【習題 1-2】

【習題 1-2】

1. 設 〈an〉 為一首項 a1 = 1﹐公比 1

r= −2的無窮等比數列﹒選出正確的選項﹕ (1)a100>0 (2)〈an〉 是收斂數列 (3) lim _n 0

n a

→∞ = (4) _{1 2} 2

n 3

a + + + + =a L a L (5)

1 2

1 1 1 3

n 2

a +a + +L a + =L ﹒ 解答 234

解析 (1) ₁₀₀ 1 ⁹⁹ 1 ( ) 0 a = × −2 < ﹒

(2)因為公比 1

r= −2﹐所以 〈an〉 是收斂數列﹒

(3)因為 1 ¹

1 ( ) 2

n

an = × − ⁻ ﹐所以 1 ¹ lim lim( ) 0

2

n

n an n ⁻

→∞ = →∞ − = ﹒

(4) _{1 2} 1 2

1 3 1 ( )

2 a +a + +an+ = =

L L − − ﹒

(5)因為

1

1 1 1 1 a = = ﹐

2

1 1 1 2 2 a = = −

−

﹐…﹐ ¹

1

1 1

1 ( 2) ( )

2

n n n

a

−

= − = −

−

﹐ 1 an

〈 〉 為發散數列﹐

所以

1 2

1 1 1

a +a + +L an +L 不能求和﹒

故選項(2)(3)(4)正確﹒

2. 求無窮級數 1 1 1

1 3+2 4+ +n n( 2)+

× × L + L 的和﹒

解答 3 4

解析 (1)利用 1 1 1 1

( )

( 2) 2 2

k k = k −k

+ + ﹐得

1 1 1

1 3 2 4 ( 2)

Sn

= + + +n n

× × L +

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

((1 ) ( ) ( ) ( ) ( ))

2 3 2 4 3 5 n 1 n 1 n n 2

= − + − + − + + − + −

− + +

L

1 1 1 1

(1 )

2 2 n 1 n 2

= + − −

+ + ﹒

(2)根據無窮級數和的定義﹐因為 1 1 1 1 1 1 3

lim lim (1 ) (1 0 0)

2 2 1 2 2 2 4

n Sn n

n n

→∞ = →∞ + − − = + − − =

+ + ﹐

所以 1 1 1 3

1 3+2 4+ +n n( 2)+ =4

× × L + L ﹒

3. 判斷下列各無窮等比級數為收斂或發散級數﹐若為收斂級數﹐求其和﹒

(1)24 + 12 + 6 + 3 +… (2) 3 3− +3 3 1− +L (3) 16 64

3 4+ + 3 + 9 +L

(4)2 8₂ 26₃ 3 1

5 5 5 5

n

n

+ + + +L − +L

解答 (1)收斂級數﹐48;(2)收斂級數﹐9 3 9 2

− ;(3)發散級數;(4)收斂級數﹐5 4 解析 (1)這是一個首項 a = 24﹐公比 1

r=2的無窮等比級數﹐因為公比 r 介於 − 1 與 1 之間﹐

所以此無窮級數為收斂級數且其和為 24

1 48

1 1

2 S a

= r = =

− −

﹒

(2)這是一個首項a=3 3﹐公比 1

r= − 3的無窮等比級數﹐因為公比 r 介於 − 1 與 1 之間﹐

所以此無窮級數為收斂級數且其和為 3 3 9 3 9

1 1 ( 1 ) 2

3 S a

r

= = = −

− − − ﹒

(3)這是一個首項為 3﹐公比為4

3的無窮等比級數﹐因為公比4 3>1﹐ 所以此無窮等比級數不能求和﹒

(4)2 8₂ 26₃ 3 1

5 5 5 5

n

n

+ + + +L − +L

2 3

2 3

3 1 3 1 3 1 3 1

5 5 5 5

n

n

− − − −

= + + + +L +L

2 3 2 3

3 3 3 3 1 1 1 1

( ( ) ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ( ) )

5 5 5 5 5 5 5 5

n n

= + + + +L +L − + + + +L +L

3 1

5 5 5

3 1 4

1 1

5 5

= − =

− − ﹒

4. 已知AB=9﹐今以 AB 長的1

3為邊長﹐作一正三角形 S1﹐再以剩下線段長的1

3為邊長作一正三角形 S2﹐如此繼 續下去﹐得到一序列的正三角形 S1﹐S2﹐S3﹐…﹐如下圖所示﹒求這些正三角形 S1﹐S2﹐S3﹐…的面積和﹒

解答 81 3 20

解析 由題意知﹕正三角形 S1﹐S2﹐S3﹐…的邊長分別為 3﹐2﹐4

3﹐…﹐這些正三角形的面積和為

9 3 4 3

4 + 3+ 9 +L ﹐這是一個首項為9 3

4 ﹐公比為4

9的無窮等比級數﹐因為公比介於 − 1 與 1 之

間﹐所以其和為

9 3 4 81 3

4 20 1 9

S = =

−

﹒

因此﹐所有正三角形 S1﹐S2﹐S3﹐…的面積和為81 3 20 ﹒

5. .將下列各循環小數化成分數：(1) 0.520 (2) 5.438 解答 (1)520

999;(2)2692 495 解析 (1)循環小數

0.520 0.520520= L=0.520+0.000520+0.000000520+L

這是首項為 0.520﹐公比為 0.001 的無窮等比級數﹐因為公比介於 − 1 與 1 之間﹐所以其和為 0.520 0.520 520

0.520

1 0.001 0.999 999

= = =

− ﹒

(2)5.438=5.4383838L=5.4+(0.038 0.00038 0.0000038+ + +L ) 0.038 54 38 5384

5.4 1 0.01 10 990 990

= + = + =

− ﹒

6. 選出正確的選項﹕ (1) 0.343 不是有理數 (2) 1

0.34>3 (3) 0.34 0.343> (4) 0.34 0.35< (5) 0.34 0.343= ﹒ 解答 2345

解析 (1)因為 34 0.343

=99﹐所以 0.343 是有理數﹒

(2)因為1

0.333

3= L ﹐ 0.34 0.3434= L ﹐所以 1 0.34>3﹒ (3)因為 0.34=0.3434L ﹐所以 0.34 0.343> ﹒

(4)因為 0.34=0.3434L ﹐所以 0.34 0.35< ﹒ (5)因為 0.343=0.3434343L ﹐所以 0.34 0.343= ﹒ 故選項(2)(3)(4)(5)正確﹒

7. 在坐標平面上﹐x 與 y 坐標都是整數的點﹐稱為格子點﹒設 an為落在以原點為圓心﹐正整數 n 為半徑的圓內或 圓上的格子點數目﹐已知數列 〈an〉 會滿足不等式π (n² − 3n) ≤ an ≤ π (n² + 3n)﹒求lim ₂ⁿ

n

a

→∞n ﹒ 解答 π

解析 將不等式π ⁽ⁿ²− 3n) ≤ an≤π ⁽ⁿ²+ 3n)中各式同除以 n²﹐得

2 2

2 2 2

(n 3 )n a_n (n 3 )n

n n n

π − ≤ ≤π + ﹐

因為

2 2

1 3 ( 3 )

lim lim

1

n n

n n n

n

π π π

→∞ →∞

− = ⋅ − = ﹐

2 2

1 3 ( 3 )

lim lim

1

n n

n n n

n

π π π

→∞ →∞

+ = ⋅ + = ﹐

所以由夾擠定理可知﹕lim ₂ⁿ

n

a n π

→∞ = ﹒

8. 求無窮級數1 1 1 1

1+1 2+1 2 3+ +1 2 3 n+

+ + + L + + + + L

L 的值﹒

解答 2

解析 將一般項變形﹕ 1 1 2 ( 1)

1 2 3 ( 1)

2

k = k k+ =k k

+ + + +L + ﹐

利用 2 1 1

2( )

( 1) 1

k k = k−k

+ + ﹐得

1 1 1 1

1 1 2 1 2 3 1 2 3 Sn

= + + + + n

+ + + L + + + +

L

1 1 1 1 1 1 1

2((1 ) ( ) ( ) ( ))

2 2 3 3 4 n n 1

= − + − + − + + −

L +

1 2

2(1 )

1 1

n

n n

= − =

+ + ﹐

根據無窮級數和的定義﹐因為 2

lim lim 2

n 1

n n

S n

→∞ = →∞n =

+ ﹐

所以 1 1 1 1

1 1 2 1 2 3 1 2 3 2

S= + + + + n+ =

+ + + L + + + + L

L ﹒

9. 已知無窮等比級數的和為 16﹐且前三項的和為 18﹐求此無窮等比級數偶數項的和﹒

解答 − 16

解析 設無窮等比級數的首項為 a﹐公比為 r﹐依題意可列出聯立方程式

2

1 16

18 a

r a ar ar

 =

 −

 + + =



﹐

解得 a = 24﹐ 1

r= −2﹒此無窮等比級數偶數項為 − 12﹐− 3﹐ 3

−4﹐…﹐是首項為 − 12﹐公比為1 4的 無窮等比級數﹐因為公比介於 − 1 與 1 之間﹐所以其和為 12

1 16

1 1

4 S a

r

= = − = −

− −

﹒

10. 求

2 1

1

1 2 2 2

3

n

n n

−

∞

=

+ + + +

∑

解答 ³ 2 解析 因為

2 1

1 2 2 2 2 1 2 1

( ) ( )

3 3 3 3

n n

n n

n n

+ + + +L − = − = −

所以

2 1

1 1

2 1

1 2 2 2 [( )2 ( ) ]1 3 3 2 1 3

2 1

3 3 3 1 1 2 2

3 3

n

n n

n

n n

∞ − ∞

= =

+ + + + = − = − = − =

− −

∑

∑

11. .已知首項為 2 的無窮等比級數的和為 6﹐求n 的最小值﹐使得其前 n 項的和 Sn滿足 1

| 6 |

n 1000

−S < ﹒（已知 log2

≈ 0.3010﹐log3 ≈ 0.4771）

解答 22

解析 設此無窮等比級數的公比為 r﹐因為首項為 2﹐所以無窮等比級數的和為 2 1 r =6

− ﹐

解得 2 r=3﹒

此無窮等比級數前 n 項的和為

2(1 ( ) )2

3 6 6 ( )2

2 3

1 3

n

n

Sn

= − = − ⋅

− ﹐

因為 1

| 6 |

n 1000

−S < ﹐即 2 1

| 6 (6 6 ( ) ) | 3 1000

− − ⋅ n < ﹐

所以 2 1 6 ( )

3 1000

⋅ n<

2 1

log( ) log

3 6000

n<

n(log2 − log3) <− (3 + log2 + log3)

− 0.1761n <− 3.7781 n > 21.454…﹐

因此 n 取最小整數為 22﹒

12. 一皮球自離地面 10 公尺高處落下﹐每次反跳高度為其落下時高度的1

3﹐求此球自落下到靜止時所經過的距離﹒

解答 20 公尺

解析 球每次彈跳的高度為一個等比數列﹕10 3 ﹐10₂

3 ﹐10₃ 3 ﹐…

其行經的路徑加起來為

2 1 2 1

10 10 10 10 10 10

10 2 2 2 10 ( ) 2 10 10 20

3 3 3ⁿ⁻ 3 3 3ⁿ⁻

+ × + × + +L × + = +L + + +L +L × = + = ﹐ 共行經 20 公尺﹒

13. 已知直角三角形△ABC 的兩股長為AB=20, BC=30﹐依次在三角形內作內接正方形 S1﹐S2﹐S3﹐…﹐如下 圖所示﹒

(1)求正方形 S1的面積﹒

(2)令 DE=a﹐ FG=b﹐利用△EFG～△ABC﹐求b a ﹒ (3)求所有內接正方形的面積總和﹒

B A

E D G

C

F S₁ S₂

S₃

解答 (1)144;(2)3

5;(3)225

解析 (1)設 BD=x﹐則AD=20−x﹒

因為△ADE～△ABC﹐所以AD AB

DE =BC ﹐即20 20 30 x

x− = ﹐得 x = 12﹐

因此正方形 S1的面積為 12²= 144﹒

(2)因為△EFG～△ABC﹐所以FG BC

EF = AB﹐即 3

12 2

b b =

− ﹐得 36

b= 5 ﹐

又 a = 12﹐因此 36

5 3 12 5 b

a= = ﹒

(3)因為兩正方形的面積比等於其邊長的平方比﹐所以 ^{2 2}

1 1

3 9

( )5 25

n

n

S S

S ₋ = S = = ﹐ 所有內接正方形的面積形成首項為 144﹐公比為 9

25的無窮等比數列﹐

因此所有內接正方形的面積總和為 144 9 225 1 25

=

−

﹒