2-3 三元一次聯立方程式
重點一 消去法 例題1
設二次函數 f（x）＝ax2＋bx＋c 的圖形通過（1 , 2），（2 , 3），（3 , 6）三點，求 f（x）。
解 將（1 , 2），（2 , 3），（3 , 6）代入二次函數 f（x），
得到一個三元一次聯立方程式 2
4 2 3 9 3 6 a b c
a b c a b c
＋＋＋
＋＋＋
＋＋＋
‚ ƒ
使用加減消去法，將－及－消去 c 得
3 1
8 2 4 a b a b
＋＋
＋＋
„
…
由－×2 得 2a＝2 a＝1，代入得 b＝－2，再代入得 c＝3 因此 f（x）＝x2－2x＋3
例題2
試解下列各方程組：
(1)
4 2 1
3 2
2 4 3 3 x y z
x z
x y z
＋ ＋ ＋
＋ ＋ ＋
＋ ＋ ＋ ＋
。 (2)
6
2 4
3 6 3 17 x y z
x y z x y z
＋ ＋ ＋
＋ ＋ ＋
＋ ＋ ＋
。
解 (1)
4 2 1
3 2
2 4 3 3 x y z
x z
x y z
＋＋＋
＋＋＋
＋＋＋＋
‚ ƒ
－得 3x－z＝－2，此式與式相同 故此方程組有無限多組解
令 x＝4t，則 z＝2＋12t，再代回得 y＝－3 4－7t
故方程組的解為 4
3 7 4 2 12 x t
y t
z t
＋
＋ ＋ ＋
＋ ＋
，t 為實數
因此，方程組有無限多組解 (2)
6
2 4
3 6 3 17 x y z
x y z x y z
＋＋＋
＋＋＋
＋＋＋
‚ ƒ
－得 y＝2
3代入、得
16 3 3 3 21 x z
x z
＋ ＋
＋ ＋
L L L L L L L L L L L
„
…
×3－得 0＝－5，因此，方程組無解
◎重點二 三元一次方程組的克拉瑪公式 例題3（三元一次方程組的克拉瑪公式）
(1) 2 4 6 7 1 x y z x y z
＋ ＋ ＋
＋ ＋ ＋
。 (2) 4 3 3 5
3 3
x y z x y z
＋ ＋ ＋
＋ ＋ ＋
。
解 (1) ∵Δ＝
1 2 3 2 4 6 1 1 1
＋
＋ ＝0，Δx＝
4 2 3 7 4 6 1 1 1
＋
＋ ＝5≠0
∴方程組無解 (2) Δ＝
2 5 1 4 3 3 3 1 1
＋
＋ ＝0，Δx＝
1 5 1 5 3 3 3 1 1
＋
＋ ＝0，
Δy＝
2 1 1 4 5 3 3 3 1
＋
＝0，Δz＝
2 5 1 4 3 5 3 1 3
＋ ＝0
∵Δ＝Δx＝Δy＝Δz＝0
∴方程組有無限多組解 例題4
方程組
1 1 1 0 4 3 2
5 3 2 4
4 x y z
x y z
x y z
＋ ＋ ＋
＋ ＋ ＋
＋ ＋ ＋ ＋
，則下列選項哪些正確？
(A)x＝1 (B)x＝2 (C)y＝－1 (D)y＝1 (E)x＋y＋z＝7 6 解 令 A＝1
x，B＝1
y，C＝1
z，則方程組可改寫成
0 4 3 2 5 3 2 4 4
A B C A B C
A B C
＋ ＋ ＋
＋ ＋ ＋
＋ ＋ ＋ ＋
Δ＝
1 1 1 4 3 2 3 2 4
＝－3，ΔA＝
0 1 1 5 3 2 4 2 4
＋
＝－6，
ΔB＝
1 0 1 4 5 2 3 ＋4 4
＝－3，ΔC＝
1 1 0 4 3 5 3 2 ＋4
＝9，利用克拉瑪公式得
A＝A
＝ 6 3
＋
＋ ＝2＝1
x，B＝B
＝ 3 3
＋
＋ ＝1＝1
y，C＝C
＝ 9
＋3＝－3＝1 z
∴x＝1
2，y＝1，z＝－1
3 x＋y＋z＝7
6，故選(D)(E)
例題5
設方程組
2 0
2 0
2 0
a b c x by cz ax a b c y cz ax by a b c z
＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋
＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋
＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋
，除了 x＝0，y＝0，z＝0 外，尚有其他解，則下列選項 何者正確？
(A)a＝b＝c (B)a＋b＋c＝1 (C)a＋b＋c＝0 (D)a，b，c 完全相異 (E)以上皆非 解 三元一次方程組，除了 x＝0，y＝0，z＝0 之外，尚有其他解，表示其解有無限多組解
Δ＝0
Δ＝
2
2
2
a b c b c
a a b c c
a b a b c
＋ ＋
＋ ＋
＋ ＋
＝0
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
a b c b c
a b c a b c c
a b c b a b c
＋ ＋
＋ ＋ ＋ ＋
＋ ＋ ＋ ＋
＝0
2（a＋b＋c）
1 1 2
1 2
b c
a b c c
b a b c
＋ ＋
＋ ＋
＝0 2（a＋b＋c）
1 0 0
1 0
1 0 a b c
a b c
＋ ＋
＋ ＋
＝0
∴2（a＋b＋c）3＝0 a＋b＋c＝0 故選(C)
例題6
若 α 及 β 為兩實數，且聯立方程式
1 7 1
2 0
αx y x yαzβ
αy z
＋ ＋ ＋ ＋ ＋
＋ ＋ ＋
＋ ＋
有兩組以上的解，則：
(1) α 之值為 。 (2) β 之值為 。 解 聯立方程式
1 7 1
2 0
αx y x yαzβ
αy z
＋ ＋ ＋ ＋ ＋
＋ ＋ ＋
＋ ＋
有兩組以上的解，表示此方程組有無限多組解
Δ＝Δx＝Δy＝Δz＝0 (1) Δ＝
1 7 0 1 1 0 2 1
α
α α
＋
＝1－α－2α2＋2α3－7＝0
2α3－2α2－α－6＝0 α＝2 (2) Δx＝
1 7 0 1 2 0 4 1
β ＝1－8－7β＝0
∴β＝－1
×1
×1
× （－
b ）
× （－
c）
解方程組
1 1
1 1
1 1
x a x z
x y a z
a x y z
＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋
＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋
＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋
，
(1) 若方程組有無限多組解，則 a＝ 。 (2) 若方程組無解，則 a＝ 。
解 Δ＝
1 1 1
1 1 1
1 1 1
a a a
＋
＋
＋
＝（3－a）
1 1 1 1 1 1 1 1 1
a a
＋
＋ ＝a2（3－a）
若 Δ＝0，則 a＝0 或 3 (1) 當 a＝0 時，方程組
1 1 1 x y z x y z x y z
＋ ＋ ＋
＋ ＋ ＋
＋ ＋ ＋
有無限多組解
(2) 當 a＝3 時，方程組
2 1
2 1
2 1
x y z x y z
x y z
＋ ＋ ＋
＋ ＋ ＋
＋ ＋ ＋ ＋
L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L
‚ ƒ 由－及＋×2 得 3 3 0
3 3 3 y z
y z
＋ ＋
＋ ＋ ＋
L L L L L L L L L L L L L
„
… 再由＋得 0＝3，矛盾
故方程組無解
◎重點三 三平面幾何關係的代數判定 例題8（三平面的幾何關係）
下列圖形代表空間中三個平面相交的情形：
圖1 圖2 圖3 圖4
圖5 圖6 圖7 圖8
判斷下列各方程組相交之情形，並在空格內，填入適當的圖號：
(1)
6 2 3 9
3 4
x y z x y z x y z
＋ ＋ ＋
＋ ＋ ＋
＋ ＋ ＋
，圖 。 (2)
2 2
2 4 2 4 3 2 4
x y z x y z x y z
＋ ＋ ＋
＋ ＋ ＋
＋ ＋ ＋
，圖 。
(3)
2 1
2 2 2 3 3 3
x y z x y z x y z
＋ ＋ ＋
＋ ＋ ＋
＋ ＋ ＋
，圖 。 (4)
2 1
4 2 2 1 2 2 2 x y z x y z x y z
＋ ＋ ＋
＋ ＋ ＋
＋ ＋ ＋
，圖 。
解 (1) Δ＝
1 1 1 2 1 3 1 3 1
＋
＋
＝1＋6＋3＋1－9＋2≠0
∴方程組恰有一組解 ∴相交於一點，故選圖 8 (2) ∵E1：x＋2y＋z＝2，E2：2x＋4y＋2z＝4
∴E1＝E2且與 E3：3x＋y－2z＝4 相交於一直線，故選圖 3 (3) Δ＝
1 2 1 2 1 2 3 1 3
＋ ＝－3＋2＋12＋3－2－12＝0
2 1
2 2 2 3 3 3 x y z
x y z x y z
L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L
＋ ＋ ＋
＋ ＋ ＋
＋ ＋ ＋
‚ ƒ
＋×2 得 5x＋5z＝5，即 x＋z＝1………
＋得 5x＋5z＝5，即 x＋z＝1 ………
由、可知，此方程組有無限多組解 ∴三平面相交於一直線，故選圖 7 (4) ∵E1：2x－y－z＝1，E2：4x－2y－2z＝1
∴E1 // E2且與 E3：x－2y－2z＝2 相交於一直線，故選圖 5 例題9
空間中，有三平面 2x＋ay－z＝1，4x－3y＋3z＝5，3x＋y＋z＝b 相交於一直線 L，則 a＝
，b＝ 。
解 相交於一直線 L Δ＝Δx＝Δy＝Δz＝0 Δ＝
2 1
4 3 3 3 1 1 a ＋
＋ ＝0 －6－4＋9a－9－6－4a＝0 ∴a＝5
Δy＝
2 1 1 4 5 3 3 b 1
＋
＝0 10－4b＋9＋15－6b－4＝0 ∴b＝3
例題10
給定空間中四向量av＝（1 , 1 , 7），bv＝（5 , －4 , －3），cv＝（－2 , 1 , －1），
duv
＝（7 , －5 , 0）。試問duv是否可以表成av，bv，cv的線性組合，即duv＝xav＋ybv＋zcv？若可 以，請寫出其線性組合？
解 由av，bv，cv組成的 Δ＝
1 1 7 5 4 3
2 1 1
＋ ＋
＋ ＋
＝－3≠0
所以duv可以表成av，bv，cv的線性組合，又duv＝xav＋ybv＋zcv
（7 , －5 , 0）＝x（1 , 1 , 7）＋y（5 , －4 , －3）＋z（－2 , 1 , －1）
因此解
5 2 7
4 5
7 3 0 x y z x y z
x y z
＋ ＋ ＋
＋ ＋ ＋
＋ ＋ ＋
，得 x＝2，y＝3，z＝5
故uv＝2v＋3v＋5v
