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一、一元向量值函数及其导数

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Academic year: 2021

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全文

(1)

第六节 多元函数微分学的几何应用 一、一元向量值函数及其导数

二、空间曲线的切线与法平面

三、曲面的切平面与法线

(2)

多元函数微分学的几何应用

一、一元向量值函数及其导数

二、空间曲线的切线与法平面

三、曲面的切平面与法线

(3)

一、一元向量值函数及其导数

(一)向量值函数的概念

(二)向量值函数的极限和连续

(三)向量值函数的导数

(四)举例

(4)

一、一元向量值函数及其导数

(一)向量值函数的概念

(二)向量值函数的极限和连续

(三)向量值函数的导数

(四)举例

(5)

 引入

空间曲线 Γ 的参数方程 ),

(t x  

), (t y  

), (t

z   t[,] zk

yj xi

r    f ( t )   ( t ) i   ( t ) j   ( t ) k )

(t f

r映射 f : [,]R

3

一元向量值函数

(6)

 定义

设数集 DR , 则称映射 f : DR

n

为一元向量值函数,

通常记为:

因变量 自变量

D 定义域

t t f

r( ),

 注

(1)

一元向量值函数是一元函数的推广

一元函数

一元向量值函数

自变量 因变量 实数值 实数值

实数值

n

维向量

(2) 这里只研究 n=3 的情形

(7)

 表示法

R

3

中 , 若向量值函数

f (t),t D

的三个分量函数依次为

,

), ( ),

( ),

( 2 3

1 t f t f t t D

f

则向量值函数

f

可表示为

D

t k t f j

t f i

t f t

f ( )1( )2( )3( ) ,

f (t)( f1(t), f2(t), f3(t)),tD

 图形

x

y z

O

M

rOM 当 t 改变时 , 终点 M 的轨迹 ,

r

(

记作曲线 Γ ) 称为向量值函数

D

t t f

r( ),

的终端曲线,

曲线 Γ 也称为向量值函数

rf (t),tD

的图形

Γ

(8)

一、一元向量值函数及其导数

(一)向量值函数的概念

(二)向量值函数的极限和连续

(三)向量值函数的导数

(四)举例

(9)

一、一元向量值函数及其导数

(一)向量值函数的概念

(二)向量值函数的极限和连续

(三)向量值函数的导数

(四)举例

(10)

 定义

设向量值函数 f (t ) 在点 t

0

的某一去心邻域内有定义 ,如果 存在一个常向量 r

0

, 对于任意给定的正数, 总存在正数,

使得当 t 满足 0| tt

0

|   时 , 对应的函数值 f (t ) 都满足 :

,

| )

(

| f t  r

0

  那么 , 常向量 r

0

就叫做向量值函数 f (t ) t

0

t时的极限,记作 lim ( )

0

,

0

r t

t

f

t

f ( t )r

0

, tt

0

 注 向量值函数 f (t ) tt

0

时的极限存在的充要条件 :

) (t

f 的三个分量函数 f

1

( t ), f

2

( t ), f

3

( t ) tt

0

时的

极限存在 , 且有 :

 

 

 

( ) lim ( ), lim ( ), lim ( )

lim

1 2 3

0 0

0 0

t f t

f t

f t

f

t t t t t t

t t

(11)

 定义

 注 向量值函数 f (t ) t

0

连续的充要条件 :

设向量值函数 f (t ) 在点 t

0

的某一邻域内有定义 , 若

) ( )

(

lim

0

0

t f t

t

f

t

则称向量值函数 f (t ) t

0

连续 .

) (t

f 的三个分量函数 f

1

( t ), f

2

( t ), f

3

( t ) 都在 t

0

连续 .

 定义

设向量值函数 f ( t ), tD . D

1

D , f (t ) D

1

中的每一点

都连续,则称 f (t ) D

1

上连续 ,并称 f (t ) 为 上的连续函数 . D

1

(12)

一、一元向量值函数及其导数

(一)向量值函数的概念

(二)向量值函数的极限和连续

(三)向量值函数的导数

(四)举例

(13)

一、一元向量值函数及其导数

(一)向量值函数的概念

(二)向量值函数的极限和连续

(三)向量值函数的导数

(四)举例

(14)

 定义

. d |

d

t0

t t

r

设向量值函数 f (t ) 在点 t

0

的某一邻域内有定义 , 如果

t

t f t

t f t

r

t

t

 

) ( )

lim (

lim

0 0

0 0

存在 , 那么就称这个极限向量为向量值函数 rf (t )

t

0

处的导数或导向量 , 记作 f  ( t

0

)

 注

) (t

f 的三个分量函数 f

1

( t ), f

2

( t ), f

3

( t ) 都在 t

0

可导 . t

0

向量值函数 f (t ) 在 可导的充要条件 :

f (t ) t

0

可导时 , f( t )f

1

( t ) if

2

( t ) jf

3

( t ) k . )

(t

f D

1

), ( t

0

f 

设向量值函数 f ( t ), tD . D

1

D , f (t ) D

1

中的每一点

都存在导向量 那么就称 在 上可导 .

(15)

 运算法则

(1) (2)

(3) (4) (5) (6) (7)

d 0

d C

t [ ( )] ( )

d

d cu t c u t

t  

) ( )

( )]

( )

( d [

d u t v t u t v t

t     

) ( )

( )

( )

( )]

( )

( d [

d t u t t u t t u t

t          

) ( )

( )

( ) ( )]

( ) ( d [

d u t v t u t v t u t v t

t       

)]

( [ ) ( )]

( d [

d u t t u t

t   

) ( )

( )

( )

( )]

( )

( d [

d u t v t u t v t u t v t

t       

u ( t ), v ( t ),( t ) 可导 , C 是常向量 , c 是任一常数,则

(16)

 几何意义

x

y z

O r

割向量

t0

向量

向量值函数 rf ( t ), tD 的终端曲线

,

为空间曲线 Γ

割向量 切向量

与 t 的增长方向一致

0

t

与 t 的增长方向相反 与 t 的增长方向一致

与 t 的增长方向一致 向量值函数 rf ( t ), tD 的终端曲线

在点 M 处的一个切向量 , 其指向与 t 的增长方向一致 . Γ

M N

r t r

t r

t

lim

0

: ) ( t

0

f 

), ( t

0

f

OMONf ( t

0

  t )

指向

, 0 )

(

0

 t

f

(17)

一、一元向量值函数及其导数

(一)向量值函数的概念

(二)向量值函数的极限和连续

(三)向量值函数的导数

(四)举例

(18)

一、一元向量值函数及其导数

(一)向量值函数的概念

(二)向量值函数的极限和连续

(三)向量值函数的导数

(四)举例

(19)

例 1 lim ( ).

4

t f

t

f ( t )(cos t ) i(sin t ) jtk ,

例 2

例 3

(1) 滑翔机在任意时刻 t 的速度向量和加速度向量 ; (2) 滑翔机在任意时刻 t 的速率 ;

(3) 滑翔机的加速度与速度正交的时刻 .

设空间曲线

Γ

的向量方程为

, ),

6 2

, 3 4

, 1 (

)

(t t2 t t2 t t R

f

r      

求曲线

Γ

在与

t02

相应的点处的单位切向量 .

一个人在悬挂式滑翔机上由于快速上升气流而位置

向量为

rf (t)(3cost)i(3sint) jt2k

的路径螺旋

式向上 .求

(20)

复习 : 平面曲线的切线与法

线 已知平面光滑曲线 yf (x ) ( x

0

, y

0

) 切线方程 yy

0

法线方程 yy

0

若平面光滑曲线方程为 F ( x , y )  0 ,

) , (

) , ( d

d

y x F

y x F

x y

y

x

 故在点 ( x

0

, y

0

)

切线方程 法线方程

) ( yy

0

)

, ( x

0

y

0

F

y

)  (

) ,

( x

0

y

0

x x

0

F

x

  0

) )(

( x

0

x x

0

f  

) ) (

( 1

0 0

x x x

f

 

在点 有

0 )

( ) ,

(

0 0

0

F

x

x y y y )

, ( x

0

y

0

F

y

( xx

0

)

(21)

一、 空间曲线的切线与法平面

过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法 位置 .

T

M

空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限

平面 .

(22)

1. 曲线方程为参数方程的情况

) ( ,

) ( ,

) (

: x   t y   t z   t

z z z

y y y

x x x

 

 

0 0 0

,

t

上述方程之分母同除以 令 t  0 , 得

切线方程 xx

0

yy

0

zz

0

)

, ,

(

0 0 0

0

M x y z

t

t 对应

设 

) ,

,

(

0 0 0

0

t M x x y y z z

t

t    对应       

) (t0

( t

0

)  ( t

0

)

T

M

M 

的方程 :

割线 M M 

(23)

) )(

( t

0

xx

0

 

此处要求  ( t

0

) ,  ( t

0

) ,  ( t

0

)

也是法平面的法向量 , 切线的方向向量 :

称为曲线的切向量 .

) (

)

( t

0

yy

0

      ( t

0

)( zz

0

)  0 如个别为 0, 则理解为分子为 0 .

 

M 不全为 0,

)) (

, ) ( ,

) (

( t

0

t

0

t

0

T  

T 因此得法平面方程

说明 : 若引进向量函数 r ( t )  (  ( t ) ,  ( t ) ,  ( t ) ) , 则  为 r (t) 的矢端曲线 , 而在 t

0

处的导向量

)) (

, ) ( ,

) ( (

)

( t

0

t

0

t

0

t

0

r   

就是该点的切向量 .

o

) (t r

T

(24)

z

x y

o

1. 求圆柱螺旋线

y R z k R

x  cos ,  sin , 

2

  对应点处的切线方程和法平面方程 .

2

时 , 当  

切线方程 

 R x

法平面方程  R x

2

0

2

k z k x

R

 

0

2

0 R

y

k R z

R x

k

解 : 由于 x    R sin  ,

0 R y

k k z

2

, cos  R

y   z   k ,

) ,

, 0

(

2

0

R k

M

对应的切向量为

0 )

( 

2

k z

k

) , 0 ,

( R k

T   , 故

(25)

2. 曲线为一般式的情况 光滑曲线   

 

 ( , , ) 0

0 )

, , : (

z y x G

z y x F

当 0

) , (

) ,

( 

 

z y

G J F

 

  

) (

) (

x z

x y  

xy d d

曲线上一点 M ( x

0

, y

0

, z

0

)

, 且 有 x

z d , d

) , (

) , ( 1

x z

G F J

 ,

) , (

) , ( 1

y x

G F J

 时 ,  可表示 为

处的切向量为

 

 

 

M M

x y

G F

J x

z

G F

J ( , )

) , ( , 1

) , (

) ,

( , 1

1

1 , ( x

0

) , ( x

0

)

T  

(26)

xx

0

yy

0

zz

0

z

M

y G F

) , (

) , (

则在点 M ( x

0

, y

0

, z

0

) 切线方程

法平面方程

z

M

y G F

) , (

) , (

x

M

z

G F

) , (

) , (

y

M

x

G F

) , (

) , (

) ( xx

0

y

M

x

G F

) , (

) , (

 

x

M

z

G F

) , (

) , (

  ( yy

0

)

0 )

( z  z

0

或   

 

 

M M

M

x y

G F x

z

G F z

y G T F

) , (

) , , (

) , (

) , , (

) , (

)

,

(

(27)

例 2. 求曲线 x

2

y

2

z

2

 6 , xyz  0 在点

M ( 1,–2, 1) 处的切线方程与法平面方程 .

(28)

x x z z x

y y    d

d d

d 解 : 方程组两边对 x 求导 , 得

d 1 d d

d   

x z x

y

1 1

1 1

d d

z y

x y

x

z

 1

1 d

d

z x y

y 

曲线在点 M(1,–2, 1) 处有 : 切向量

解得  1 1

 z x

z , y

x z

 

z y

y x

 

) 1 ,

0 , 1

( 

 

 

 

M M

x

z x

T y

d , d d

, d

1

(29)

切线方程 x  1  y  2  z  1 即   

  

0 2

0 2

y z x

法平面方程 1  ( x  1 )  0  ( y  2 )  (  1 )  ( z  1 )  0 即 x  z  0

点 M (1,–2, 1) 处的切向

0  1

1

) 1 ,

0 , 1

( 

T

(30)

0 )

, , (

: 

F x y z

二、 曲面的切平面与法线 设 有光滑曲面

通过其上定点 M ( x

0

, y

0

, z

0

)

t

0

t

对应点 M, )

( ,

) ( ,

)

( t

0

t

0

t

0

切线方程为

) ( )

( )

(

0

0 0

0 0

0

t z z

t y y

t x x

 

 

不全为 0 . 则  在 ,

) ( ,

) ( ,

) (

: x   t y   t z   t

点 M 的切向量

任意引一条光滑曲线

M

T

下面证明 :

此平面称为  在该点的切平面 .

 上过点 M 的任何曲线在该点的切线 在同一平面上 . 都

)) (

, ) ( ,

) (

( t

0

t

0

t

0

T  

(31)

M

T

证 :   : x   ( t ) , y   ( t ) , z   ( t ) 在  上 , 0

) ) ( ,

) ( ,

) (

( 

Fttt

0

处求导 ,

两边在 tt 注意  t t

0

对应点 M ,

) ( t

0

 0 )

, ,

( x

0

y

0

z

0

F

x

F

y

( x

0

, y

0

, z

0

) ) ,

,

( x

0

y

0

z

0

F

z

 ) ( t

0

( t

0

)

)) (

, ) ( ,

) (

( t

0

t

0

t

0

T  

)) ,

, (

, ) ,

, (

, ) ,

, (

( F x

0

y

0

z

0

F x

0

y

0

z

0

F x

0

y

0

z

0

n

x y z

n T  切向量

由于曲线  的任意性 , 表明这些切线都在以 为法向量 n 的平面上 , 从而切平面存在 .

n

(32)

) (

) ,

,

( x

0

y

0

z

0

x x

0

F

x

曲面  在点 M 的法向量

法线方程

xx

0

yy

0

zz

0

) (

) ,

,

( x

0

y

0

z

0

y y

0

F

y

0 )

)(

, ,

(

0 0 0

0

F

z

x y z z z 切平面方程

) ,

,

( x

0

y

0

z

0

F

x

F

y

( x

0

, y

0

, z

0

) F

z

( x

0

, y

0

, z

0

)

M

T

n

)) ,

, (

, ) ,

, (

, ) ,

, (

( F x

0

y

0

z

0

F x

0

y

0

z

0

F x

0

y

0

z

0

n

x y z

(33)

) (

) ,

( x

0

y

0

x x

0

f

x

曲面 ) 时 ,

, ( y x f

zz

y x f z

y x

F ( , , )  ( , )  则在点 ( x , y , z ),

故当函数 f ( y x , ) ( x

0

, y

0

)

1 )

, (

) ,

(

0 0

0 0 0

0

0

 

 

z z

y x

f

y y

y x

f

x x

y x

法线方程

y

,

y

f

FF

z

  1

有 在点 ( x

0

, y

0

, z

0

)

特别 , 当光滑曲面 的方程为显式

在点 有连续偏导数时 ,

) (

) ,

( x

0

y

0

y y

0

f

y

 

z

0

z

x

,

x

f

F

切平面方程

(34)

 , ,

法向量 用

2

1

2

cos 1

y

x

f

f

 

f

x

( x

0

, y

0

) , f

y

( x

0

, y

0

) f

x

, f

y

, 法向量的方向余弦:

表示法向量的方向角 , 并假定法向量方向 为锐角 .

则 

分别记为 则

1 , cos

1 ,

cos

2 2 2 2

y x

y y

x x

f f

f f

f f

 

  

向上 ,

) 1 , ) ,

( ,

) ,

(

( f x

0

y

0

f x

0

y

0

n  

x

y

(35)

例 3. 求球面 x

2

 2 y

2

 3 z

2

 36 在点 (1 , 2 , 3) 处的 平面及法线方程 . 切

解 : F ( x , y , z )  x

2

 2 y

2

 3 z

2

 36

所以球面在点 (1 , 2 , 3) 处有 : 切平面方程 2 ( x  1 )

0 36

9

4   

y z

x

法线方程 x  1  y  2  z  3 ) 2 (

8 

 y  18 ( z  3 )  0

1 4 9

法向量 令

) 6 , 4 , 2

( x y z

n

) 18 , 8 , 2

)

(

3 , 2 , 1

(

n

(36)

例 4. 确定正数  使曲面 x y z   x

2

y

2

z

2

在点 M ( x

0

, y

0

, z

0

)

解 : 二曲面在 M 点的法向量分别

二曲面在点 M 相切 ,

0 0 0 0

0 0

0 0 0

z y x y

z x

x z

y  

x

0

02 02

02

y z

x  

又点 M 在球面上 ,

3

2 2 0 2

0 2

0

z a y

x   

故 于是有   x

0

y

0

z

0

a

2

相切 .

3 3

a

3

与球面

, ) ,

,

(

0 0 0 0 0 0

1

y z x z x y

nn

2

 ( x

0

, y

0

, z

0

)

2 1

// n

n , 因此有

2

0

y

2

0

z

2

(37)

1. 空间曲线的切线与法平面

切线方程 xx

0

yy

0

zz

0

法平面方程

) )(

( t

0

xx

0

 

1) 参数式情况 .



 

  

) (

) (

) ( :

t z

t y

t x

  

空间光滑曲线

切向量

内容小结

) ( t

0

( t

0

)  ( t

0

)

) (

)

( t

0

yy

0

      ( t

0

)( zz

0

)  0 ))

( ,

) (

, ) (

( t

0

t

0

t

0

T  

(38)

切线方程

法平面方程

M M

M

x y

G F

z z

x z

G F

y y

z y

G F

x x

) , (

) , ( )

, (

) , ( )

, (

) , (

0 0

0

 

 

空间光滑曲线

 

 

 

0 )

, , (

0 )

, , : (

z y x G

z y x F

z

M

y G F

) , (

) , (

 切向量

2) 一般式情况 .

) , , (

) ,

(

z

M

y G F

 ,

) , (

) ,

(

x

M

z G F

y

M

x G F

) , (

) ,

(

 

) ( xx

0

x

M

z

G F

) , (

) , (

  ( yy

0

)

y

M

x

G F

) , (

) , (

  ( z  z

0

)  0

 

 

T

(39)

空间光滑曲面  : F ( x , y , z )  0 曲面  在点

法线方程

) ,

,

(

0 0 0

0

z y

x F

x x

x

) ,

,

(

0 0 0

0

z y

x F

y y

y

 

) ,

,

(

0 0 0

0

z y

x F

z z

z

 

) (

) ,

, (

) (

) ,

,

( x

0

y

0

z

0

x x

0

F x

0

y

0

z

0

y y

0

F

x

 

y

1) 隐式情况 .

的法向量 )

, ,

( x

0

y

0

z

0

M

0 )

)(

, ,

(

0 0 0

0

F

z

x y z z z 切平面方程

2. 曲面的切平面与法线

)) ,

, (

, ) ,

, (

, ) ,

, (

( F x

0

y

0

z

0

F x

0

y

0

z

0

F x

0

y

0

z

0

n

x y z

(40)

空间光滑曲面  : zf ( x , y )

) (

) ,

( )

( ) ,

(

0 0 0 0 0 0

0

f x y x x f x y y y

z

z  

x

 

y

切平面方程

法线方程 ( , ) ( , ) 1

0 0

0 0 0

0

0

 

 

z z

y x

f

y y

y x

f

x x

y x

1 , cos

1 ,

cos

2 2 2 2

y x

y y

x x

f f

f f

f f

 

  

2) 显式情况 .

法线的方向余弦

2

1

2

cos 1

y

x

f

f

 

法向量 n  (  f

x

,  f

y

, 1 )

(41)

思考与练习

1. 如果平面 3 x   y  3 z  16  0 与椭球面 相切 ,

提示 : 设切点为 M ( x

0

, y

0

, z

0

) ,

2

3 x

2

y

 . 求

0 0

0

2 2

6 x y z

3    3

0 16

3

3 x

0

  y

0

z

0

  16

3 x

02

y

02

z

02

 2

 

2

 16

 z

( 二法向量平行 ) ( 切点在平面上 )

( 切点在椭球面上 )

(42)

证明 曲面 ( ) x f y x

z上任一点处的 切平面都通过原点 .

提示 : 在曲面上任意取一 点

, ) ,

,

( x

0

y

0

z

0

M 则通过此

z

0

z ( x x

0

)

x z

M

 ( y y

0

)

y z

M

  2. 设 f ( u ) 可微 ,

证明原点坐标满足上述方程 .

点的切平面为

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