1-1 二元一次方程式

(1)

籃子裡有白色雞蛋 x 顆、褐色雞蛋 y 顆，兩種蛋共 17

顆合計 71 元，已知白色蛋每顆 4 元，褐色蛋每顆 4.5

元，你能求出這兩種蛋各有幾顆嗎？

(2)

5

1 – 1 二元一次方程式

　　第一冊已學習如何利用含一個未知數的一元一次方程式，解決生活中的數量問題，本章要進一步學習含有兩個未知數的問題，從列式到熟練解方程式的方法，使我們能更靈活且有效率地解決生活中的問題。

1-1 二元一次方程式

• 二元一次式

• 二元一次式的化簡

• 二元一次方程式

1-2 二元一次聯立方程式

• 二元一次聯立方程

• 代入消去法

• 加減消去法

1-3 應用問題

二元一次聯立方程式

第章

(3)

二元一次式

1

1 ¹ ^{二元一次方程式}

　　在第一冊我們學習一元一次方程式時，先學習如何根據題意列出含有 x 的一次式，例如：買每個 10 元的麵包 x 個，一共需付 10x 元。現在為了解決含有兩個未知數的問題，我們先來學習依據題意列出含 x 與 y 的一次式的方法。

媽媽到麵包店為全家購買早餐，買了每個 25 元的麵包 x 個和每瓶 18 元的果汁 y 瓶，她一共要付多少元？

1

^{列二元一次式}

例

題

1 個麵包 25 元， x 個麵包共 25×x＝25x（元）； 1 瓶果汁 18 元， y 瓶果汁共 18×y＝18y（元）；所以媽媽一共要付（25x ＋18y）元。

1 為了響應救濟活動，力宏將撲滿中的 x 枚 50 元硬幣與 y 枚 10 元硬幣

全部捐出來，力宏一共捐了元。

2 心凌買了每張 15 元的卡片 x 張及每張 12 元的卡片 y 張，則心凌一共

要付元。

50x＋10y

15x＋12y

(4)

倒滿每杯容量 x 毫公升的杯子 3 杯，就是倒出了 3x 毫公升的水；

　　倒滿每杯容量 y 毫公升的杯子 5 杯，就是倒出了 5y 毫公升的水；

　　所以桶內剩下（5000－3x－5y）毫公升的水。

因為分別倒出了 3x 毫公升及 5y 毫公升的水，

　也就是共倒出（3x＋5y）毫公升的水，

所以桶內剩下〔5000－（3x＋5y）〕毫公升的水。

一桶 5000 毫公升的水，倒滿每杯容量 x 毫公升的杯子 3 杯，及每杯容量 y 毫公升的杯子 5 杯後，桶內還剩下多少毫公升的水？

2

^{列二元一次式}

例

題

　　在例題 1 與例題 2 中，像25x＋18y、5000－3x－5y 這種含有兩種文字符號

（二元），且這兩種文字符號的次方都是一次的式子，稱為二元一次式。

　　例題 1 中，如果媽媽買了 3 個麵包和 2 瓶果汁，即表示 x＝3 ， y＝2 ，所以媽媽應付的錢為 25x＋18y ＝25×3＋18×2＝75＋36＝111（元）。

　　由上面的說明，可以發現：

一個含有 x、y 的二元一次式，當 x 和 y 的值給定後，就可求出該式子的值。

5000－3x－5y 與 5000－（3x＋5y）

兩個式子代表的水量相等。

1 志忠有 83 元，買文具花掉了 x 枚 1 元硬幣與 y 枚 10 元硬幣，則志忠還

有元。

2 佩君有 200 元，買了每枝 x 元的原子筆 2 枝與每枝 y 元的鉛筆 3 枝後，

還剩下元。

逐一減去先後倒出的量

一次減去全部倒出的量

83－x－10y

200－2x－3y

或 83－（x＋10y）

或 200－（2x＋3y）

(5)

在下表空格中，填入各二元一次式的值。

1 當 x＝2 ， y＝5 時， 2 當 x＝－2 ， y＝3 時，

3x－4y＝3×2－4×5 3x－4y＝3× （－2）－4×3 ＝6－20 ＝（－6）－12 ＝－14 ＝－18

　 ³ 當 x＝－ 2

3 ， y＝－ 5 2 時，

3x－4y＝3× （－ 2

3 ）－4× （－ 5 2 ）＝（－2）＋10

＝8

依據下列各小題的 x 、 y 值，分別求出二元一次式 3x －4y 的值。

1 x＝2，y＝5 2x＝－2，y＝3 3x＝－ 2 3 ，y＝－ 5 2

3

^代入求值

例

題

二元一次式 3x－4y

x 2

5 －2 3

－ 2 3

－ 5 2

－14 －18 8

y

二元一次式 2x＋7y 3x－5y 10－x－2y

x 1

3 －2

－1

0 －3

0.6 －0.2

－ 1 2 5 2 y

我們也可以用表格的方式來呈現例題 3，如下表：

23 －12 3

－11

－1 14

－21 15 16

－0.2 2.8 9.8 33

2 －14 5 1

2

(6)

二元一次式的化簡

2

6x 與 3y不是同類項，不能再合併。

2x 與 4x 為同類項，2y 與 y 為同類項。

淺灰色塊內的式子，

熟練後可以省略！

　　學習一元一次式時，對於同類項會先合併化簡，在二元一次式也是如此。

但是，含不同文字符號的項，並不是同類項，是不能合併的。例如在例題 1 中，

25x＋18y 是不能再進一步合併的。

化簡下列各式：

1 2x＋2y＋4x＋y 26x－7y－4＋y－1 3 3x－4y＋9＋5x－y－7 4－4x＋3y－8－y＋5－5x

4

^{合併同類項}

例

題

以「＋」號作區隔，所以 6x－7y＝6x＋（－7y）。

1 2x ＋ 2y ＋ 4x ＋ y ＝ 2x ＋ 4x ＋ 2y ＋ y ＝ 6x＋3y

　　 2 6x－7y－4＋y－1

＝ 6x ＋（－7y）＋（－4）＋ y ＋（－1）

＝ 6x ＋（－7y）＋ y ＋（－4）＋（－1）

＝ 6x ＋（－6y）＋（－5）

＝ 6x－6y－5

　　 3 3x－4y＋9＋5x－y－7

＝ 3x ＋（－4y）＋ 9 ＋ 5x ＋（－y）＋（－7）

＝ 3x ＋ 5x ＋（－4y）＋（－y）＋ 9 ＋（－7）

＝ 8x ＋（－5y）＋ 2 ＝ 8x－5y＋2

4 －4x＋3y－8－y＋5－5x

＝（－4x）＋3y＋（－8）＋（－y）＋5＋（－5x）

＝（－4x）＋（－5x）＋3y＋（－y）＋（－8）＋5 ＝（－9x）＋2y＋（－3）

＝－9x＋2y－3

(7)

化簡下列各式：

1 3x＋4y＋5＋2x＋3y－3 2 x＋4y－3x＋2

3 5x－6y－4－6x－2y＋4 4－7x＋y－6－4y－3－8x

1 2（－2x＋3y） 25（2x－3y－1 ）＝－4x＋6y ＝ 10x－15y－5

3（2x＋4y－5 ）＋（4x－5y＋6） 42（3x－y＋9）＋3（x－2y－5 ）＝ 2x＋4y－5＋4x－5y＋6 ＝ 6x－2y＋18＋3x－6y－15 ＝ 6x－y＋1 ＝ 9x－8y＋3

化簡下列各式：

1 2（－2x＋3y） 2 5（2x－3y－1）

3 （2x＋4y－5）＋（4x－5y＋6） 4 2（3x－y＋9）＋3（x－2y－5）

5

^{去括號再合併}

例

題

當二元一次式中有括號時，化簡的方法也如同一元一次式，可以先利用分配律，即 a×（b＋c）＝a×b＋a×c，去掉括號後，再將同類項合併。

5x＋7y＋2

－x－8y

－2x＋4y＋2

－15x－3y－9

(8)

化簡下列各式：

1 3（x＋5y） 24（－3x＋y－5）

3 （4x－5y－9）＋（3x＋4y－8） 44（－2x＋y＋3）＋3（x－2y－5）

2x

＋

4y

－

5 ＋ 4x

－

5y

＋

6 6x

－

y

＋

1

也就是 2x＋4x＝6x 4y＋（－5y）＝－y （－5）＋6＝1

在例題 5 的第 3 小題，也可以將同類項上下對齊，用直式運算記錄如下：

化簡下列各式：

1 2 7x － y ＋5

＋ 3x －5y －9

3x －5y －7

＋－x ＋8y ＋8 3x＋15y

＝4x－5y－9＋3x＋4y－8

＝7x－y－17

－12x＋4y－20

＝－8x＋4y＋12＋3x－6y－15

＝－5x－2y－3

10x －6y －4 2x ＋3y ＋1

(9)

1 －（ 4x＋2y－5 ）

＝（－1）×（4x＋2y－5 ）＝－4x－2y＋5

2 －5（x－2y＋3 ）＝－5x＋10y－15

3 （3x－2y－1 ）－（2x＋y－3 ）＝ 3x－2y－1－2x－y＋3 ＝ x－3y＋2

4 4（3x－2y＋1）－3（－2x＋4y＋3 ）＝ 12x－8y＋4＋6x－12y－9

＝ 18x－20y－5

5 3

2 （ 2x－y＋2 ）－ 1

3 （ 3x＋y＋6 ）＝ 3x － 3

2 y ＋3－x － 1 3 y －2 ＝ 2x － 11

6 y ＋1 化簡下列各式：

1 －（4x＋2y－5）　 2－5（x－2y＋3）

3 （3x－2y－1）－（2x＋y－3）　 44（3x－2y＋1）－3（－2x＋4y＋3）

5 3

2 （2x－y＋2）－ 1

3 （3x＋y＋6）

6 ^{去括號再合併}

例

題

括號前面若有「－」號，

則去括號時要將括號內的每一項都變號。

(10)

3

化簡下列各式：

1 2

3x －2y －1 － 2x ＋y －3 x －3y ＋2

也就是 3x－2x＝x －2y－y＝－3y （－1）－（－3）＝2

3x －5y ＋2

－ 6x －2y －7

－2x ＋5y －7

－ 4x － y －9 化簡下列各式：

1 －（－3x＋2y－1） 2－5（－0.4x－y＋1.8）

3 （5x＋2y－8）－（2x－4y＋3） 4－3（2x＋3y）－2（5x－4y－9）

5 1 2 （x－y＋3）－ 2 3 （3x＋y－5）

在例題 6 的第 3 小題中，也可以將同類項上下對齊，用直式運算記錄如下：

3x－2y＋1 2x＋5y－9

＝5x＋2y－8－2x＋4y－3

＝3x＋6y－11

＝ 1 2 x－ 1 2 y ＋ 3

2 －2x－ 2 3 y ＋ 10 3

＝－ 3 2 x － 7

6 y ＋ 29 6

＝－6x－9y－10x＋8y＋18

＝－16x－y＋18

－3x －3y ＋9 －6x ＋6y ＋2

(11)

二元一次方程式

3 根據下列各問題，列出二元一次方程式︰

1 欣怡買了每枝 15 元的鉛筆 x 枝及每個 12 元的橡皮擦 y 個，一共花了

120 元。可列出二元一次方程式：。

2 建華有 83 元，買文具花了 x 枚 1 元硬幣和 y 枚 10 元硬幣後，還剩下

21 元。可列出二元一次方程式：。

3 大小兩整數分別為 x 與 y ，且大數比小數大 10 。

　可列出二元一次方程式：。

4 一矩形的長為 x 公分，寬為 y 公分，且其周長為 20 公分。

　可列出二元一次方程式：。

　　現在我們來練習將一個二元一次式進一步列成含等號的式子，例如：

1 在第 6 頁例題 1 中，如果媽媽買了 x 個 25 元的麵包和 y 瓶 18 元的果汁，共花了 147 元，也就是（25x＋18y）與 147 都是指媽媽所花的錢，所以依兩者相等可列得等式：

　　　　　25x＋18y＝147 或 147＝25x＋18y 　也可依兩者相減為 0 列得等式：

　　　　　（25x＋18y）－147＝0 或 147－（25x＋18y）＝0

2 在例題 2 中，如果一桶 5000 毫公升的水，倒滿每杯容量 x 毫公升的杯子 3 杯，及每杯容量 y 毫公升的杯子 5 杯後，桶內還剩 2000 毫公升的水，也就是

（5000－3x－5y）與 2000 都是指桶內所剩的水，所以依兩者相等可列得等式：

　　　　　 5000－3x－5y＝2000 或 2000＝5000－3x－5y 　也可依兩者相減為 0 列得等式：

　　　　　（5000－3x－5y）－2000＝0 或 2000－（5000－3x－5y）＝0

　　像上面 25x＋18y＝147、5000－3x－5y＝2000、… … 的式子，只含有兩種未知數，且兩種未知數的次方都是一次的等式，稱為二元一次方程式。

四個方程式的意義皆相同，但習慣上 以 25x＋18y＝147 最為常用。

15x＋12y＝120

83－x－10y＝21

x－y＝10 或 x＝y＋10

2（x＋y）＝20 或 2 x＋2 y＝20

或 83－（x＋10y）＝21

(12)

5

y

　　當二元一次方程式中的未知數（如 x 與 y），以一組特定的值代入，可使等號左右兩邊的值相等時，便稱該組 x、y 的值為此方程式的解。

例如：二元一次方程式 5x＋8y＝47 1 當 x＝3，y＝4 代入時，

左式＝5×3＋8×4＝15＋32＝47＝右式

即等號成立，所以 x＝3，y＝4 是方程式 5x＋8y＝47 的解。

2 當 x＝1，y＝2 代入時，

左式＝5×1＋8×2＝5＋16＝21≠右式

即等號不成立，所以 x＝1，y＝2 不是方程式 5x＋8y＝47 的解。

下列哪幾組 x、y 所代表的數是方程式－2x＋y＝3 的解？

1 x＝0，y＝0　　　　　　　 2x＝0.4，y＝3.8 3x＝－ 1 4 ，y＝ 5 2 　　　　　　　　 4x＝－1，y＝－1

7

^解的判斷

例

題

將 x、y 所代表的數代入式子中，檢驗等號是否成立，如下表：

x 左式＝－2x＋y 右式＝3

0 0 （－2） ×0＋0＝0

0.4 3.8 （－2） ×0.4＋3.8＝3

－ 1 4

5 2 （－2）×（－ 1 4 ）＋ 5 2 ＝3

－1 －1 （－2）× （－1）＋（－1）＝1

3

3 是否為解？

否

是

否

(13)

1 下列哪幾組 x、y 所代表的數是方程式－2x－3y＝8 的解？

1 x＝－1，y＝－2 2 x＝－4.3，y＝0.2

3 x＝4，y＝0 4 x＝－ 3

2 ，y＝－ 5 3

2 已知 x＝1，y＝a 與 x＝2，y＝b 都是方程式 3x＋2y＝5 的解，求 a、b 的值。

3 國城與乃麟求方程式 2x－3y＝12 的解，國城選了四個 x 值，乃麟選了四個 y 值，分別排成下列兩表。

試完成下列兩表，使得各組 x、y 值是方程式 2x－3y＝12 的解。

x 0 1 2 3

y

x

0 1 2 3

y

　　由例題 7 及隨堂練習，可發現二元一次方程式的解不只一組，在隨堂練習第3題的方程式 2x－3y＝12 中，當 x 的值繼續由 4、5、6 等數依序代入時，

y 的值必可由一個一元一次方程式解得；同樣地，當 y 的值繼續由 4、5、6 等數依序代入時，x 的值也必可由一個一元一次方程式解得。

　　由此可知：

一個二元一次方程式的解有無限多組。

a＝1，b＝－ 1 2

1、2

、4

－4

6 9

－2

－ 10 3 15

2 21 2

－ 8 3

(14)

　　由例題 8 及隨堂練習可知，一個二元一次方程式雖然有無限多組解，但是常因其他條件的限制，而影響了該方程式解的個數。

1 丞琳買了兩種卡片共花了 85 元，其中有每張 15 元的卡片 x 張，10 元的卡片 y 張。試問丞琳可能買了幾張 10 元的卡片？

2 已知 x、y 均為正整數，且 5x＋2y＝32，求滿足上述條件的所有解。

七年 5 班上課時進行分組，每組 3 人或 5 人，其中 5 人一組的有 x 組，

3 人一組的有 y 組。已知學生共有 37 人，請寫出所有可能的分法。

8

^{正整數解的應用}

例

題

因為 5 人一組的有 x 組，共 5x 人，3 人一組的有 y 組，共 3y 人，

所以總共有學生（5x＋3y ）人，因此可列得方程式 5x＋3y ＝37。

因為 x 與 y 都表示組數，所以 x 與 y 均為正整數或 0，因此方程式中 x 的值可用 0、1、2、3 等數依序代入，解得 y 值後，再檢查 y 是

否也符合正整數或 0 的條件，如下表。（○：符合條件；╳：不符合條件）

由上表可知符合條件的解為：

1 x＝2，y＝9，表示 5 人一組的有 2 組，3 人一組的有 9 組。

2 x＝5，y＝4，表示 5 人一組的有 5 組，3 人一組的有 4 組。

故 5 人一組的有 2 組，3 人一組的有 9 組；

或 5 人一組的有 5 組，3 人一組的有 4 組。

x y

檢查 ╳ ╳ ○ ╳ ╳ ○ ╳ ╳ ╳

0 37

3 32

3 22

3 17

3 7 3

2 3 1 2

9 4

3 4 5 6 7 ……

負數

╳ 8

－1

1 張或 4 張或 7 張

x＝2，y＝11 或 x＝4，y＝6 或 x＝6，y＝1

(15)

! 二元一次式：只含有兩種代表數的文字符號，且兩種文字符號的次方是一次的式子，稱為二元一次式。

例如：－2x＋y－5、x－3y 等。

@ 項的合併：式子做加減運算時，須掌握同類項才能合併的原則。

例如：x、3x 是同類項，2y、3y 是同類項，x、2y 不是同類項。

因此（x＋2y＋1）＋（3x＋3y＋5）可以合併成（x＋3x）＋（2y＋3y）＋（1＋5）＝4x＋5y＋6 而（x＋1）＋（2y＋3）＝x＋2y＋4

# 二元一次方程式：只含有兩種未知數，且兩種未知數的次方都是一次的等式，稱為二元一次方程式。例如：3x－2y＝5、x＝3y 等。

$ 二元一次方程式的解：二元一次方程式中的 x、y，若以一組特定的值代入，可使其等號左右兩邊的值相等時，便稱該組 x、y 值為此方程式的解。一個二元一次方程式的解有無限多組，但在實際問題的情境中，常因未知數受到其他條件的限制，而影響了該方程式解的個數。

宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，無處不用數學。

——華羅庚（1910-1985）

數學小語錄

(16)

1 棒棒堂家族聚餐共點了每份 100 元的 1 號餐 x 份和每份 150 元的 2 號餐 y

份，則一共花了元。

2 請在下表的空格中，填入各二元一次式的值。

3 化簡下列各式：

　1 3x＋5y－x－2 2 －5x＋y－8－4y－3＋9x

自我評量 1-1

1 3 0 －0.4 －6

－1 0 － 1

3 1 －3

5x－2y

－3x＋5y

12－2x－3y x

y 二元一次式

7 100x＋150y

－8 －9 6.2 3

9.8 33

－4 －24

13 13

15

6 2 3

－ 5 3

2x＋5y－2 4x－3y－11

(17)

　3 －（－x＋2y－4） 4 2（x－2y＋5）＋3（x＋y－1）

　5 3（2x－y＋5）－2（4x＋y－1） 6 3 2 （x＋2y－4）＋ 1 4 （3x－y＋5）

　7 8

4 下列哪幾組 x、y 所代表的數是方程式 3x－4y＝－2 的解？

1x＝－2，y＝－2 2 x＝2.4，y＝1.3 3x＝0，y＝ 1

2 4 x＝－ 5

3 ，y＝－ 3 4 3x －5y －12

＋ 2x －7y － 6

5x －3y ＋ 8

－ 9x －7y － 5

x－2y＋4 5x－y＋7

＝6x－3y＋15－8x－2y＋2

＝－2x－5y＋17

＝ 3 2 x＋3y－6＋ 3 4 x － 1

4 y ＋ 5 4

＝ 9 4 x ＋ 11 4 y － 19 4

5x －12y －18 －4x ＋4y ＋13

3、4

(18)

2

5 已知 x＝3，y＝4 是方程式 ax－ 3 2 y ＝1 的解，求 a 的值。

6 已知協志買每枝 20 元的原子筆 x 枝和每枝 30 元的螢光筆 y 枝，一共花了 160 元。則

　1依題意可列得二元一次方程式：。

　2協志可能買幾枝原子筆？（多選）A 2 B 3 C 4 D 5 枝。

7 已知 x、y 均為正整數，且 3x＋5y＝32，求滿足上述條件的所有解。

A、D 7

3 20x＋30y＝160

x＝9，y＝1 或 x＝4，y＝4

1-1 二元一次方程式

籃子裡有白色雞蛋 x 顆、褐色雞蛋 y 顆，兩種蛋共 17

顆合計 71 元，已知白色蛋每顆 4 元，褐色蛋每顆 4.5

元，你能求出這兩種蛋各有幾顆嗎？

第一冊已學習如何利用含一個未 知數的一元一次方程式，解決生活中 的數量問題，本章要進一步學習含有 兩個未知數的問題，從列式到熟練解 方程式的方法，使我們能更靈活且有 效率地解決生活中的問題。

1-1 二元一次方程式

1-2 二元一次聯立方程式

1-3 應用問題

二元一次聯立方程式

第 章

二元一次式

1

1 1 二元一次方程式

在第一冊我們學習一元一次方程式時，先學習如何根據題意列出含有 x 的 一次式，例如：買每個 10 元的麵包 x 個，一共需付 10x 元。現在為了解決含 有兩個未知數的問題，我們先來學習依據題意列出含 x 與 y 的一次式的方法。

媽媽到麵包店為全家購買早餐，買了每個 25 元的麵包 x 個和每瓶 18 元 的果汁 y 瓶，她一共要付多少元？

1

例

 1 個麵包 25 元， x 個麵包共 25×x＝25x（元） ； 1 瓶果汁 18 元， y 瓶果汁共 18×y＝18y（元） ； 所以媽媽一共要付（25x ＋18y）元。

1 為了響應救濟活動，力宏將撲滿中的 x 枚 50 元硬幣與 y 枚 10 元硬幣

全部捐出來，力宏一共捐了 元。

2 心凌買了每張 15 元的卡片 x 張及每張 12 元的卡片 y 張，則心凌一共

要付 元。

50x＋10y

15x＋12y

倒滿每杯容量 x 毫公升的杯子 3 杯，就是倒出了 3x 毫公升的水；

倒滿每杯容量 y 毫公升的杯子 5 杯，就是倒出了 5y 毫公升的水；

所以桶內剩下（5000－3x－5y）毫公升的水。

因為分別倒出了 3x 毫公升及 5y 毫公升的水，

也就是共倒出（3x＋5y）毫公升的水，

所以桶內剩下〔5000－（3x＋5y） 〕毫公升的水。

一桶 5000 毫公升的水，倒滿每杯容量 x 毫公升的杯子 3 杯，及每杯容量 y 毫公升的杯子 5 杯後，桶內還剩下多少毫公升的水？

2

例

在例題 1 與例題 2 中，像25x＋18y、5000－3x－5y 這種含有兩種文字符號

（二元），且這兩種文字符號的次方都是一次的式子，稱為二元一次式。

例題 1 中，如果媽媽買了 3 個麵包和 2 瓶果汁，即表示 x＝3 ， y＝2 ， 所以媽媽應付的錢為 25x＋18y ＝25×3＋18×2＝75＋36＝111（元）。

由上面的說明，可以發現：

一個含有 x、y 的二元一次式，當 x 和 y 的值給定後，就可求出該式子的值。

1 志忠有 83 元，買文具花掉了 x 枚 1 元硬幣與 y 枚 10 元硬幣，則志忠還

有 元。

2 佩君有 200 元，買了每枝 x 元的原子筆 2 枝與每枝 y 元的鉛筆 3 枝後，

還剩下 元。

逐一減去先後倒出的量

一次減去全部倒出的量

83－x－10y

200－2x－3y

或 83－（x＋10y）

或 200－ （2x＋3y）

在下表空格中，填入各二元一次式的值。

 1 當 x＝2 ， y＝5 時， 2 當 x＝－2 ， y＝3 時，

3x－4y＝3×2－4×5 3x－4y＝3× （－2） －4×3 ＝6－20 ＝（－6）－12 ＝－14 ＝－18

3 當 x＝－ 2

3 ， y＝－ 5 2 時，

3x－4y＝3× （－ 2

3 ） －4× （－ 5 2 ） ＝（－2）＋10

＝8

 依據下列各小題的 x 、 y 值，分別求出二元一次式 3x －4y 的值。

1 x＝2，y＝5 2x＝－2，y＝3 3x＝－ 2 3 ，y＝－ 5 2

3

例

二元一次式 3x－4y

x 2

5

－2 3

－ 2 3

－ 5 2

－14 －18 8

y

二元一次式 2x＋7y 3x－5y 10－x－2y

x 1

3

－2

－1

0

－3

0.6

－0.2

－ 1 2 5 2 y

我們也可以用表格的方式來呈現例題 3，如下表：

23

　　第一冊已學習如何利用含一個未知數的一元一次方程式，解決生活中的數量問題，本章要進一步學習含有兩個未知數的問題，從列式到熟練解方程式的方法，使我們能更靈活且有效率地解決生活中的問題。

第章

1 ¹ ^{二元一次方程式}

媽媽到麵包店為全家購買早餐，買了每個 25 元的麵包 x 個和每瓶 18 元的果汁 y 瓶，她一共要付多少元？

1 個麵包 25 元， x 個麵包共 25×x＝25x（元）； 1 瓶果汁 18 元， y 瓶果汁共 18×y＝18y（元）；所以媽媽一共要付（25x ＋18y）元。

全部捐出來，力宏一共捐了元。

2 心凌買了每張 15 元的卡片 x 張及每張 12 元的卡片 y 張，則心凌一共

要付元。

　　倒滿每杯容量 y 毫公升的杯子 5 杯，就是倒出了 5y 毫公升的水；

　　所以桶內剩下（5000－3x－5y）毫公升的水。

　也就是共倒出（3x＋5y）毫公升的水，

所以桶內剩下〔5000－（3x＋5y）〕毫公升的水。

　　在例題 1 與例題 2 中，像25x＋18y、5000－3x－5y 這種含有兩種文字符號

　　例題 1 中，如果媽媽買了 3 個麵包和 2 瓶果汁，即表示 x＝3 ， y＝2 ，所以媽媽應付的錢為 25x＋18y ＝25×3＋18×2＝75＋36＝111（元）。

　　由上面的說明，可以發現：

有元。

2 佩君有 200 元，買了每枝 x 元的原子筆 2 枝與每枝 y 元的鉛筆 3 枝後，

還剩下元。

或 200－（2x＋3y）

1 當 x＝2 ， y＝5 時， 2 當 x＝－2 ， y＝3 時，

3x－4y＝3×2－4×5 3x－4y＝3× （－2）－4×3 ＝6－20 ＝（－6）－12 ＝－14 ＝－18

　 ³ 當 x＝－ 2

3 ）－4× （－ 5 2 ）＝（－2）＋10

依據下列各小題的 x 、 y 值，分別求出二元一次式 3x －4y 的值。

　　學習一元一次式時，對於同類項會先合併化簡，在二元一次式也是如此。

1 2x ＋ 2y ＋ 4x ＋ y ＝ 2x ＋ 4x ＋ 2y ＋ y ＝ 6x＋3y

　　 2 6x－7y－4＋y－1

＝ 6x ＋（－7y）＋（－4）＋ y ＋（－1）

＝ 6x ＋（－7y）＋ y ＋（－4）＋（－1）

＝ 6x ＋（－6y）＋（－5）

　　 3 3x－4y＋9＋5x－y－7

＝ 3x ＋（－4y）＋ 9 ＋ 5x ＋（－y）＋（－7）

＝ 3x ＋ 5x ＋（－4y）＋（－y）＋ 9 ＋（－7）

＝ 8x ＋（－5y）＋ 2 ＝ 8x－5y＋2

4 －4x＋3y－8－y＋5－5x

＝（－4x）＋3y＋（－8）＋（－y）＋5＋（－5x）

＝（－4x）＋（－5x）＋3y＋（－y）＋（－8）＋5 ＝（－9x）＋2y＋（－3）

1 2（－2x＋3y） 25（2x－3y－1 ）＝－4x＋6y ＝ 10x－15y－5

3（2x＋4y－5 ）＋（4x－5y＋6） 42（3x－y＋9）＋3（x－2y－5 ）＝ 2x＋4y－5＋4x－5y＋6 ＝ 6x－2y＋18＋3x－6y－15 ＝ 6x－y＋1 ＝ 9x－8y＋3

當二元一次式中有括號時，化簡的方法也如同一元一次式，可以先利用分配律，即 a×（b＋c）＝a×b＋a×c，去掉括號後，再將同類項合併。

也就是 2x＋4x＝6x 4y＋（－5y）＝－y （－5）＋6＝1

＋－x ＋8y ＋8 3x＋15y