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碩士論文 國立中山大學教育研究所

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國立中山大學教育研究所 碩士論文

國小五年級分數擬題教學之研究—以台東縣原住民學童為例

研究生:李正如 撰 指導教授:梁淑坤 博士

中華民國 九十六 年 七 月

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謝 誌

火車的汽笛聲,載著我啟航也載著我抵達終點,這一趟西子灣之 旅,足足有三年的時間。出門時,閃過窗外的是一幕幕山巒疊翠和湛海 藍天;歸家時,偌大的窗格映入的則是抹黑的天幕,偶遇滿天星斗皎月 高掛,更常的時候是一處處的萬家燈火和夜深人靜。雖然過程辛苦,代 價卻是值得。

論文的完成,最感謝的人就是指導教授梁淑坤老師,沒有梁老師的 接納、指導與督促,這篇論文不可能在短時間完成。在進修期間共修了 梁老師四門課,立論精闢,堂堂精采,收穫良多;更令人感佩的是梁老 師對學生的關心和鼓勵,源源不絕;其治學的態度和方法,一絲不茍。

也要特別感謝洪瑞兒教授和溫武男教授在學位考試當中,給予學生的指 導與建議,讓我的論文更臻於完善。

在修業期間承蒙吳寶桂教授、楊淑晴教授、鄭進丁教授在課業上的 指導。另外,謝謝家杰學長在這段時間不辭辛勞的幫我審視論文初稿,

給我許多建設性的意見,讓我省卻了可能會遇到的瓶頸;而賢忠對我無 私的提攜和協助,也讓我銘感在心;也謝謝台東縣介達國小的老師們、

台東大學實習老師相文以及五年甲班活潑可愛的孩子們對我的支持、幫忙 和配合,使我的論文能夠順利完成。

最後,感謝家人支持與鼓勵,讓我能無後顧之憂,專注在課業上;

謝謝內人怡欣的付出與包容,讓我能堅持到底全心投入。行筆至此,謹 以此書獻給所有關心我、愛護我的人,謝謝你們!

李正如

中華民國九十六年七月

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國小五年級分數擬題教學之研究—以台東縣原住民學童為例 摘要

本研究以台東縣原住民學童國小五年級學童為對象,以分數單元 作為擬題教學選取之教材,經過預試資料的分析後,將擬題教學融入 於數學領域課程中,探討原住民學童在擬題教學中分數概念的學習的 表現,並瞭解其在擬題學習的過程對數學的學習態度與對擬題教學的 接受程度。

研究者運用擬題活動單、教師擬題教學札記、學生數學筆記、數 學態度檢核表、擬題教學回饋單、單元測驗卷以及單元學後檢測卷等 相關資料的蒐集進行分析。

研究結果顯示,學生在分數單元的擬題表現和解題能力都有明顯 的進步。更發現學生在學習態度的轉變,學習興趣增加了,自信心也 多過以往。而且教學工作者能將整個教學歷程中的省思結果,作為日 後數學教學的經驗。

關鍵詞:分數、擬題教學、原住民學童

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A study on fraction problem-posing instruction of grade five elementary school children: Case of aboriginal children in Taitung

Abstract

The purpose of this study is to investigate the implementation of problem-posing instruction on fraction to one fifth-grade elementary school students of aboriginal children in Taitung. Then through a pilot test and integrating modified problem-posing instruction in mathematics teaching, so as to investigate the performance and learning attitude of students and to analyze the acceptability in the problem-posing teaching processes.

The researcher collected data by using: own constructed fraction problems question sheet, worksheet on problem-posing, worksheet on problem-solving, the teacher’s math notes on instruction, children’s diaries, students’ feedback surveys and post-tests of

mathematical-solving ability. And then the researcher analyzed the categories of students’ work and the contents of problems-posing that students created as well as problem-solving ability.

Results indicated that the children made progress in problem-posing performance and ability of problem-solving and behaved positively on learning attitude. From this study, the researcher found that the majority of the students participated in this study interesting in this teaching technique, and students gained confidence in posing and solving mathematical problems. And the teacher can reflect upon practice on problem-posing instruction through action research. The above results yielded instructional implications for teachers who consider integrating problem-posing teaching into mathematics instruction for elementary school children of aboriginal children in Taitung in future.

Keywords:

Fraction, Problem-posing instruction, Aboriginal children

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國小五年級分數擬題教學之研究—以台東縣原住民學 童為例

第一章 緒論

處於高度文明化的世界中,數學知識及數學能力,已逐漸成為日 常生活及職場裡應具備的基本能力(教育部,2003)。在我國國民中 小學九年一貫課程暫行綱要中,數學學習領域課程目標的說明提到

「數學學習活動應讓所有學生都能積極參與討論,激盪各種想法,激 發創造力,明確表達想法,強化合理判斷的思維與理性溝通的能力,

期在社會互動的過程中建立數學知識(教育部,2002)。」而美國國 家研究委員會在美國數學教育的未來Everybody Counts白皮書中亦指 出:「數學對學生而言是一種關鍵的機會,數學不再只是一種科學的 語言,現在的數學則是直接的對商業、財經、健康、防禦等方面有了 基本的貢獻,對學生而言,數學開啟了通往職業的一扇門(National Research Council﹝NRC﹞, 1989)。

因此,把每一位學生都帶上來,是九年一貫及國家教育政策既有 的理念。尤其在數學教育裡,強調每個學生都有權利要求受到良好的 數學訓練,並充分認識重要的數學概念及提昇數學能力。而教育現場 能提供學生做有意義及有效率學習的機會,使學生能學好重要的核心 數學題材,因為這些重要的數學概念和精熟的演算能力,是九年一貫

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所強調「帶著走」的能力(教育部,2003)。

第一節 研究背景與動機

根據教育部82年所修正發布的「國民小學數學課程標準」中教材 內容所作的分析,「數與計算」的教材內容分成整數、分數、小數三 部分,且其所佔之比例較其他教材為重,而在「數與計算」課程中,

分數思考能力是問題解決能力的重要部分(Armstrong & Larson, 1995)。然而,分數概念的學習,相對於兒童而言卻是最困難的部分

(Southwell, 1985;張憲庭,2004),近年來,國內外許多有關分數 教學研究(e.g., 呂玉琴,1991;林福來、黃敏晃,1993;楊清德,

2000;張憲庭,2004;Cramer, Post & delMas, 2002;Kerslake, 1986;

Reys & Yang, 1998)結果顯示,學童可以機械式地操弄分數的計算,

但往往是霧裡看花「知其然,而不知其所以然(張憲庭,2004)。」

換句話說,學生可以經過「複製」教師的數學運算規則,在機械式的 訓練後熟練數學算式,卻不能理解算式背後的真正意義(李秋華,

1997;黃芳玉,2002;黃月平,2004;Kerslake, 1986)。因此,在分 數的數學問題上,學生呈現的是記憶或機械式訓練後的能力高估,導 致學校課堂中分數解題的評量中,往往評量學生計算能力多於評量其 理解能力,尤其是分數的乘除部分,學生可以輕鬆快速計算出答案,

卻難以理解算式背後之意義(黃月平,2004)。

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為了誘使學生理解分數的真正意義,研究者幾經考慮之後,決定 運用數學擬題(problem posing)的教學方式,亦即由其主動地於建 構的過程中去學習數學。而提供學生在課堂中擬題的機會,便是一項 被推薦的教學方式(梁淑坤,1994;Kilpatrick, 1987;Krulik & Rudnick, 1993;Silver & Cai, 1993)。國內學者梁淑坤(1994)建議在數學 領域的教學中應讓學生擬出他們自己的問題,透過學生自己擬題的活 動,讓他們嘗試當老師的滋味,滿足他們內心角色扮演的虛榮,瞭解 以同理心對待每一個人不同的本分工作,這種擬題的活動方式可以提 供學生討論、互動、思考和想像的機會,不但能夠提昇學生的創造能 力,進而更可以培養團體合作,以及溝通、表達的能力。另外,過去 研究發現相對於教科書中或是教師所出的題目,學生們解答自己所擬 的題目的動機比較強烈,而且問題如果是由解題者所擬出來,解題的 動機就會提高(梁淑坤,1994;Brown & Walter, 1993)。除了增進 解題動機,擬題是主動的學習活動,如 Von Glasersfeld(1995)認為 知識不是被動的接受,而是經由感官或溝通等方式,由認識的個體主 動的建立。換言之,增加了擬題活動,就能增加學習的主動性。除此 之外,數學教師應由過去「教師布題」—「教師解題」—「學生模仿」

的教學模式改變為「教師布題」—「學生解題」—「學生擬題」—「發 表與討論」—「學生解題」的教學模式。因此,只要以兒童的觀點為

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出發點,讓學童主動參與整個教學活動,這樣的教學活動氛圍,兒童 才會摒除外在的干擾投入學習活動,如此「學習」才會循序漸進產生,

「學習」的成效便能立竿見影。

研究者在原住民學校服務已有十二年,長期觀察發現原住民學生 的學業成就普遍低落,尤其在數學、科學方面,與平地學生存在著顯 著差異,而且這種差異有日益擴大的趨勢。縱使透過多方面的努力,

包括營造適合學習的環境讓原住民學童有學習的動機;積極提升教師 的專業能力使能幫助原住民學生的學習;政府更是積極投入人力、物 力與財力使得原住民生活品質普遍獲得改善。但是,有形和無形的資 源投入似乎只有少數的原住民學童受惠,絕大多數的原住民學童的學 業成就還得加強、補救。

目前研究者服務的學校已實施好幾年教育優先區(educational priority area,簡稱 EPA)「課後輔導」的補救教學,每週增加了四節上 課節數,主要的補強課程為語文和數學,上課的時間分別在每星期的 一、二、四、五的第八堂課。雖然數學的上課節數由原來的四節增加 為六節,而令人遺憾的是所增加的兩節數學課,囿於僵化的規定,將

「課後輔導」上課時間限制於第八節課,通常這時候學生已身心俱 疲,根本無心上課,遑論能從課堂上獲得數學知識。然而,政府良善 的政策,卻因為不瞭解學習心理的本質,抹滅了能夠提升原住民學童

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學業成就的機會,非常可惜。因此,研究者認為原住民學生的學業成 就的提升,不能一味地以僵化的思維模式去執行政策,必須讓第一線 工作者能因地制宜,才能事半而功倍,得到最好的成效。

基於上述研究者個人教學的實務經驗和對原住民學童的期許,因 而產生將分數和擬題教學相結合的研究動機,俾使學生熟悉問題的情 境,形成自己的數學問題,並解決數學問題,更可以透過全班討論的 方式進行,彼此分享擬題的成果和解題的技巧,增加分數學習的成效。

第二節 研究目的

根據前一節所述的研究動機,茲將本研究之目的臚列如下:

1、探討分數擬題教學過程中原住民學童對分數概念的學習成效。

2、瞭解分數擬題教學過程中原住民學童的學習態度。

3、探討分數擬題教學過程中原住民學童的接受程度。

4、瞭解在原住民學童分數擬題教學後研究者的教學省思。

第三節 研究問題

根據研究動機與目的,本研究的待答問題如下:

1-1、原住民學童擬題活動單的擬題內容和解題表現為何?

1-2、原住民學童在「分數乘除以整數」單元測驗的表現為何?

1-3、原住民學童在「異分母分數的加減」單元學後檢測的表現為何?

2、分數擬題教學過程中原住民學童的學習態度為何?

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3、分數擬題教學過程中原住民學童的接受程度為何?

4、在原住民學童分數擬題教學後研究者的教學省思為何?

第四節 名詞釋義

本節主要的目的,是透過對論文題目:「國小五年級分數擬題教 學之研究—以台東縣原住民學童為例」中的關鍵名詞之解釋,來界定 研究範圍。

一、擬題(problem posing):

梁淑坤(1994)對擬題所下的定義是:「自己想出一個數學題目 來」。本研究指的擬題是學生按照老師所給的已知條件,想出一個符 合情境的題目。

二、擬題教學(problem-posing instruction):

日本教師坪田耕三(1987)指出,老師先向學生提出一個問題,

學生解完問題之後,老師再請同學想出其他問題來,學生可以用剛才 解過的數學問題為基礎,再擬出題目來,像這樣的活動就是擬題教 學。本研究中所指的擬題教學,由教師根據康軒文教事業國小數學第 十冊數學課本的「分數」單元,設計格式簡單易懂的擬題單,依據教 師設定的素材、條件和情境,由學生進行擬題活動。在過程中,學生 自行構思,不進行分組討論,填寫完擬題單後,讓學生自行解題。接 下來由學生將自己擬定的題目個別發表,以公開討論的方式對話,若

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有模糊地帶或不足之處,可做適當的修正,再發表一次,直到獲得大 家的肯定為止。

三、數學學習態度(mathematics attitudes):

本研究中所指的數學學習態度,係參考曹宗萍、周文宗(1998)

之「國小數學態度量表編製之研究」編製數學學習態度問卷,內容包 括六大面向:(一)對數學學習的信心、(二)數學有用性、(三)

對數學的探究動機、(四)對數學成功的態度、(五)重要他人的態 度及(六)數學焦慮等。而本研究將依擬題教學之需要,採用 6 個向 度編製問卷,探求學生對數學的態度。

四、原住民學童(aboriginal children):

指就讀於台東縣金峰鄉介達國民小學的原住民兒童,計分排灣、

魯凱、阿美、卑南、布農及雅美等六大族群,其中排灣、魯凱約占98

%強。研究樣本只抽取就讀該鄉國小五年級之學生。

第五節 研究限制

1. 本研究是針對台東縣金峰鄉介達國民小學的原住民學童,因此,

這種研究對象的選取方式產生了侷限性。使得本研究的結論不易 類推到其他原住民地區的原住民學童。

2. 本研究的內容僅涵蓋五年級「分數」單元,並未包括數學的全部 概念,所獲得的結果僅可提供教師分數擬題教學參考。

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第二章 文獻探討

本章內容共分成三節,第一節瞭解分數概念之本質;第二節敘述 國小五年級「分數」課程的學習歷程概略;第三節探討數學擬題的意 涵和其相關研究。

第一節 分數概念之本質

Skemp(1971)認為:「概念是過去經驗共通不變性的智慧性表 現。概念的形成過程,一般稱為抽象化(abstracting)。很多數學概念,

首先來自我們實際經驗所抽象化形成的初級概念(primary concept),

再根據這些初級概念繼續抽象形成次級概念(secondary concept),往 往還需要再幾次的抽象才形成。這些一再抽象化形成的數學概念具有 高度的濃縮性,也因為這特性使得數學學習更加困難。」對國小學生 而言,分數的概念要比整數的概念困難許多(張子貴,1994),雖然 多數的學生在經過教師們的指導後都能處理分數的四則運算,但是其 中卻有不少學生並未真正了解分數的概念及四則運算的意義(罕驕 蘭,2005)。所以,數學概念學習一直是數學教育關係的重要議題,

然而研究指出國小許多數學概念領域的學習結果,尤其是分數的概念 令人感到不滿意,更是令許多學生感到沮喪的(陳和貴,2001)。

以下將此章節分別就「分數的意義」、「兒童分數概念及其發展」、

「兒童分數常見的迷思概念」三部分進行說明。

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壹、分數的意義

分數(faction)一詞起源於拉丁字「frangere」是「打破、破裂」

的意思(Frobisher, Monaghan, Orton, Orton, Roper, Threlfall, 2002;張 平東,2002)。Streefland(1991)認為分數是面臨「分」的情境。國 內學者呂玉琴(1991b)認為分數概念起源於「分」,是用來解決不滿 一個單位量的量,其數值的問題。更進一步說,分數原來是用在解決 確定不滿一個單位量的量底數值的問題。透過將原單位量加以等分割 得到的單位分量的重複,因而得到與被測量等價的量,以分割的份數 和重複的次數的並置作為被測量量的指標。此指標所帶的單位是原單 位量的單位,而被測量的量則是單位分量的倍數(甯自強,1995)。

分數具有多重的意義,在使用上又依情境的不同而有不同的用法和解 釋(Corwin, Russell, & Tierney, 1990),國內外學者對分數表示的意義 有下列不同的主張:

一、國外學者主張:

Kieren對分數的解釋為(引自柯藍婷,2003):

(一)部份-整體(part-whole);

(二)比率(ratio);

(三)商(quotient);

(四)倍數運算(multiplicative operator)。

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Dickson, Brown和Gibson提出分數的五個意義(引自罕驕蘭,

2005):

(一)整各區域的子區域(部分-整體)(a sub-area of a defined whole region);

(二)子集合和全體集合間的比較(集合-子集合)(a comparison between a subset of a set of discrete objects and the whole set);

(三)在兩個整數間的數線上的一點(a point on a number line which lies at an intermediate point between two whole numbers);

(四)除法運算的結果(The result of a division operation);

(五)兩個集合或兩個測量物的大小比較(a way of comparing the sizes of two sets of objects or two measurements)。

L.R.Booth提出分數的四種意義(引自周筱亭,1986):

(一)把一個整體等分後的幾部分;

(二)把一個集合等分後的幾組;

(三)數線上的數值;

(四)兩數相除的結果。

M.L.Mahaffy提出分數的三中不同的意義是(引自周筱亭,1988):

(一)分數在幾何中的意義-以面積為主;

(二)分數在集合中的意義-分離量;

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(三)分數在長度中的意義-以古氏積木為主。

Behr and Post(1988)提出對分數的解釋:

(一)部份-全部(part-whole);

(二)比率(ratio);

(三)比值(rate);

(四)商(quotient);

(五)操作(operate);

(六)線性座標(liner coordinate);

(七)數線上的一點。

二、國內學者主張:

楊壬孝(1988)對分數的解釋為:

(一)一個整體之相等的部份;

(二)一個集合等分組合後的幾組;

(三)數線上的一個數值;

(四)兩數相除的結果。

林碧珍(1990)也提出對分數的解釋為:

(一)全部區域的部份區域以連續量(長度、面積、容積)為主-

部份-整體模式;

(二)集合中的部份集合-子集合-集合模式;

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(三)數線上的一數值-數線模式;

(四)兩個整數相除的結果-商模式;

(五)二集合或二個度量相比的結果-比值模式。

呂玉琴(1996)認為國小階段的分數教材,應涵蓋五種不同的概 念,包括:

(一)部分與全體;

(二)子集合和全體集合間的比較;

(三)兩數相除的結果;

(四)數線上的一點;

(五)比值。

楊瑞智分析國小數學課程教材中,因分數問題情境的不同,提出 現行教材的分數概念具有十種意義(引自罕驕蘭,2005):

(一)部分/全部(連續量);

(二)子集合/集合(離散量);

(三)乘法運算元;

(四)等值分數;

(五)整數除法的結果;

(六)分數是一個數/數線上的一個點;

(七)平均(含速率、密度);

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(八)當量;

(九)比例尺中的比/比例尺/比值/比較量÷基準量;

(十)機率。

教育部(2000)國立編譯館依據82年課程標準所編的國小數學科 教學指引也有如下的說明:當使用分數數詞(字)來描述有理數時(以 3

4 為例),至少可以從下列六種角度,來討論分數數詞(字)的意義:

(一)部分與全體的比較:全體為4時,3是4的部分;

(二)除法的活動:3除以4活動的另一種記法;

(三)運算元:對於物件1,進行一個運作,將1等分割成4分,

再取出其中的3分;

(四)小數的另一種記法;

(五)比的意義:表示兩數量的相對關係(3:4);

(六)測量:用來測量一個不滿一個單位量的量的數值問題,或 是對兩量的對等關係進行數值化(比值)。

教育部(2003)在國民中小學九年一貫課程綱要中將「有理數」

的課程視為一個最有挑戰性的教學主題,因為有理數教學的困難在於 牽涉到兩種不同的表現形式-分數與小數。換句話說,在有理數的教 學中,必須要釐清、練習並連結下述四種意涵,最後歸結成日後數學 學習中,有理數最核心的意函-「除的意涵」(教育部,2003)。

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(一)平分的意涵:學生在低年級認識人我分際之後,就會發展出強 烈的公平感,因此從平分入手學習分數,是一條比較容易的途 徑,也比較容易化解分數學習中常見的認知衝突。

(二)測量的意涵:長度測量是低年級就發展的數學課程,在以個別 單位度量長度,為了解決剩下部分的「餘數」約定時,就能同 時發展小數與分數兩種課題。由於單位的強調,測量是調和「部 分/全體」的意涵與帶分數認知衝突中的重要工具。

(三)比例的意涵:比的原理,是一種微妙的平分方式,因此學生比 較容易接受。即使學生尚未學習比例式,透過比的方式,仍然 可以協助學生解題。最後再透過比值的引入,一貫地解決比例 的問題。

(四)部分/全體的意涵:部分/全體雖然是分數的重要意義之一,但 是由於概念較為抽象,而且真分數的暗示過深(全體為1),可 能造成假分數或帶分數學習上的困擾,必須透過單位的強調來 解決其認知衝突。

總而言之,「分數」的意義有多種解釋,表達的方式也呈現多樣 化。以情境區分,可分成離散量情境(子集合/集合)、連續量情境(部 分/全部);也可視為是數線上的一點(一個值);也是兩數相除的結 果;在應用上,可視做是「比」、「比值」、「運算元」、「當量」、「機率」

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等(罕驕蘭,2005)。所以,分數是一個既多元且複雜的數學概念,

學生在學習分數概念時因而更加困難。

貳、兒童分數概念及其發展

長久以來,分數課程一直受到學者與教師們的討論和重視,分數 的學習對中、高年級學生而言,是最為困難的工作之一,學生在解題 時,經常逃避使用分數(林碧珍,1990)。1983 年美國全國教育發展 評估( The National Assessment of education Progress,簡稱NAEP)

報告顯示,13歲學生缺乏對於分數的理解,學生的低成就似乎是由於 並不瞭解分數的意義,只會以機械式記憶規則完成計算而造成(林碧 珍,1990);Kerslake發現英國十三、四歲學生依靠以前學得的死背方 法來運算分數(黃月平,2004);李秋華以台南市國小六年級學童為 對象,發現六年級學童大部分能熟練利用「分數的乘法公式」計算,

卻無法理解分數乘法的真正意義(黃月平,2004)。雖然課程結構與 教材教法已隨著教育改革與時俱進,無奈大部分的學習者在分數的學 習過程中,還是以教師反覆演示與機械式的演算方式進行計算,學生 不能徹底瞭解分數的實際意義。因此,如何增進學生的分數概念以及 提昇教師教學技巧乃成為許多研究者探討的方向。

瑞士心理學家皮亞傑(J.Piaget, 1960)研究指出學童的認知發展 是漸進的。楊壬孝(1988)在國中、國小學生分數概念的發展研究中

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指出,由學生對分數概念層次分布的比率得知,學生對分數概念的認 知,隨著年齡的增加而層次提高。Southwell(1984)發現學生對不同類 型的分數試題的成就的增長速度受年齡的影響。Piaget、Inhelder和 Szeminska(1960)提出兒童的分數概念發展過程:

(一)四歲到四歲半的兒童,對於把一物分為兩半感到困難,在分割 之前沒有預想的計畫或基模(skema)。關於不同形狀之分割,

長方形比較容易,圓形次之,正方形較難。這種階段的最大特 徵是缺少部分與整體之間任何的關係,兒童不會注意到他所接 觸的部分是某個比較大的全體之中所含的元素。

(二)四歲到六歲的兒童對於規則的、小範圍的東西有分半的能力,

但如果原來整體的大小增大了,其分成一半的能力便要延緩。

將物體分成相等三部分的能力尚未表現,在分割圖形中利用長 方形的餅比較容易解決。

(三)六歲到七歲能成功的實施三等分的分法,不用試誤的方法,但 其對操作的了解,還是在具體的操作層次。在這個階段的兒童 具有整體性的保留概念,兒童了解到將各個塊數合起來的總量 與整個餅是一樣的。

(四)十歲左右兒童能實施六等分的分法,首先用三分法分一個餅,

然後將所得的三塊餅再用二分法。

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此外,Piaget、Inhelder和Szeminska(1960)研究發現兒童在瞭解 分數運算之前必須具有下列七個子概念:

(一)除非有一種可除盡的全體,不然就沒有分數的思考;

(二)一個分數包含各部分的限定數(determinent),分配東西時,

各部分必須與接受者相對應;

(三)子分割活動中,整體必須被耗盡(exhaustive),沒有餘數;

(四)整體被分割成各部分的數與切割數間,有一個固定的關係;

(五)算術表示的分數寓意所分割的每一份都相等;

(六)當兒童操作再細分的部分概念時,了解細分的部分是整體 的一部分,同時此細分的部分本身也是一個可再分割的整 體,這是子分割(subdivision),它是一種運思,除了本身 代表一個並置的分數之外,亦隱含著另一層的巢狀關係;

(七)因為分數是從整體而來,其整體始終不變。換言之,子分 割後的部分總和等於原來全體,即必須具保留概念。

Hiebert和Tonnessen(1978)研究兒童分數概念的發展時,以九位5 歲4個月到8足歲的兒童為對象,發現兒童使用的是連續量(包括長度 和面積)其分數概念的發展模式與Piaget et al.(1960)的七個子概念相 符:

(一)能以一對一的方式處理「子集合-集合模式」的問題比「部

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份-整體模式」的問題容易;

(二)對面積概念模式的分數發展次序為 1 2 、1

4 、1 3 、1

5 、1 6 , 與Piaget et al.(1960)的發現次序相同;

(三)對長度概念模式的分數發展次序為 1 2 、1

3 、1 4 、1

5 ,與 Pinget et al.(1960)的發現次序 1

2 、1 4 、1

3 、1 5 、1

6 不相同。

Hart(1981)也研究12到15歲的學生分數概念發展有下列現象:

(一)學生無法連結放在應用題與計算題上的同一種分數概念。

(二)不認為分數是數。

(三)圖形雖然能幫助學生了解某方面的分數概念,但會對別的 方面的分數概念造成困擾。

(四)對等值分數不熟悉。

(五)雖然能處理簡單的等價分數,但卻無法將以圖表示的等價 分數與計算的等價分數相連結。

(六)不能將部份-整體的意義遷移到分數是二數相除的結果和 子集-集合的意義上。

參、兒童分數常見的迷思概念

兒童在學習階段若存有錯誤的想法或觀念,如未能設法糾正,將 會干擾學生後繼的學習,進而影響其學業成就(陳和貴,2002)。故 而,學生在學習分數概念時,易產生一些迷思概念,而這些迷思概念

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可能會在之後學生進行分數的運算時產生困擾(罕驕蘭,2005)。

事實上,分數在國小二年級下學期以後的數學課程便如影隨形地 跟隨著每一位學生,儘管它在實際生活情境中並不常出現,但是卻是 數學領域中很重要的一個數學主題(黃志敘,2005)。然而分數概念 的學習與應用,卻是國小數學課程中最困難的部份(Southwell, 1985;

黃志敘,2005)。研究指出學生學習分數時大抵依賴課室中老師所傳 授的演算法則解決問題,只是機械性地操弄符號,而非真正地具備分 數概念的理解(林福來、黃敏晃,1993;Markovits & Sowder, 1994;

Yang & Reys, 2001)。

因此,根據國內外相關研究,為提供教師適當的教學策略,以下 就學童在學習分數時常見的迷思概念作如下的整理:

一、「部分-全體(part-whole)」的迷思

許多學生不瞭解分數的意義,在處理分數問題時會將 a

b 視為是 由兩個整數組成,將分數視為兩個獨立的個體,未能將分數視為一個 數(黃志敘,2005;Behr, Wachsmuth, Post & Lesh, 1984; Cramer, Post

& delMas, 2002; Kerslake, 1986)。而且,兒童過於依賴連續量的「部 分-整體」模式,反而抑制了他們將分數視為一個數,並抑制了其他 分數解釋的發展(曾靖雯,2003;罕驕蘭,2005)。

二、「單位量」的迷思

(25)

分數的單位量是分數概念中的一個子概念,分數的單位量概念可 稱為整體量概念(the concept of a whole),又稱單位-整體量

(unit-whole)概念(Behr, Wachsmuth & Post, 1988)。分數的單位量 在小學階段宛如是一個魔術箱,它可大、可小、可多、可少, 這種 多變的特性對兒童產生相當多的困擾,很多迷思概念產生往往就在於 無法確定單位量(黃志敘,2005)。呂玉琴(1991b)指出學生在處理 單位量時,無論是「部分/全部」或「子集/集合」或數線的分數問題 時,都有指認單位量的困難。分數單位量多變的特性對兒童而言是不 容易掌握的,因而多樣的迷思概念即發生於無法確定單位量(黃志 敘,2005)。所以,單位量的確認是分數概念中一個極為重要的關鍵。

於是,Figueras(1989)將學生在處理「部分/全部」、「子集合/集合」的 分數問題時,對指認單位量的困難再分成三類:

1. 忽略給定的單位量:學生無法正確指出問題中的單位量。

例如:問學生「一盒巧克力有12 個,小綸吃了4個是占全部的 幾盒?」的問題時,會回答:「四盒」或「4

12 個」,表示他們 對所給定的「盒」或「個」的單位,產生混淆。

2. 受分母的控制:在處理分數解題過程中受到分母的影響。

例如:「一盒巧克力有12 個,分給甲同學 2

3 盒是幾個?」學 生若是受分母3的影響,就只會答給3個。

(26)

3. 受分子的控制:在處理分數解題過程中受到分子的影響。

例如:要小朋友在12個花片中取出全部的 1

6 ,他們的答案可 能是一個而非二個。

三、「整數基模」的迷思:

分數的符號為 a

b ,學生常會將此符號視為是由兩個整數組成

的,並將其應用到分數的問題上(罕驕蘭,2005)。因此在進行有關 分數問題的解題活動時,例如分數的大小比較、分數的合成或分解問 題時,常會出現下列幾種情形(呂玉琴,1991b):

1. 以分母大小來做比較:

例如:「1

3 < 1

4 ,因為3<4。」; 2. 以分子大小來做比較:

例如:「4

13 < 9

13 ,因為4<9。」; 3. 將分子、分母同加一數來比較:

例如:「3

4 = 7

8 ,因為3+4=7,4+4=8。」; 4. 分別比較兩個分數的分子、分母:

例如:「3

5 < 6

10 ,因為3<6,5<10。」;

5. 在分數加法的問題中,採用分子相加及分母相加的方式來求 得答案。

例如:「1

3 + 3

4 = 4 7 」;

(27)

6. 在異分母分數相減的問題中,採用分子相減及分母相減的方 式來求得答案。

例如:「3

7 - 1

4 = 2

3 」,或認為「5

6 - 2

7 」無法運算,因為

「6比7小」不能相減。

四、「等分割的概念 」的迷思:

Bergeron 和 Herscovics 指出學生處理「部份-整體」的分數問題 時,有不了解各部分均須等分割的困難(引自柯藍婷,2004)。等分 割概念在連續量是將全部「分」為相等的部分;在離散量,是將一堆 分散的物體,「分」成等量的子集合(龐嘉芬,2002)。由於兒童等分 割概念並不完備,因此造成往後兒童在解題活動的困難(黃志敘,

2005)。

以分香腸的例子來說,低年級的孩子往往只注意到「片數」,而 非分出的大小是否相同(Kerslake, 1986)。Bergeron et al.在 1987 年的 研究也發現大部分的國小三年級學生在處理分數板的問題時,只注意 到分數板被分割成幾塊,而沒有注意到分割的每一塊是否相等(引自 曾靖雯,2003)。國內學者呂玉琴(1991a)針對國小四、五、六年級 學童進行分數概念研究發現約有 30%的四~六年級學生在連續量中 沒有等分的概念。

綜上所述,兒童在分數學習上的迷思概念許多時候是深受「整數」

(28)

影響的,因此常會將分數中的「分母」和「分子」,分開來比較或思 考,如何讓學生了解「分數是一個數」是很重要的學習概念,也是教 學者需要幫助學生建立分數概念的重點。

第二節 國小五年級「分數」課程的學習歷程概略 本研究的教材內容為康軒文教事業國小數學第十冊,以「分數」

為擬題活動的教材。共有為十一個單元,其中關於分數的教材包括第 一單元「分數乘除以整數」、第六單元「異分母分數的加減」和第八 單元「小數除法與分數」。研究者以第一單元「分數乘除以整數」和 第六單元「異分母分數的加減」作為擬題教學的內容單元,並以回顧 過去的經驗與現今的學習作連結,再以現今的學習作為延續到未來的 經驗。

茲將第一單元「分數乘除以整數」和第六單元「異分母分數的加 減」的教材教法作概略性的敘述,包括單元教學計畫和單元教學研究 方面,最後,以流程圖顯示該兩單元在康軒文教事業國小數學課本第 十冊所佔的課程地位圖,如圖 2-2-1(康軒文教事業國小數學第十冊 教學別冊,1997);教學計畫整理如下表 2-2-1、2-2-2(康軒文教事業 國小數學第十冊教學手冊,1997)。

壹、「分數乘除以整數」單元 ㄧ、單元教學計畫

(29)

表 2-2-1 「分數乘除以整數」單元教學計畫

單元名稱 單元目標 對應能力指標

分數乘除以整數

1.能用分數表示「整數相乘」

的意涵。

2. 能認識分 數乘以整 數的意 義,並解決之。

3.認識分數除以整數的意義,

並解決之。

1.數與量

N-2-6 在具體情境中,能 以假分數或帶分數描述具 體的量,並能解決分數的 合成、分解以及簡單整數 倍的問題。

N-3-4 在具體情境中,解決 分數乘以分數的問題,進 而形成分數倍的概念。

N-3-7 能 用 分 數 倍 的 概 念,整合以分數為除數的 包含除和等分除的運算格 式。

2.連結

C-S-1,C-S-4,C-S-5,C-R-2, C-R-3,C-C-2,C-C-3,C-C-5, C-C-6,C-C-7,C-C-8,C-E-4

二、單元教學研究

在第四冊時,就從「ㄧ半」等學生熟知的口語使用,協助學生了 解一個物件的部分時,需要使用一些特殊的名詞,到了第五冊時,學 生學會了分數的分子、分母及幾分之幾等名稱,這是口語的描述,書 寫的分數符號表示法也在同時介紹。在分數概念上逐漸建立的過程 中,具體實物如分數棒(數學積木)、圓形紙板、分數圖卡等也在活 動中加以使用,並與口語的稱呼,符號的書寫連結,透過具體物的操 作,甚至圖像的繪製都能促進學生分數概念的了解。第七、八冊探討 真分數、假分數、帶分數,及同分母分數的合成分解及加減運算,也

(30)

建立在運用不同表徵來理解運算的意義。

許多研究顯示,學生對分數的乘除法認識,常只在其符號運算法 則上,如乘法的分子乘以分子、分母乘以分母,除法時的顛倒相乘,

對於乘法及除法的意義並無真正的理解。本單元透過分數和分量的累 積,引導學生理解分數整數倍的意義,建立分數整數倍的乘法符號和 除法符號表示法。在教學的過程中教師應提醒學生注意「單位分數」

的意義,透過單位分數的累算或分數的連加次數,建立運用「倍」來 描述解題過程的共識,並推廣整數倍的意義,將其以乘法算式紀錄。

當然,讓學生最後歸納知道分數乘以整數,就是將該整數乘以分數的 分子,是主要教學目標之ㄧ。

貳、「異分母分數的加減」單元 ㄧ、單元教學計畫

表 2-2-2 「異分母分數的加減」單元教學計畫

單元名稱 單元目標 對應能力指標

異分母分數的加減

1.認識通分的意義,進而能 比較分數的大小。

2. 會 做 異 分 母 分 數 的 加 、 減。

1.數與量

N-3-3 在具體情境中,理 解通分的意義並運用通分 解決異分母分數的合成、

分解問題。

2.連結

C-S-1,C-S-4,C-S-5,C-R-2, C-R-3,C-C-2,C-C-5,C-C-7, C-C-8

(31)

二、單元教學研究

異分母的分數表示它們分割數不相同,因此,進行異分母分數的 大小比較活動時,須先找出這些分數的共同測量單位,再進行比較。

茲以下表2-2-3分析比較:

表2-2-3 「異分母分數的加減」單元教學研究

情境區分 離散量(子集合/集合) 連續量(部分/全部)

舉例 ㄧ盒鉛筆120枝,

3

10 盒鉛筆和5 12 鉛筆,誰比誰多?

有2塊ㄧ樣大的披薩,哥哥吃了 3 5 塊披薩,弟弟吃了 2

3 塊披薩,誰吃 的披薩比較多?

解題策略

(一)

以「枝」為共同測量單位,算出 3 10 盒是36枝,而 5

12 盒是50枝,50枝比 36枝多,所以 5

12 盒比 3

10 盒多。

作比例線段圖:可選用15公分長(或 選用15公分的倍數)代表每ㄧ塊披 薩,因此9公分和10公分可分別代表 3

5 塊和 2

3 塊披薩,再進行比較。

解題策略

(二)

以「盒」為對象,找出「 1

120 盒」為 共同測量單位,3

10 盒是36個 1 120 盒,而 5

12 盒是50個 1

120 盒,所以 5

12 盒比 3

10 盒多。

進行分割:學生選取兩分母的公倍 數,形成新的分割數,將基準單位 量重新等分割,分割後的1小份便成 新的基準單位量,每個異分母分數 重新改用數個小份描述後再進行比 較。可選用15公分長(或選用15公 分的倍數)形成新的分割數,將每 1

5 再 平 分 成 3 小 份 , 每 小 份 是 1

153

5 是9個 1

15 ,也就是9個「1 小份」;將 1

3 再平分成5小份,每小 份是 1

151

3 是10個 1

15 ,也就是 10個「1小份」

(32)

通分是指把不同分母的分數,化成同分母分數的過程。當兩個或 兩個以上分數的分母相同時,可以直接比較它們分子的大小;但是,

當兩個或兩個以上分數的分母不同時,就無法直接由分子決定大小,

此時,自然會產生將分母的分數化為同分母的分數的需求。

透過畫等比例線段圖或分割尋找異分母分數的共同測量單位之 解題經驗,可幫助學生將分割份數不同的分數,化成分割份數相同的 分數,引出通分的用語及意義。在尋找共同分母的過程中,教師應引 導學生看出,這些分數分母的公倍數(或最小公倍數)即是所求的通 分後的分母。學生有了通分活動的經驗後,利用通分的方法,應能順 利地進行異分母分數的加減活動。

參、課程地位圖

(33)

圖 2-2-1 康軒文教事業國小數學課程地位圖

第五冊 第四、八單元

.0 與 1 的乘法。

.認識被乘數、成數和積。

.熟練基本乘法。

.分數的意義。

.認識分子、分母。

第九冊 第九單元

.能在整體「1」明顯出現之具體情 境中,認識等值分數。

.了解約分的意義、方法及其應用。

.了解通分的意義、方法及其應用。

第七冊 第二、三單元

.二、三位數乘以一位數。

.多位數乘以一位數。

.一位數乘以二、三位數。

.理解乘法交換率。

.認識真分數、假分數和帶分數。

.用分數表示除法的結果。

.假分數、帶分數和整數的互換。

第八冊 第一、六、九單元

.二、三位數乘除以二位數。

.經驗乘和除的相互關係。

.進行同分母分數的合成分解活動。

.認識分子、分母。

第十冊 第一單元

.能用分數表示「整數相除」的意涵。

.能認識分數乘以整數的意義,並解 決之。

.能認識分數除以整數的意義,並解 決之。

第十一冊 第二、九單元

.理解分數乘以分數、整數乘以分數 的意義。

.經驗分數乘法的計算格式。

.根據乘數與 1 的大小關係,判斷被 乘數與積的關係。

.能解決同分母分數除以分數的問 題。

.能解決異分母分數除以分數的問 題。

.能根據除數與 1 的關係,判斷商和 被除數的大小。

第十二冊 第一單元

.解決分數加、減、乘、除混合的四 則問題。

.解決分數與小數四則混合計算問 題。

.利用分配律、結合律和交換律解決 整數、小數、分數的四則混合問 題。

第十冊 第六單元

.能認識通分的意義,進而能比較分 數的大小。

.會做異分母分數的加減。

(34)

第三節 數學擬題的意涵和其相關研究

本節分成二個部分來探討數學擬題的意涵和其相關研究:首先瞭 解擬題的定義與特徵;其次探討擬題與解題的關聯性。

壹、數學擬題的定義與特徵 一、擬題的定義

Principles and Standards for School Mathematics(NCTM, 2000)指 出 , 成 功 解 題 的 關 鍵 性 條 件 之 一 , 就 是 能 產 生 擬 題 的 意 向 (disposition),為了要發展這樣的意向,必須提供學生更多的明確的教 學(explicit instruction)。當學生想出一個新的問題,這樣能夠培養學 生重新建構知識的責任(Cunningham, 2004),而學生想出一個新的 問題就是擬題的過程。國外學者 Dillon(1982)認為「擬題是在解題 之後,為了尋找新題目的一種學習過程。」Silver(1994)也提出「在 生活經驗或學習情境中創造出新的題目就是擬題,也可能發生在教學 者的布題中進行擬題活動。」梁淑坤(1994)更進一步說明:「自己 想出一個題目來就是『擬題』。在擬題的過程中,擬題者會將自己的 數學知識和生活經驗連結起來,並且把既有的情境、人物、事件、數 字、圖形等條件建立關係、組織關係,擬出一個新的數學題目。」而 澳洲學者 Stovanova 和 Ellerton(1996)對擬題的解釋為「擬題是學 生依據過去的數學經驗為基礎,自行建構出有意義的數學題目,這個

(35)

過程可以呈現個人的數學基礎。」

當學生擬好題目後,進一步思考題意或自行解題的同時,可以培 養數學的思考能力。而且在解題的過程中,學生會組織、思考題意的 完整性,也能提昇學生創造題目的能力(陳佩琦,2003)。故研究者 綜合上述國內外學者對擬題所下的定義後,認為所謂「擬題」就是:

「學生按照老師所給的已知條件,想出一個符合情境的題目。」不論 是學生的數學經驗、生活情境,或是學習情境中,都是由學習者自己 想出一個新的題目來。

二、擬題的特徵

在擬題過程中,從已知的情境或條件下,自己想出一個新的數學 題目,那麼擬題行為有以下四項特徵(梁淑坤,1994)。茲分述如下:

1. 擬題過程中其組織方法是具個別化(idiosyncratic)的:擬題者本 身的先備知識和生活經驗就是數學擬題的素材,其創造出一個新 的數學題目,或是將原本不完整的非結構性題目修改成符合條件 且可以解題的結構題,因此擬題者所擬出的題目是唯一的;

2. 擬題包含猜想及似合理的推理(plausible reasoning)過程:當擬題 者在擬題時,會在自己心中產生一連串問題像「假如是…… ?」

(What if…… ?)、「假如不是…... ?」(What if not…… ?);

3. 擬題的發生可以在解題之前(before problem solving)、解題中

(36)

(during problem solving),以及解題之後(after problem solving);

4. 擬題者將擬出的題目可能較為「簡單的或粗糙的」(primitive)、不 完全的( incomplete)、不甚合理的(implausible)、不充足的

(insufficient):擬題者的擬題是先把想到的數學題目寫下來,題 目未經任何修飾,常因條件不夠完整而沒辦法解題,不像教師的 布題和課本的題目那樣的完整。

綜合梁淑坤(1994)四點特徵的描述,研究者認為擬題是一種反 芻的過程,擬題不單單是結果的呈現,更是學習思考的歷程,對教學 者與學習者都極具挑戰性,若能將擬題的特徵融入在數學教學的課堂 上,會有耳目一新的感覺,學習者才能跳脫傳統制式化的學習方式,

所得到的學習成果也會不同。故能擬出正確問題和解決問題是同樣重 要的,擬出數學問題需從逆向角度去審視本身數學知識(Leung & Silver, 1997)。因此,透過擬題的活動自然形成數學化的思考方式,

擬題者可將這些繁複的數學知識重新組織,並發現其系統性與關連性

(林原宏、許淑萍,2002)。

貳、數學擬題與解題的關聯性

教學的目的是培養學生具有分析問題與解決問題的能力,換言 之,也就是培養學生具有能夠獨立思考進行創造性活動的能力(閻育 蘇,1999),課堂上學生所參與的擬題與解題的活動,就是要學生達

(37)

到提升學生推理、反應的能力,及提高參與的層次(Cunningham, 2004),故其重要性不言可喻。

Polya(1945)在『如何解題』(How to solve it)一書中,表示解 題的過程共有四個階段:必須瞭解問題(Have to understand the problem)、擬定一個計畫(Make a plan)、實現計畫(Carry out one’s plan)、回顧所完成的解答(Look back at the completed solution)。首 先,必須瞭解問題的文字敘述,教師可以要求學生以口語重新敘述該 題目,並能夠指出問題的主要的部分,即已知數、未知數和給予的條 件;接著為了解出未知數,至少要知道必須完成哪些計算式、如何作 圖時,於是就有了一個解題計畫,這個過程很可能是漫長而崎嶇的。

想出一個解題計畫是不容易的,有耐心是不二法門。計畫僅給出一個 一般性的大綱,我們必須充實細節並耐心地檢查每一個細節,直到每 一點都完全清楚了,沒有任何可能隱藏錯誤的含糊之處為止(閻育 蘇,1993)。當學生得到問題的解答後,不能就合上課本做其他事,

如此,他絕對錯過解題中重要且有助益的部分。通過回顧所完成的解 答,通過重新考慮與重新檢查這個結果和得出這一結果的路子,學生 們可以鞏固他們的知識和發展他們的解題的能力(閻育蘇,1999)。

一個好老師應該告訴學生,解題絕對沒有完美無缺的,經過充分的討 論與研究能夠改進解答並加以驗證,更能提高自己對解答的理解。

(38)

梁淑坤(1994)根據Polya在『如何解題』(How to solve it)一書 中揭示的解題模式,以「擬題」代替「必須瞭解問題」,成為擬題的 四個步驟,如圖2-3-1:

圖2-3-1 擬題四步驟(引自梁淑坤,1994)

上圖所示,擬題取代了Polya的解題模式中「必須瞭解問題」的 階段,當擬題者嘗試去解自己所擬的題目時,自然能瞭解題目的意 思,於是不需再理解題目,可以直接擬定計畫再實現計畫。解題之後 的「回顧」階段,可將解題後所得到的結果加以整理,再擬出其他新 的題目來。若有動機再一次去解所擬出的題目,則需要再一次擬定計 畫及實現計畫了(梁淑坤,1994)。所以,學生將不會因為發現問題 和解題過程的分離,而減低其認知行為(Dillon, 1982)。

擬題(Problem posing)

回顧所完成的解答(Look back at the completed solution)

擬定一個計畫(Make a plan)

實現計畫(Carry out one’s plan)

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林群雄(2004)參考Polya的解題四階段和梁淑坤的擬題四步驟,

並依照課堂上教師教學經驗和學生的擬題之後的解題表現,將學生的 擬題行為過程重新詮釋如圖2-3-2:

圖2-3-2 學生擬題行為過程(引自林群雄,2004)

林群雄(2004)則認為:解題的成與敗是促使學習者於執行後選 擇的差異,若解題失敗,學習者則會再做下一次的策劃;若解題成功,

學習者則會選擇驗證整個過程。這樣擬題又解題的循環過程是環環相 扣,也會刺激學生思考統整與創作歸納的能力。由於擬題是逆向思考 數學問題,可以從擬題中了解擬題者的數學概念(周幸儀,2002)。

因此,解題關鍵性的「驗證」階段,它可以提升學生需要深度數學理 解的推理與省思(reflection)的能力(Cunningham, 2004)。並且擬題

解題成功

擬題(Problem posing)

擬定一個計畫(Make a plan)

回顧所完成的解答(Look back at the completed solution)

實現計畫(Carry out one’s plan)

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在解題的歷程中扮演統整性的角色,也是解題中核心的部分,而且擬 題與解題是可以連續不斷、相互循環的,也就是說擬題與解題是相連 性的活動(Brown & Walter, 1983)。換句話說,就可以永無止境的進 行擬題和解題活動,而透過這個解題、擬題的循環過程,就可以達到 建構數學了(making mathematics)(Polya, 1945)。故擬題與解題是一 體兩面,相輔相成的,擬題固然要循序漸進地構思,解題亦要按部就 班的完成,兩者皆不能偏廢。

是故,為了增進原住民學童的解題能力,教師可以將擬題的教學 設計融入在數學課堂上,藉由擬題的機會擴展其語彙的連貫性,瞭解 數學題目的真正意義,改善一般原住民學童對數學解題的排斥感,這 樣的教學模式不啻是一種可行方式。

(41)

第三章 研究方法

本研究是在探討國小五年級原住民學童透過分數擬題之教學活 動融入數學課程後,是否有助於其對五年級下學期分數單元中第一單 元「分數乘除以整數」和第六單元「異分母分數的加減」兩單元的學 習,並且能達到教學計畫的單元目標。

為順利達成上述之研究目的,研究者利用擬題活動單、學生數學 筆記、教師擬題教學札記、擬題教學回饋單、數學態度檢核表、單元 測驗卷、單元學後檢測卷等方式來蒐集相關資料,進行分析與討論。

本章節共分為七節:第一節為研究架構;第二節為研究工具;第 三節為研究對象;第四節為研究流程;第五節為擬題教學流程;第六 節研究過程;第七節預試資料的分析。

第一節 研究架構

本研究是針對台東縣國小五年級原住民學童,運用數學擬題的教 學方式,期望原住民學童在分數的概念能夠提升。因此,本研究架構 細分成學生擬題表現和教師教學省思兩個主軸,而以此主軸探討學生 的分數概念學習表現、解題能力、學習態度、擬題學習的接受度以及 教師在整個擬題教學歷程的檢討與教學反思。

本研究架構的說明如下:

一、研究者想探討原住民學童在擬題教學中分數概念的學習的成

(42)

效,並瞭解其在擬題學習的過程對數學的學習態度與對擬題 教學的接受程度。

二、以往研究者大都以講述法進行數學的教學活動,極少脫離這 樣的教學模式,因此,嘗試以原住民學童分數之擬題教學作 為研究,是一項新的嘗試,而且過去針對原住民學童所作的 擬題教學研究非常少。是故,研究者願意藉由這種教學模 式,除了想增進原住民學童的數學能力外,也希望認真省思 教學歷程中值得檢討改進的地方並作教學自我反思,作為日 後數學教學的一個寶貴經驗。

圖3-1-1 研究的理論架構圖

原住民 學童分 數之擬 題教學

學生擬 題表現

分數概念 學習成效

教師教 學省思

擬題學習 的接受度

教學反思 教學歷程

的檢討 學習態度

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第二節 研究工具

為了詳實的蒐集有關原住民學童分數擬題教學活動的資料,本研 究所使用的工具有:擬題教材的編製、擬題活動單、教師擬題教學札 記、學生數學筆記、數學態度檢核表、擬題教學回饋單、單元測驗卷 以及單元學後檢測卷,以下就各項研究工具加以說明:

一、擬題教材的編製

研究者參考康軒文教事業國小數學第十冊數學課本的分數單元 教材進行編製,第一單元「分數乘除以整數」的部分,一共編製了8 道文字題,此8道題是依照課本內容順序再參考坊間數學評量卷的題 目編製而成;第六單元「異分母分數的加減」部分則編製文字題共8 題,同樣依照課本內容順序再參考坊間數學評量卷的題目編製完成。

其分數類型與教師情境布題如表3-2-1、3-2-2:

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表3-2-1 「分數乘除以整數」之分數類型與教師情境布題

順序 分數類型 教師情境布題

1 用分數表示整數相 除的結果

1罐桶裝的柳橙汁有19公升,每4公升裝一瓶,全部 裝完可以裝幾瓶?(用除式把問題記下來,並用分 數表示結果。)

2 用分數表示整數相 除的結果

一箱可樂有 16 罐,小駿買了 7 罐,大安買了 25 罐。

請問(1)小駿一共買了幾箱可樂?(2)大安一共 買了幾箱可樂?(用除式把問題記下來,並用分數 表示結果。)

3 真分數×整數 緞帶一段長 1

8 公尺,正豪買了 5 段,一共長幾公尺?

(把做法用算式記下來。)

4 假分數×整數 小竹每天要喝 3

2 杯鮮奶,一星期一共喝了多少杯鮮 奶?(把結果記成帶分數。)

5 帶分數×整數 把一條繩子平分成 6 段,每段長 93

8 公分,請問這條 繩子原來有多長?(把結果記成帶分數。)

6 真分數÷整數 三個相同的瓶子共重 7

11 公斤,一個瓶子重幾公 斤?

7 假分數÷整數 美仁過生日,媽媽買了 5 包一樣的糖果,一共重 25 16 公斤,一包糖果重幾公斤?

8 帶分數÷整數 秀涓騎車繞公園 3 圈花了 81

4 分鐘,平均繞公園一圈 要花多少分鐘?

(45)

表 3-2-2 「異分母分數的加減」之分數類型與教師情境布題

順序 分數類型 教師情境布題

1 比較分數的大小

新貴家有兩塊一樣大的花圃,一塊花圃的 7 9 種百 合花,一塊花圃的 5

6 種洛神花,請問哪一塊面積 比較大?

2 比較分數的大小

有兩塊一樣大的披薩,哥哥拿了 6

7 塊,妹妹拿了 3

4 塊,誰拿得多?

3 異分母分數的加法

爸爸買了 2

5 公斤的豬肉和 3

20 公斤的牛肉準備 煮一道豐盛的晚餐,爸爸一共買了多少公斤的 肉?

4 異分母分數的加法 家正把一枝竹竿鋸成兩段,分別長 2

5 公尺、11 12 尺,請問這枝竹竿原來有多長?

5 異分母分數的加法

志雄參加運動競賽,騎單車花了 13

4 小時,跑步花 了 22

5 小時,他一共花了多少小時?

6 異分母分數的減法 王叔叔每天工作 8

11 時,李伯伯每天工作 7 22 時,兩人每天工作的時間相差多少?

7 異分母分數的減法 媽媽煮了一鍋豆漿,共有 6

7 公升,弟弟喝掉 7 12 公升,還剩下多少公升的豆漿?

8 異分母分數的減法 哥哥吃了14

7 包的餅乾,姐姐吃了23

4 包,姐姐比 哥哥多吃了多少包餅乾?

研究者安排之擬題教材,係先由學生解老師的題目,再由學生根 據教師所設定之情境題目,自行出題。詳細格式見附錄一之擬題活動 單(以第一單元第一題為例,其餘 15 題雷同)。

(46)

二、擬題活動單

研究者以擬題活動單作為本研究的一項研究工具,目的是想藉由 原住民學童在寫擬題活動單的過程,觀察其在擬題與解題時的行為,

並探討原住民學童在擬題與解題的過程的學習表現。此外,針對學生 擬出的題目,透過個別方式進行公開的發表,全班一起討論一起學習。

另外,擬題活動單除了在課堂上進行擬題外,甚至可以把它當成 家庭作業,因為回家後學生有較充裕時間可以從事擬題的活動,擬出 來的數學題目可能會有較好的創意,學生發揮創造力的空間更大,更 能夠幫助學生作該單元數學概念的統整,達到更佳的擬題學習效果

(Leung & Wu,2000)。活動單格式如附錄一。

三、教師擬題教學札記

研究者利用教師擬題教學手札,記錄自己在教學活動的心路歷 程,剛開始進行教學時學生對擬題活動可能不熟悉,老師需要花時間 來引導學生學習如何擬題,因此,教師必須針對每一次進行的擬題教 學中,包括教師上課流程、學生解題的表現、師生互動的情形、同儕 討論的過程仔細作回溯性的紀錄。擬題教學札記格式如附錄二。

四、學生數學筆記

學生數學筆記是師生互動的重要溝通管道。其內容分為三個部 分:第一是「創造的題目」,學生依據上課的內容進行擬題練習,將

(47)

自己擬的題目記錄下來,再作一次擬題的驗證(look back),此為個 人擬題部分;第二是「算法」,嘗試解答自己的所擬的題目,確認其 是否可行,進行數學概念澄清;第三是「數學心事」,學生對數學擬 題學習內容的記錄,可以是文字、數字、圖畫或其他的方式,將它書 寫下來,抒發自己對數學學習的感想。學生數學筆記格式如附錄三。

五、擬題教學回饋單

研究者設計了擬題教學回饋單,在擬題教學活動結束之後讓學生 填寫自己對這次數學教法改變的學習感受,並且反思這樣的教學模式 對自己的數學學習是否有不一樣的觀感,數學能力是否較過去有所提 升,喜不喜歡這種改變以及對擬題活動教學的接受程度,更可以對教 師數學教學提出建設性的建議等等。擬題教學回饋單格式如附錄四。

六、數學態度檢核表

參考曹宗萍、周文宗(1998)之「國小數學態度量表編製之研究」

編製數學學習態度問卷,內容包括六大面向:(一)對數學學習的信 心、(二)數學有用性、(三)對數學的探究動機、(四)對數學成 功的態度、(五)重要他人的態度及(六)數學焦慮等。而本研究將 依擬題教學之需要,採用6個向度編製問卷,學生依自己意願答題,

共有6道題型,藉此探求學生對數學的態度,期協助研究者瞭解原住 民學童對於數學學習的想法。數學態度檢核表格式如附錄五。

(48)

七、單元測驗卷

研究者自編兩份單元測驗卷,其一根據「分數乘除以整數」單元 所編製的8道文字題之擬題教材,出了「分數乘除以整數」測驗一式8 題;其二依據「異分母分數的加減」單元所編製的8道文字題之擬題 教材,出了「異分母分數的加減」測驗一式8題,這兩份測驗卷是在 單元擬題教學結束後進行測驗。單元測驗卷試題如附錄六、附錄七。

八、單元學後檢測卷

單元學後檢測卷是康軒文教事業國小數學第十冊教師手冊所編 製的單元結束後的評量題,分別是第一單元「分數乘除以整數」和第 六單元「異分母分數的加減」,這兩份檢測卷是在單元擬題教學結束 後隔一週進行測驗。單元學後檢測卷試題如附錄八、附錄九。

第三節 研究對象

本研究是以立意抽樣的方式選取樣本,正式研究對象為台東縣金 峰鄉介達國小五年甲班 12 位原住民學童,其中 4 位男生,8 位女生;

若以族群分布,則為排灣族 10 位,阿美族 2 位。研究者服務於該校 長達七年,對每一位小朋友的個性與學業成就都非常熟悉;而且研究 者和學生經過一學期的教學互動後,彼此已建立良好的關係。

該學區屬於山地學校,其地理位置靠近太麻里鄉,社區家長以務 農為主、打零工次之、較少從事商業行為的活動。而學區的社會仕紳

參考文獻

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