實驗數據處理 實驗數據處理
與作圖方法 與作圖方法
台中一中台中一中 張宇靖張宇靖
A A 、實驗數據處理 、實驗數據處理
一、實驗數據與誤差 一、實驗數據與誤差
•
正確數字〜〜正確計數時,無誤差。例如:人數
•
說明數字〜〜純數學上的描述。例如: 、π
•
測量數字〜〜使用測量工具所得之數字,受工具的單位、測量方法影響,
有誤差。
常記為:(平均值)±(平均值的標準差)[單位]
或 (平均值)±(平均值的標準差÷平均值×100%)[單位]
2
二、誤差的分類 二、誤差的分類
•
系統誤差(1)理論誤差:因理論不完備所引起的誤差。
例如:空氣阻力的影響。
(2)儀器誤差:測量儀器校準不良、不夠精密。
(3)環境系統誤差:外在環境影響,如氣溫。
•
人為誤差實驗者的個性、習慣、偏見或疏忽所引起。
•
隨機誤差隨機性產生的誤差。例如:熱擾動等。
三、有效數字 三、有效數字
•
有效數字:準確值+估計值•
估計值:測量工具最小單位下一位(1) 加法:(取一位可疑數字)
(減法與加法類似)
例:
10.235 ±0.005cm 20.2648 ±0.0005cm
+) 18.78 ±0.05cm 49.2798 ±0.05cm
49.28
•
有效數字運算法則0.09880 0.1235
+) 1.235
1.45730 ±0.05cm (2)乘法:(取一位可疑數字)
例:
1.235 ±0.005cm
×) 1.18 ±0.05cm
1.46
•
有效數字運算法則5.076 ±0.05cm (3)除法:(取最小位數)
例:
6.345 ±0.005cm
÷) 1.25 ±0.05cm
5.08
•
有效數字運算法則四、統計分析
四、統計分析 (利用 (利用 Excel計算) Excel 計算)
•
四則運算(+-*/)•
乘冪(2 →2^3)•
平方根( → y ^ (1/x) ) 例: → 125 ^ (1/3)•
科學記號(3.2500×10 →3.2500E-3)
x y
3
3 125
-3
•
總和:(=sum(開始格:結束格))
•
平均值:(=average (開始格:結束格))
N
i 1 2 N
i 1
x x x x
=
= + + +
∑ LL
N
1 2 N
i i 1
x x x 1
x x
N N =
+ + +
= LL = ∑
•
偏差:某一數據與平均值的差距•
平均偏差:偏差值的絕對直的平均(=avedev (開始格:結束格) )
i i
d = − x x
N N
1 2 N
i i
i 1 i 1
x x x x x x 1 1
D x x d
N N
=N
=− + − + + −
= LL = ∑ − = ∑
•
標準偏差:偏差值的方均根(root-mean-sqare)•
取樣標準偏差:實驗時所用的標準偏差(=stdev (開始格:結束格) )
N 2 N
2
i i
N N
i 1 i 1
1 1
lim (x x) lim d
N N
→∞ = →∞ =
σ = ∑ − = ∑
N N
2 2
i i
i 1 i 1
1 1
(x x) d
n 1
=n 1
=σ = − =
− ∑ − ∑
•
平均值的標準差:用來說明平均值可能的 誤差範圍。◎物理量x的測量值: [單位]
N N
2 2
i i
x
i 1 i 1
1 1
(x x) d
n(n 1) n(n 1)
n
= =σ = σ = − =
− ∑ − ∑
x ± σ x
(=stdev (開始格:結束格)/sqrt(count(開始格:結束格)
)
•
變異係數:正常的實驗中,變異係數C≦5%。
C>5%的數據可捨去。
C 100%
x
= × σ
五、標準偏差的傳遞 五、標準偏差的傳遞
•
加減法兩物理量x、y(實驗數據),計算x ± y時,
平均值為
而
故標準差為 ;同理
x ± = ± y x y
2 2 2 2
x x y y
n n
1 1
lim lim
n n
→∞ →∞
σ = ∑ ∆ σ = ∑ ∆
Q ;
2 2
x y x y x y
n n
1 1
lim lim 0
n n
+ →∞ + →∞
σ = ∑ ∆ ; ∑ ∆ ∆ =
2 2 2 2 2 2
x y+
(
x y)
x2
x y y∆ = ∆ +∆ = ∆ + ∆ ∆ + ∆
∑ ∑ ∑ ∑ ∑
2 2
x y+ x y
σ = σ + σ σ
x y−= σ + σ
2x 2y•
連加法三個物理量x、y、z (實驗數據),
計算ax+by+cz時
(a、b、c為常數無誤差)
, 平均值:標準差:
ax
+
by cz+ =
ax+
by cz+
2 2 2 2 2 2
ax by cz+ +
a
xb
yc
zσ = σ + σ + σ
•
乘法兩物理量x、y(實驗數據),計算x•y時,
平均值為 變異係數為
故標準差為
x y ⋅ = ⋅ x y
2 2
xy x y
2 2
xy x y
σ = σ + σ
2 2 x y
xy
xy
2 2x y
σ σ
σ = +
•
除法兩物理量x、y(實驗數據),計算x / y時,
平均值為 變異係數為
故標準差為
x / y = x / y
2 2
x / y x y
2 2
x / y x y
σ = σ + σ
2 2 x y
x / y
x / y
2 2x y
σ σ
σ = +
•
有冪次的乘除m m m
x l ⋅ y = ⋅ x l y = ⋅ x l y
m
2 2
m 2 x 2 y
2 2
x y
x y ( ) m ( )x y
σ σ
σ
l= l
l+
m m m
x / y l = x / y l = x / y l
m
2 2
m 2 x 2 y
2 2
x / y
x / y ( ) m ( )x y
σ σ
σ
l= l
l+
六、最小方差擬合
六、最小方差擬合 ( ( linear least squares fit) linear least squares fit )
•
處理實驗數據(xi , yi)時,欲精確求出最佳 的直線關係yfit
=ax+b(a:斜率,b:截距) 的方式。•
最小方差擬合:調整a、b以得到 為最小值的狀況。
•
最適當的a、b需滿足 及2 2
i i i
i
(y ax b ) χ = ∑ − −
2
a 0
∂χ = ∂
2
b 0
∂χ = ∂
•
斜率:(=slope(因變數開始格:因變數結束格,
自變數開始格:自變數結束格))
N N N
i i i i
i 1 i 1 i 1
N N
2 2
i i
i 1 i 1
N x y x y
a
N x ( x )
= = =
= =
−
=
−
∑ ∑ ∑
∑ ∑
•
截距:( =intercept(因變數開始格:因變數結束格,
自變數開始格:自變數結束格) )
N N N N
2
i i i i i
i 1 i 1 i 1 i 1
N N
2 2
i i
i 1 i 1
x y x x y
b
N x ( x )
= = = =
= =
−
=
−
∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑
B B 、作圖方法 、作圖方法
一、圖形繪製原則 一、圖形繪製原則
•
呈現數據用的圖形必須繪製在方格紙上,或用電腦繪圖。