第 七 章 微 积 分 应 用
§7.1 定积分的几何应用
1. 平面图形的面积
定积分的应用,关键是把问题写成
∫
abf(x)dx的形式,这时关键是把f(x)dx=dF(x)的意义搞清楚,这个观点称为微元法。
比如要求以x=a,x =b(a<b),y= f(x),y =g( x)所围图形的面积,其中 )
(x
f ,g(x)连续,且f(x)≥g(x)。我们考虑从x到x+dx这个微元,它的面积可看成一 个矩形,高近似地取 f(x)−g(x),其面积=(f(x)−g(x))dx=dA(x)。所以所围图形面 积为
∫
ab[
f(x)−g(x)]
dx。
α
如果函数由极坐标给出,我们要求向径θ =α,θ =β (α < β)和函数r =r(θ)围成 的面积(如右上图)。考虑从θ到θ d+ θ这个微元,它近似地可看成是个扇形,面积微元
θ θ
θ r d
dA ( )
2 ) 1
( = 2 ,所以总面积
∫
αβr (θ d) θ 21 2
。
例 1
求曲线y2 =−4(x−1)与y2 =−2(x−2)围成的图形面积。解
画图如下,恰如“月上柳梢头,人约黄昏后”的一弯新月,切记做这类问题都要 画图,一是便于理解掌握,二是“诗配画”的意境是一个整体,绝不是单单几个公式一个答 案所能涵盖的。这里把y2 =−4(x−1)写成 (4 ) 4
1 2
y
x= − ,y2 =−2(x−2)写成 (4 ) 2
1 2
y
x = − ,它
们是有两个交点y=±2的两条抛物线。
S
∫
− y y dy − − −
= 2
2
2
2 (4 )
4 ) 1 4 2(
1
[
21(4 ) 41(4 )]
382 2
0
2
2 − − =
−
=
∫
y y dy 。
(4 ) 2
1 2
y
x= −
4 π
) 4 4(
1 2
y
x = −
例 2
求双纽线r2 =a2cos2θ 所围成的图形面积。解
作图如右上。 4 20
2 cos2 2
4 1 a d a
S = ⋅
∫
π θ θ = 。例3
求心脏线r =a(1+cosθ)(a>0) 围成的面积。
f =a(1 cos )+ θ
= ⋅2
∫
0π 2(1+cosθ)2 θ2 1 a d
S
=a2
∫
0π(1+2cosθ +cos2θ)dθ= a2
∫
0π(1+2cosθ +1+cos2 2θ)dθ2 2 3πa
= 。
由参数方程 ( )
) (
)
( α ≤ ≤β
=
= t
t y y
t x
x ,
=
= ) ( ) (
) ( ) (
β α
β α
y y
x
x 围成的封闭图形,选点 x y
0 2a
) 0 , 0
( ,(x,y),(x+dx,y+dy)围成的三角形作为微元,其面积
( )
2 1 2
1 1 1 1 0 0
2
1 xdy ydx
dy dx
y x dy
y dx x
y x
dS = = −
+ +
= 。
所以 =
∫
− =∫
αβ[
′ − ′]
β
αxdy ydx x t y t y t x t dt
S ( ) ( ) ( ) ( )
2 1 2
1 。
y
(x+△x,y+△y)
(x,y)
(0,0) x
例 4
求旋轮线
−
=
−
=
) cos 1 (
) sin (
t a
y
t t a
x (0≤t≤2π) 与x轴围成的面积。
解
S =21∫
02π[
x(t)y′(t)− y(t)x′(t)]
dt xy((tt))==t0− 21
∫
02π[
x(t)y′(t)−y(t)x′(t)]
dtyx==aa((1t−−sincostt))
= 21
∫
02πa2(1−cost)2dt−21∫
02πa2(t−sint)sintdt=3 aπ 2。
2 体积,弧长,侧面积
A(x)
a b x
设一物体位于平面x=a和x=b之间(a<b),如果对任何x:a≤ x≤b,垂直于x
轴的平面与该物体相交的截面积A( x)为已知,考虑从x到x+dx微元,其体积微元为
dx x
A )( ,故A=
∫
abA(x)dx。
y=f(x)
A(x) =py2
如果有一曲边梯形,沿x轴转360o,得一旋转体,其体积微元π f2(x)dx,故
∫
= b
a f x dx
A π 2( ) 。若该曲边曲线由参数方程 ( ) )
( )
( α ≤ ≤β
=
= t
t y y
t x
x 给出,则
∫
∫
= ′= β
α β
α π
π y t dx t y t x t dt A 2( ) ( ) 2( ) ( ) 。
y
ds dy
dx
O x
考虑一段从(x,y)到(x+dx,y+dy)弧长微元,勾股定理给出ds2 =dx2 +dy2故弧长
=
∫
+ =∫
αβ ′ + ′ βα dx dy x t y t dt
S 2 2 ( )2 ( )2 。
特别地,曲线由y= f(x)给出时,S =
∫
ab 1+ f′(x)2 dx。由参数方程
=
= ) (
) (
t y y
t x
x 定义的一段曲线,绕x轴旋转一周所得的旋转体,其表面积
微元 2πyds,故表面积 P=2π
∫
αβy(t) x′(t)2 + y′(t)2 dt。若曲线由y = f(x)定义,则旋转体侧表面积P=2π
∫
abf(x) 1+ f′(x)2 dx。若曲线由极坐标方程r =r(θ)定义,则旋转体侧表面积
P=2π
∫
αβr(θ)sinθ r(θ)2+r′(θ)2 dθ 。 这是因为这时可看成参数方程
=
=
θ θ
θ θ
sin ) (
cos ) ( r y
r
x ,x′(θ)2 + y′(θ)2 =r(θ)2 +r′(θ)2。
例 5
求两个半径相等,其轴垂直相交的圆柱面x2 +y2 =a2与x2 +z2 =a2所围成 的立体的体积。z
a
x
a a
x y
解
在八个卦限中立体是对称的,我们只要在第一卦限中体积再乘以 8 即可。过点 )0 , 0 ,
( x
作垂直于x轴的平面,它于该立体在第一卦限所截图形为一正方形, 边长
2
2 x
a −
= ,其面积为P(x)=a2 −x2,故体积为 3
0
2 2
3 ) 16 (
8 a x dx a
S =
∫
a − = 。例 6
求抛物面2az=x2 + y2与上半球面x2 +y2 +z2 =3a2 (a>0),z >0所围 成的立体的体积。z
a
O y
x
解
两曲面都是绕z轴旋转体,两曲面交线是一个圆。位于z=a平面上,由
= +
= + +
az y
x
a z y x
2 3
2 2
2 2 2 2
,z2 +2az =3a2,(z+a)2 =(2a)2,z>0 得 z=a。
=
∫
+∫
a a −a azdz a z dz
V 3 2 2
0 2 π (3 )
π (6 3 5)
3
3 −
= πa
。
例 7
求旋轮线
−
=
−
=
) cos 1 (
) sin (
t a
y
t t a
x (0≤t≤2π)之弧长。
解
x′(t)=a(1−cost),y′(t)=asint ,S =
∫
02π a2(1−cost)2 +a2sin2tdt=
∫
02πa 2(1−cost)dta t dt 8a sin 2
2
2
0 =
=
∫
π 。例8
求星形线(铜钱线)
=
=
t a y
t a x
3 3
sin
cos 的弧长。
y
O a x
解
考虑 0 2 : →πt ,x′(t)=−3acos2tsint,y′(t)=3asin2tcost。
∫
+= 2
0
2 4 2 2
4
2cos sin 9 sin cos
9 4
π
dt t t a t t a
S
=12
∫
02cos sinπ
tdt t
a =12
∫
02 sin sinπ
t d t
a
6asin t 2 6a
0
2 =
= π 。
例9
求椭圆
=
= t b y
t a x
sin
cos 0≤t ≤2π 周长。
解
x′(t)=−asint,y′(t)=bcost,=
∫
02 +2 2 2
2sin cos
4
π
dt t b
t a
S
=4a
∫
0π2 1−a2a−2b2 cos2t dt=
∫
02 −2 2cos 1
4
π ε t dt
a 。
其中 1 2 2 b a a −
=
ε 是椭圆的离心率,它是“椭圆积分”,不能用初等方法积出来。考虑
∫
−= θ ε
θ 0
2 2cos 1
)
( t dt
f ,其反函数称为“椭圆函数”,在数论中具有基本的重要性。
椭圆的面积:x =acost,y=bsin t,
ab t t dt ab
ydx xdy
S = 12
∫
02π − = 2∫
02π (cos2 +sin2 ) =π 。例10
求旋轮线
−
=
−
=
) cos 1 (
) sin (
t a
y
t t a
x (0≤t≤2π)绕x轴旋转所得旋轮体的侧表面积
解
ds a t dt sin 2=2 ,
P=2π
∫
02πa(1−cost)⋅2asin 2t dt=4πa2
∫
02π(1−cost)sin 2t dt=8πa2
∫
02πsin3 2t dt=16πa2
∫
0πsin3udu=−16πa2
∫
0π(1−cos2u)dcosu2
0 3 3 2 1
3 ) 64 cos (cos
16πa u− u π = πa
−
= 。
例 11
求旋转椭圆体的表面积。解
设椭圆体是由 2 12 2
2 + =
b y a
x (a>b)绕x轴旋转而得,这时
2
2 2 2
2 x
a b b
y = − , x
a y b
y 2
− 2
′=
及 4 2
4 2 2 2 2 2 2
2 ( )
1 x
a x b a b b y
y y y
y + ′ = + ′ = − +
2 2 2 2 2
2 2
2 a x
a x b a
b a a
a
b − − = −ε
= 。
其中 a
b a2 − 2
=
ε 为椭圆的离心率。
=
∫
−a −a a x dx
a
P 2π b 2 ε2 2
=4π ab
∫
0a a2 −ε2x2 dx
a a
x x a
a a x
b
0 ) arcsin 2
2 (1 4
2 2 2
2 ε
ε ε
π − +
=
2 ( arcsinε) π εa
b b +
= 。
如果此椭圆绕y轴旋转,则 =
∫
−b + ′bx x dx
P1 2π 1 2
∫
−+ −
= b
b x dx
a b b a
b
a 2
2 2 2
2π 2
b
b x b x a
b b a
b x b x a
b b a b a
b b a
0 1 ln
1 2
2 4
2 2 2
2 2
2 4
2 2 2
2 2
2 2
3
+ + −
+ −
− − +
= π −
− +
+ −
= b
a b a b
a a b a
2 2
2 2
2
ln
2π 。
§7.2 定积分的物理应用
1. 曲率
设计铁路转弯时,里外两轨要有一定高度差,这由设计车速和曲率来决定,所以计算 曲线曲率是很重要的一件工作。
令α表示曲线斜率正切对应的角度,s表弧长,则曲率定义为 k s
s ∆
= ∆
→
∆
α lim0 。
如果曲线由参数方程
=
= ) (
) (
t y y
t x
x 给出,
dt ds dt d
k
= α ,由
) (
) (
t x
t tg y
′
= ′
α ,
) (
) (
t x
t arctg y
′
= ′
α
及 x(t)2 y (t)2 dt
ds = ′ + ′ ,得
2 3
) 1 (
'
2 2 2
2
2 x y
y x y x y
x x y
x y
dt ds dt d
k ′ + ′
′
− ′′
′′
= ′ + ′
′
′ + ′
′
′
=
= α
。
如果曲线由y= f(x)给出,则
2 3 2) 1
( y
k y + ′
= ′′ 。
如果曲线由极坐标r =r(θ)给出,则
2 3 2 2
2 2
) (
2 r r
r r r k r
+ ′
− ′′
+ ′
= 。
曲率的倒数,
R= k1,称为曲线在该点的曲率半径,过该点与曲线有相同一阶,二阶 导数的圆周C称为曲率圆。
R
M
2 质心(重心)
平面简单曲线
=
= ) (
) (
t y y
t x
x (α ≤x≤β),如果其上定义一个线密度ρ(t),则曲线Γ
的质量公式 M =
∫
αβρ(t) x′(t)2 + y′(t)2 dt。 曲线Γ对y轴和x轴的静力矩是My =
∫
αβρ(t)x(t) x′(t)2 + y′(t)2 dt, Mx =∫
αβρ(t)y(t) x′(t)2 +y′(t)2 dt。Γ的质心
= =
∫
αβρ t x t x′ t + y′ t dt MM
x My 1 ( ) ( ) ( )2 ( )2
,
= =
∫
αβρ t y t x′ t + y′ t dt MM
y Mx 1 ( ) ( ) ( )2 ( )2
。 特别地,当曲线质量是均匀分布的,不妨设ρ(t) =1,则
x =1l
∫
0lxds, y =1l∫
0lyds。由最后一式可得
2πyl=2π
∫
0lyds 。古鲁金定理
平面曲线绕此平面上不与其相交的轴旋转一周,生成的旋转体侧面积等 于此曲线的质心绕同一轴旋转所产生的圆周长乘以该曲线的弧长。y
y=f(x)
y=g(x)
O x x+dx x
例:
求x2 +(y−a)2 =R2 (a >R)绕x轴转动所成圆环侧面积。S =2πa⋅2πR=4π2aR
现考虑平面图形的质心。
质量微元 dM =[f(x)−g(x)]dx,
关于y轴的静力矩微元 dMy = x[f(x)−g(x)]dx, 关于x轴的静力矩微元 dMx [f(x) g(x)][f(x) g(x)]dx
2
1 + −
=
[f 2(x) g2(x)]dx
2
1 −
= 。
所以平面图形质心的坐标为:
∫
∫
−
= −
= b
a b a y
dx x g x f
dx x g x f x M
x M
)]
( ) ( [
)]
( ) ( [
;
∫
∫
−
= −
= b
a b x a
dx x g x f
dx x g x f x M
y M
)]
( ) ( [
)]
( ) ( 2 [
1 2 2
由上式,我们得2πy
∫
ab[f (x)−g(x)]dx =π∫
ab[f2(x)−g2(x)]dx,即2π y⋅S =V 。其中S是平面图形的面积,V 是该平面图形绕x轴旋转所得立体的体积。
古鲁金定理
一平面图形绕与其不相交的轴(可以是它的边界)旋转所得立体的体积 等于该平面图形面积与重心绕轴旋转的周长的乘积。3 旋转惯量
质点m到定轴u的距离为r,转动的角速度ω为常数,则质点动能
2 2 2 2 2 1 2
1 2
1mv mr ω Iuω
E = = =
我们称Iu =mr2为质点对u轴的转动惯量。
例
求曲线x =x(t),y= y(t)关于y轴及x轴的转动惯量。解
dIy =x2ρds ρ = ρ(t)为曲线密度,dIx = y2ρds
。
Iy =
∫
lx ρds=∫
αβx2 t ρ t x′ t 2 + y′ t 2 dt0
2 ( ) ( ) ( ) ( ) ,
Ix =
∫
ly ρds=∫
αβy2 t ρ t x′ t 2 + y′ t 2 dt0
2 ( ) ( ) ( ) ( ) 。
静力矩计算中,用到
∫
abxf(x)dx型积分,数学上我们称为一阶矩;转动惯量计算中,用到
∫
abx2f(x)dx型积分,数学上我们称之为二阶矩;一般地在数学上可定义n阶矩:∫
abxn f(x)dx。4 引力和功
两个质点m1,m2,相距r,则其间万有引力为
2 2 1
r m Gm
F = 。如果有一均匀细棒,
长2l,质量M,在其延长线上离中心距离为a(a>l)处有一质点A,质量为单位1,则棒 对它引力元
−l 0 l a
)2
(
2 1 x G a
dF l
Mdx
−
= ⋅ ,
∫
− = −= l −
l a l
dx GM x a
l
F GM 2 2 2
) (
2 。
力F( x)沿它作用方向运动dx,作功为 dW = Fdx,则从a到b作功W =
∫
abF(x)dx。如 果 有 三 维 物 体V , 体 密 度 为 ρ(x,y,z) , 则 对 其 外 单 位 质 量 质 点 引 力 k
F j F i F
F = x + y + z 为
[ ]
∫∫∫
− + − − + −=
V x
z z y
y x
x
dxdydz x
x z y x F k
2
2 3
0 2
0 2
0
0
) ( ) (
) (
) )(
, , ρ(
,
[ ]
∫∫∫
− + − − + −=
V y
z z y
y x
x
dxdydz y
y z y x F k
2
2 3
0 2
0 2
0
0
) ( ) (
) (
) )(
, , ρ(
,
[ ]
∫∫∫
− + − − + −=
V z
z z y
y x
x
dxdydz z
z z y x F k
2
2 3
0 2
0 2
0
0
) ( ) (
) (
) )(
, , ρ(
。
我们有必要研究多元微积分学。
§7.3 定积分在经济学中的应用
例 1 :
已知生产某商品x件时的边际收入是100 25 )
( x
x
r = − (元/件)。试求生产此 种商品 1000 件时总收入和平均收入以及生产 1000 件到 2500 件时增加的收入和平均收入。
解:
R(1000)=∫
01000 r(x)dx =∫
01000 (100−25x )dx=80000(元)80
1000 ) 1000 ) (
1000
( = R =
R (元/件)
) 45000
100 25 ( )
1000 ( ) 2500
( 2500
1000 − =
=
−R
∫
x dxR (元)
30
1000 2500
) 1000 ( ) 2500
( =
−
−R
R (元/件)
例 2:
设某产品的总成本C(单位:万元)的边际成本是产量x(单位:百台)的函数 ( ) 4 4x x
C′ = + 。总收入R(单位:万元)的边际收入是产量x的函数R′(x) =9−x。
(1) 求产量由 1 百台增加到 5 百台时总成本与总收入各增加了多少?
(2) 已知固定成本C(0)=1万元,分别求出总成本,总收入,总利润与产量x的
函数关系式。
解:
(1) ) 194 4 ( )
( 5
1 + =
=
∫
x dxx
C (万元)
5(9 ) 24
1 − =
=
∫
x dxR
(万元)
(2) C(x)=C(0)+
∫
0xC′(t)dt2
0 8
4 1 1 4) 4 (
1 x t dt x x
+ +
= +
+
=
∫
… … 总成本函数。2
0 2
9 1 ) 9 ( )
(x t dt x x
R =
∫
x − = −… …
总收入函数。8 1 5 5 ) ( ) ( )
(x =R x −C x = x− x2 −
L
… …
总利润函数。又最大利润: L′(x)=0,x =4,L′′(4)<0,故x=4(百台)时利润最大,L(4) =9 (万 元)。 此时总成本C(4)=19(万元), 总收入 R(4)=28(万元)。
例 3:
某地区的人口数y与时间t有关,且人口增长率与(N−y)成正比。若初始化 时刻t =0时的人口数y(0)= y0,求人口数y与时间t的函数关系。解: k(N y) dt
dy = − 通解为: y=N −Ce−kt
y(0)= y0 得 C =(N−y0), y =N −(N −y0)e−kt 当k >0时, y N
t =
∞
lim→ ;
当k <0且y0 >N 时, =+∞
∞
→ y
limt ,人口爆炸!
§7.4 无穷小量与无穷大量之比较
定义:
设f (x),g(x)都是U0(x0)上无穷小量,且g(x)≠0。1) 若 A
x g
x f
x
x =
→ ( )
) lim (
0
,A≠∞,0,则称 f(x),g(x)为同阶无穷小量, 若A=1,
称它们为等价无穷小量,记作f (x)∼g(x) (x→ x0)。
2) 若 0
) (
) lim (
0
→ g x = x f
x x
,则称 f(x)是较g(x)的高阶无穷小量, 记作 f(x)=o(g(x))
(x→x0)。
3) 若∃M ,使得| f(x)|≤M |g(x)|, x∈U0(x0),则 记 作
f(x)=O(g(x))
(x→x0)。
由定义我们有:sin x∼ x (x→0), 1−cosx∼ 2 2
1x (x→0),
x 1x sin
sin ∼ O(x)(x→0)。 类似的对无穷大量, 我们也有
定义
设f(x),g(x)都是U0(x0)上无穷大量,且g(x)≠0。1) 若 A
x g
x f
x
x =
→ ( )
) lim (
0
,A≠∞,0,则称 f(x),g(x)为同阶无穷大量, 若A=1,
称它们为等价无穷大量,记作f (x)∼g(x) (x→ x0)。
2) 若 0 ) (
) lim (
0
→ g x = x f
x x
,则称 f(x)是较g(x)的低阶无穷大量, 记作 f(x)=o(g(x))
(x→x0)。
3 ) 若 ∃M 使 得| f(x)|≤M |g(x)|, x∈U0(x0) , 则 记 作
f(x)=O(g(x))
(x→x0)。
由定义我们有:
n ∼ n+1 (n→+∞), x =o(x2) (x→+∞),
xsin x =O(x) (x→+∞)。
当x→ x0时,我们称与(x−x0)k同阶的无穷小量为k阶无穷小;当x→+∞时,我 们称与 k
x
1 同阶的无穷小量为k阶无穷小。类似的可以定义k阶无穷大量。
关于o与O的运算,我们有如下三原则:
1) o(g(x))±o(g(x))=o(g(x)) (x→ x0),
2) O(g1(x))⋅o(g2(x))=o(g1(x)⋅g2(x)) (x→x0),
3) o(O(g(x)))=o(g(x)) (x→ x0),
4) O(o(g(x)))=o(g(x)) (x→ x0)。
注
这里的等式与通常等式意义不同,它只表明极限运算的性质,即从左边推出右边,反之不成立。
1) 的证明
令α(x)=o(g(x)), β(x)=o(g(x)),(x→x0), 即) 0 (
) lim (
0
→ g x = x
x x
α , 0 ) (
) lim (
0
→ g x = x
x x
β 。
则 0
) (
) lim ( ) (
) lim ( )
( ) ( ) lim (
0 0
0
=
±
± =
→
→
→ g x
x x
g x x
g x x
x x x
x x
x
β α
β
α ,
即 α(x)±β(x)=o(g(x)) (x→ x0)。
2) 的证明
令α(x)=O(g1(x)), β(x)=o(g2(x)),(x→ x0),即 |α(x)|≤M |g1(x)|, 0 ) (
) lim (
0 2
→ g x = x
x x
β
则 0 ) ( ) (
) ( ) lim (
2
0 1
⋅ =
→ g x g x
x x
x x
β
α , 即
)) ( ) ( ( ) ( )
(x ⋅β x =o g1 x g2 x
α , (x→ x0)。
3) 的证明
令α(x)=O(g(x)),β(x)=o(α(x)),(x→x0),即
|α(x)|≤M |g(x)|, 0 ) (
) lim (
0
→ x = x
x
x α
β 。
则 0
) ( ) (
) ( ) lim ( ) (
) lim (
0 0
=
= →
→ g x x
x x x
g x
x x x
x α
β α
β , 即 β(x)=o(g(x)) (x→x0)。
4) 的证明
类似于 3),省略。例
当x→0时,求1−cos(sin x)的等价无穷小量。解
( )2 cos 1
1− x= x2 +o x2
) (sin )
2(sin ) 1 cos(sin
1− x = x 2 +o 2 x
[ ( )] ( ( )) 2
1 2 2
x O o x o
x+ +
=
( ) ( ) ( ) ( ) 2
1 2 2
x o x o x o x o x
x + ⋅ + ⋅ +
=
( ) 2
1 2 2
x o x +
=
所以
1−cos(sin x) ∼ 2 2
1x 。
§7.5 Taylor 公式
1. 积分余项的 Taylor 公式
我们已经得到积分余项的 Taylor 公式: f(x)∈Cn+1(x0 −h,x0 +h),则
∑
=
+
−
= n
k
n k k
x R x
k x x x f
f
0
0 0
) (
) ( )
! ( ) ) (
(
其中Rn x = n
∫
xx0 f n+ t x−t ndt) )(
! ( ) 1
( ( 1) , x−x0 <h。
对Rn( x)的积分表达式用微分第一中值定理,
Rn x =n f n+
∫
xx0 x−t ndt) ( )
! ( ) 1
( ( 1) ξ ( 1) ( 0) 1
)!
1 (
)
( +
+ −
= n+ x x n
n
f ξ
ξ介于x0与x之间。这称为 Lagrange 余项。这里f(x)∈Cn+1(x0 −h,x0 +h),要求f (x) 的n+1阶导数连续,太强了些,事实上n+1阶导数存在即可。
在 Lagrange 余项 Taylor 公式中,其余项显然满足
n n x x n o
(
x x n)
n x f
R ( ) ( )
)!
1 (
) ) (
( 0 1 0
) 1
( − = −
= ++ ξ +
这样的余项称为 Peano 余项,实际上关于 Peano 余项的 Taylor 公式也不需要这么强的条件。
在下两个小节中我们给出合适的光滑条件的带 Peano 余项的 Taylor 公式和带 Lagrange 余项 的 Taylor 公式。
2.
Peano 余项的 Taylor 公式
函数在x0点可微,等价于在x0点可导,依定义有
f(x)= f(x0)+ f′(x0)(x−x0)+o
(
(x−x0))
从逼近观点,f(x0)+ f′(x0)(x−x0)是个一阶多项式(即线性函数),上式表明,在 可导条件下,f(x)可以用这一阶多项式逼近(线性逼近),误差是相对(x−x0)的高阶无穷
小。现在我们想推广到n阶多项式逼近,误差为高于n阶的无穷小量:
f(x) =a0 +a1(x−x0)+L+an(x−x0)n +o
(
(x−x0)n)
定理 1
若f(x)=a0 +a1(x−x0)+L+an(x−x0)n +o(
(x− x0)n)
成立,则逼近多项式唯一。
证
设f(x)=a0 +a1(x−x0)+L+an(x−x0)n +o(
(x− x0)n)
=b0+b1(x−x0)+L+bn(x−x0)n +o
(
(x−x0)n)
。我们来证ak =bk,k =0,1,L,n。
令x→ x0,我们得a0 =b0,等式两边消去常数项,除以(x−x0),得
a1+a2(x−x0)+L+an(x−x0)n−1+o
(
(x−x0)n−1)
=b1+b2(x−x0)+L+bn(x−x0)n−1+o
(
(x−x0)n−1)
。再令x→ x0,我们得a1 =b1,如此进行,我们得ak =bk,直到k =n。