習題2-3詳解一、基本題1.

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習題 2-3 詳解

一、基本題

1. 求滿足下列條件的圓方程式：

(1) 圓心在（3，－1）且直徑為 6 的圓。

(2) 一直徑兩端點為 A（－1，2），B（7，8）的圓。

(3) 通過 A（3，3），B（2，4），C（－1，1）三點的圓。

(4) 通過以 A（－4，4），B（3，－3）兩點且圓心在 x 軸上的圓。

解 (1) 圓方程式為（x－3）²＋（y＋1）²＝3²。

(2) 此為圓心（3，5）且半徑為 5 的圓，圓方程式為（x－3）²＋（y－5）²＝5²＝25。

(3) 設方程式為 x²＋y²＋dx＋ey＋f＝0，

將 A（3，3），B（2，4），C（－1，1）三點代入方程式，則

( ) ( )

2 2

2 2

2 2

3 3 3 3 0

2 4 2 4 0

1 1 1 0

d e f d e f

d e f

 + + + + =

 + + + + =



− + + − + + =



→ d＝－2，e＝－4，f＝0，

圓方程式為 x²＋y²－2x－4y＝0。

(4) 設圓心 C（t，0），則（半徑）²＝AC² =BC²。

（t－（－4））²＋（0－4）²＝（t－3）²＋（0－（－3））² t＝－1，

所以圓心在（－1，0）且半徑為 5 之圓，圓方程式為（x＋1）²＋y²＝5²＝25。

2. 試判斷下列方程式的圖形為何？

(1) x²＋y²＋6x－2y－6＝0。

(2) x²＋y²＋6x－2y＋10＝0。

(3) x³＋y²＋6x－2y＋16＝0。

解 (1) 配方後得（x＋3）²＋（y－1）²＝4²，故圖形為一圓，圓心為（－3，1），半徑為 4。

(2) 配方後得（x＋3）²＋（y－1）²＝0²，故圖形為一點，點坐標（－3，1）。

(3) 配方後得（x＋3）²＋（y－1）²＝－6，故沒有圖形。

3. 試判斷下列直線與圓 x²＋y²＝4 的關係為何？（相割、相切或不相交，若相交，則把交點也求 出來）

(1) x＋y＋2＝0。

(2) 3x＋4y－10＝0。

(3) x－y＋3＝0。

解 (1)

2 2

4 2 0 x y x y

 + =

 + + =

  x²＋（－x－2）²＝4  2x²＋4x＝0  x＝0，－2

有兩個相異實根，所以直線與圓相割，其交點為（0，－2）與（－2，0）。

(2)

2 2

4 3 4 10 0

x y x y

 + =

 + − =

  x²＋

3 10 2

4

− +x

 

 

  ＝4  25x²－60x＋36＝0 （5x－6）²＝0 有重根，所以直線與圓相切，其切點為 ^{6 8},

5 5

 

 

 。 (3)

2 2

4 3 0 x y x y

 + =

 − + =

  x²＋（x＋3）²＝4  2x²＋6x＋5＝0 ， 判別式 D＝6²－4‧2‧5＜0 無實根，所以直線與圓不相交。

4. 設 m 為實數，Γ：x²＋y²＋2mx－2my＋3m²－1＝0。若 Γ 的圖形為一圓，試求 m 的最大可 能範圍。

解 Γ：x²＋y²＋2mx－2my＋3m²－1＝0，

可化為（x＋m）²＋（y－m）²＝－m²＋1。

因為 Γ 的圖形為一圓，

故－m²＋1＞0

 m²－1＜0

 －1＜m＜1。

二、進階題

5. 已知直線 x＋y－k＝0 與圓 x²＋y²＝9，試就 k 的值討論直線與圓之關係。

解

2 2

9 0 x y x y k

 + =

 + − =





2 2

9 0 x y y x k

 + =

 = − +



 x²＋（－x＋k）²＝9

 2x²－2kx＋k²－9＝0，

判別式 D＝（－2k）²－4‧2‧（k²－9）＝－4（k²－18）。

(1) 若直線與圓相割，則 D＞0，即−3 2< <k 3 2。 (2) 若直線與圓相切，則 D＝0，即 k＝±3 2 。

(3) 若直線與圓不相交，則 D＜0，即 k＜－3 2 或 k＞ 3 2 。

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6. 考慮圓 C：x²＋y²＝9，試問在圓 C 上及其內部有多少個 x，y 坐標都是整數的點？

解 x²＋y²＝9

 x²+y² = 9



(

) (

)

所以在 x²＋y²＝9 之中 x，y 坐標都是整數的點

就是滿足至原點距離小於或等於 3 的格子點，如上圖所示，共 29 個點。

x²＋y² 9 8 5 4 2 1 0

2 2

x +y 3 2 2 5 2 2 1 0

（x，y）

（3，0）

（－3，0）

（0，3）

（0，－3）

（2，2）

（2，－2）

（－2，2）

（－2，－2）

（1，2）（2，1）

（1，－2）（－2，1）

（－1，2）（2，－1）

（－1，－2）（－2，－1）

（2，0）

（－2，0）

（0，2）

（0，－2）

（1，1）

（－1，1）

（1，－1）

（－1，－1）

（1，0）

（－1，0）

（0，1）

（0，－1）

（0，0）

個 數 4 4 8 4 4 4 1

7. 求同時與 y＝ 3 x，x 軸這兩條直線相切，半徑是 3 且圓心在第一象限的圓方程式。

解 設圓心 A（t， 3 ），如下圖，

則圓方程式為（x－t）²＋（y－ 3 ）²＝3。

又 y＝ 3 x 是其中一條切線，所以代入

（x－t）²＋（ 3 x－ 3 ）²＝3  4x²－（2t＋6）x＋t²＝0。

因為直線與圓相切，所以判別式

D＝（－（2t＋6））²－4‧4‧t²＝0  t²－2t－3＝0

 t＝3，－1（不合，因第一象限），

故圓方程式為（x－3）²＋（y－ 3 ）²＝3。

8. (1) 試求過點 A（4，2）且與圓 C：x²＋y²－2x＋4y－20＝0 相切之切線方程式。

(2) 試求過點 B（0，3）且與圓 C：x²＋（y＋1）²＝1 相切之切線方程式。

解 (1) 假設通過點 A（4，2）的直線方程式為 y－2＝m（x－4），則

( )

2 2

2 4 20 0

2 4

x y x y

y m x

 + − + − =



− = −

 

(

) (

)

4 2

x y

y mx m

 − + + =



= − +



（x－1）²＋（mx－4m＋4）²－25＝0

（1＋m²）x²＋（－8m²＋8m－2）x＋（16m²－32m－8）＝0，

判別式 D＝（－8m²＋8m－2）²－4（1＋m²）（16m²－32m－8）＝0

 64m²＋96m＋36＝0  4（4m＋3）²＝0，

所以 m＝－³

4，即切線方程式為 y－2＝－³

4（x－4） 3x＋4y＝20。

(2) 假設通過點 B（0，3）的直線方程式為 y－3＝m（x－0），則

( ) ( )

2 2

1 1

3 0

x y y m x

 + + =



− = −

  ²

(

)

3 x y y mx

 + + =



= +



 x²＋（mx＋4）²－1＝0（1＋m²）x²＋8mx＋15＝0，

判別式 D＝（8m）²－4‧（1＋m²）‧15＝0 4m²－60＝0，

所以 m＝± 15 ，

即切線方程式為 y＝ 15 x＋3 及 y＝－ 15 x＋3。

9. 設 O 為坐標平面上的原點，過點 A（1，2）向圓 C：x²＋y²＝3 作一條切線，設切點為 P，

試求△APO 的面積。（提示：切點與圓心的連線與切線垂直）

解 如下圖，半徑 OP= 3，OA= 5，

切線段長 _AP＝ OA²−OP² ＝

( ) ( )

△APO 是直角三角形，所以

△APO 面積＝¹ 2 3 2× × ＝ ⁶

2 。

教學眉批

切線段長公式：

假設圓外一點 P（x0，y0）：

(1) 若圓 C：（x－h）²＋（y－k）²＝r²，則 P 至圓 C 的切線段長為

(

) (

)

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三、挑戰題

10.如下圖所示，過圓 O 上兩點 A，B 分別作圓 O 的割線，此兩條割線互相垂直且相交於 P 點。若圓 O 的半徑為 5 且 _AP＝7， _BP＝1，試求點 P 到圓心 O 的距離。

解 〔解法一〕

如下圖將本題坐標化，

設 P（0，0），A（0，7），B（1，0），圓心 O（h，k），

半徑為 5 的圓方程式為（x－h）2＋（y－k）2＝25。

A（0，7）在圓上，代入圓方程式（0－h）2＋（7－k）2＝25；

B（1，0）在圓上，代入圓方程式（1－h）2＋（0－k）2＝25。

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

0 7 25

1 0 25

h k

h k

 − + − =



− + + =



由①－②得 h＝7k－24，代回①得

k2－7k＋12＝0  k＝3 或 4。

當 k＝3  h＝－3；

當 k＝4  h＝4（不合）。

所以 OP= 3²+3² =3 2

〔解法二〕

如下圖所示，

(1) △ABP 為直角三角形，

所以AB= 7²+ =1² 50， 設∠BAP＝θ，則 sin θ＝ 1

50，cos θ＝ 7 50。

(2) 在△OAB 中，OA=OB= ，5 AB= 50， 故△OAB 為等腰直角三角形且∠OAB＝45°。

(3) 在△OAP 中，∠OAP＝∠OAB－∠BAP＝45°－θ，所以 cos∠OAP＝cos（45°－θ）

＝cos 45°‧cos θ＋sin 45°‧sin θ

＝ 1 7 1 1 2⋅ 50 + 2⋅ 50

＝⁴ 5 。

由餘弦定理 _OP²＝_AO²＋AP －2‧ AO ‧² AP ‧cos∠OAP

＝5²＋7²－2‧5‧7‧⁴

5＝18，

所以點 P 到圓 O 的距離 OP= 18=3 2。