R R R 國立金門高級中學 學年度第 次教師甄試數學科試題 102 1

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(1)

國立金門高級中學102 學年度第 1 次教師甄試數學科試題

說明:1.本試卷共九大題 100 分,計 3 頁。

   2.請直接於試題卷上作答。

   3.試卷請勿拆開,考試完畢請整份試卷繳回。

一、 考慮球面

S:x  3  

2

y  3  

2

z  4 

2

 1

及含有

z 軸的平面

,設平面

與球面

S

相交的圓的面積為

2

,試求出平面

的方程式? (10%)

二、 設坐標平面上有三個點

A、 B   5 , 0 

C  5 , 0 

,點

A 的 y 坐標是大於 0 且三角形 ABC

滿足(i),(ii)條件(i)

C B B

C sin sin cos

cos 

 (ii)

25 sin  B  C   7

(1)證明:三角形 ABC 是直角三角形並求

cos C

? (7%) (2)求三角形 ABC 的內心的坐標? (8%)

三、 設兩條曲線

yx

3

x

yx

2

a

(其中

a  0

)皆通過一點 P,而且在 P 處具有公共 的切線,求此兩條曲線所圍成區域的面積。 (10%)

四、

a, b 為正實數,試證:  

6

3 3

2 2

6

log

3 log 1

2

1 abab

(10%)

五、 下圖為一個三角形

ABC,其中 BE  2

,

EF  7

,

FC  3

。今 沿著虛線

DE

FG

用剪刀剪開,得到兩個梯形

ABED 與 CDGF,以及三角形 EFG,若其面積依次用 a, b, c 表示,試求

c b a : :

(化成簡單整數比) (10%)

六、 把邊長

2 , 5 , 8 ,  , 3 n  1 , 

的正三角形底邊放在同一條線上,

且角頂靠角頂,如下圖。試證這些正三角形的頂點

A

n

A A

A

1

,

2

,

3

,  ,

落在同一個圓錐曲線上。 (15%)

七、 設二次函

f   x x

2

bx c

的圖形通過點

 1 , 0 

a , 0 

,其中

a  1

,令

  x

f

的圖形與

y 0

x  0

x  1

所圍成的區域為

R

1

f   x

的圖形與

y 0

x  1

xa

所圍成的區域為

R

2,如圖所示。

(1)若

R

1

R

2的面積相等,則

a 的值為何? (5%)

(2)若

R

2面積是

R

1面積的2 倍,則 a 的值為何? (5%)

八、 已知圓

O 的圓心在原點,半徑為

10,設甲、乙、丙三人從圓 O 上一點

P  10 , 0 

依逆時針方向繞著此圓同時出發,若甲的速 率是乙的2 倍,丙的速率是甲的 2 倍,則當甲第一次走到點

R  6 , 8 

時,乙走到的點

Q 及

丙走到的點

S 之坐標分別為何? (10%)

九、 已知級數和公式如下:(1)

A

B

2

E

7

F

3

C

A1

A2 A3

O

y=f(x)

(1,0)

y

R x

1

R

2 (a,0)

(2)

      (2)

    

6 1 2 3 1

2 1 2

, 

2

2

2

 

2

n nnn

n

S

      (3)

   

4 3 1

2 1 3 ,

2 2 3 3

3

3

n n

n n

S

試求出

Sn , 4 

的級數和公式:及

S   n , 4 1

4

2

4

3

4

n

4

? (10%)

數據

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參考文獻

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