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1. 平面图形的面积 

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(1)

 第 七 章   微 积 分 应 用 

 

§7.1 定积分的几何应用   

1. 平面图形的面积 

定积分的应用,关键是把问题写成

abf(x)dx的形式,这时关键是把f(x)dx=dF(x) 

的意义搞清楚,这个观点称为微元法。 

比如要求以x=ax =b(a<b)y= f(x)y =g( x)所围图形的面积,其中  )

(x

fg(x)连续,且f(x)≥g(x)。我们考虑从xx+dx这个微元,它的面积可看成一 个矩形,高近似地取 f(x)−g(x),其面积=(f(x)−g(x))dx=dA(x)。所以所围图形面 积为

ab

[

f(x)g(x)

]

dx。 

               

       α   

 

如果函数由极坐标给出,我们要求向径θ =αθ =β (α < β)和函数r =r(θ)围成  的面积(如右上图)。考虑从θθ d+ θ这个微元,它近似地可看成是个扇形,面积微元 

θ θ

θ r d

dA ( )

2 ) 1

( = 2 ,所以总面积

αβr (θ d) θ 2

1 2

 

例 1

 求曲线y2 =−4(x−1)与y2 =−2(x−2)围成的图形面积。 

解 

画图如下,恰如“月上柳梢头,人约黄昏后”的一弯新月,切记做这类问题都要  画图,一是便于理解掌握,二是“诗配画”的意境是一个整体,绝不是单单几个公式一个答 案所能涵盖的。 

这里把y2 =−4(x−1)写成 (4 ) 4

1 2

y

x= − y2 =−2(x−2)写成 (4 ) 2

1 2

y

x = − ,它 

们是有两个交点y=±2的两条抛物线。 

(2)

       S

y y dy

 − − −

= 2

2

2

2 (4 )

4 ) 1 4 2(

1  

[

21(4 ) 41(4 )

]

38

2 2

0

2

2 − − =

=

y y dy 。   

      

       (4 ) 2

1 2

y

x= −  

       4 π  

 

) 4 4(

1 2

y

x = −  

   

例 2

  求双纽线r2 =a2cos2θ 所围成的图形面积。 

  作图如右上。  4 2

0

2 cos2 2

4 1 a d a

S = ⋅

π θ θ = 。 

例3 

求心脏线r =a(1+cosθ)(a>0) 围成的面积。 

 

       f =a(1 cos )+ θ    

             

          = 2

0π 2(1+cosθ)2 θ

2 1 a d

S  

       =a2

0π(1+2cosθ +cos2θ)dθ 

       = a2

0π(1+2cosθ +1+cos2 2θ)dθ  

        2 2 3πa

= 。 

由参数方程  ( )

) (

)

( α ≤ ≤β



=

= t

t y y

t x

x



=

= ) ( ) (

) ( ) (

β α

β α

y y

x

x   围成的封闭图形,选点  x y

0 2a

(3)

) 0 , 0

( (x,y)(x+dx,y+dy)围成的三角形作为微元,其面积 

       ( )

2 1 2

1 1 1 1 0 0

2

1 xdy ydx

dy dx

y x dy

y dx x

y x

dS = = −

+ +

= 。 

所以   =

=

αβ

[

]

β

αxdy ydx x t y t y t x t dt

S ( ) ( ) ( ) ( )

2 1 2

1 。 

 

      y 

       (x+x,y+y) 

       (x,y) 

   

       (0,0)       x   

   

例 4

  求旋轮线



=

=

) cos 1 (

) sin (

t a

y

t t a

x   (0≤t≤2π) 与x轴围成的面积。

 

解   

S =21

02π

[

x(t)y(t) y(t)x(t)

]

dt         xy((tt))==t0 

         

21

02π

[

x(t)y(t)y(t)x(t)

]

dt

      

yx==aa((1tsincostt))

 

      

= 21

02πa2(1cost)2dt21

02πa2(tsint)sintdt 

       =3 aπ 2

  2 体积,弧长,侧面积   

      

A(x)

     

       

a b x

 

设一物体位于平面x=ax=b之间(a<b),如果对任何x:axb,垂直于x 

轴的平面与该物体相交的截面积A( x)为已知,考虑从xx+dx微元,其体积微元为 

(4)

dx x

A )( ,故A=

abA(x)dx。 

 

       y=f(x) 

       

      A(x) =py2 

 

如果有一曲边梯形,沿x轴转360o,得一旋转体,其体积微元π f2(x)dx,故 

= b

a f x dx

A π 2( ) 。若该曲边曲线由参数方程   ( ) )

( )

( α ≤ ≤β



=

= t

t y y

t x

x  给出,则 

=

= β

α β

α π

π y t dx t y t x t dt A 2( ) ( ) 2( ) ( ) 。 

       y   

 

       ds      dy   

      dx   

       O       x   

 

考虑一段从(x,y)(x+dx,y+dy)弧长微元,勾股定理给出ds2 =dx2 +dy2故弧长 

       =

+ =

αβ + β

α dx dy x t y t dt

S 2 2 ( )2 ( )2 。 

特别地,曲线由y= f(x)给出时,S =

ab 1+ f(x)2 dx。 

由参数方程 



=

= ) (

) (

t y y

t x

x  定义的一段曲线,绕x轴旋转一周所得的旋转体,其表面积 

微元 2πyds,故表面积 P=2π

αβy(t) x(t)2 + y(t)2 dt。 

    若曲线由y = f(x)定义,则旋转体侧表面积P=

abf(x) 1+ f(x)2 dx。 

若曲线由极坐标方程r =r(θ)定义,则旋转体侧表面积 

(5)

        P=2π

αβr(θ)sinθ r(θ)2+r(θ)2 。  这是因为这时可看成参数方程



=

=

θ θ

θ θ

sin ) (

cos ) ( r y

r

x  ,x′(θ)2 + y′(θ)2 =r(θ)2 +r′(θ)2。 

例 5 

 求两个半径相等,其轴垂直相交的圆柱面x2 +y2 =a2x2 +z2 =a2所围成  的立体的体积。 

      z   

 

       a   

 

      x 

       a         a      

       x       y   

 

解 

 在八个卦限中立体是对称的,我们只要在第一卦限中体积再乘以 8 即可。过点  )

0 , 0 ,

( x

 

作垂直于x轴的平面,它于该立体在第一卦限所截图形为一正方形, 边长

2

2 x

a

= ,其面积为P(x)=a2x2,故体积为  3

0

2 2

3 ) 16 (

8 a x dx a

S =

a − = 。 

例 6  

求抛物面2az=x2 + y2与上半球面x2 +y2 +z2 =3a2 (a>0)z >0所围  成的立体的体积。 

       z   

      a   

 

       O      y   

 

       x   

 

  两曲面都是绕z轴旋转体,两曲面交线是一个圆。位于z=a平面上,由 

     





= +

= + +

az y

x

a z y x

2 3

2 2

2 2 2 2

 

z2 +2az =3a2(z+a)2 =(2a)2z>0  得 z=a。 

(6)

        =

+

a a

a azdz a z dz

V 3 2 2

0 2 π (3 )

π (6 3 5)

3

3

= πa

。 

例 7

  求旋轮线



=

=

) cos 1 (

) sin (

t a

y

t t a

x   (0≤t≤2π)之弧长。 

解  

 x′(t)=a(1−cost)y′(t)=asint , 

     

S =

02π a2(1cost)2 +a2sin2tdt  

  

       

=

02πa 2(1cost)dt

 

       

a t dt 8a sin 2

2

2

0 =

=

π 。 

例8 

求星形线(铜钱线)





=

=

t a y

t a x

3 3

sin

cos   的弧长。 

      y   

     

      O      a       x   

     

  考虑  0 2 : →π

t x′(t)=−3acos2tsinty′(t)=3asin2tcost。 

+

= 2

0

2 4 2 2

4

2cos sin 9 sin cos

9 4

π

dt t t a t t a

S  

  =12

02cos sin

π

tdt t

a  =12

02 sin sin

π

t d t

a  

   6asin t 2 6a

0

2 =

= π 。 

例9 

求椭圆



=

= t b y

t a x

sin

cos   0≤t ≤2π 周长。 

    x′(t)=−asinty′(t)=bcost, 

      

=

02 +

2 2 2

2sin cos

4

π

dt t b

t a

S  

(7)

        =4a

0π2 1a2a2b2 cos2t dt 

        =

02

2 2cos 1

4

π ε t dt

a 。 

其中 1 2 2 b a a

=

ε 是椭圆的离心率,它是“椭圆积分”,不能用初等方法积出来。考虑 

= θ ε

θ 0

2 2cos 1

)

( t dt

f ,其反函数称为“椭圆函数”,在数论中具有基本的重要性。 

椭圆的面积:x =acosty=bsin t, 

       ab t t dt ab

ydx xdy

S = 12

02π − = 2

02π (cos2 +sin2 ) =π 。 

例10 

求旋轮线



=

=

) cos 1 (

) sin (

t a

y

t t a

x  (0≤t≤2π)绕x轴旋转所得旋轮体的侧表面积 

解    

ds a t dt sin 2

=2 , 

       P=2π

02πa(1cost)2asin 2t dt 

         =4πa2

02π(1cost)sin 2t dt   

         =8πa2

02πsin3 2t dt 

         =16πa2

0πsin3udu   

         =16πa2

0π(1cos2u)dcosu 

          2

0 3 3 2 1

3 ) 64 cos (cos

16πa uu π = πa

= 。 

例 11

  求旋转椭圆体的表面积。 

  设椭圆体是由  2 1

2 2

2 + =

b y a

x  (a>b)x轴旋转而得,这时 

         

2

2 2 2

2 x

a b b

y = − ,     x

a y b

y 2

2

′=  

及          4 2

4 2 2 2 2 2 2

2 ( )

1 x

a x b a b b y

y y y

y + ′ = + ′ = − +  

(8)

        2 2 2 2 2

2 2

2 a x

a x b a

b a a

a

b − − = −ε

= 。 

其中 a

b a22

=

ε 为椭圆的离心率。 

        =

a

a a x dx

a

P 2π b 2 ε2 2  

         =4π ab

0a a2 ε2x2 dx 

         

a a

x x a

a a x

b

0 ) arcsin 2

2 (1 4

2 2 2

2 ε

ε ε

π − +

=  

          2 ( arcsinε) π εa

b b +

= 。 

如果此椭圆绕y轴旋转,则           =

b + ′

bx x dx

P1 2π 1 2  

       

+ −

= b

b x dx

a b b a

b

a 2

2 2 2

2   

        b

b x b x a

b b a

b x b x a

b b a b a

b b a

0 1 ln

1 2

2 4

2 2 2

2 2

2 4

2 2 2

2 2

2 2

3



 +  + −

+ −



 − − +

= π

 

      





 − +

+ −

= b

a b a b

a a b a

2 2

2 2

2

ln

2π 。 

 

§7.2 定积分的物理应用 

 

1. 曲率 

设计铁路转弯时,里外两轨要有一定高度差,这由设计车速和曲率来决定,所以计算  曲线曲率是很重要的一件工作。 

α表示曲线斜率正切对应的角度,s表弧长,则曲率定义为  k s

s

= ∆

α lim0 。 

如果曲线由参数方程



=

= ) (

) (

t y y

t x

x 给出, 

dt ds dt d

k

= α  ,由

) (

) (

t x

t tg y

= ′

α

) (

) (

t x

t arctg y

= ′

α  

(9)

及  x(t)2 y (t)2 dt

ds = ′ + ′ ,得 

      

2 3

) 1 (

'

2 2 2

2

2 x y

y x y x y

x x y

x y

dt ds dt d

k ′ + ′

− ′′

′′

= ′ + ′

 ′



 

 

 ′ + ′



 

 ′

=

= α

 。 

    如果曲线由y= f(x)给出,则 

2 3 2) 1

( y

k y + ′

= ′′  。 

如果曲线由极坐标r =r(θ)给出,则 

2 3 2 2

2 2

) (

2 r r

r r r k r

+ ′

− ′′

+ ′

=  。 

曲率的倒数,

R= k1,称为曲线在该点的曲率半径,过该点与曲线有相同一阶,二阶  导数的圆周C称为曲率圆。 

       

       R

       M  

 

2 质心(重心) 

平面简单曲线 



=

= ) (

) (

t y y

t x

x   (αxβ),如果其上定义一个线密度ρ(t),则曲线Γ 

的质量公式 M =

αβρ(t) x(t)2 + y(t)2 dt。  曲线Γy轴和x轴的静力矩是 

       My =

αβρ(t)x(t) x(t)2 + y(t)2 dt,         Mx =

αβρ(t)y(t) x(t)2 +y(t)2 dt。 

Γ的质心 

        = =

αβρ t x t x t + y t dt M

M

x My 1 ( ) ( ) ( )2 ( )2

, 

        = =

αβρ t y t x t + y t dt M

M

y Mx 1 ( ) ( ) ( )2 ( )2

。  特别地,当曲线质量是均匀分布的,不妨设ρ(t) =1,则 

(10)

      x =1l

0lxds, y =1l

0lyds。 

由最后一式可得  

       2πyl=2π

0lyds 。 

古鲁金定理

  平面曲线绕此平面上不与其相交的轴旋转一周,生成的旋转体侧面积等 于此曲线的质心绕同一轴旋转所产生的圆周长乘以该曲线的弧长。 

       y   

       y=f(x) 

   

       y=g(x) 

 

      O      x x+dx      x   

 

例:

x2 +(ya)2 =R2 (a >R)x轴转动所成圆环侧面积。 

    S =2πa⋅2πR=4π2aR   

现考虑平面图形的质心。 

 质量微元       dM =[f(x)−g(x)]dx, 

       关于y轴的静力矩微元      dMy = x[f(x)−g(x)]dx,               关于x轴的静力矩微元      dMx [f(x) g(x)][f(x) g(x)]dx

2

1 + −

=  

       [f 2(x) g2(x)]dx

2

1 −

= 。      

所以平面图形质心的坐标为: 

= −

= b

a b a y

dx x g x f

dx x g x f x M

x M

)]

( ) ( [

)]

( ) ( [

; 

= −

= b

a b x a

dx x g x f

dx x g x f x M

y M

)]

( ) ( [

)]

( ) ( 2 [

1 2 2

 

由上式,我们得2πy

ab[f (x)g(x)]dx =π

ab[f2(x)g2(x)]dx,即2π yS =V 。 

其中S是平面图形的面积,V 是该平面图形绕x轴旋转所得立体的体积。 

 

(11)

古鲁金定理 

一平面图形绕与其不相交的轴(可以是它的边界)旋转所得立体的体积  等于该平面图形面积与重心绕轴旋转的周长的乘积。 

3 旋转惯量 

质点m到定轴u的距离为r,转动的角速度ω为常数,则质点动能 

       2 2 2 2 2 1 2

1 2

1mv mr ω Iuω

E = = =  

我们称Iu =mr2为质点对u轴的转动惯量。 

例 

 求曲线x =x(t)y= y(t)关于y轴及x轴的转动惯量。 

    dIy =x2ρds  ρ = ρ(t)为曲线密度, 

     

dIx = y2ρds

 。 

     

Iy =

lx ρds=

αβx2 t ρ t x t 2 + y t 2 dt

0

2 ( ) ( ) ( ) ( ) , 

     Ix =

ly ρds=

αβy2 t ρ t x t 2 + y t 2 dt

0

2 ( ) ( ) ( ) ( ) 。 

静力矩计算中,用到

abxf(x)dx型积分,数学上我们称为一阶矩;转动惯量计算中, 

用到

abx2f(x)dx型积分,数学上我们称之为二阶矩;一般地在数学上可定义n阶矩: 

abxn f(x)dx。 

4 引力和功 

两个质点m1m2,相距r,则其间万有引力为  

2 2 1

r m Gm

F = 。如果有一均匀细棒, 

长2l,质量M,在其延长线上离中心距离为a(a>l)处有一质点A,质量为单位1,则棒 对它引力元 

      

l  0   l    a       

)2

(

2 1 x G a

dF l

Mdx

= ⋅ ,  

= −

= l

l a l

dx GM x a

l

F GM 2 2 2

) (

2  。 

F( x)沿它作用方向运动dx,作功为 dW = Fdx,则从ab作功W =

abF(x)dx。 

如 果 有 三 维 物 体V , 体 密 度 为 ρ(x,y,z) , 则 对 其 外 单 位 质 量 质 点 引 力 k

F j F i F

F = x + y + z 为 

[ ]

∫∫∫

+ +

=

V x

z z y

y x

x

dxdydz x

x z y x F k

2

2 3

0 2

0 2

0

0

) ( ) (

) (

) )(

, , ρ(

, 

(12)

[ ]

∫∫∫

+ +

=

V y

z z y

y x

x

dxdydz y

y z y x F k

2

2 3

0 2

0 2

0

0

) ( ) (

) (

) )(

, , ρ(

, 

[ ]

∫∫∫

+ +

=

V z

z z y

y x

x

dxdydz z

z z y x F k

2

2 3

0 2

0 2

0

0

) ( ) (

) (

) )(

, , ρ(

。 

我们有必要研究多元微积分学。 

 

§7.3  定积分在经济学中的应用 

    例 1

已知生产某商品x件时的边际收入是

100 25 )

( x

x

r = −  (元/件)。试求生产此 种商品 1000 件时总收入和平均收入以及生产 1000 件到 2500 件时增加的收入和平均收入。 

解:

 R(1000)=

01000 r(x)dx =

01000 (10025x )dx=80000(元) 

      80

1000 ) 1000 ) (

1000

( = R =

R (元/件) 

      ) 45000

100 25 ( )

1000 ( ) 2500

( 2500

1000 − =

=

R

x dx

R (元) 

     30

1000 2500

) 1000 ( ) 2500

( =

R

R (元/件) 

例 2:

 设某产品的总成本C(单位:万元)的边际成本是产量x(单位:百台)的函

数 ( ) 4 4x x

C′ = + 。总收入R(单位:万元)的边际收入是产量x的函数R′(x) =9−x。 

(1)  求产量由 1 百台增加到 5 百台时总成本与总收入各增加了多少? 

(2)  已知固定成本C(0)=1万元,分别求出总成本,总收入,总利润与产量x

函数关系式。 

解:

 (1)  ) 19

4 4 ( )

( 5

1 + =

=

x dx

x

C  (万元) 

      

5(9 ) 24

1 − =

=

x dx

R

  

(万元) 

(2) C(x)=C(0)+

0xC(t)dt 

        2

0 8

4 1 1 4) 4 (

1 x t dt x x

+ +

= +

+

=

 … … 总成本函数。 

2

0 2

9 1 ) 9 ( )

(x t dt x x

R =

x − = −

 … …  

总收入函数。 

8 1 5 5 ) ( ) ( )

(x =R xC x = xx2

L  

… …  

总利润函数。 

又最大利润: L′(x)=0,x =4,L′′(4)<0,故x=4(百台)时利润最大,L(4) =9 (万 元)。 此时总成本C(4)=19(万元), 总收入 R(4)=28(万元)。 

(13)

例 3:

 某地区的人口数y与时间t有关,且人口增长率与(Ny)成正比。若初始化 时刻t =0时的人口数y(0)= y0,求人口数y与时间t的函数关系。 

解:  k(N y) dt

dy = −     通解为: y=NCekt  

     y(0)= y0  得 C =(Ny0), y =N −(Ny0)ekt       当k >0时,  y N

t =

lim ; 

     当k <0且y0 >N 时,  =+∞

y

limt ,人口爆炸! 

 

§7.4  无穷小量与无穷大量之比较 

 

定义: 

f (x),g(x)都是U0(x0)上无穷小量,且g(x)≠0。 

1) 若 A

x g

x f

x

x =

( )

) lim (

0

A≠∞0,则称 f(x)g(x)为同阶无穷小量, 若A=1 

称它们为等价无穷小量,记作f (x)g(x) (xx0。 

2) 若 0

) (

) lim (

0

g x = x f

x x

,则称 f(x)是较g(x)的高阶无穷小量, 记作  f(x)=o(g(x)) 

xx0。 

3)  若∃M ,使得| f(x)|≤M |g(x)| xU0(x0),则 记 作

 

f(x)=O(g(x))

xx0。 

由定义我们有:sin xx x→0), 1−cosx 2 2

1x x→0),

x 1x sin

sin O(x)(x→0)。  类似的对无穷大量, 我们也有 

定义

  设f(x)g(x)都是U0(x0)上无穷大量,且g(x)≠0。 

1) 若 A

x g

x f

x

x =

( )

) lim (

0

A≠∞,0,则称 f(x),g(x)为同阶无穷大量, 若A=1, 

称它们为等价无穷大量,记作f (x)g(x) (xx0。 

(14)

2) 若 0 ) (

) lim (

0

g x = x f

x x

,则称 f(x)是较g(x)的低阶无穷大量, 记作  f(x)=o(g(x)) 

xx0。 

3 )   若 ∃M 使 得| f(x)|≤M |g(x)| xU0(x0) , 则 记 作

 

f(x)=O(g(x))

xx0。 

由定义我们有: 

      n  n+1   (n→+∞,    x =o(x2)  (x→+∞, 

      xsin x =O(x)   (x→+∞。 

xx0时,我们称与(xx0)k同阶的无穷小量为k阶无穷小;当x→+∞时,我 们称与 k

x

1 同阶的无穷小量为k阶无穷小。类似的可以定义k阶无穷大量。 

关于oO的运算,我们有如下三原则: 

1) o(g(x))±o(g(x))=o(g(x))   (xx0, 

2) O(g1(x))⋅o(g2(x))=o(g1(x)⋅g2(x))  (xx0, 

3)  o(O(g(x)))=o(g(x))    (xx0, 

4)  O(o(g(x)))=o(g(x))    (xx0。 

注 

 这里的等式与通常等式意义不同,它只表明极限运算的性质,即从左边推出右边,

反之不成立。 

1)  的证明

   令α(x)=o(g(x)), β(x)=o(g(x))xx0, 即 

) 0 (

) lim (

0

g x = x

x x

α  ,          0 ) (

) lim (

0

g x = x

x x

β 。  

则  0

) (

) lim ( ) (

) lim ( )

( ) ( ) lim (

0 0

0

=

±

± =

g x

x x

g x x

g x x

x x x

x x

x

β α

β

α  , 

即 α(xβ(x)=o(g(x))  (xx0。 

2) 的证明  

α(x)=O(g1(x)), β(x)=o(g2(x))xx0, 

即    |α(x)|≤M |g1(x)|,     0 ) (

) lim (

0 2

g x = x

x x

β  

(15)

则  0 ) ( ) (

) ( ) lim (

2

0 1

⋅ =

g x g x

x x

x x

β

α , 即 

)) ( ) ( ( ) ( )

(xβ x =o g1 x g2 x

α , (xx0。 

3) 的证明

  令α(x)=O(g(x))β(x)=o(α(x))xx0, 

 

|α(x)|M |g(x)|,        0 ) (

) lim (

0

x = x

x

x α

β 。 

则  0

) ( ) (

) ( ) lim ( ) (

) lim (

0 0

=

=

g x x

x x x

g x

x x x

x α

β α

β , 即 β(x)=o(g(x)) (xx0。 

4) 的证明

类似于 3),省略。 

例   

x→0时,求1−cos(sin x)的等价无穷小量。 

解   

( )

2 cos 1

1− x= x2 +o x2

 

) (sin )

2(sin ) 1 cos(sin

1− x = x 2 +o 2 x

 

       

[ ( )] ( ( )) 2

1 2 2

x O o x o

x+ +

=

   

       

( ) ( ) ( ) ( ) 2

1 2 2

x o x o x o x o x

x + ⋅ + ⋅ +

=

 

       

( ) 2

1 2 2

x o x +

=

 

    

所以  

  

1−cos(sin x)   2 2

1x 。      

§7.5  Taylor 公式 

 

1. 积分余项的 Taylor 公式   

我们已经得到积分余项的 Taylor 公式: f(x)∈Cn+1(x0h,x0 +h),则

=

+

= n

k

n k k

x R x

k x x x f

f

0

0 0

) (

) ( )

! ( ) ) (

(

其中Rn x = n

xx0 f n+ t xt ndt

) )(

! ( ) 1

( ( 1) xx0 <h

Rn( x)的积分表达式用微分第一中值定理,

Rn x =n f n+

xx0 xt ndt

) ( )

! ( ) 1

( ( 1) ξ ( 1) ( 0) 1

)!

1 (

)

( +

+

= n+ x x n

n

f ξ

(16)

ξ介于x0x之间。这称为 Lagrange 余项。这里f(x)∈Cn+1(x0h,x0 +h),要求f (x) 的n+1阶导数连续,太强了些,事实上n+1阶导数存在即可。

在 Lagrange 余项 Taylor 公式中,其余项显然满足

n n x x n o

(

x x n

)

n x f

R ( ) ( )

)!

1 (

) ) (

( 0 1 0

) 1

( − = −

= ++ ξ +

这样的余项称为 Peano 余项,实际上关于 Peano 余项的 Taylor 公式也不需要这么强的条件。

在下两个小节中我们给出合适的光滑条件的带 Peano 余项的 Taylor 公式和带 Lagrange 余项 的 Taylor 公式。

2.

Peano 余项的 Taylor 公式

函数在x0点可微,等价于在x0点可导,依定义有

f(x)= f(x0)+ f(x0)(xx0)+o

(

(xx0)

)

从逼近观点,f(x0)+ f′(x0)(xx0)是个一阶多项式(即线性函数),上式表明,在 可导条件下,f(x)可以用这一阶多项式逼近(线性逼近),误差是相对(xx0)的高阶无穷

小。现在我们想推广到n阶多项式逼近,误差为高于n阶的无穷小量:

f(x) =a0 +a1(xx0)+L+an(xx0)n +o

(

(xx0)n

)

 定理 1

f(x)=a0 +a1(xx0)+L+an(xx0)n +o

(

(x x0)n

)

成立,则逼近多

项式唯一。

f(x)=a0 +a1(xx0)+L+an(xx0)n +o

(

(x x0)n

)

=b0+b1(xx0)+L+bn(xx0)n +o

(

(xx0)n

)

我们来证ak =bkk =0,1,L,n

xx0,我们得a0 =b0,等式两边消去常数项,除以(xx0),得

a1+a2(xx0)+L+an(xx0)n1+o

(

(xx0)n1

)

=b1+b2(xx0)+L+bn(xx0)n1+o

(

(xx0)n1

)

再令xx0,我们得a1 =b1,如此进行,我们得ak =bk,直到k =n

定理 2

f(x)在x0点的n阶导数存在,则

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