uuuv ED = a v

1. 如右圖﹐若 D﹑E﹑F 分別為△ABC 中 AB ﹑

BC

CA

uuuv ED = a v

﹐

EF = b

uuuv v

﹐則下列敘述何者正確？

(A)

uuuv EC = − a b v v

uuuv AE = + a b v v

uuuv EB = − b a v v

uuuv DF = − b a v v

解解

解 (A)×：

EC uuuv = uuuv DF = EF uuuv − ED uuuv = − b a v v

(B)×：uuuvAE= −uuuvEA= −(uuuvED+uuuvEF)= − +(a bv v) (C)×：

EB uuuv = FD uuuv = ED uuuv − uuuv EF = − a b v v

(D)○：承(A)﹐

uuuv DF = − b a v v

2. 已知△ABC 中﹐uuuvAB=( 4 , 3)

﹐BCuuuv=(1 , 9 )

﹐試求△ABC 的周長。

解 解解 解

AC

uuuv

＝

uuuv AB + BC uuuv

＝（4，3）＋（1，9）

＝（5，12）﹐

△ABC 的周長為 uuuvAB + BCuuuv + uuuvAC

＝

4

+ + 3

1

+ 9

+ 5

+ 12

＝5+ 82 13+

＝18+ 82

3. (1) 已知正三角形 ABC 的邊長為 1﹐試求 ABuuuv ⋅ uuuvAC

(2) 已知正六邊形 ABCDEF 邊長為 1﹐試求 ABuuuv ⋅ uuuvAC

解 解 解

解 (1) 如右圖﹐AB uuuv

與

AC uuuv

的夾角為 60°﹐

故 uuuvAB ⋅ uuuvAC= uuuvAB uuuvAC cos 60° 1 1 1

= × ×2 1

= 2 (2) uuuvAB =1

﹐ uuuvAC = 3

﹐ 且 AB

uuuv

與

AC uuuv

的夾角為 30°﹐如右圖。

故 uuuvAB ⋅ uuuvAC= uuuvAB uuuvAC cos 30° 1 3 3

= × × 2 3

= 2

4. 設 OAuuuv=(1 , 0 )

﹐OBuuuv=( 0 , 1)

﹐若 OPuuuv=xOAuuuv+yOBuuuv

﹐且 x﹑y 為實數﹐試在平面上標示出 以下各小題中 P 點所形成的圖形。

(1) x＝1﹐0 ≤ y ≤ 1。 (2) 1 ≤ x ≤2﹐0 ≤ y ≤ 1。

解 解解

解 (1) 如右圖所示﹐

取點 C（1，1）﹐

則 P 點所形成的圖形為

AC

(2) 如右圖所示﹐

取點 A'（2，0）﹐C（2，1）﹐D（1，1）﹐

則 P 點所形成的圖形為正方形 AA'CD 及其內部區域

5. 如右圖所示﹐已知 A﹐B﹐C﹐D﹐E﹐F 為單位圓上的六個點﹐O 為圓 心﹐試問

OA

uuuv

與五個向量

OB uuuv

﹐

OC uuuv

﹐

OD uuuv

﹐

OE uuuv

﹐

OF uuuv

之中的哪一 個內積值最大？

解解解

解 OAuuuv ⋅ OBuuuv=OAuuuv ⋅ OB'uuuuv= OAuuuv OB'uuuuv

﹐ OA ⋅ OC=OA ⋅ OC'= OA OC' uuuv uuuv uuuv uuuuv uuuv uuuuv

﹐ OA ⋅ OD=OA ⋅ OD'= − OA OD' uuuv uuuv uuuv uuuuv uuuv uuuuv

﹐ ' OA ⋅ OE=OA ⋅ OE'= − OA OE uuuv uuuv uuuv uuuuv uuuv uuuuv

﹐ OA ⋅ OF = − OA OF

uuuv uuuv uuuv uuuv

﹐ 故得內積最大值為 OAuuuv ⋅ OBuuuv

﹐ 即

OA

uuuv

與

OB uuuv

的內積值最大

6. 如右圖﹐ AB 為棍子﹐其中坐標為 A（0，1）﹑B（4，0）﹐今位於點

（3，3）有一顆彈珠﹐若將此彈珠往垂直 AB 的方向筆直射出﹐試 問會打到棍子上的哪一點？（提示：利用正射影）

解 解解

解 如右圖所示﹐設彈珠打到棍子上的點 H（x，y）﹐

則 AH uuuv

即

AC uuuv

在 AB uuuv

上的正射影﹐

又 uuuvAC =( 3 , 2 )

﹐uuuvAB=( 4 , −1)

﹐

則 AH uuuv

＝ AC AB₂ AB AB

 

 ⋅ 

 

 

uuuv uuuv uuuv uuuv

＝3 4 2 ( 1)_{2 2}

( 4 , 1) 4 ( 1)

× + × − −

+ −

＝10

( 4 , 1)

17 − ＝ 40 10 17 , 17

 

 − 

 

又 uuuvAH =(x , y−1)

﹐即

40, 17 1 10,

17 x

y

 =



 − = −



解得 40 7

( , ) , 17 17

x y  

= 

 ﹐故所求為 40 7 17 , 17

H 

 

 

7. 過點（3，1）且與直線 x＋y－3＝0 夾 45°角之直線方程式為何？

解 解解

解 設所求直線 L 方程式為 y－1＝m（x－3）﹐其中 m 為直線 L 的斜率﹐

整理得 mx－y－3m＋1＝0。

又直線 x＋y－3＝0 與直線 L 的法向量分別為

n uv

= (1 , 1)

﹐

n uuv

= ( m , − 1)

﹐ 因此

u uv

= (1 , − 1)

﹐

u uuv

= (1 , m )

分別為兩直線上的向量﹐

則 ^{1 2}

2

1 2

1 1

cos 45

2 1 2 u u m

u u m

⋅ −

° = = =

+ uv uuv

uv uuv

（1－m）²＝m²＋1

－2m＝0

m＝0﹐

又過點（3，1）﹐故直線 L 方程式為 y－1＝0﹐

另有一條為過點（3，1）的鉛垂線 x－3＝0﹐如右圖。

因此﹐所求直線方程式為 y＝1 或 x＝3

8. 如右圖所示﹐O﹑A﹑B 為正三角形的三個頂點﹐以

OB

(1) 設 OPuuuv= −OAuuuv+2OBuuuv

﹐試在右圖中畫出點 P 的位置。

(2) 點 Q 為正六邊形邊長

BC

寫成

OA uuuv

與

OB uuuv

的線 性組合。

解 解解

解 (1) 因為 OPuuuv= −OAuuuv+2OBuuuv

﹐

所以 P 點即為正六邊形的頂點 C﹐如右圖所示

(2) 如右圖所示﹐

因為 Q 為

BC

所以 1

OA'uuuuv= −2OAuuuv

﹐ 3

OB'uuuuv= 2OBuuuv

﹐

故 1 3

2 2

OQuuuv= − OAuuuv+ OBuuuv

*9. 設 av = bv =1

﹐且

a v

與

b v

的夾角為 60°。若

c v = + a v 2 b v

﹐

d uv = 2 a v − 3 b v

﹐則

c v

與

d uv

的夾角 為何？

解 解解

解 因為 av = bv =1 且

a

v

與

b v

的夾角為 60°﹐

所以 av ⋅ =bv av bv cos 60° 1 1 1

= × ×2 1

= 2 設

c

v

與

d uv

的夾角為

θ

θ

c d v ⋅ uv v uv

＝( 2 ) ( 2 3 ) 2 2 3

a b a b

a b a b

+ ⋅ −

+ −

v v v v

v v v v

＝

2 2

2 2 2 2

2 6

4 ( ) 4 4 12 ( ) 9

a a b b

a a b b a a b b

+ ⋅ −

+ ⋅ + × − ⋅ +

v v v v

v v v v v v v v

＝

2 1 6 2

1 1

1 4 4 4 12 9

2 2

+ −

+ × + × − × +

＝

7 2

7 7

−

×

1

−2﹐

故

θ

^{c v}

^{d uv}

10. 某天早上 8 點﹐某天文臺在原點 O 處觀察到隕石位於點（－3，2）的位置﹐8 點半觀察此隕石

在點 3

1 , 2

 

− 

  的位置﹐若隕石以直線方向等速度接近地面 y＝0﹐試問：

(1) 隕石在幾點幾分會撞擊到地面？

(2) 承(1)﹐撞擊點的坐標為何？

解解解

解 (1) 設 A（－3，2）﹐ 3 1 , 2 B 

− 

 ﹐隕石撞擊地面的點為 C（k，0）

令

uuuv AC = t AB uuuv

﹐

則 1 1

( 3 , 2 ) 2 , 2 ,

2 2

k t   t t

+ − =  −  = − 

   ﹐

即

3 2 , 2 1 ,

2

k t

t + =



− = −



由 式得 t＝4﹐所以 uuuvAC =4 uuuvAB

﹐因為由點 A 至點 B 歷時 30 分鐘﹐

因此﹐由點 A 至點 C 歷時 30 分×4＝120 分＝2 小時﹐

故隕石在 10 點整會撞擊到地面

(2) 承(1)﹐t＝4 代入 式得 k＋3＝8
k＝5﹐

故撞擊點的坐標為（5，0）