大學線性代數初步

大學線性代數初步

大學數學

數學 大 學 線性代數 , 大

數 .

大 學 線性代數學 ,

學 線性代數 . 大學線性代數

. 學 大 大 ( ) 線性

代數 , . 大學 線性代數 , 大

學 數學 . 大 大 數學

, 學 , 線性代數

. , 線性代數

數學 . , .

, .

學 , 數學 學 , 線性

代數 . 線性代數 .

, . 學

. , (Question).

, 大

. , 線性代數 . ,

學 線性代數 學 線性代數 , .

, ,

代. , .

, . , 性

, . , .

v

Chapter 1

Vectors in R ⁿ

大 性 . ,

性 , 性 .

1.1.

數學 學, 大

. . 學,

.

, (a, b) , a, b∈ R ( R

數 , a, b∈ R a, b 數, a, b 數).

P, P a (a > 0 ; a < 0

), b (b > 0 ; b < 0 ), Q.

P Q (a, b) , −→

PQ = (a, b).

( (a, b) ) , 大 :

(a, b) (c, d) ( (a, b) = (c, d)), a = c b = d; ,

, P, P^′, Q, Q^′ −→

PQ =−−→

P^′Q^′ 代 P P^′

Q Q^′ . P = P^′ , Q = Q^′. Q = Q^′

P = P^′. ( : P, P^′ “ ” “數”, P = P^′

“ ” “數”). −→

PQ ,

. 性, ,

, u, v . R²

, v∈ R², v

, a, b∈ R v = (a, b).

(addition) 數

(scalar multiplication).

3

Definition 1.1.1. u = (a₁, a₂), v = (b₁, b₂)∈ R² r∈ R.

u + v = (a₁+ b₁, a₂+ b₂) and ru = (ra₁, ra₂).

( definition) ,

數. , 數學

性. .

P, Q, R , −→

PQ +−→

QR =−→

PR . : P, Q, R

P(x₁, y₁), Q(x₂, y₂), R(x₃, y₃) ( : , 代 ),

−→PQ = (x2− x1, y2− y1),−→

QR = (x3− x2, y3− y2),−→

PR = (x3− x1, y3− y1).

前

−→PQ +−→

QR = ((x2− x1) + (x3− x2), (y2− y1) + (y3− y2)) = (x3− x1, y3− y1) .

−→PQ +−→

QR =−→

PR. (1.1)

, u = (1, 2), v = (3, 4) r = 5, Definition 1.1.1 u + v = (1 + 3, 2 + 4) = (4, 6) ru = (5× 1,5 × 2) = (5,10). : u = (1, 2), v = (3, 4) r = 5, u + v = (1 + 3, 2 + 4) = (4, 6) ru = (5×1,5×2) = (5,10)

數 .

數 , “ ”. 初

a1, a2, b1, b2, r 代 數 . Definition 1.1.1

rv , 初 u R² , ru ,

rv. : , 數 ,

數 (scalar multiplication) .

, , ,

性 , 性 . , 數

, ;

性 , 性 .

(Proposition Theorem) 性 ,

步 . 數 性 .

Proposition 1.1.2. R² , 性 :

(1) u, v∈ R², u + v = v + u.

(2) u, v, w∈ R², (u + v) + w = u + (v + w).

(3) O∈ R² u∈ R² O + u = u.

(4) u∈ R² u^′∈ R² u + u^′= O.

(5) r, s∈ R u∈ R², r(su) = (rs)u.

1.1. 5

(6) r, s∈ R u∈ R², (r + s)u = ru + su.

(7) r∈ R u, v∈ R² r(u + v) = ru + rv.

(8) u∈ R², 1u = u.

, . 學

. .

(1) 性.

. 學 . ,

. 大 大 數 ,

數學 “ ” 數 .

, .

(2) , 數 性 . (u + v) + w

u v w . v w

u . , (1)

, 大 .

(3) , .

性? 數 ,

. 性 .

(4) , .

u u^′ u + u^′= O. u^′ u ,

. 數學 .

(5),(6),(7) 數 性 , r(su) u s

r. 性 數 性 ,

.

(8) 1 . , 1

數 . 2u = v, (5) 性 1/2,

u =1u =1

2(2u) =1 2v.

: 性 , 大 性 .

大 性 , 大

性 . .

Proof. (of Proposition 1.1.2) 性 ,

學 學學 . 性

學 .

(1) u = (a₁, a₂), v = (b₁, b₂),

u + v = (a₁+ b₁, a₂+ b₂), v + u = (b₁+ a₁, b₂+ a₂).

數 性 ( a + b = b + a) u + v = v + u.

(2) u = (a₁, a₂), v = (b₁, b₂), w = (c₁, c₂), u + v = (a₁+ b₁, a₂+ b₂) (u + v) + w = ((a₁+ b₁) + c₁, (a₂+ b₂) + c₂).

v + w = (b₁+ c₁, b₂+ c₂)

u + (v + w) = (a₁+ (b1+ c1), a2+ (b2+ c2)).

數 ( (a + b) + c = a + (b + c)) (u + v) + w = v + (u + w).

(3) 性 , O .

O = (0, 0), u = (a₁, a₂)

O + u = (0 + a1, 0 + a2) = (a1, a2) = u.

.

(4) O = (0, 0), u = (a₁, a2) u^′ =

(−a1,−a2),

u + u^′= (a₁+ (−a1), a₂+ (−a2)) = (0, 0) = O.

(5) u = (a₁, a2), su = (sa1, sa2), r(su) = (r(sa1), r(sa2)).

(rs)u = ((rs)a₁, (rs)a₂),

數 ( r(sa) = (rs)a) r(su) = (rs)u.

(6) u = (a₁, a2),

(r + s)u = ((r + s)a₁, (r + s)a₂).

ru = (ra₁, ra₂), su = (sa₁, sa₂),

ru + su = (ra1+ sa₁, ra₂+ sa₂),

數 ( (r + s)a = ra + sa) (r + s)u = ru + su.

(7) u = (a₁, a2), v = (b1, b2),

r(u + v) = (r(a₁+ b₁), r(a₂+ b₂)).

ru = (ra₁, ra₂), rv = (rb₁, rb₂),

ru + rv = (ra₁+ rb₁, ra₂+ rb₂),

數 ( r(a + b) = ra + rb) r(u + v) = ru + rv.

(8) u = (a₁, a2), 數 a 1a = a, 1u = (1a1, 1a2) 1u = u.



Question 1.1. R² , 性 :

1.1. 7

(1) O = (0, 0) R² u∈ R² O + u = u.

(2) u = (a, b)∈ R², u^′= (−a,−b) R² u + u^′= O.

性 (Proposition 1.1.2)

. 性 ,

.

Example 1.1.3. P, Q, R, S , −→

PQ =−→

SR, 性 :

(1) −→

QR =−→ PS.

(2) T 線 PR 線 SQ , −→

PT =−→

T R −→

ST =−→

T Q.

性 :

P

Q R

S

T

(1) −→

PQ =−→

SR −→

QR =−→

PS. 前 (1.1) −→

PQ +−→

QR =−→

−→ PR PS +−→

SR =−→

PR.

−→PQ +−→

QR =−→ PS +−→

SR. (1.2)

Proposition 1.1.2 (4), u −→

PQ + u = O. Proposition

1.1.2 (1) −→

PQ =−→

SR ,

−→PQ + u = u +−→

PQ =−→

SR + u = u +−→ SR = O

(1.2) u

u + (−→

PQ +−→

QR) = u + (−→ PS +−→

SR) (1.3)

Proposition 1.1.2 (2), (3) u + (−→

PQ +−→

QR) = (u +−→

PQ) +−→

QR = O +−→

QR =−→

QR.

u + (−→ PS +−→

SR) = (−→ PS +−→

SR) + u =−→ PS + (−→

SR + u) =−→

PS + O =−→ PS.

(1.3) −→

QR =−→ PS.

(2) , ,

, ,

. 線 PR 線 SQ T PR , SQ

. , PR SQ

. PR SQ , PR SQ .

PR SQ , , 線 PR 線 SQ

PR SQ . T^′, T^′′ PR SQ .

T^′= T^′′, T^′ PR SQ , T = T^′= T^′′,

.

T^′, T^′′ PR SQ ,

−→PT^′=−→

T^′R = 1 2

−→PR (1.4)

−−→ST^′′=−−→

T^′′Q = 1 2

−→SQ. (1.5)

−→PT^′=−−→

PT^′′ T^′= T^′′. −−→

PT^′′=−→ PS +−−→

ST^′′, (1.5)

−−→PT^′′=−→ PS +−−→

ST^′′=−→ PS +1

2

−→SQ.

(1) −→

PS =−→

QR

−−→PT^′′=−→

QR +1 2

−→SQ = (1 2

−→QR +1 2

−→QR) +1 2

−→SQ = 1 2

−→QR +1 2(−→

QR +−→

SQ) =1 2(−→

QR +−→ SR)

−→PQ =−→ SR,

−−→PT^′′=1 2(−→

QR +−→ SR) =1

2(−→

QR +−→

PQ) =1 2

−→PR

(1.4) −→

PT^′=−−→

PT^′′, T^′= T^′′ PR SQ ,

T = T^′= T^′′. (1.4,1.5) −→

PT =−→

T R −→

ST =−→

T Q.

學 Example 1.1.3 .

, Proposition 1.1.2 性 ,

性 性 . , Proposition

1.1.2 性 , Example 1.1.3 性 . Example 1.1.3

, Proposition 1.1.2 性

數 ( , ... ). 步

, 大 .

1.2. Rⁿ

學 , R³. R³ R²

. Rⁿ , n∈ N

數. Rⁿ . 學 Rⁿ ,

. 線性代數 ,

線性代數 ( R² R³ ).

, , R² 性 , R²

性 .

1.2. Rⁿ 9

R³ , (a₁, a₂, a₃) a₁, a₂, a₃∈ R ,

(a₁, a₂, a₃), (b₁, b₂, b₃) a1= b₁, a₂= b₂ a3= b₃.

n∈ N :

Definition 1.2.1. n∈ N, Rⁿ (a₁, . . . , a_n), a₁, . . . , a_n∈ R.

(a1, . . . , an) (b1, . . . , bn) a1= b1, . . . , an= bn. , (a₁, . . . , a_n) n ,

數 1 a1 , a2 ,

n a_n . n = 4 ,R⁴ (a₁, a₂, a₃, a₄) . n

數 n = 4 a1, a2, . . . , (a1, . . . , an)

. a₁, . . . , a_n∈ R, a₁ a_n n

數. , ai∈ R, ∀1 ≤ i ≤ n , 1≤ i ≤ n

ai∈ R . : i 1 n 數, i ai

數. a₁ a_n n 數 數. ,

數 , . 數

, 數 . a₁= b₁, . . . , a_n= b_n

, ai= b_i,∀1 ≤ i ≤ n .

R² 數 Rⁿ (addition) 數

(scalar multiplication).

Definition 1.2.2. u = (a₁, . . . , a_n), v = (b₁, . . . , b_n)∈ Rⁿ r∈ R.

u + v = (a₁+ b₁, . . . , a_n+ b_n) and ru = (ra₁, . . . , ra_n).

, Rⁿ ,

u = (1, 1, 2, 2, 3), v = (5, 4, 3, 2, 1)∈ R⁵

u + v = (1 + 5, 1 + 4, 2 + 3, 2 + 2, 3 + 1) = (6, 5, 5, 4, 4).

u, v Rⁿ u + v. u R³ v

R⁴ u + v !

R² , Rⁿ 數 性 . 性 R²

( 數 性 ), .

Proposition 1.2.3. Rⁿ , 性 :

(1) u, v∈ Rⁿ, u + v = v + u.

(2) u, v, w∈ Rⁿ, (u + v) + w = u + (v + w).

(3) O∈ Rⁿ u∈ Rⁿ O + u = u.

(4) u∈ Rⁿ u^′∈ Rⁿ u + u^′= O.

(5) r, s∈ R u∈ Rⁿ, r(su) = (rs)u.

(6) r, s∈ R u∈ Rⁿ, (r + s)u = ru + su.

(7) r∈ R u, v∈ Rⁿ r(u + v) = ru + rv.

(8) u∈ Rⁿ, 1u = u.

Proposition 1.2.3 (3) O additive identity, (a1, . . . , an), a_i= 0, ∀1 ≤ i ≤ n, O . u = (a₁, . . . , a_n)∈ Rⁿ, Proposi- tion 1.2.3 (4) u^′ additive inverse, (b₁, . . . , b_n), bi=−ai,

∀1 ≤ i ≤ n. Question 1.1 , Rⁿ , O Rⁿ

u∈ Rⁿ O + u = u , u∈ Rⁿ, u^′=−1u u + u^′= O

. , Rⁿ , Proposition 1.2.3 (3) 性

O . O^′∈ Rⁿ additive identity ( Proposition

1.2.3 (3) 性 ), O additive identity O + O^′= O^′. , O^′ additive

identity O + O^′= O. O = O^′, 性. , u∈ Rⁿ,

u^′, u^′′ Proposition 1.2.3 (3) 性 , u + u^′= u + u^′′= O, u^′= u^′+ O = u^′+ (u + u^′′) = (u^′+ u) + u^′′= O + u^′′= u^′′.

性 .

Corollary 1.2.4. Rⁿ O u∈ Rⁿ O + u = u. ,

u∈ Rⁿ, u^′∈ Rⁿ u + u^′= O.

Remark 1.2.5. 數學 , 前 ( 性 ),

Corollary . Proposition 1.2.3 (3),(4) additive identity additive

inverse 性 Corollary 1.2.4 性. 學

? Corollary , Rⁿ

數 Corollary 1.2.4, , Proposition 1.2.3

Corollary 1.2.4 ( ). 前 ,

性 , , Proposition 1.2.3 性

性 .

性, O Rⁿ additive identity. u∈ Rⁿ,

−u u additive inverse.

Proposition 1.2.3 (3) additive identity 性 Corollary 1.2.4

additive identity 性. , Proposition 1.2.3

(3) O u∈ Rⁿ u + O = u. 初 u∈ Rⁿ

u + O = u, Corollary 1.2.4 additive identity 性 .

Proposition 1.2.3 性 , v

, , u u + v = u, v

. .

1.2. Rⁿ 11

Corollary 1.2.6. v∈ Rⁿ u∈ Rⁿ u + v = u, v = O.

Proof. u = u + v = v + u, −u,

O = u + (−u) = (v + u) + (−u) = v + (u + (−u)) = v + O = v.



. Proposition 1.2.3 ,

Corollary 1.2.4 Corollary 1.2.6. Corollary 1.2.6 Rⁿ

v , Rⁿ u, v + u = u , Rⁿ

. 性 .

Corollary 1.2.7. v∈ Rⁿ, . (1) 0v = O.

(2) (−1)v = −v.

Proof. Rⁿ 數 , .

Proposition 1.2.3 Corollaries .

(1) Corollary 1.2.6, u 0v + u = u . u = v,

0v + v = 0v + 1v = (0 + 1)v = 1v = v.

0v = O.

(2) (−1)v = −v, Corollary 1.2.4 additive inverse 性 (−1)v + v = O . ,

(−1)v + v = (−1)v + 1v = (−1 + 1)v = 0v, (1) (−1)v + v = O.



, Corollaries 1.2.4, 1.2.6, 1.2.7, Rⁿ

數 . , . 大

, 性 Proposition 1.2.3 , 大 Proposition 1.2.3

性 Rⁿ 數 . , 數

“ ” , w + (−v) w− v.

大 . 2u + v = w, 1/2

u = ¹₂(w− v).

1.3. Span of Vectors

Rⁿ Rⁿ “ ”. .

, , 大 Rⁿ

(subset).

. 線. 線

, 線

前 ( ) . P , Q 線

, 線 P −→

PQ 線. −→

PQ

線 “ ” (directional vector). 線 ,

Q^′ 線 P, Q , −−→

PQ^′ 線 . P, Q, Q^′

線 , 數 r −−→

PQ^′= r−→

PQ.

v 線 , 線 P, Q 數 r

−→PQ = rv. 線 L P v, Q −→

PQ = rv,

r∈ R, Q 線 L . P

v 線 L ,

L ={Q |−→

PQ = rv, r∈ R}.

, ,

. “|” , 性

. Q Q , −→

PQ = rv, r∈ R

Q −→

PQ = rv, r 數.

v 線 L 數 r, w = rv, w L

. w v parallel ( ), v∥ w . 線

, 線 .

, 線 , ,

. Rⁿ v ,

{w ∈ Rⁿ| w = rv, r ∈ R}

. , | “ ”,

, 前 線 L | “ ”

, 大 .

線 大 .

. ,

, 線 . ,

線 L₁, L₂, 線 L₁ L₂

線 . 言 , L₁, L₂ 線, v₁, v₂

P , L1 Q r1∈ R −→

PQ = r1v₁. Q L2

線 , R L₂ 線 , r₂∈ R

1.3. Span of Vectors 13

−→QR = r₂v₂. −→

PR =−→

PQ +−→

QR

−→PR = r1v₁+ r2v₂,

R r₁, r₂∈ R −→

PR = r₁v₁+ r₂v₂. R

−→PR = r1v₁+ r₂v₂, R L1 L2 線 , R

. H P v₁, v2 H 線 ,

H ,

H ={R | −→PR = r1v₁+ r2v₂, r1, r2∈ R}.

H v₁, v2 , H

, , 學 線性代數 .

{w ∈ Rⁿ| w = rv,r ∈ R} {w ∈ Rⁿ| w = r1v₁+ r₂v₂, r₁, r₂∈ R}

.

, , Rⁿ

. Rⁿ 線 , 線

性 . .

Definition 1.3.1. v₁, . . . , v_m∈ Rⁿ, r1, . . . , r_m∈ R w = r₁v₁+··· + rmv_m,

w v₁, . . . , v_m linear combination (線 性 ). v₁, . . . , v_m linear

combinations span ( ), Span(v1, . . . , vm)

,

Span(v1, . . . , vm) ={w ∈ Rⁿ| w = r1v₁+··· + rmv_m, r1, . . . , rm∈ R}.

v₁, . . . , v_m Rⁿ , v₁, . . . , v_m 線性 Rⁿ .

Span(v1, . . . , v_m) Rⁿ . 性 , Rⁿ

( ). 性 ?

O Span(v₁, . . . , v_m) ( r_i 0), w∈ Span(v1, . . . , v_m), w = r₁v₁+···+rmv_m −w = (−r1)v1+···+(−rm)vm −w ∈ Span(v1, . . . , vm).

性 .

Proposition 1.3.2. v₁, . . . , vm∈ Rⁿ, u, w∈ Span(v1, . . . , vm) s,t∈ R

su + tw∈ Span(v1, . . . , vm).

Proof. u, w∈ Span(v1, . . . , vm) r1, . . . , rm∈ R r^′₁, . . . , r^′_m∈ R u = r₁v₁+··· + rmv_m w = r^′₁v₁+··· + rm^′ v_m.

su + tw = (sr1+ tr^′₁)v1+··· + (srm+ tr^′_m)vm.

su + tw v₁, . . . , v_m 線性 , su + tw∈ Span(v1, . . . , v_m). 

Proposition 1.3.2 Span(v₁, . . . , v_m) 線性 Span(v1, . . . , v_m) , 數學 , Span(v1, . . . , v_m)

線性 Span(v1, . . . , vm) .

Question 1.2. v₁, . . . , vm∈ Rⁿ, w₁, . . . , w_k∈ Span(v1, . . . , vm), Span(w1, . . . , w_k)⊆ Span(v1, . . . , vm).

span of vectors, vectors vectors

span . (1, 2, 3)∈ R³ Span((1,−1,2),(2,1,−2))?

r, s∈ R (1, 2, 3) = r(1,−1,2) + s(2,1,−2). ,





1r + 2s = 1

−1r + 1s = 2 2r − 2s = 3

.

. 大 , (

column vector), r(1,−1,2) + s(2,1,−2) = (1,2,3)

r



 1

−1 2



 + s



 2 1

−2



 =



 1 2 3



.

. vector column vector

. column vector , column vector row vector

( ) . row vector column vector.

.

column vector standard basis. R²

i = [ 1

0 ]

, j = [ 0

1 ]

, R² vector i, j 線性 ,

[ 2 3

]

2i + 3j. R³ standard basis vectors

i =



 1 0 0



, j =



 0 1 0



, k =



 0 0 1



.

Rⁿ standard basis vectors

e₁=







 1 0 0 ... 0







 , e₂=







 0 1 0 ... 0









, . . . , e_n=







 0 0 ... 0 1







 ,

1≤ i ≤ n, ei i 1, 0 column vector. ,

Rⁿ vector e₁, . . . , en linear combination. Rⁿ

standard basis vectors 性 vectors, .

1.4. Dot Product 15

1.4. Dot Product

R² R³ 大 Rⁿ.

Rⁿ , 大 性 Rⁿ

.

R² R³ . R² u = (a₁, a₂), v = (b₁, b₂), u, v u· v u· v = a1b1+ a₂b2. R³ u = (a₁, a₂, a₃), v = (b₁, b₂, b₃), u, v

u· v u· v = a1b₁+ a₂b₂+ a₃b₃. Rⁿ

:

Definition 1.4.1. u = (a₁, . . . , an), v = (b1, . . . , bn)∈ Rⁿ. u, v dot product (inner product)

u· v = a1b1+··· + anbn=

∑

aibi.

,

Proposition 1.4.2. u, v, w∈ Rⁿ, 性 : (1) u· v = v · u.

(2) u· u ≥ 0 u· u = 0 u = O.

(3) r∈ R (ru)· v = u · (rv) = r(u · v).

(4) u· (v + w) = u · v + u · w.

Proof. 性 R² R³ 大 , Rⁿ , n

數 Rⁿ , .

u = (a₁, . . . , a_n), v = (b₁, . . . , b_n), w = (c₁, . . . , c_n). ∑ (summation)

, 大 .

(1)

u· v =

∑

i=1

a_ib_i

u· v a_ib_i i 1 n 數. n a_ib_i

b_ia_i ( 數 ) ,

∑

a_ib_i=

∑

b_ia_i= v· u.

u· v = v · u.

(2)

u· u =

∑

i=1

aiai=

∑

a²_i.

數 大 0, a²_i ≥ 0, ∑ⁿi=1a²_i ≥ 0, u· u ≥ 0.

∑ⁿi=1a²_i = 0, a²_i 0, 1≤ i ≤ n ai= 0,

u = (a₁, . . . , a_n) = (0, . . . , 0) = O.

u = (a₁, . . . , an) = O 1≤ i ≤ n ai= 0, u· u =

∑

i=1

aiai= 0.

(3) (ru)· v ru v , ru = (ra₁, . . . , ra_n) (ru)· v =

∑

i=1

(ra_i)b_i. 1≤ i ≤ n (rai)bi= r(aibi) ( 數 )

∑

(rai)bi=

∑

r(aibi)

∑ⁿi=1r(aibi) r , 數

∑

r(aibi) = r

∑

aibi= r(u· v)

(ru)· v = r(u · v). u· (rv) = r(u · v),

(1) u· (rv) = (rv) · u (rv)· u = r(v · u), (1)

r(v· u) = r(u · v) u· (rv) = r(u · v).

(4) u· (v + w) u v + w ,

v + w = (b₁+ c1, . . . , bn+ cn)

u· (v + w) =

∑

i=1

ai(bi+ ci).

數 ai(bi+ ci) aibi+ aici,

∑

a_i(b_i+ c_i) =

∑

(a_ib_i+ a_ic_i).

數 , aibi , aici ,

,

∑

(a_ib_i+ a_ic_i) =

∑

a_ib_i+

∑

a_ic_i= u· v + u · w,

u· (v + w) = u · v + u · w. 

Proposition 1.4.2 (2) O , v v· v > 0,

.

Definition 1.4.3. v = (a₁, . . . , a_n)∈ Rⁿ, v (length)

∥v∥ =√

v· v =√

a²₁+ a²₂+··· + a²n.

1.4. Dot Product 17

Proposition 1.4.2 性 , .

Lemma 1.4.4. u, v∈ Rⁿ, ∥u + v∥²=∥u∥²+ 2u· v + ∥v∥². Proof. ∥u + v∥²= (u + v)· (u + v), Proposition 1.4.2 (4)

(u + v)· (u + v) = (u + v) · u + (u + v) · v = u · u + v · u + u · v + v · v.

Proposition 1.4.2 (1) v· u + u · v = 2u · v . 

Question 1.3. (parallelogram relation): 線

, u, v∈ Rⁿ

∥u + v∥²+∥u − v∥²= 2∥u∥²+ 2∥v∥².

Lemma 1.4.4 性 ,

Definition 1.4.1 ( )

Proposition 1.4.2 性 , Lemma 1.4.4 性 . Lemma 1.4.4

.

Proposition 1.4.5 (Cauchy-Schwarz inequality). u, v∈ Rⁿ, |u · v| ≤ ∥u∥∥v∥.

u, v , λ ∈ R v =λu.

Proof. u v , u· v = 0 ∥u∥∥v∥ = 0, .

u, v , u₀= u/∥u∥ v₀= v/∥v∥.

∥u0∥²= u₀· u0= 1

∥u∥u· 1

∥u∥u = 1

∥u∥²u· u = 1.

∥v0∥²= 1, Lemma 1.4.4

∥u0+ v₀∥²= 2 + 2u₀· v0, (1.6)

∥u0− v0∥²= 2− 2u0· v0.

w∈ Rⁿ ∥w∥²≥ 0, −1 ≤ u0· v0≤ 1. u, v

−∥u∥∥v∥ ≤ u · v ≤ ∥u∥∥v∥.

|u · v| ≤ ∥u∥∥v∥.

u, v , u₀· v0= 1 u₀· v0=

−1. (1.6) ∥u0−v0∥²= 0 ∥u0+ v₀∥²= 0, u₀= v₀ u₀=−v0. u, v

v =∥v∥

∥u∥u v =−∥v∥

∥u∥u.

λ ∥v∥/∥u∥ −∥v∥/∥u∥, v =λu.

v =λu, Proposition 1.4.2

|u · v| = |λ||u · u| = |λ|∥u∥²=∥u∥∥λu∥ = ∥u∥∥v∥.



Proposition 1.4.5 , , u 1

u₀= u/∥u∥. 1 , unit vector. u

unit vector, u₀= u/∥u∥. unit vector

性, 線性代數 .

Proposition 1.4.5, .

Corollary 1.4.6 (Triangle inequality). u, v∈ Rⁿ, ∥u + v∥ ≤ ∥u∥ + ∥v∥.

Proof. Lemma 1.4.4 Proposition 1.4.5,

∥u + v∥²=∥u∥²+ 2u· v + ∥v∥²≤ ∥u∥²+ 2∥u∥∥v∥ + ∥v∥²= (∥u∥ + ∥v∥)².

∥u + v∥ ≤ ∥u∥ + ∥v∥. 

Question 1.4. ∥u + v∥ = ∥u∥ + ∥v∥.

. u, v θ, u· v = ∥u∥∥v∥cosθ,

. u· v = 0 u v . Rⁿ.

n≥ 4 , “ ”Rⁿ ( ),

R²,R³ u, v∈ Rⁿ θ, 0≤θ ≤ π

cosθ = u· v

∥u∥∥v∥.

“well-defined”.

θ , 性 . 0≤θ ≤ π ,

|cosθ| ≤ 1. θ 性 Rⁿ u, v

 u· v

∥u∥∥v∥

 ≤ 1.

Proposition 1.4.5 , θ 性 .

, ? 性 .

θ^′̸=θ cosθ = cosθ^′ , θ 0≤θ ≤ π,

. ,

well-defined.

Example 1.4.7. R⁴ u = (1, 1, 1, 1), v = (1, 0,−2,−2) θ, cosθ = u· v

∥u∥∥v∥= −3 2× 3=−1

2, θ = 120^◦.

.

Definition 1.4.8. u, v∈ Rⁿ , u v orthogonal u·v = 0.

1.4. Dot Product 19

Rⁿ , orthogonal

perpendicular. , R² R³

(projection) Rⁿ.

R² , u∈ R², v∈ R², u^′ v u

, v− u^′ ( 線 ) u , (v− u^′)· u = 0,

v· u = u^′· u.

-

*6

- u v

u^′

u^′ Span(u), r∈ R u^′= ru, (v− u^′)· u = 0.

u^′= ru 代 v· u = ru · u = r∥u∥², r = (v· u)/∥u∥². , v u

, _∥u∥^v·u₂u ( 性). r = (v· u)/∥u∥² (

u ), u^′= ru (v− u^′)· u = 0 ( 性).

Rⁿ .

Proposition 1.4.9. u∈ Rⁿ, v∈ Rⁿ, v = u^′+ v^′,

u^′, v^′∈ Rⁿ v^′· u = 0 u^′= ru, r∈ R. ,

r = v· u

∥u∥².

Proof. 前 Rⁿ , r = (v·u)/∥u∥² 數 (v−ru)·u = 0.

言 ,

u^′= v· u

∥u∥²u.

u^′= ru (v−u^′)·u = 0. u^′ , v^′ v^′+ u^′= v,

v^′= v− u^′, . 

Question 1.5. r Proposition 1.4.9 性?

Proposition 1.4.9, 大 Rⁿ u , Rⁿ

v , Span(u) ( u^′) u

( v^′), . Span(u)

v· u

∥u∥²u v u projection ( ).

Example 1.4.10. R⁴ u = (1, 1, 1, 1), v = (1, 0,−2,−2). ∥u∥ = 2 v· u = −3, v u projection

−3

4u =−3

4(1, 1, 1, 1).

v = (1, 0,−2,−2) = −3

4(1, 1, 1, 1) + (7 4,3

4,−5 4,−5

4),

−3

4(1, 1, 1, 1)∈ Span((1,1,1,1)) and (7 4,3

4,−5 4,−5

4)· (1,1,1,1) = 0.

1.5.

大 R²,R³ , 數 , Rⁿ .

R²,R³ 性 . 性

, R²,R³ . 言 , 性 ,

, “ ”. 大

性 性, 性 線性代數 .