高雄市明誠中學

高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：92.09.18 班級

範

圍 1-2 集合+Ans

座號

姓 名 一. 選擇題 (每題 8 分)

1. ( )設 A = {1，{2}，3}，則下列敘述何者正確？(複選)

(A) 2∈A (B) {2}∈A (C) {2} ⊂ A (D) {3} ⊂ A (E)

φ

∈ A Ans： (B)(D)

【詳解】

(1)利用 P ⊂ Q ⇔ ∀x∈P 恆有 x∈Q ∴ {2}∈A，{2} ⊄ A (2)∵

φ

⊂ P，∀P ∴

φ = A， φ ∉A

2. ( )設 A 表一集合，且{1} ⊂ A ⊂ {1，2，3，4}，則 A 集合共有幾個？(單選) (A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 8 (E) 16

Ans： (D)

【詳解】

{1} ⊂ A ⊂ {1，2，3，4}

∴ 則 A = {1}，{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，

{1，2，3，4}，共有 8 個

3.( ) 設 A = {1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，

B = {1，3，5，7，9，11}，C = {3，6，9，12，15}，

則下列各式何者是正確的？(複選) (A) A − B = {2，4，6，8，10，−11}

(B) B − A = {11} (C) A − (B ∪ C) = {2，4，8，10}

(D) (B ∪ C) − A = {11，12，15} (E) (A ∩ B) − C = B − C Ans： (B)(C)(D)

【詳解】

A = {1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}

B = {1，3，5，7，9，11}

C = {3，6，9，12，15}

(A)A − B = {2，4，6，8，10}，故(A)為不正確 (B)B − A = {11}，故(B)為正確

(C)B ∪ C = {1，3，5，6，7，9，11，12，15}

⇒ A − (B ∪ C) = {2，4，8，10}，故(C)為正確 (D)(B ∪ C) − A = {11，12，15}，故(D)為正確 (E)A ∩ B = {1，3，5，7，9}

⇒ (A ∩ B) − C = {1，5，7}，B − C = {1，5，7，11}

故(A ∩ B) − C ≠ B − C ∴ (E)為不正確

二. 填充題 (每題 8 分)

1. (1)若數對(x −1，y − 2) = (2y + 1，3 − x)，試求 x，y 之值。

(2)若集合{x −1，y − 2} = {2y + 1，3 − x}，試求 x，y 之值。

Ans： (1) x = 4，y = 1 (2) x = 4，y = 1 或 x = 2，y = − 3

【詳解】

(1)對數對而言，a ≠ b ⇒ (a，b) ≠ (b，a) 即(a，b) = (c，d) ⇔ a = c 且 b = d 今(x −1，y − 2) = (2y + 1，3 − x)

⇒ ⇒ ⇒

(2)對集合而言，因其沒有次序關係，即{a，b} = {b，a}

今{x −1，y − 2} = {2y + 1，3 − x}

⇒ 或 ⇒ 或

⎩⎨

⎧

−

=

−

+

=

−

x y

y x

3 2

1 2 1

⎩⎨

⎧

= +

=

− 5

2 2

y x

y x

⎩⎨

⎧

=

= 1 4

y x

⎩⎨

⎧

−

=

−

+

=

−

x y

y x

3 2

1 2 1

⎩⎨

⎧

+

=

−

−

=

−

1 2 2

3 1

y y

x x

⎩⎨

⎧

=

= 1 4

y x

⎩⎨

⎧

−

=

= 3 2

y

x

2. 集合A = {0，{0}，

φ

}的部分集合共 個。

Ans：

φ

，{0}，{{0}}，{

φ

}，{0，{0}}，{0，

φ

}，{{0}，

φ

}，A共有 2³ = 8 個部分集合

【詳解】

集合A有三個元素，則A共有 2³ = 8 個部分集合 集合A有n個元素，則A共有 2ⁿ個部分集合

3. 設三集合A = {1，3，5，7，9}，B = {2，4，6，8}，C = {x | x是質數}，則 (A ∪ B) − C = 。

Ans： {1，4，6，8，9}

【詳解】

A = {1，3，5，7，9}，B = {2，4，6，8}，C = {x | x 是質數}

⇒ A ∪ B = {1，2，3，4，5，6，7，8，9}，

(A ∪ B) ∩ C = {2，3，5，7}

⇒ (A ∪ B) − C = (A ∪ B) − [(A ∪ B) ∩ C] = {1，4，6，8，9}

4. 在何種條件下，會使A − B = B − A成立？ 。 Ans： A = B

【詳解】

(1)設 x∈A − B ⇒ x∈A 且 x∉B

又 A − B = B − A ⇒ x∈B，此為不可能 除非此 x 不存在，即 A − B =

φ

，隨之，A ⊂ B

(2)設 x∈B − A，利用同樣的方法，可得 B ⊂ A，故 A = B

5. 設a，b為二實數，二集合A = {(x，y) | ax − 2y = 8}，B = {(x，y) | x + by = 5}，若A ∩ B = {(2，

1)}，則數對(a，b) = 。 Ans： (5，3)

【詳解】

A ∩ B = {(2，1)}

⇒ (2，1)∈A ⇒ x = 2，y = 1 滿足 ax − 2y = 8

⇒ 代入 2a − 2 = 8 ⇒ a = 5 同理：2 + b = 5 ⇒ b = 3

6. 設二集合L₁ = {(x，y) | 3x − y − 5 = 0}，L2 = {(a + b，a − b) | 3a − b − 4 = 0}，則L1 ∩ L2 =

。

Ans： {(2，1)}

【詳解】

L

₂ = {(a + b，a − b) | 3a − b − 4 = 0}

（令x = a + b，y = a − b ⇒ a = 2

y x+ ，b =

2 y x−

）

L

2 = {(x，y) | 3．

2 y x+ −

2 y

x− − 4 = 0}

= {(x，y) | 2x + 4y − 8 = 0}

= {(x，y) | x + 2y − 4 = 0}

L

1 ∩ L2： ⇒ ∴ L

⎩⎨

⎧

=

− +

=

−

−

0 4 2

0 5 3

y x

y x

⎩⎨

⎧

=

= 1 2

y x

1 ∩ L2 = {(2，1)}

7. 設a為一整數，二集合A = {2，3，a² − 5a + 10}，B = {2a − 2，− 5a + 13，− a + 6}，若A ∩

B = {3，4}，則a之值 = 。

Ans： 3

【詳解】

A ∩ B = {3，4} ⇒ a

² − 5a + 10 = 4 ⇒ a² − 5a + 6 = 0 ⇒a = 2，3 (1) a = 2 ⇒ ⇒ A ∩ B ≠ {3，4}，故a = 2 不合 (2) a = 3 ⇒ ⇒ A ∩ B = {3，4}，合理。故a = 3

⎩⎨

⎧

=

=

} 3 3 2 {

} 4 3 2 {

，

，

，

，

B A

⎩⎨

⎧

−

=

=

} 3 2 4 {

} 4 3 2 {

，

，

，

，

B

A

8. 設A = {2，4，a² − 2a − 3}，B = {− 4，a² + 2a + 2，a² − 3，2a² − 3a − 9}，

若A ∩ B = {2，5}，則a = 。 Ans： − 2

【詳解】

A = {2，4，a

² − 2a − 3}

B = {− 4，a

² + 2a + 2，a² − 3，2a² − 3a − 9}

若A ∩ B = {2，5}，由集合A知a² − 2a − 3 = 5

∴ a² − 2a − 8 = 0 ⇒ a = 4 或 − 2

(1)當a = 4 時，在集合B中，a² + 2a + 2 = 26，

a² − 3 = 13，2a² − 3a − 9 = 11 不合

(2)當a = − 2 時，在集合B中，a² + 2a + 2 = 2，

a² − 3 = 1，2a² − 3a − 9 = 5

⇒ B = {− 4，2，1，5}滿足A ∩ B = {2，5} ∴ a = − 2

9. 設A = {x | x∈R，x² − x + k = 0}，B = {2，3}，若B − A = {2}，則 k = 。 Ans： − 6

【詳解】

x

² − x + k = 0，x = 3（∵ B − A = {2}）

9 − 3 + k = 0 ⇒ k = − 6

10. 設a，b∈R，A = { a²，a + 1，3}，B = {2b + 1，2a − 1，a − 3}且

A ∩ B = { − 3}，則a + b = 。

Ans：a = − 4，b = − 2

【詳解】

由a² ≠ − ∴3

a + 1= − 3

，但 A ∩ B = { − 3}

= 4

⇒a − {16, 3, 3 }, { 2 1, 9, 6 } A= − B= b+ − −

3 B 2b 1 3,b

− ∈ ⇒ + = − = −4

11. 若高一同學共 1000 人其中喜愛數學的有 500 人，喜愛音樂的有 700 人，則兩者都喜愛 的最多有 人，最少有 人。

Ans： 500；200

【詳解】

設 A 為喜愛數學的人，B 為喜愛音樂的人，則 n(A) = 500，n(B) = 700 c當 A ⊂ B 時，n(A ∩ B) = 500 為最多

d當 n(A ∪ B) = 1000 時

n(A ∩ B) = n(A) + n(B) − n(A ∪ B)

= 500 + 700 − 1000 = 200 為最少

12. 設U = {n | n∈N，n ≤ 10}為宇集，A與B均為U之子集，已知A ∩ B = {3，4}，A ∩ B′ = {7，

9，10}，A′ ∩ B′ = {2，8}，則B = 。 Ans： B = {1，3，4，5，6}

【詳解】

U = {1，2，…，9，10}

A ∩ B = {3，4} ⇒ {3，4} ⊂ A，{3，4} ⊂ B

A ∩ B′ = {7，9，10} ⇒ {7，9，10} ⊂ A，{7，9，10} ⊂ B′

A′ ∩ B′ = {2，8} ⇒ {2，8} ⊂ A′，{2，8} ⊂ B′

∴ B ∩ A′ = {1，5，6}

∴ A = {3，4，7，9，10}，B = {1，3，4，5，6}

13. 設A = {x | − 3 < x < 2}，B = {x | − 2 < x < 4}，則A ∩ B′ = 。 Ans： {x | − 3 < x < − 2}

【詳解】

A = {x | − 3 < x < 2}

B = {x | − 2 < x < 4} ⇒ B′ = {x | x ≥ 4 或 x ≤ − 2}

由圖知 A ∩ B′ = {x | − 3 < x < − 2}

14. 設A = {x | x∈R，2 < x < 5}，B = {x | x∈R，2 ≤ | 2x + 1 | ≤ 7}，則 (1) B = 。

(2) B − A = 。 Ans： (1) B = {x | x∈R，− 4 ≤ x ≤ −

2 3或

2

1≤ x ≤ 3}

(2) B − A = {x | x∈R，− 4 ≤ x ≤ − 2 3或

2

1≤ x ≤ 2}

【詳解】

(1)c | 2x + 1 | ≥ 2 ⇒ 2x + 1 ≥ 2 或 2x + 1 ≤ − 2 ⇒ x ≥

2

1或 x ≤ − 2 3

d | 2x + 1 | ≤ 7 ⇒ − 7 ≤ 2x + 1 ≤ 7 ⇒ − 4 ≤ x ≤ 3 由c∩d知 B = {x | x∈R，− 4 ≤ x ≤ −

2 3或

2

1≤ x ≤ 3}

(2) B − A = {x | x∈R，− 4 ≤ x ≤ − 2 3或

2

1≤ x ≤ 2}

15. 設二集合A = {0，2，a² − a − 3}，B = { − 1，a + 1}，若B ⊂ A，求a之值 = 。 Ans： − 1

【詳解】

∵ { − 1，a + 1} = B ⊂ A = {0，2，a² − a − 3}

∴ − 1 = a² − a − 3 ⇒ (a − 2)(a + 1) = 0 ⇒ a = 2 或 − 1 (1) a = 2 時，a + 1 = 3∉{0，2， − 1}，不合

(2) a = − 1 時，a + 1 = 0∈{0，2， − 1}∴ a = − 1

16. (1)已知A = {x | x ∈N，1 ≤ x ≤ 10⁶}，B = {x | x = 20k，k∈Z}，則n(A − B) = 。 (2) x∈R，設A = {x | − 4 ≤ x ≤ 3}，B = {x | − 3 ≤ x ≤ 8}，則A ∩ B = 。

(3)已知A = {(x，y) | 2x − y = 1}，B = {(y −1，x + 2) | ax + by = 1}，

若A = B，則a² + b² = 。 Ans： (1) 900 (2) {x | − 3 ≤ x ≤ 3} (3)

5 1

【詳解】

(1) 1 ≤ x ≤ 10⁶ ∵

x

∈N，1 ≤ x ≤ 10³ ∴ n(A) = 10³ −1 + 1 = 1000

x = 20k = 2²．5．k，k = 5¹．m²， x= 10m，n(B) = 100 n(A − B) = 1000 −100 = 900

(2)

⇒ A ∩ B = {x | − 3 ≤ x ≤ 3}

(3)∵ A = {(x，y) | 2x − y = 1}

B = {(y −1，x + 2) | ax + by = 1}

= {( m，n ) |

}

( 代入ax + by = 1

⇒ )

A = B

2 1

bm an

+ =

a b

− + {( ,x y) |bx ay 2a b 1}

= + = − +

⇒

1

∵ 1 1

2 2

y m y m

x n x n

− = = +

⎧ ⎧

⎨ + = ⇒ ⎨ = −

⎩ 　　 　　⎩

( 2) ( 1) 1 2

a n− +b m+ = ⇒bm+an= a b− +

2 1 1

2 1

b a a b

⇒ = − =

− +

2

(2 1)

a b

a a b

⎧ = −

⎨ = − − +

⎩ ∴ a = −

5 1，b =

5 2

a² + b² = 25

1 + 25

4 = 25

5 = 5 1

17. 設A = {x | x∈R，| x − 3 | ≤ 2}，B = {x | x∈R，| x −1 | ≤ 3}，若A ∩ B = {x | x∈R，| x − a | ≤ b}，則數對(a，b) = 。

Ans： ( 2 5，

2 3)

【詳解】

A：| x − 3 | ≤ 2 ⇔ 1 ≤ x ≤ 5

B：| x − 1| ≤ 3 ⇔ − 2 ≤ x ≤ 4

A ∩ B = {x | 1 ≤ x ≤ 4} = {x | | x − a | ≤ b}

= {x | a − b ≤ x ≤ a + b} ∴ ，a =

⎩⎨

⎧

= +

=

− 4 1

b a

b a

2 5，b =

2 3

18. 某班共有n名學生，每人在英文與日文中至少要選修一科，已知選英文者 17 人，選日 文者 15 人，兩科都選者 7 人，則n = 。

Ans： 25

【詳解】

令 A 表示選修英文的學生，B 表示選修日文的學生

∴ n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) 即 n = 17 + 15 − 7 = 25 19. 設A = {(y，x) | 2x + y = 5}，B = {(x −1，y + 1) | 2x − y − 3 = 0}，

則A ∩ B = 。 Ans：{(1，2)}

【詳解】

A = {(y，x) | 2x + y = 5} = {(x，y) | 2y + x = 5}

B = {(x −1，y + 1) | 2x − y = 3}

= {(a，b) | 2a − b = 0} = {(x，y) | 2x − y = 0}

（令 a = x −1，b = y + 1 ∴ x = a + 1，y = b −1

∴ 2x − y = 3 ⇒ 2(a + 1) − (b −1) = 3 ⇒ 2a − b = 0）

20. 設A = {x | x = 3m + 1，m∈N，x < 300}，B = {x | x = 2(2m −1)，m∈N，x < 300}，則n(A ∩

B) = 。

Ans： 25

【詳解】

B 中元素為 4m − 2 型，即被 4 除之不足 2

A 中元素為 3m + 1 型，即被 3 除之餘 1，亦即被 3 除之不足 2

∴ A ∩ B 元素為 12 除之不足 2 者：

10，10 + 12 × 1，10 + 12 × 2，…，10 + 12 × 24 共 25 個 ∴ n(A ∩ B) = 25

21. 設k為一正實數，集合A = {x | | x −1 | ≤ 4，x∈R}，B = {x | | x − 2 | ≤ k，x∈R}，

(1)若A ⊂ B，則k之最小值 = 。 (2)若B ⊂ A，則k之最大值 = 。 Ans： (1)5 (2)3

【詳解】

集合 A：| x −1 | ≤ 4 ⇒ − 4 ≤ x −1 ≤ 4 ⇒ − 3 ≤ x ≤ 5

集合 B：| x − 2 | ≤ k，k > 0 ⇒ − k ≤ x − 2 ≤ k ⇒ 2 − k ≤ x ≤ 2 + k

(1)欲 A ⊂ B，則須 2 − k ≤ − 3 且 2 + k ≥ 5

⇒ k ≥ 5 且 k ≥ 3 ⇒ k ≥ 5 ∴ k 之最小值為 5 (2)欲 B ⊂ A，則須 2 − k ≥ − 3 且 2 + k ≤ 5

⇒ k ≤ 5 且 k ≤ 3 ⇒ k ≤ 3 ∴ k 之最大值為 3

22. a，b，c∈R，a ≠ 0，若ax² + bx + c < 0 之解集合為{x | x∈R，− 2 < x < 5}，試求：

(1) a：b：c

(2) ax² − bx + c > 0 的解集合。

(3) 2 ≥0 + +

b ax

a

cx 的解集合。

Ans： (1) 1：( − 3)：( − 10) (2) (− ∞，− 5) ∪ (2，∞) (3) [ 5 1，3)

【詳解】

ax

² + bx + c = a(x + 2)(x − 5)，a > 0

= ax² − 3ax − 10a ∴ b = − 3a，c = −10a (1)∴ a：b：c = 1：( − 3)：( − 10)

(2) ax² − bx + c = ax² + 3ax − 10a = a(x + 5)(x − 2) > 0，

其中a > 0 ⇒ x < − 5 或x > 2

(3) ax b a cx

+ + 2 =

a ax

a ax

3 2 10

− +

− =

3 ) 1 5 ( 2

−

−

− x

x ≥ 0

⇒ (5x −1)(x − 3) < 0 或x = 5 1 ⇒

5

1≤ x < 3