台南女中 105 學年度第二學期第一次段考高一數學科 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------

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台南女中 105 學年度第二學期第一次段考高一數學科

--- 一、單選題(每題 6 分)

( )1. 下表中，A B C, , 三組資料x和y的相關係數分別為 , ,r r r ，選出正確的選項 _A _B _c A x ₋₁ 2 3 4

B x 2 3 4 7

C x 2 3 3 4

y 7 3 1 1 ^y 3 1 1 7 ^y 3 1 7 1

(1)r_B < < (2)r_C r_A r_A < < (3)r_B r_C r_A < < (4)r_C r_B r_C < < (5)r_B r_A r_C < < r_A r_B

( )2. 某公司在民國 103 年獲利為 2000 萬元，從 103 年到 104 年獲利成長 60%，從 104 年到 105 年獲利衰退 50%。則 103 年到 105 年的年平均獲利成長率r 最接近下列哪一個選項？

(1)10% (2)5% (3)0% (4)− % (5) 105 − %

( )3. 甲班有 20 人，數學成績算術平均數為 50 分，標準差為 5 分，乙班有 10 人，數學成績算術平均數為 80 分，標準差為 4 分，設兩班合併計算後，50 人成績的標準差σ 會落在下列哪一個範圍？

(1)0≤ < (2)3σ 3 ≤ < (3) 4σ 4 ≤ < (4)5σ 5 ≤ <σ 20 (5)σ ≥20 二、多選題(每題 5 分，答錯一個得 3 分，答錯兩個得 1 分，答錯三個以上不給分) ( )4. 下表是某班 31 人這次月考中，國英數三科的人數統計表，選出正確的選項。

50 分 60 分 70 分 80 分 90 分

國文 2 5 19 4 1

英文 1 4 19 5 2

數學 10 4 3 4 10

(1)英文成績的平均小於數學成績的平均 (2)國文成績的標準差小於英文成績的標準差 (3)英文成績與數學成績為負相關 (4)英文成績的眾數為 19 (5)數學成績的標準差最大 ( )5. 下表是女子 53 公斤級舉重選手許淑淨在 2016 年里約奧運前三年內大型比賽的成績。設

x(公斤)為抓舉成績，y(公斤)為挺舉成績，選出正確的選項賽別

2013 大專舉重

錦標賽

2014 亞洲運動會

2015 世界舉重錦標賽

抓舉x公斤 103 101 96

挺舉y公斤 127 132 125

(1)x的標準差和y的標準差相等 (2)設x和y的相關係數為 r ，則| | 0.5r =

(3)設y對x的迴歸直線為L y: =ax+b，則a< 0 (4)設y對x的迴歸直線為L y: =ax+b，則| | 180b <

(5)根據y對x的迴歸直線預測，若許淑淨在 2016 年的奧運抓舉 102 公斤，則挺舉應該大於或等於 130 公斤

( )6. 統計上有Z 分數與T分數兩種。原始數據x的Z 分數為x µ σ

− ，其中µ 和σ 分別為整組資料的算術平均數和標準差；T分數則可由T =a Z( +b)得到，並可使整組資料T分數的算術平均數為 50，標準差為 10。設甲班本次數學月考原始成績平均為 40 分，標準差為 4 分，

小明的原始成績為 48 分。選出正確的敘述。

(1)a=10 (2)b=50 (3)小明原始成績的Z分數為 2

(4)設小明原始成績的T分數為x，若老師決定將全班同學的成績以「原始成績乘以 1.5，

再加 2 分」調整，則小明新成績的T分數為1.5x+ 2

(5)若全班原始成績T分數的全距為 40，則全班原始成績為 16

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( )7. 有 20 筆整數數據的中位數為 10，算術平均數為 13，眾數為 8。如今發現有兩筆數據須修正，其中一筆原來為 5，修正後為 9，另一筆原來為 4，修正後為 0，選出正確敘述。

(1)數據修正後，中位數仍為 10 (2)數據修正後，算術平均數仍為 13 (3)數據修正後，眾數仍為 8 (4)數據修正後，標準差會變小

(5)此 20 筆數據中，至少有一筆數據大於 17

( )8. 如圖，給定一個邊長為 2 的正方形，依下列步驟將其分割著色：

步驟一：將其等分成 4 個正方形，並將其左下角的正方形塗上灰色，得到圖 1

步驟二：將圖一中剩下的 3 個未塗色正方形分別等分成 4 個正方形，並將其左下角的正方形塗上灰色，得到圖 2

依照此規律繼續分割與著色，並設a 表示圖_n n中灰色正方形的總面積，例如a₁= 。關於1 數列 a_n 選出正確選項

(1) 7 ¹ ( )4

n

an = ⁻ ，n≥ (2)1 3 1

n 4

a = n+ ，n≥ (3)1 4 1 ( )³ 4

n

an =  − ，n≥ 1

(4) ¹

1

3 ,ⁿ 1

n n

a

a ₊ a n

 =

 = + ≥

 (5)

1

( ) ,3 1 4

n

n n

a

a₊ a n

 =



= + ≥



( )9. 設數列 a_n 前n項之和

1

2 2

n

n k k

a

=

= −

∑

^，ⁿ≥ 。選出正確的敘述 ¹

(1)a₃ = (2)4 a₂× > × (3)a₈ a₄ a₆ a_n 是等比數列 (4)a₃+ +a₅ a₇ + +a₉ a₁₁+a₁₃ <2¹³ (5)a₁+ + + + + +a₂ a₃ a₄ a₅ a₆ a₇ ≥ a₈

( )10.某鑑定考試測驗數學成績x與英文成績y，最後以兩科平均

成績 2

x y

z= + 的排名決定錄取順序。10 個考生的英文成績y 及數學成績x如圖，選出正確的選項

(1)英文成績y的標準差比數學成績x的標準差小 (2)數學成績x和兩科平均成績 z 是負相關

(3)數學成績x和英文成績y的相關性比數學成績x和兩科 平均成績 z 的相關性弱

(4)設數學成績x與兩科平均成績 z 的相關係數為r ，數學成績₁ x與兩科成績總和 x y+ 的相關係數為r ，則₂ r₁< r₂

(5)設數學成績x和英文成績y的相關係數為 r ，迴歸直線為y=ax+b，則|a| | |< r 三、填充題(每題 6 分)

11.設遞迴數列 ¹ ₂

1

, 1

n n

a

a ₊ a n n

 =

 = + ≥

 ，則a 的值為__________ ₁₆

100 80 60 40 20 0

英文成績

y

0 20 40 60 80 100 數學成績x 圖 1 圖 2

(3)

12.觀察右圖的規律，圖n是「每邊有n+ 個鋼珠的正三角形陣列」。 1 則從圖 1 到圖 19 總共有__________個鋼珠

13.有一跳水比賽成績計算方式為：由五個評審評分，去掉最高分及最低分後，剩下三個評分的算術平均數即為選手最後成績。已知分數皆為整數，前四個評審分別給選手 85，94，77，80 分，

而選手甲最後的成績恰為五個評分的中位數，則第五個評審的評分為__________分

14.某班有 50 個學生，某次小考一題，答對得 10 分，答錯得 0 分，沒有部分計分。已知平均分數為 3 分，共有a人答對，成績的標準差 b 為。則數對( , )a b 為__________

15.測量某地溫度攝氏x度和濕度y%得到 15 筆資料( ,x x₁ ₂),, (x₁₅,x₁₅)，已知

15

1 k 450

k

x

=

∑

= ^，

15

1 k 300

k

y

=

∑

= ^，且^x^{的標準差為 2，}^y^{的標準差為 4，}^y^對^x^{的迴歸直線為}^y⁼⁷₆^x^{− 。回答下列}¹⁵ 兩小題：

(1)x和y的相關係數為__________

(2)將溫度改用華氏z 度為單位(華氏 z 度 9

= × (攝氏5 x度) 32+ 度)。若y對 z 的迴歸直線y=az+b，則a值為__________

四、計算證明題(11 分)

1. 用數學歸納法證明：對任意正整數n≥2，等式 1₂ 1₂ 1₂ 1₂ 1 (1 ) (1 ) (1 ) (1 )

2 3 4 2

n

n n

− × − × − × × − = + 皆成立

圖 1 圖 2 圖 3

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