實驗數據處理實驗數據處理與作圖方法與作圖方法

(1)

實驗數據處理實驗數據處理

與作圖方法與作圖方法

台中一中台中一中張宇靖張宇靖

(2)

A A 、實驗數據處理、實驗數據處理

(3)

一、實驗數據與誤差一、實驗數據與誤差

•

正確數字〜〜正確計數時，無誤差。

例如：人數

•

說明數字〜〜純數學上的描述。

例如：、π

•

測量數字〜〜使用測量工具所得之數字，

受工具的單位、測量方法影響，

有誤差。

常記為：(平均值)±(平均值的標準差)[單位]

或 (平均值)±(平均值的標準差÷平均值×100％)[單位]

2

(4)

二、誤差的分類二、誤差的分類

•

系統誤差

(1)理論誤差：因理論不完備所引起的誤差。

例如：空氣阻力的影響。

(2)儀器誤差：測量儀器校準不良、不夠精密。

(3)環境系統誤差：外在環境影響，如氣溫。

•

人為誤差

實驗者的個性、習慣、偏見或疏忽所引起。

•

隨機誤差

隨機性產生的誤差。例如：熱擾動等。

(5)

三、有效數字三、有效數字

•

有效數字：準確值＋估計值

•

估計值：測量工具最小單位下一位

(6)

(1) 加法：（取一位可疑數字）

（減法與加法類似）

例：

10.235 ±0.005cm 20.2648 ±0.0005cm

＋) 18.78 ±0.05cm 49.2798 ±0.05cm

49.28

•

有效數字運算法則

(7)

0.09880 0.1235

＋) 1.235

1.45730 ±0.05cm (2)乘法：（取一位可疑數字）

例：

1.235 ±0.005cm

×) 1.18 ±0.05cm

1.46

•

(8)

5.076 ±0.05cm (3)除法：（取最小位數）

例：

6.345 ±0.005cm

÷) 1.25 ±0.05cm

5.08

•

(9)

四、統計分析

四、統計分析（利用（利用 Excel計算） Excel 計算）

•

四則運算（＋－＊／）

•

乘冪（2 →2^3）

•

平方根（ → y ^ (1/x) ）例： → 125 ^ (1/3)

•

科學記號

（3.2500×10 →3.2500E-3）

x y

3 3 125

-3

(10)

•

總和：

（＝sum(開始格：結束格)）

•

平均值：

（＝average (開始格：結束格)）

N

i 1 2 N

i 1

x x x x

=

= + + +

∑ ^LL

N

1 2 N

i i 1

x x x 1

x x

N N ₌

+ + +

= ^LL = ∑

(11)

•

偏差：某一數據與平均值的差距

•

平均偏差：偏差值的絕對直的平均

（＝avedev (開始格：結束格) ）

i i

d = − x x

N N

1 2 N

i i

i 1 i 1

x x x x x x 1 1

D x x d

N N

₌

N

₌

− + − + + −

= ^LL = ∑ − = ∑

(12)

•

標準偏差：偏差值的方均根(root-mean-sqare)

•

取樣標準偏差：實驗時所用的標準偏差

（＝stdev (開始格：結束格) ）

N 2 N

2

i i

N N

i 1 i 1

1 1

lim (x x) lim d

N N

→∞ = →∞ =

σ = ∑ − = ∑

N N

2 2

i i

i 1 i 1

1 1

(x x) d

n 1

₌

n 1

₌

σ = − =

− ∑ − ∑

(13)

•

平均值的標準差：用來說明平均值可能的 誤差範圍。

◎物理量x的測量值： [單位]

N N

2 2

i i

x

i 1 i 1

1 1

(x x) d

n(n 1) n(n 1)

n

₌ ₌

σ = σ = − =

− ∑ − ∑

x ± σ x

（＝stdev (開始格：結束格)/sqrt(count(開始格：結束格)

）

(14)

•

變異係數：

正常的實驗中，變異係數C≦5％。

C＞5％的數據可捨去。

C 100%

x

= × σ

(15)

五、標準偏差的傳遞五、標準偏差的傳遞

•

加減法

兩物理量x、y（實驗數據），計算x ± y時，

平均值為

而

故標準差為；同理

x ± = ± y x y

2 2 2 2

x x y y

n n

1 1

lim lim

n n

→∞ →∞

σ = ∑ ∆ σ = ∑ ∆

Q ；

2 2

x y x y x y

n n

1 1

lim lim 0

n n

+ →∞ + →∞

σ = ∑ ∆ ^； ∑ ∆ ∆ =

2 2 2 2 2 2

x y₊

(

x y

)

x

2

x y y

∆ = ∆ +∆ = ∆ + ∆ ∆ + ∆

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

2 2

x y+ x y

σ = σ + σ σ

_{x y}₋

= σ + σ

²_x ²_y

(16)

•

連加法

三個物理量x、y、z （實驗數據），

計算ax＋by＋cz時

（a、b、c為常數無誤差）

，平均值：

標準差：

ax

+

by cz

+ =

ax

+

by cz

+

2 2 2 2 2 2

ax by cz_{+ +}

a

x

b

y

c

z

σ = σ + σ + σ

(17)

•

乘法

兩物理量x、y（實驗數據），計算x•y時，

平均值為變異係數為

故標準差為

x y ⋅ = ⋅ x y

2 2

xy x y

2 2

xy x y

σ = σ + σ

2 2 x y

xy

2 2

x y

σ σ

σ = +

(18)

•

除法

兩物理量x、y（實驗數據），計算x / y時，

平均值為變異係數為

故標準差為

x / y = x / y

2 2

x / y x y

2 2

x / y x y

σ = σ + σ

2 2 x y

x / y

2 2

x y

σ σ

σ = +

(19)

•

有冪次的乘除

m m m

x ^l ⋅ y = ⋅ x ^l y = ⋅ x ^l y

m

2 2

m 2 x 2 y

2 2

x y

x y ( ) m ( )

x y

σ σ

σ

l

= l

l

+

m m m

x / y ^l = x / y ^l = x / y ^l

m

2 2

m 2 x 2 y

2 2

x / y

x / y ( ) m ( )

x y

σ σ

σ

l

= l

l

+

(20)

六、最小方差擬合

六、最小方差擬合 ^（ ^（ linear least squares fit） linear least squares fit ）

•

處理實驗數據(xi , yi)時，欲精確求出最佳的直線關係y

^fit

＝ax＋b(a：斜率，b：截距) 的方式。

•

最小方差擬合：

調整a、b以得到為最小值的狀況。

•

最適當的a、b需滿足及

2 2

i i i

i

(y ax b ) χ = ∑ − −

2 a 0

∂χ = ∂

2 b 0

∂χ = ∂

(21)

•

斜率：

（＝slope(因變數開始格：因變數結束格，

自變數開始格：自變數結束格)）

N N N

i i i i

i 1 i 1 i 1

N N

2 2

i i

i 1 i 1

N x y x y

a

N x ( x )

= = =

= =

−

=

−

∑ ∑ ∑

∑ ∑

(22)

•

截距：

（＝intercept(因變數開始格：因變數結束格，

自變數開始格：自變數結束格) ）

N N N N

2

i i i i i

i 1 i 1 i 1 i 1

N N

2 2

i i

i 1 i 1

x y x x y

b

N x ( x )

= = = =

= =

−

=

−

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑

(23)

B B 、作圖方法、作圖方法

(24)

一、圖形繪製原則一、圖形繪製原則

•

呈現數據用的圖形必須繪製在方格紙上，

或用電腦繪圖。

•

適當選取縱軸與橫軸的座標範圍及間格。

•

圖形的編號及標題寫在圖的下方。

•

書寫各軸名稱時，應與各軸平行，橫軸由左而右、縱軸由下而上，名稱之後加上單位。

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