下之傳熱。

至於波數之影響可以觀察到光滑熱壁之前段邊界層最薄，但隨著邊界層成長而變 厚，若採用一個波則熱璧之前段下陷因此熱傳量會減弱，但主迴流與波峰處之衝 擊會提高熱傳，但後段下陷之波谷又會減少後段之傳熱。若採用兩個波則邊界層 需通過三個谷與兩個峰，會較困難，但主迴流配合到正中央的第二個谷，因此熱 傳量因兩個波峰與中央波谷之協助，會改善熱傳現象。至於採用波數三個之造型，

則有四個波谷，其熱邊界層在最後一個波谷明顯增厚，因此需更高之瑞理數才有 優點。

圖4-10 則為局部紐塞爾數分佈圖，與溫度與流線分佈之現象一致，在接近每 個波峰前都有一個紐塞爾數高點，其衝擊位置越前段其紐塞爾數峰值越高，因此 波數為三之造型有最大之局部紐塞爾數，但其波谷之低點也是所有造型最弱之紐 塞爾數，採用光滑之造型其局部紐塞爾數之最大值與最小值之差異會最少。由於 熱邊界層厚度沿著壁面增加而減弱熱傳量，圖 4-10 中 N=0 顯示為光滑面，當 0^o 時單單只有熱傳導現象，而當角度為30^o、60^o與90^o，分別為43%、26%與 9%最 大紐塞爾數值不超過1，而當角度為 90^o時紐塞爾數在第一個壁面為（0%~28%），

當 120^o在第二部份壁面為（28%~54%），當 150^o第三部份壁面為（54%~96%）；

圖4-10（b）則顯示一個波動壁面，當角度為 90^o時最大紐塞爾數在第一部份發生 為（0%~28%），當 150^o時第二部份則發生在（28%~37%），當 180^o時第三部份則 發生為（37%~44%），角度為 120^o時在第四部份發生為（55%~98%），下游角落區 域局部紐塞爾數接近1 的位置；圖 4-10（c）則顯示兩個波動壁面，當角度為 90^o 時最大紐塞爾數在第一部份發生為（0%~22%），當 150^o 時第二部份則發生在

（22%~32%），當 90^o時第三部份則發生為（32%~43%），角度為 120^o時在第四部 份發生為（43%~88%），相同的在下游角落區域局部紐塞爾數接近 1 的位置；圖 4-10（d）則顯示三個波動壁面，當角度為 90^o時最大紐塞爾數在第一部份發生為

（0%~38%），當 150^o時第二部份則發生在（38%~51%），當 120^o時第三部份則發

生為（51%~87%），角度為 150^o時在第四部份發生為（87%~98%），下游角落區域 局部紐塞爾數減少到0.5 的位置。

圖4-11 則比對不同波數之平均紐塞爾數以及文獻中公佈之數據與公式計算結 果，其中Zhong [8] 所提出之公式在傾斜角度 150^o時實驗結果存在三維捲繞，因 此會有一局部最低點，但目前二維計算之結果並未考慮此一三維運動，所以自然 對之計算值可以較高。至於Adjlout [15] 預測之紐塞爾係數平均值皆比目前分析之 結果來得較小，且目前分析之結果波數之影響雖然在波峰處有加強但在波谷處又 減弱因此圖中所示平均值差異很小。表十則將不同波數與傾斜角度之關係做一數 據呈現，其數據顯示採用0^o、30^o與60^o等之傾斜角度，波數越多越好，其熱壁越 多比例越靠近冷壁面，因此傳熱可增加但是只有幾個百分比；至於傾斜角度為90^o 則以光滑壁最佳；若傾斜角度大於120^o時，則以兩個波之造型其平均紐塞爾數會 略佳，在所有幾何造型下，採用傾斜角度120^o以兩個波之設計其最大平均紐塞爾 數可達4.619。

4.6 波振幅之影響

解決波振幅的影響必須使用較多網格計算之，其網格數為（81×81）、（121×81）

與（161×81）而波振幅分別為 0.2、0.3 與 0.4。表十一為 N=2 時不同波型壁面振 幅之平均紐塞爾數比較，圖4-12（a）至（c）比對當傾斜角度分別為 60 ^o、90 ^o與 120 ^o之熱壁面上紐塞爾數值。不同波振幅與角度之紐塞爾數比對參考於表三，正 方型孔穴流中當波震幅為0.4，第一個值在最大紐塞爾數將從 6.65 增加到 13.54，

由圖 4-12（a）顯示紐塞爾數最小值在下游角落部份將從 0.38 減少至 0.0037；相 同的，圖4-12（b）顯示最大紐塞爾數從 7.74 增加到 15.05，最小紐塞爾數則從 0.73 減少至0.0056。此外，當傾斜角度為 120 ^o時，第一個在最大紐塞爾數從6.47 增加 到15.76 與最小紐塞爾數將從 1.01 減少至 0.0072。由此可知，圖 4-13 顯示紐塞爾 數對不同波振幅產生不同之結果。當傾斜角度為 60 ^o時能夠得到較大幅度之熱傳

遞，當角度為90 ^o使用平均紐塞爾數，波振幅則分別為0.1 與 0.2，當波振幅使用 至0.4 時平均紐塞爾數僅有 3.6%，當角度為 120 ^o，紐塞爾數平均數則會大幅增加，

但是，增加的幅度是有限的。例如：當波振幅為0.4 時傳遞率只改進 5.3%。

4.7 波型壁於不同溫差下之熱傳分析

如同 4.4 節之結果，不同溫差下對波型壁之自然對流問題，採用傾斜角度 120^o、波數N=2 與振幅 A=0.1 的情況進行探討，其計算之網格數為 81×81。其左 右側溫差加大其密度變化增加，同樣造成流線之不同分佈，於高溫區增速於低溫 區減速，但透過馬赫數之呈現如圖4-16 所示，低溫區因音速減小其馬赫數會增加 較多，相反高溫區增加較小少，當溫差由1℃增加至 100℃，其孔穴中央之最大馬 赫數會由 5.25x10^-5大至 2.47x10^-4。至於局部最大紐塞數如圖 4-17 所示，隨溫差 之影響會由9.2(1℃)、9.23(10℃)與 9.48(100℃)之放大結果。由溫差 1℃增加至 100℃

有 3%之增加，若以平均紐塞數於表十二所列，則溫差加大 100 倍只有 1.2%之增 益。

第五章 結論與未來工作

5.1 結論

本研究採用等向元素微分法，求解Navier-Stokes 統御方程式，針對左右垂直 壁面具有溫差而上下水平壁面為絕熱之自然對流問題，探討高低階微分處理對數 值精度之影響，接著探討正方形孔穴於不同傾斜角度下，具波形熱壁面時之自然 對流效應。可得到以下結論：

（1）透過文獻比對當瑞理數為 10³、10⁴、10⁵與10⁶時，其溫度與流線分佈相當一 致。

（2）當瑞理數為 10³、10⁴時，以高階微分可有效改善數值收斂精度，但在10⁵時 6 階微分相較 4 階微分也有改善其但效果不大，但是在中央迴流場之流線 解析上仍是較佳。

（3）採用不同溫差對正方型孔穴內對流會產生非對稱流場，冷壁側其密度較高，

因此流線較窄，熱壁側則流線變寬。

（4）波型壁之波數對局部紐塞爾數之分佈有明顯的影響，但是對平均紐塞爾數影 響很小。

（5）當振幅固定在 A=0.1，隨著傾角增加其平均紐塞數也隨之增加，最大熱傳量 發生在 120^o與文獻結果一致，採用三個波對傾斜角 0^o~60^o最好，至於傾斜 角90^o則光滑壁最佳，而傾斜角120^o以上則以兩個波最佳。

（6）針對波數為 2 在傾斜角度於 120^o時，採用越大的振幅其平均紐塞爾數也會隨 之增加，當波峰加大至0.4，其熱傳增益僅提昇 5%，若是傾斜角 60 ^o其傳導 效應較高則改善較明顯，反之傾斜角90 ^o其採用光滑壁較佳，所以較小之波 峰(<0.2)對熱傳量反而會減少，但當波峰加大至 0.3 以上則仍會提高其熱傳 量。

（7）至於波型壁冷邊溫差由 1℃增加至 100℃其平均紐塞爾數僅增加 1%。

5.2 未來工作

本論文完成初步自然對流探討，未來發展建議如下：

（1）高瑞理數下可以嘗試以人工黏滯方式處理。

（2）配合紊流模式進行混合對流之分析。

（3）高馬赫數流動下預置矩陣對時間積分之影響。

參考文獻

[1] De Vahl Davis, G., “Natural Convection of Air in a Square Cavity a Bench Mark Numerical Solution,” International Journal for Numerical Methods in Fluids, Vol.

3, 1983, pp. 249-164.

[2] Henkes, R. A. W. M. and Hoogendoorn, C. J., “Scaling of the Laminar Natural-convective Flow in a Heated Square Cavity,” International. Journal of Heat and Mass Transfer, Vol. 36, 1992, pp. 2913-2925.

[3] Markato, N. C. and Pericleous, K. A., “Laminar and Turbulent Natural Convection in an Enclosed Cavity,” International Journal of Heat and Mass Transfer, Vol. 27, 1983, pp. 755-772.

[4] Le Quere, P., “Accurate Solutions to the Square Thermally Driven Cavity at High Rayleigh Number,” Computers Fluids, Vol. 20, 1991, pp. 29-41.

[5] Dixit, H. N. and Babu, V., “Simulation of High Rayleigh Number Natural Convection in a Square Cavity Using the Lattice Boltzmann Method,”

International Journal of Heat and Mass Transfer, Vol. 49, 2006, pp. 727-739.

[6] Kao, P. H. and Yang, R. J., “Simulating Oscillatory Flows in Rayleigh-Benard Convection Using the Lattice Boltzmann Method,” International Journal of Heat and Mass Transfer, Vol. 50, 2007, pp. 3315-3328.

[7] Yao, L. S., “Natural Convection along a Vertical Wavy Surface,” Journal of Heat Transfer, Vol. 105, 1983, pp. 465-468.

[8] Zhong, Z. Y., Yang, K. T., Lloyd, J. R., “Variable Property Natural Convection in Titled Cavitis with Thermal Radiation,” in: R.W. Lewis and V.T. Morgan (Eds.), Numerical Methods in Heat Transfer, Vol. 3, Wiley, Chichester, 1985, pp. 195-214.

[9] Hamady, F. J., Lloyd, J. R., Yang, H. Q., Yang T. K., “Study of Local Natural

Convection Heat Transfer in an Inclined Enclosure,” International Journal of Heat and Mass Transfer, Vol. 32, 1989, pp. 1697-1708.

[10] Kuyper, R. A., Van Der Meer, Th. H., Hoogendoorn, C. J., Henkes, R. A. W. M.,

“Numerical Study of Laminar and Turbulent Natural Convection in an Inclined Aquare Cavity,” International Journal of Heat and Mass Transfer, Vol. 36, 1993, pp. 2899-2911.

[11] Cheng, C. Y., “Natural Convection Heat and Mass Transfer near a

Vertical Wavy Surface with Constant Wall Temperature and Concentration on a Porous Medium,” International Communications in Heat and Mass Transfer, Vol.

27, 2000, pp. 1143-1154.

[12] Kenjeres, S., Gunarjo, S. B., Hanjalic, K., “Natural Convection in an Air-Filled Cubical Cavity under Different Angles of Inclinations: a Benchmark Study,” in: G.

de Vahl Davis, E. Leonardi (eds.), Proceedings of the ICHMT, second International Symposium Advances in Computational Heat Transfer, Palm Cove, Queensland, Australia, Begell House Inc., New York, 2001, pp. 1357-1364.

[13] Wang, C. C., Cheng, C. K., “Transient Force and Free Convection along a Vertical Wavy Surface in Micropolar Fluids,” International Journal of Heat and Mass Transfer, Vol. 44, 2001, pp. 3241-3251.

[14] Mahmud, S., Das, P. K., Hyder, N., Islam, A. K. M. S., “Free Convection in an Enclosure with Vertical Wavy Walls,” International Journal of Heat and Mass Transfer, Vol. 41, 2002, pp. 440-446.

[15] Adjlout, L., Imine, O., Azzi, A., Belkadi, M., “Laminar Natural Convection in an Inclined Cavity with a Wavy-wall,” International Journal of Heat and Mass Transfer, Vol. 45, 2002, pp. 2141-2152.

[16] Das, P. K.,Mahmud, S., “Numerical Investigation of Natural Convection inside a Wavy Enclosure,” International Journal of Thermal Sciences, Vol. 42, 2003, pp.

397-406.

[17] Jang, J. H., Yan, W. M., “Mixed Convection Heat and Mass Transfer along a Vertical Wavy Surface,” International Journal of Heat and Mass Transfer, Vol. 47, 2004, pp. 419-428.

[18] Dalal, A., Das, M. K., “Laminar Natural Convection in an Inclined Complicated Cavity with Spatially Variable Wall Temperature,” International Journal of Heat and Mass Transfer, Vol. 48, 2005, pp. 2986-3007.

[19] Aounallah, M., Addad, Y., Benhamadouche, S., Imine, O., Adjlout, L., Laurence, D., “Numerical Investigation of Turbulent Natural Convection in an Inclined Square Cavity with a Hot Wavy Wall,” International Journal of Heat and Mass Transfer, Vol. 50, 2007, pp. 1683-1693.

[20] Dalal, A., Das, M. K., “Heatline Method for the Visualization of Natural Convection in a Complicated Cavity,” International Journal of Heat and Mass Transfer, Vol. 51, 2008, pp. 263-272.

[21] Choi, Y. H. and Merkle, C. L., “The Application of Preconditioning in Viscous Flows,” Journal of Computational Physics, Vol. 105, No. 2, 1993, pp. 207-223.

[22] Weiss, J. M. and Smith, W. A., “Preconditioning Applied to Variable and Constant Density Time-Accurate Flows on Unstructured Meshes,” AIAA Paper 94-2209, June 1994.

[23] Edwards, J. R. and Liou, M. S., “Low-Diffusion Flux-Splitting Methods for Flows at All Speeds,” AIAA Journal, Vol. 36, No. 9, 1998, pp. 1610-1617.

[24] Irons, B. M., “Engineering Applications of Numerical Integration in Stiffness Methods,” AIAA Journal, Vol. 4, No. 11, 1966, pp. 2035-2037.

表一 網格數在不同瑞理數下，最大紐塞數(Numax)

Ra 10³ 10⁴ 10⁵

Numax Ref.[1]

(y)

1.505 (0.092)

3.528 (0.143)

7.717 (0.081) Grid 41x41 1.507

(0.092)

3.547 (0.146)

7.760 (0.083) Grid 81x81 1.506

(0.089)

3.536 (0.145)

7.734 (0.082) Grid 161x161 1.506

(0.089)

3.532 (0.144)

7.727 (0.082)

表二 網格數在不同瑞理數下，孔穴內最大水平方向速度(Umax)

Ra 10³ 10⁴ 10⁵

Umax Ref.[1]

(y)

3.649 (0.813)

16.178 (0.823)

34.73 (0.855) Grid 41x41 3.651

(0.813)

16.203 (0.822)

34.943 (0.854) Grid 81x81 3.649

(0.813) 16.188

(0.823) 34.811 (0.855) Grid 161x161 3.649

(0.813)

16.185 (0.823)

34.794 (0.855)

表三 網格數在不同瑞理數下，孔穴內最大垂直方向速度(Vmax)

Ra 10³ 10⁴ 10⁵

Vmax Ref.[1]

(x)

3.697 (0.178)

19.617 (0.119)

68.59 (0.066) Grid 41x41 3.699

(0.169) 19.645

(0.129) 68.713 (0.062) Grid 81x81 3.696

(0.180) 19.624

(0.122) 68.596 (0.064) Grid 161x161 3.696

(0.180)

19.620 (0.117)

68.582 (0.067)

表四 階數在不同瑞理數下，最大紐塞數(Numax)

Ra 10³ 10⁴ 10⁵

Numax Ref.[1]

(y)

1.505 (0.092)

3.528 (0.143)

7.717 (0.081) 2nd order (41x41) 1.507

(0.092)

3.547 (0.146)

7.760 (0.083) 4th order (41x41) 1.506

(0.089)

3.536 (0.143)

7.741 (0.081) 6th order (41x41) 1.506

(0.089)

3.535 (0.143)

7.739 (0.081)

表五 階數在不同瑞理數下，孔穴內最大水平方向速度(Umax)

Ra 10³ 10⁴ 10⁵

Umax Ref.[1]

(y)

3.649 (0.813)

16.178 (0.823)

34.73 (0.855) 2nd order (41x41) 3.651

(0.813) 16.203 (0.822)

34.943 (0.854) 4th order (41x41) 3.649

(0.813)

16.189 (0.822)

34.812 (0.854) 6th order (41x41) 3.649

(0.813)

16.189 (0.822)

34.807 (0.854)

表六 階數在不同瑞理數下，孔穴內最大垂直方向速度(Vmax)

Ra 10³ 10⁴ 10⁵

Vmax Ref.[1]

(x)

3.697 (0.178)

19.617 (0.119)

68.59 (0.066) 2nd order (41x41) 3.699

(0.169)

19.645 (0.129)

68.713 (0.062) 4th order (41x41) 3.697

(0.169) 19.612

(0.129) 68.716 (0.062) 6th order (41x41) 3.697

(0.169) 19.611

(0.129) 68.720 (0.062)

表七 溫差在不同瑞理數下，最大紐塞數(Numax)

Ra 10³ 10⁴ 10⁵

Numax Ref.[1]

(y)

1.505 (0.092)

3.528 (0.143)

7.717 (0.081) ΔT=1K

(41x41)

1.507

(0.092) 3.547

(0.146) 7.760 (0.083) ΔT=10K

(41x41)

1.504 (0.090)

3.552 (0.145)

7.763 (0.081) ΔT=100K

(41x41)

1.463 (0.070)

3.593 (0.138)

7.972 (0.081)

表八 溫差在不同瑞理數下，孔穴內最大水平方向速度(Umax)

Ra 10³ 10⁴ 10⁵

Umax Ref.[1]

(y)

3.649 (0.813)

16.178 (0.823)

34.73 (0.855) ΔT=1K

(41x41)

3.651 (0.813)

16.203 (0.822)

34.943 (0.854) ΔT=10K

(41x41)

3.649

(0.812) 16.229

(0.822) 35.088 (0.854) ΔT=100K

(41x41)

3.627 (0.804)

16.376 (0.812)

37.514 (0.851)

表九 溫差在不同瑞理數下，孔穴內最大垂直方向速度(Vmax)

Ra 10³ 10⁴ 10⁵

Vmax Ref.[1]

(x) 3.697

(0.178) 19.617

(0.119) 68.59 (0.066) ΔT=1K

(41x41)

3.699 (0.169)

19.645 (0.129)

68.713 (0.062) ΔT=10K

(41x41)

3.686 (0.194)

19.621 (0.129)

68.791 (0.062) ΔT=100K

(41x41)

3.584 (0.220)

19.349 (0.129)

69.074 (0.078)

表十 不同角度紐賽爾之平均數值（A=0.1，ΔT=1^OC，Re=10⁵）

N 0 1 2 3

0^o 1.000 1.063 1.069 1.075

30^o 1.381 1.455 1.481 1.496

60^o 3.034 3.088 3.113 3.133

90^o 4.520 4.474 4.494 4.477

120^o 4.613 4.596 4.619 4.596

150^o 4.427 4.390 4.467 4.413

180^o 3.896 3.893 4.013 3.936

表十一 紐塞爾平均數值在不同波型壁面的振幅（N=2，Re=10⁵）

A 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 60^o 3.034 3.113 3.267 3.464 3.686 90^o 4.520 4.494 4.519 4.588 4.681 120^o 4.613 4.619 4.664 4.751 4.859

表十二 平均紐塞數在不同溫差之影響(A=0.1, φ=120^o, N=2）

ΔT 1^oC 10^oC 100^oC

φ=120^o 4.619 4.623 4.669

圖 2-1 正方形孔穴計算格點與傾斜角度示意圖(81 x 81)

A

φ T

T

圖4-1 採用不同預置矩陣之係數對收斂之影響(Ra=10³)

圖4-2 溫度分佈圖 161x161(上:Ra=10³，中:Ra=10⁴，下:Ra=10⁵)

圖4-3 流線分佈圖 161x161 (上:Ra=10³，中:Ra=10⁴，下:Ra =10⁵)

圖4-4 不同網格數對 Nu 分佈之影響(上:Ra=10³，中:Ra=10⁴，下:Ra=10⁵)

圖4-5 不同計算階數對 Nu 分佈之影響(上:Ra=10³，中:Ra=10⁴，下:Ra=10⁵)

圖4-6 左右壁面溫差對溫度分佈之影響(Y=0.5，上:Ra=10³，中:Ra=10⁴， 下:Ra=10⁵)

圖4-7 左右壁面溫差對馬赫數分佈之影響(Y=0.5，上:Ra=10³，中:Ra=10⁴， 下:Ra=10⁵)

圖 4-8(a) 溫度分佈圖（N=0，Ra=10⁵） 0o

φ= φ =30^o φ =60^o φ =90^o

120o

φ = φ =150^o φ =180^o

圖 4-8(b) 溫度分佈圖（N=1，Ra =10⁵） 0o

φ = φ =30^o φ =60^o φ =90^o

150o

φ = 120o

φ = φ =180^o

圖 4-8(c) 溫度分佈圖（N=2，Ra=10⁵）

φ=30 φ=60

φ=120^{o φ=150}

o

30o

φ = 0o

φ = φ=60^o φ =90^o

120o

φ = φ^=150o φ=180^o

圖 4-8(d) 溫度分佈圖（N=3，Ra =10⁵） 120o

φ = 0o

φ = φ =30^o φ =60^o φ =90^o

150o

φ = φ ₌₁₈₀^o

圖 4-9(a) 流線分佈圖（N=0，Ra=10⁵） 120o

φ = 0o

φ = φ =30^o φ =60^o φ =90^o

150o

φ = φ =180^o

圖 4-9(b) 流線分佈圖（N=1，Ra =10⁵） 120o

φ = φ =150^o φ =180^o

0o

φ= φ =30^o φ ^=60o φ =90^o

0o

φ=

圖 4-9(c) 流線分佈圖（N=2，Ra=10⁵） φ=30

φ=150^o

φ=60

φ=120

30o

φ = φ =60^o φ =90^o

120o

φ = φ ^=150o φ =180^o

圖 4-9(d) 流線分佈圖（N=3，Ra =10⁵） 0o

φ = φ ₌₃₀^o φ =60^o φ =90^o

120o

φ = φ =150^o φ =180^o

(a) N=0 (b) N=1

(c) N=2 (d) N=3

圖 4-10 波型壁面之局部紐塞爾分佈

Arc Length NuL

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

0 1 2 3 4 5 6 7

8 0^o

30^o 60^o 90^o 120^o 150^o 180^o

Arc Length NuL

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

0 1 2 3 4 5 6 7

8 0^o

30^o 60^o 90^o 120^o 150^o 180^o

Arc Length NuL

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

0^o 30^o 60^o 90^o 120^o 150^o 180^o

Arc Length NuL

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0^o 30^o 60^o 90^o 120^o 150^o 180^o

圖 4-11 平均紐塞爾數隨傾斜角度之變化

meanNusseltnumber

0 30 60 90 120 150 180

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5

n=0 n=1 n=2 n=3 Zhong [2]

Adjlout [9]

φ

Zhong [8]

Adjlout [15] n=1

圖 4-12(a) 波型壁面溫度分佈圖（N=2，φ =60^o） 3

.

=0 A

0 .

=0

A A=0.1 A=0.2

4 .

=0 A

圖 4-12(b) 波型壁面溫度分佈圖（N=2，φ =90^o） 3

.

=0 A

0 .

=0 A

4 .

= 0 A

1 .

=0

A A=0.2

圖 4-12(c) 波型壁面溫度分佈圖（N=2，φ =120^o） 3

.

=0 A

0 .

=0 A

4 .

=0 A

1 .

=0

A A=0.2

圖 4-13(a) 波型壁面流線分佈圖（N=2，φ =60^o） 3

.

=0 A

0 .

=0

A A=0.1

4 .

=0 A

2 .

=0 A

圖 4-13(b) 波型壁面流線分佈圖（N=2，φ =90^o） 3

.

=0 A

0 .

=0 A

4 .

=0 A

1 .

=0

A A=0.2

圖 4-13(c) 波型壁面流線分佈圖（N=2，φ =120^o） 3

.

=0 A

0 .

=0

A A=0.1 A=0.2

4 .

=0 A