一、一元向量值函数及其导数

第六节 多元函数微分学的几何应用 一、一元向量值函数及其导数

二、空间曲线的切线与法平面

三、曲面的切平面与法线

多元函数微分学的几何应用

一、一元向量值函数及其导数

二、空间曲线的切线与法平面

三、曲面的切平面与法线

一、一元向量值函数及其导数

（一）向量值函数的概念

（二）向量值函数的极限和连续

（三）向量值函数的导数

（四）举例

一、一元向量值函数及其导数

（一）向量值函数的概念

（二）向量值函数的极限和连续

（三）向量值函数的导数

（四）举例

 引入

空间曲线 Γ _{的参数方程} ),

(t x  

), (t y  

), (t

z   t  [  ,  ] zk

yj xi

r    f ( t )   ( t ) i   ( t ) j   ( t ) k )

(t f

r  _映射 f : [  ,  ]  R

³

一元向量值函数

 定义

设数集 D  R , _则称映射 f : D  R

ⁿ

_{为一元向量值函数，}

通常记为：

因变量 自变量

D 定义域

t t f

r  ( ), 

 注

(1)

一元向量值函数是一元函数的推广

一元函数

一元向量值函数

自变量 因变量 实数值 实数值

实数值

n

维向量

(2) 这里只研究 n=3 的情形

 表示法

在 R

³

_{中 , 若向量值函数}

^{f (t),t  D}

的三个分量函数依次为

,

), ( ),

( ),

( _{2 3}

1 t f t f t t D

f 

_{则向量值函数}

f

可表示为

D

t k t f j

t f i

t f t

f ( )  ₁( )  ₂( )  ₃( ) , 

或

f (t)  ( f₁(t), f₂(t), f₃(t)),t  D

 图形

x

y z

O

M

设 r  OM 当 t 改变时 , 终点 M 的轨迹 ,

r

(

记作曲线 Γ ) 称为向量值函数

D

t t f

r  ( ), 

_{的终端曲线，}

曲线 Γ _{也称为向量值函数}

r  f (t),t  D

的图形

Γ

一、一元向量值函数及其导数

（一）向量值函数的概念

（二）向量值函数的极限和连续

（三）向量值函数的导数

（四）举例

一、一元向量值函数及其导数

（一）向量值函数的概念

（二）向量值函数的极限和连续

（三）向量值函数的导数

（四）举例

 定义

设向量值函数 f (t ) _在点 t

₀

的某一去心邻域内有定义 ,如果 存在一个常向量 r

₀

, _{对于任意给定的正数}  , _{总存在正数}  _,

使得当 t 满足 0  | t  t

₀

|   _{时 , 对应的函数值} f (t ) 都满足 :

,

| )

(

| f t  r

₀

  _{那么 , 常向量} r

₀

_{就叫做向量值函数} f (t ) _当 t

0

t  _{时的极限，记作} lim ( )

₀

,

0

r t

t

f

t





或 f ( t )  r

₀

, t  t

₀

 注 向量值函数 f (t ) _当 t  t

₀

时的极限存在的充要条件 :

) (t

f _{的三个分量函数} f

₁

( t ), f

₂

( t ), f

₃

( t ) _当 t  t

₀

_时的

极限存在 , 且有 :

 

 

 



  



( ) lim ( ), lim ( ), lim ( )

lim

_{1 2 3}

0 0

0 0

t f t

f t

f t

f

t t t t t t

t t

 定义

 注 向量值函数 f (t ) _在 t

₀

_{连续的充要条件 :}

设向量值函数 f (t ) _在点 t

₀

的某一邻域内有定义 , 若

) ( )

(

lim

₀

0

t f t

t

f

t





则称向量值函数 f (t ) _在 t

₀

_{连续 .}

) (t

f _{的三个分量函数} f

₁

( t ), f

₂

( t ), f

₃

( t ) _都在 t

₀

_{连续 .}

 定义

设向量值函数 f ( t ), t  D . _若 D

₁

 D , f (t ) _在 D

₁

_{中的每一点}

都连续，则称 f (t ) _在 D

₁

_{上连续 ,并称} f (t ) _{为 上的连续函数 .} D

₁

一、一元向量值函数及其导数

（一）向量值函数的概念

（二）向量值函数的极限和连续

（三）向量值函数的导数

（四）举例

一、一元向量值函数及其导数

（一）向量值函数的概念

（二）向量值函数的极限和连续

（三）向量值函数的导数

（四）举例

 定义

. d |

d

t0

t t

r



设向量值函数 f (t ) _在点 t

₀

的某一邻域内有定义 , 如果

t

t f t

t f t

r

t

t







 













) ( )

lim (

lim

^{0 0}

0 0

存在 , 那么就称这个极限向量为向量值函数 r  f (t )

在 t

₀

处的导数或导向量 , 记作 f  ( t

₀

) _或

 注

) (t

f _{的三个分量函数} f

₁

( t ), f

₂

( t ), f

₃

( t ) _都在 t

₀

_{可导 .} t

0

向量值函数 f (t ) 在 可导的充要条件 :

当 f (t ) _在 t

₀

_{可导时 ,} f  ( t )  f

₁

 ( t ) i  f

₂

 ( t ) j  f

₃

 ( t ) k . )

(t

f D

₁

), ( t

₀

f 

设向量值函数 f ( t ), t  D . _若 D

₁

 D , f (t ) _在 D

₁

_{中的每一点}

都存在导向量 那么就称 在 上可导 .

 运算法则

(1) (2)

(3) (4) (5) (6) (7)

d 0

d C 

t [ ( )] ( )

d

d cu t c u t

t  

) ( )

( )]

( )

( d [

d u t v t u t v t

t     

) ( )

( )

( )

( )]

( )

( d [

d t u t t u t t u t

t          

) ( )

( )

( ) ( )]

( ) ( d [

d u t v t u t v t u t v t

t       

)]

( [ ) ( )]

( d [

d u t t u t

t    ^{ } 

) ( )

( )

( )

( )]

( )

( d [

d u t v t u t v t u t v t

t       

设 u ( t ), v ( t ),  ( t ) 可导 , C _{是常向量 ,} c _{是任一常数，则}

 几何意义

x

y z

O r

割向量

t  0

向量

向量值函数 r  f ( t ), t  D 的终端曲线

,

为空间曲线 Γ

割向量 切向量

与 t 的增长方向一致

 0

t

与 t 的增长方向相反 与 t 的增长方向一致

与 t 的增长方向一致 向量值函数 r  f ( t ), t  D 的终端曲线

在点 M 处的一个切向量 , 其指向与 t 的增长方向一致 . Γ

M N

 r t r





t r

t









lim

0

: ) ( t

₀

f 

), ( t

₀

f

OM  ON  f ( t

₀

  t )

指向

, 0 )

(

₀



 t

设 f

一、一元向量值函数及其导数

（一）向量值函数的概念

（二）向量值函数的极限和连续

（三）向量值函数的导数

（四）举例

一、一元向量值函数及其导数

（一）向量值函数的概念

（二）向量值函数的极限和连续

（三）向量值函数的导数

（四）举例

 例 1 lim ( ).

4

t f

t_

设 f ( t )  (cos t ) i  (sin t ) j  tk , _求

 例 2

 例 3

(1) 滑翔机在任意时刻 t 的速度向量和加速度向量 ; (2) 滑翔机在任意时刻 t 的速率 ;

(3) 滑翔机的加速度与速度正交的时刻 .

设空间曲线

Γ

的向量方程为

, ),

6 2

, 3 4

, 1 (

)

(t t² t t² t t R

f

r      

求曲线

Γ

在与

t₀  2

相应的点处的单位切向量 .

一个人在悬挂式滑翔机上由于快速上升气流而位置

向量为

r  f (t)  (3cost)i  (3sint) j  t²k

的路径螺旋

式向上 .求

复习 : 平面曲线的切线与法

线 已知平面光滑曲线 y  f (x ) ( x

₀

, y

₀

) 切线方程 y  y

₀

法线方程 y  y

0

若平面光滑曲线方程为 F ( x , y )  0 ,

) , (

) , ( d

d

y x F

y x F

x y

y



x

 故在点 ( x

₀

, y

₀

)

切线方程 法线方程

) ( y  y

₀

)

, ( x

₀

y

₀

F

_y

)  (

) ,

( x

₀

y

₀

x x

₀

F

_x

  0

) )(

( x

₀

x x

₀

f  



) ) (

( 1

0 0

x x x

f 

 



在点 有

有

因

0 )

( ) ,

(

_{0 0}



₀



 F

_x

x y y y )

, ( x

₀

y

₀

F

_y

( x  x

₀

)

一、 空间曲线的切线与法平面

过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法 位置 .

 T

M



空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限

平面 .

1. 曲线方程为参数方程的情况

) ( ,

) ( ,

) (

: x   t y   t z   t



z z z

y y y

x x x



 



 





_{0 0 0}

,

 t

上述方程之分母同除以 令 t  0 , 得

切线方程 x  x

⁰

 y  y

⁰

 z  z

⁰

)

, ,

(

_{0 0 0}

0

M x y z

t

t 对应

设 

) ,

,

(

_{0 0 0}

0

t M x x y y z z

t

t    对应       

) (t₀



^

 ^ ( t

₀

)  ^ _{( t}

₀

₎

T

M 

M 

的方程 :

割线 M M 

) )(

( t

₀

x  x

₀

 

此处要求  ^ ( t

₀

) ,  ^ ( t

₀

) ,  ^ ( t

₀

)

也是法平面的法向量 , 切线的方向向量 :

称为曲线的切向量 .

) (

)

( t

₀

y  y

₀

      ( t

₀

)( z  z

₀

)  0 如个别为 0, 则理解为分子为 0 .

 

M 不全为 0,

)) (

, ) ( ,

) (

( t

₀

t

₀

t

₀

T   ^  ^  ^

T _{因此得法平面方程}

说明 : 若引进向量函数 r ( t )  (  ( t ) ,  ( t ) ,  ( t ) ) , 则  为 r (t) 的矢端曲线 , 而在 t

₀

处的导向量

)) (

, ) ( ,

) ( (

)

( t

₀

t

₀

t

₀

t

₀

r    ^  ^  ^

就是该点的切向量 .

o

) (t r

T

z

x y

o 例

1. 求圆柱螺旋线





 y R z k R

x  cos ,  sin , 

2

  对应点处的切线方程和法平面方程 .

2

时 , 当  

^

切线方程 

 R x

法平面方程  R x

2

0

2





 k z k x

R

^

即

 













0

2

0 R

y

k R z

R x

k

^

即

解 : 由于 x    R sin  ,

0 R y 

k k z 

^₂



, cos  R

y   z   k ,

) ,

, 0

(

₂

0

R k

M

^

对应的切向量为

0 )

( 

₂



 k z

^

k

在

) , 0 ,

( R k

T   , 故

2. 曲线为一般式的情况 光滑曲线   

 

 ( , , ) 0

0 )

, , : (

z y x G

z y x F

当 0

) , (

) ,

( 



 

z y

G J F

 

  

) (

) (

x z

x y  

x  y d d

曲线上一点 M ( x

₀

, y

₀

, z

₀

)

, 且 有 x 

z d , d

) , (

) , ( 1

x z

G F J 

 ,

) , (

) , ( 1

y x

G F J 

 时 ,  可表示 为

处的切向量为

 



 









 

M M

x y

G F

J x

z

G F

J ( , )

) , ( , 1

) , (

) ,

( , 1

1

 ^{1 , ( x}

₀

^{) , ( x}

₀

⁾ 

T   ^  ^

x  x

₀

 y  y

₀

 z  z

₀

z

M

y G F

) , (

) , (





则在点 M ( x

₀

, y

₀

, z

₀

) 切线方程

法平面方程

有

z

M

y G F

) , (

) , (





x

M

z

G F

) , (

) , (





y

M

x

G F

) , (

) , (





) ( x  x

₀

y

M

x

G F

) , (

) , (



 

x

M

z

G F

) , (

) , (



  ( y  y

₀

)

0 )

( z  z

₀



或   

 













 

M M

M

x y

G F x

z

G F z

y G T F

) , (

) , , (

) , (

) , , (

) , (

)

,

(

例 2. 求曲线 x

²

 y

²

 z

²

 6 , x  y  z  0 在点

M ( 1,–2, 1) 处的切线方程与法平面方程 .

x x z z x

y y    d

d d

d 解 : 方程组两边对 x 求导 , 得

d 1 d d

d   

x z x

y

1 1

1 1

d d

z y

x y

x

z 



 1

1 d

d

z x y

y 

曲线在点 M(1,–2, 1) 处有 : 切向量

解得  1 1

 z x

z , y

x z



 

z y

y x



 

) 1 ,

0 , 1

( 

 



 



 

M M

x

z x

T y

d , d d

, d

1

切线方程 x  1  y  2  z  1 即   



  



0 2

0 2

y z x

法平面方程 1  ( x  1 )  0  ( y  2 )  (  1 )  ( z  1 )  0 即 x  z  0

点 M (1,–2, 1) 处的切向 量

0  1

1

) 1 ,

0 , 1

( 



T

0 )

, , (

: 

 F x y z

二、 曲面的切平面与法线 设 有光滑曲面

通过其上定点 M ( x

₀

, y

₀

, z

₀

)

t

0

t 

设 对应点 M, )

( ,

) ( ,

)

( t

₀

 t

₀

 t

₀

 ^{  }

切线方程为

) ( )

( )

(

₀

0 0

0 0

0

t z z

t y y

t x x





 ^

 



 





不全为 0 . 则  在 ,

) ( ,

) ( ,

) (

: x   t y   t z   t

 _且

点 M 的切向量 为

任意引一条光滑曲线

M

T 

下面证明 :

此平面称为  在该点的切平面 .

 上过点 M 的任何曲线在该点的切线 在同一平面上 . 都

)) (

, ) ( ,

) (

( t

₀

t

₀

t

₀

T   ^  ^  ^

M

T



证 :   : x   ( t ) , y   ( t ) , z   ( t ) 在  上 , 0

) ) ( ,

) ( ,

) (

( 

 F  t  t  t

0

处求导 ,

两边在 t  t 注意  t t

₀

对应点 M ,

) ( t

₀

 ^  0 )

, ,

( x

₀

y

₀

z

₀

F

_x

 F

_y

( x

₀

, y

₀

, z

₀

) ) ,

,

( x

₀

y

₀

z

₀

F

_z

 ) ( t

₀

 ^  ^ _{( t}

₀

₎

得

)) (

, ) ( ,

) (

( t

₀

t

₀

t

₀

T   ^  ^  ^

)) ,

, (

, ) ,

, (

, ) ,

, (

( F x

₀

y

₀

z

₀

F x

₀

y

₀

z

₀

F x

₀

y

₀

z

₀

n 

_{x y z}

令

n T  切向量

由于曲线  的任意性 , 表明这些切线都在以 为法向量 n 的平面上 , 从而切平面存在 .

n

) (

) ,

,

( x

₀

y

₀

z

₀

x x

₀

F

_x



曲面  在点 M 的法向量

法线方程

x  x

₀

 y  y

₀

 z  z

₀

) (

) ,

,

( x

₀

y

₀

z

₀

y y

₀

F

_y





0 )

)(

, ,

(

_{0 0 0}



₀



 F

_z

x y z z z 切平面方程

) ,

,

( x

₀

y

₀

z

₀

F

_x

F

_y

( x

₀

, y

₀

, z

₀

) F

_z

( x

₀

, y

₀

, z

₀

)

M

T



n

)) ,

, (

, ) ,

, (

, ) ,

, (

( F x

₀

y

₀

z

₀

F x

₀

y

₀

z

₀

F x

₀

y

₀

z

₀

n 

_{x y z}

) (

) ,

( x

₀

y

₀

x x

₀

f

_x



曲面 ) 时 ,

, ( y x f

z  z

y x f z

y x

F ( , , )  ( , )  则在点 ( x , y , z ),

故当函数 f ( y x , ) ( x

₀

, y

₀

)

1 )

, (

) ,

(

0 0

0 0 0

0

0



 

 

 z z

y x

f

y y

y x

f

x x

y x

法线方程

y

,

y

f

F  F

_z

  1

令

有 在点 ( x

₀

, y

₀

, z

₀

)



特别 , 当光滑曲面 的方程为显式

在点 有连续偏导数时 ,

) (

) ,

( x

₀

y

₀

y y

₀

f

_y



 

 z

₀

z

x

,

x

f

F 

切平面方程





 , ,

法向量 用

2

1

2

cos 1

y

x

f

f 

 



将 f

_x

( x

₀

, y

₀

) , f

_y

( x

₀

, y

₀

) f

_x

, f

_y

, 法向量的方向余弦：

表示法向量的方向角 , 并假定法向量方向 为锐角 .

则 

分别记为 则

1 , cos

1 ,

cos

2 2 2 2

y x

y y

x x

f f

f f

f f





 





  



向上 ,

) 1 , ) ,

( ,

) ,

(

( f x

₀

y

₀

f x

₀

y

₀

n  

_x



_y

例 3. 求球面 x

²

 2 y

²

 3 z

²

 36 在点 (1 , 2 , 3) 处的 平面及法线方程 . 切

解 : F ( x , y , z )  x

²

 2 y

²

 3 z

²

 36

所以球面在点 (1 , 2 , 3) 处有 : 切平面方程 2 ( x  1 )

0 36

9

4   

 y z

即 x

法线方程 x  1  y  2  z  3 ) 2 (

8 

 y  18 ( z  3 )  0

1 4 9

法向量 令

) 6 , 4 , 2

( x y z

n 

) 18 , 8 , 2

)

(

3 , 2 , 1

(



n

例 4. 确定正数  _使曲面 x y z   x

²

 y

²

 z

²

在点 M ( x

₀

, y

₀

, z

₀

)

解 : 二曲面在 M 点的法向量分别 为

二曲面在点 M 相切 , 故

0 0 0 0

0 0

0 0 0

z y x y

z x

x z

y  

x

0

02 02

02

y z

x  



又点 M 在球面上 ,

3

2 2 0 2

0 2

0

z a y

x   

故 于是有   x

₀

y

₀

z

₀

a

2

 _{相切 .}

3 3

a

3



与球面

, ) ,

,

(

_{0 0 0 0 0 0}

1

y z x z x y

n  n

₂

 ( x

₀

, y

₀

, z

₀

)

2 1

// n

n , 因此有

2

⁰

y

2

⁰

z

2

1. 空间曲线的切线与法平面

切线方程 x  x

⁰

 y  y

⁰

 z  z

⁰

法平面方程

) )(

( t

₀

x  x

₀

 

1) 参数式情况 .



 



  



) (

) (

) ( :

t z

t y

t x

  

空间光滑曲线

切向量

内容小结

) ( t

₀

 ^  ^ ( t

₀

)  ^ ( t

₀

)

) (

)

( t

₀

y  y

₀

      ( t

₀

)( z  z

₀

)  0 ))

( ,

) (

, ) (

( t

₀

t

₀

t

₀

T   ^  ^  ^

切线方程

法平面方程

M M

M

x y

G F

z z

x z

G F

y y

z y

G F

x x

) , (

) , ( )

, (

) , ( )

, (

) , (

0 0

0





 





 







空间光滑曲线

 

 

 

0 )

, , (

0 )

, , : (

z y x G

z y x F

z

M

y G F

) , (

) , (



 切向量

2) 一般式情况 .

) , , (

) ,

(

z

M

y G F



 ,

) , (

) ,

(

x

M

z G F





y

M

x G F

) , (

) ,

(



 





) ( x  x

₀

x

M

z

G F

) , (

) , (



  ( y  y

₀

)

y

M

x

G F

) , (

) , (



  ( z  z

₀

)  0

 

 

T

空间光滑曲面  : F ( x , y , z )  0 曲面  在点

法线方程

) ,

,

(

_{0 0 0}

0

z y

x F

x x

x



) ,

,

(

_{0 0 0}

0

z y

x F

y y

y

 

) ,

,

(

_{0 0 0}

0

z y

x F

z z

z

 

) (

) ,

, (

) (

) ,

,

( x

₀

y

₀

z

₀

x x

₀

F x

₀

y

₀

z

₀

y y

₀

F

_x

 

_y



1) 隐式情况 .

的法向量 )

, ,

( x

₀

y

₀

z

₀

M

0 )

)(

, ,

(

_{0 0 0}



₀



 F

_z

x y z z z 切平面方程

2. 曲面的切平面与法线

)) ,

, (

, ) ,

, (

, ) ,

, (

( F x

₀

y

₀

z

₀

F x

₀

y

₀

z

₀

F x

₀

y

₀

z

₀

n 

_{x y z}

空间光滑曲面  : z  f ( x , y )

) (

) ,

( )

( ) ,

(

_{0 0 0 0 0 0}

0

f x y x x f x y y y

z

z  

_x

 

_y



切平面方程

法线方程 ( , ) ( , ) 1

0 0

0 0 0

0

0



 

 

 z z

y x

f

y y

y x

f

x x

y x

1 , cos

1 ,

cos

2 2 2 2

y x

y y

x x

f f

f f

f f





 





  



2) 显式情况 .

法线的方向余弦

2

1

2

cos 1

y

x

f

f 

 



法向量 n  (  f

_x

,  f

_y

, 1 )

思考与练习

1. 如果平面 3 x   y  3 z  16  0 _与椭球面 相切 ,

提示 : 设切点为 M ( x

₀

, y

₀

, z

₀

) , _则

2

3 x

2

 y

 . 求

0 0

0

2 2

6 x y z



3    3

0 16

3

3 x

₀

  y

₀

 z

₀

  16

3 x

₀²

 y

₀²

 z

₀²



 2

 

2

 16

 z

( 二法向量平行 ) ( 切点在平面上 )

( 切点在椭球面上 )

证明 曲面 ( ) x f y x

z  _{上任一点处的} 切平面都通过原点 .

提示 : 在曲面上任意取一 点

, ) ,

,

( x

₀

y

₀

z

₀

M _则通过此



 z

₀

z ( x x

₀

)

x z

M





 ( y y

₀

)

y z

M





  2. 设 f ( u ) 可微 ,

证明原点坐标满足上述方程 .

点的切平面为