趣味數學教學
梁淑坤
中山大學教育研究所
我們這一班
WARMEST WELCOME
1. 選你喜歡的顏色
2. 寫下姓名、聯絡電話及E-mail 3. 交出來給梁魔法師
為學生想出 變通的統計圖
變
長條圖
變
為學生想出
變通的統計圖
圓餅圖
大綱
• Q:數學好不好玩?
• A:數學要好玩!
一、生活化 二、具體化 三、趣味化 四、簡單化 五、其它例子 六、數學題DIY
這是一個
熱情的邀請
梁師必須
認真的準備
問卷調查
數學好不好玩?
共 385份
學生問卷回收情形
• 國小50份
• 國中169份
• 高中166份
總計 385份:好玩199人;不好玩184人
• 好 玩:34人
• 不好玩:16人
• 好 玩:77人
• 不好玩:90人
• 好 玩:88人
• 不好玩:78人
為何學生說數學不好玩?
•找出原因
數學不好玩
1. 生活上用不到
【我覺得以後出社會也用不太到】
【一般日常生活只用得到加減乘除】
數學不好玩
2. 數學很複雜
題目看不懂
【題目一變就不會】
前面不懂後面就不會
【國一基礎沒打好,導致國二程度
數學不好玩
3.無聊又無趣
【已經會了,老師一直複習,就會 覺得很無聊】
【要記公式跟做法】
數學不好玩就會…
【要問別人,很丟臉】
【單打獨鬥】
【考不好被罵】
數學不好玩
數學不好玩
學生問卷回收情形
• 國小50份
• 國中169份
• 高中166份
總計 385份:好玩199人;不好玩184人
• 好 玩:34人
• 不好玩:16人
• 好 玩:77人
• 不好玩:90人
• 好 玩:88人
• 不好玩:78人
數學好好玩
1. 生活上用的到
【學數學能讓自己的水準提高,
大腦更加清晰,應用於生活上,
ex.算機率(樂透號碼)】
【每個地方都要用到它】
數學好好玩
2.懂數學
容易拿分
【學會了都不用讀,容易拿分】
培養、刺激思考、激發腦力
【訓練思考能力,對其它學科的 學習亦有加分】
解題成就感
【算錯的題目不停算
直到算對很有成就感】
數學好好玩
3.多變有趣
數學好好玩背後…
教師因素
【用有趣的方法解很難的題目】
【用簡單的方式來進行教學】
【教學方式生動活潑;細心】
學生有信心
【對數學有信心,才會覺得數學 很有趣,很有挑戰性 】
數學好好玩
數學好好玩
把數學變好好玩
反方向思考
魔術師變變變
數學生活化
數學具體化
數學趣味化
獨樂樂不如眾樂樂
•找一個伴
•共同學習
當我們同在一起
(播放音樂)
<^.^ 一起學習好快樂!>
動手動腦
<誰是豬?>
一、數學生活化
一、數學生活化
四個事例:
1. ISBN 2. 比例 3. 數列
4. 三角形數
1. 一本書的ISBN號
1/31. 一本書的ISBN號 2/3
1. 一本書的ISBN號 3/3
2. 完美的比例 1/3
2. 身材嬌小的女士 2/3
156 cm
94 cm
非黃金比例
2. 身材嬌小的女士 2/3
156
非黃金比例
若穿上 6 公分的高跟鞋…
2. 高大英挺的男士 3/3
185 cm
120 cm
6486 .
185 0
120 = 腿長身短
非黃金比例
2. 高大英挺的男士 3/3
185 cm
120
6486 .
185 0
120 = 腿長身短非黃金比例
618 .
9 0 185
120 = +
若戴上一頂 9 公分的帽子
3. 樹木隨年期長出分枝
康軒 (六上) P.67
4.三角形數
握手人數 握 手 次 數 2
3 4 5
…
…
1
3 (= 1+2)
6 (= 1+2+3)
10 (= 1+2+3+4)
…
…
三角形數藥盤
二、數學具體化
4個正三角形可排列幾種圖形?
個 共有幾種
1 ?
2 ?
3 ?
2-1 共有幾種?
有 _____ 種
有 _____ 種
有 _____ 種
有 _____ 種
2-2 共有幾種?
• 1. 你有瞭解題目嗎?
• 到底是什麼三角形?
• 怎樣不一樣才能算是另外的一種?
• 到底要用幾張?
• 2. 擬定計劃
• 你是如何進行你的解題?
• 是否有運用畫圓?或剪出三角形小圖卡來幫助?
• 3. 實行計劃
• 從二個到三個,以及到四個是共幾種?數目上
2-3 共有幾種?
• 4. 回顧問題
• 如果梁老師問下去,不止四片,
• 五片多少種?
• 六片多少種?
• 七片多少種?
• 你有什麼發現?還是說:「梁老師,請不要再問下 去了!」
•建議:可以找小朋友做做看,再比較他的做法。
三、數學趣味化
3-1 圓心在哪裡
•Ⅰ.自行解題
•美勞課的鐘面弄好了,不約而同的是,大家的鐘面 都是圓的。趕快把那三枝針擺上去就完工了。
•慘了! 針要擺在那裏呢?
•還要問,當然是擺在圓心那裏。
•動作快一點吧!不行,圓心在那裏?
•如何找圓心呢?
3-2 圓心在哪裡?
•梁老師先示範一個解題的例子吧!
• No1: 將圖畫下…再將圖對折求其中心點
3-3 圓心在哪裡?
•Ⅱ. 分享/質疑
•梁老師說:「這一次的標題是什麼?」
•大家一起回答:「一題多解」
•梁老師再說:「好了,若有想到其它方 式,也一一說出來,與大家分享分
享。」
•請No____作者___________回答: (疑點如下)
• 重覆,你的方法與No____相同,再想一個方式 吧!
• 不清楚的地方如下:
• 不可行的地方如下:
3-4 圓心在哪裡?
3-5 圓心在哪裡?
•J 配配看,他們的作法為何?(將1~6和A~F配對)
•1.兩條弦的中垂線交點
•2.圓的重心就是圓心
•3.圖中三角形的外心(即三中垂線的交點)
•4.用尺求圓的直徑,再求直徑交點即是圓心
•5.圖中直角斜邊中點
•6.圓外一點兩條切線的中垂線
四、 數學變簡單
長條圖
•簡易化的教學
•在長條圖的製作常帶來「時間不夠用」的困擾,
老師反應同學在著色及量長短畫到打下課鐘都還 沒做完。
圓餅圖
•簡易化的教學
•製作圓餅圖的時候資料如下:
顏色 人數 角度
藍 13 130∘
黃 11 110∘
綠 11 110∘
紅 2 20∘
36 360∘
藍 35%
黃 30%
綠 30%
紅
5% 人數
圓餅圖
•簡易化的教學
•在不整除的情況下仍簡易的製作圓餅圖。
4-1 彈珠有幾顆?
4-2 彈珠有幾顆?
•找一班小朋友算彈珠,算完了問小朋友「還有別 的方法嗎?」請大家想多種方法
4-3 彈珠有幾顆?
• 各種解題策略
• 1. 計數法:
• (1.)圈著數 (2.)斜著數 (3.)沿著數
• 2. 組合法
• (1.) 五個一數 (2.)四個一數 (3.)不規則組合
五、其它例子
第一題:花片
紅、黃、白、綠、藍花片各一個
請用下列提示擺放花片
Step1:紅色在黃色下面
Step2:藍色在白色之上紅色之下
5-1 花片、撲克牌、配衣服
第二題 :擺撲克牌
A
10
Q
J K
5-2 花片、撲克牌、配衣服
J在Q之右 K在A之右
Q在10和A之間 10在Q的左邊
請用下列提示擺撲克牌
第三題:穿衣服
• 佳娟、淵智、嘉皇、敏智4人穿不同組合的衣 服(如下圖5組服裝)。
• 1. 2. 3. 4. 5.
5-3 花片、撲克牌、配衣服
請用下列提示去配衣服
• * 橘色褲子是佳娟和敏智的最愛。
•* 嘉皇在藍色、橘色褲子中會選橘色。
•* 淵智喜歡穿綠色上衣,嘉皇則不喜歡。
•* 佳娟不愛綠色或黃色上衣。
•* 敏智不愛藍色或綠色上衣。
5-3 花片、撲克牌、配衣服
壹、什麼是擬題?
• 「自己想出一個數學題目來」就是擬題,
• 這裡指的擬題,非佈題非命題。
• 擬題行為可能含有下列的特徵:
• 1.組織的方法是屬個人的(idiosyncratic);
• 2.當中包括猜想及可信推理(plausible reasoning);
• 3.可以發生在解題前,解題中,以及解題後(before, during, and after problem solving),
• 4.擬題者寫出的題目較課本題目「粗糙的」(primitive) ;
六、數學題 DIY
6-1 擬題、佈題、命題(Problem Posing)
(一)、個人化--e.g. 正方形
• 第一組
• 1.正方形的邊長多少?對邊是否平行?
• 2.每一個角度是多少?四個角度加起來共多少度?
• 3.若邊長5公分,求面積、求周長。
• 4.正方形內的對角線共有多少條?其長度一樣嗎?
• 第二組
• 1.用正方形的紙來摺,可以摺出什麼圖形呢?
• 2.若有一疊正方形的紙,可以砌出什麼圖案呢?
• 3.我們家裡的用品,那一些是像正方形的呢?
• 4.注音符號的ㄇ、ㄈ、ㄩ,像不像正方形?為什麼?
• 從以上兩組題目,可以看到不同的「個人」看法。
貳、擬題活動類型與結構
• Reitman (1965)提及四種題目結構:
已知(Given) 目標(Goal)
1. ˅ ˅
2. ˅ ×
3. × ˅
4. × ×
參、數學內容與情境安排
(一)、已有數學部份而欠故事內容
日本學者古藤伶(1986): 5+3=8
• 「改變」型
• 「有5人在操場玩,又來3人,所以變成8人」
「併加」型
• 「紅花5朵和白花3朵共有多少朵花?」
• 排先後
• 「一郎排在第5位,一郎後3位是二郎,問二郎 排在第幾位?」
• 加法反運算
• 「操場上走了3人還有5人,操場上原有幾個 人?」
(一)、已有數學部份而欠故事內容
• 美國學者Kilpatrick (1987)
• 晒衣服的鐵架所用的鐵線網製造接口需用鐵絲;
• 英國學者Greer (1991)(如3+5=8),學生可以問及繩子5
公尺長再結上另一3公尺長的繩子共多長
• 美國學者Silver(1993)
• 540÷40的直式計算餘數為20
• 只顧數學部份的題目,「農夫丁種540個南瓜,若每行種
(二)、已有情境安排而欠缺數學部份
(圖片)
•在「十五枝火柴」實驗中(附火柴圖)
•學員看出「正方形」數目和「火柴枝」數目的 關係,問及「若果排出30個整正方形,要用多 少枝火柴呢?」
•學員會在圖中加兩點,「甲」和「乙」
•再問「若一個人從甲點走到乙點共有多少路線 可走呢?」
(二)、已有情境安排而欠缺數學部份
(文句)
• 在「游泳池」實驗中,研究者所附的文字描述泳池有注水 管、排水管,以及要定時清洗。
• 學員會自己附加資料擬出算術題如「若泳池有6000立方公 尺的水而排水速度是每分鐘20立方公尺,則要多久才可把 一滿池的水排完?」
• 學員也許會自己附加故事內容說「若泳池不受鄰里歡迎而
肆、擬題和解題的關係
• Polya的四階段說明於右邊 兩個圖(1945)
• 如圖所表示,擬題取代了
「理解」階段,而「回想」
階段可再擬出其他題目來,
若有動機去解再次擬出的題 目,則要再次策劃及實行了。
解別人擬的題目 1. 理解
( Under s t and) 2. 策劃
( Pl an) 3. 實行
( Car r y Out ) 4. 回想
( Look Back)
( Pl an) ( Look Back)
( Pos e)擬題
策劃 回想
實行
解自己擬的題目