國立台灣師範大學

國立台灣師範大學

機電工程學系

工 程 數 學 (二)

Engineering Mathematics ( II )

授課老師：楊啟榮 博士

Office: 機械大樓二樓 楊啟榮 研究室

TEL: (02) 7734-3506; 0955-052-392

E-mail: ycr@ntnu.edu.tw

課 程 設 計

課 號： MTU0016 名 稱：工程數學

英文名稱：Engineering Mathematics ( II ) 學 分：3

類 別：必修

適修年級：大學部二、三年級生

課程大綱：本科目旨在協助學生瞭解工程數學之基本原理、運算技巧及其在工程上之 實際應用。課程範圍涵蓋線性代數(矩陣、向量、行列式、線性方程式系 統、矩陣特徵值問題)、向量微分、向量發散度與旋度、純量場之梯度與 方向導函數、向量積分、積分定理與轉換、Fourier 級數分析與微積分、

偏微分方程式等單元。

對 象：具數理背景知識之大學生 授課老師：楊啟榮 博士

教材版本：E. Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, 10th edition, 2011

筆記與解答下載：http://mems.mt.ntnu.edu.tw/→教學分享→課程講義下載→工程數學(二) 評分考試 ：期中考 I (30%)、期中考 II (40%)、期末考 (30%) 。

兩次期中考成績在全班倒數的 1/5 者，直接電話通知家長。

作弊者一律送學務處議處，作弊是可恥的行為，淘汰率佔全班人數 1/10 ~ 1/5 (不用功) ~ 1/3 (很不用功)。

上課原則(特例除外)：

1. 上課遲到十分鐘以上才進教室，會干擾老師與同學上課，故不准於該節進教室。

2. 無故曠課，每次期末總成績扣 3 分(不定時點名)。

3. 病事假必須於上課前，以簡訊、E-mail 請假，或由可信賴之同學轉告，且需事後 一週內於學校請假系統登錄請假。

4. 上課手機務必關機，鈴聲響起即扣期末總成績 1 分。

課程輔導時間：請參考楊啟榮 博士本學期之授課時間表(只要是上班時間沒有排 課的時段，均歡迎學生至研究室與老師討論)

研究室位置：機械大樓二樓 楊啟榮研究室 / 電話: 7734-3506; 0955052392 / E-mail:ycr@ntnu.edu.tw

國立臺灣師範大學學則-第二編(學士學位班)第三十五條

本校100年11月23日修正通過

學生因故不能上課，須向學生事務處請假，請假經核准者為缺課，未經請假 或請假未核准者為曠課。缺課及曠課，依照下列規定辦理：

一、任課教師得依學生缺、曠課之情形予以扣分。

二、自上課之日起，缺課日數達該學期授課總日數三分之一者，應予休學；

惟公假經行政院相關部會建議並由學校同意者，不計入缺課日數。

三、一學期曠課達四十五小時者應予退學。

因懷孕、生產或哺育三歲以下幼兒之照顧，而核准之事（病）假、產假者，

不適用前項第一款之規定。

建議：

1.

不要輕易請假與曠課 ，除非您可以自己補足進度， 否則下次上課「聽嘸」 、 「鴨 子聽雷」的機會大，從此陷入惡性循環！

2.

數學課程上課更需要專心，別在上課中恍神、放空、補眠(三者特徵都是眼神 呆滯)，回去複習才能事半功倍！

3.

大學生涯是提升自己能力的階段，而不是向下沈淪！學習成效不佳的人，應 儘快找到原因加以改進，畢竟大學生涯轉眼就會結束。

已達成聯考目標 (或已可向父母交差)，生活目標失去重心。

對機電系出路茫然，學習目標總抱持懷疑態度，以致提不起勁。

系所興趣不合或陷於台清交成的迷失，也無法抱持「既來之則安之」的 態度，可以考慮儘早轉系或重考。

外務(社團、打工、直銷…)太多，沒空讀書或提不起勁。

感情因素，造成沒心情讀書。

狂打電動或流連社群網站，生活作息不正常，影響學業。

能力不足以應付機電系學業，但運氣好考上了！

其他：家庭因素、宗教因素…。

4.

最佳檢視自己學習成效的方法，就是時常闔上課本，看自己可否說出完整的

基礎原理，與解題技巧或步驟，再加上不看解答的情況下，可做出正確的答

案，如此才不會流於一知半解的狀況。

機電系考試試場規則

100.05.26 99 學年度第 6 次系務會議通過

1. 考試時桌面禁止放置手機，考試過程亦不得使用。

2. 桌面禁止放置皮夾與文具盒。

3. 禁止使用翻譯機。

4. 考試時如需上廁所應向師長登記。

5. 考試時不得有交談、偷看、抄襲、傳遞、夾帶、頂替或其他舞弊情 事，一經確認上述行為該科學期成績 0 分，並依系務會議決議記大 過乙次，且不得銷過。

6. 作弊一經確認，名單送交全系老師，不得推甄本系研究所，推甄外 校者，本系師長不會幫忙寫推薦信。

7. 作弊一經確認，該生的每學期修課課程，將個別通知本系授課教師

特別注意！

工程數學課程防止作弊的作法

1. 授課老師親自監考，必要時再外加至少一位助教。

2. 每次考試隨機排定座位(學號與班級會盡量錯開)，當場才公佈座位。

3. 桌面不准出現手機。

4. 桌面不准出現皮夾與文具盒。

5. 禁止使用翻譯機。

6. 檢查有照片的證件，避免發生頂替應試。

7. 管制上廁所的次數與時間，並確定手機已離身（避免有人在廁所看 小抄或手機檔案）。

8. 只能用傳統計算機(不能使用其他計算器)，但不能有夾層外殼。

9. 不會事先勾問題給學生，以避免發生作弊的機會與慾望，也增加學 生學習的強度。

10. 降低考例題的機會(有些學生根本是用背的….)，出題範圍以習題與

類似題為主，學生應該培養舉一反三的能力。

11. 作弊一經確認，該科期末成績○分，並送學務處議處，建議校方直

接退學。

12. 作弊一經確認，名單送交全系老師手中，不得推甄本系研究所，推

甄外校者建議本系全部師長不要幫忙寫推薦信。

13. 作弊一經確認，您的每學期修課課程，系上都會個別通知授課教師

特別注意您！

14. 作弊一經確認，您的高中母校學弟妹推甄本系時，會受到系上老師

主觀印象影響，影響錄取之機會。

15. 外校系修課者作弊一經確認，名單通知個別校系處理！

國立台灣師範大學機電科技學系課程綱要表

開課系級

二

科目

名稱

工程數學(二)

必修

選修

必

學

分 下 3

先修

科目

微積分

壹、教學目標

本科目旨在協助學生瞭解工程數學之基本原理、運算技巧及其在工程上之實 際應用。課程範圍涵蓋線性代數(矩陣、向量、行列式、線性方程式系統、矩 陣特徵值問題)、向量微積分、向量發散度與旋度、純量場之梯度與方向導函 數、Fourier 級數分析與微積分、偏微分方程式等單元。

貳、預定教學進度

1. 線性代數：矩陣、向量、行列式、線性方程式系統

2. 線性代數：矩陣特徵值問題...期中考I I (30%) 3. 向量微分、梯度、發散度、旋度

4. 向量積分、積分定理...期中考 II (40%) 5. Fourier 級數分析、積分、轉換...期末考 (30%) 6. 偏微分方程式... ...重要！努力看看

參、實施方式

講述法、討論法、測驗及習題解析 肆、參考書目

1. E. Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, 10th Edition, John Wiley & Sons, Inc., New York, 2011

2. Peter V. O’Neil, Advanced Engineering Mathematics, 7th Edition, Brooks/Cole Publishing Company, London, 2011

英文名稱

任課教師 楊啟榮

微 積 分 修 不 好 的 同 學 ， 務 必 更 努 力 ， 否 則 被 當 的 機 率 很 大 ． ． ．

課程相關教材或參考資料

Text book:

E. Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, 10th edition, John Wiley & Sons, Inc., New York, 2011

References:

1. Peter V. O’Neil, Advanced Engineering Mathematics, 7th Edition, Baker & Taylor Books, London, 2011

2. Dennis G. Zill, Advanced Engineering Mathematics, 4th Edition, Jones & Bartlett Publishers, Boston, 2011

學習工程數學的重要性

一、工程數學幾乎是機械、電機研究所各組必考科目(100 年度)

校名 所別 組別 考試科目

系統控制組 1.英文2.工程數學3.控制系統 4.動力學 固體力學組 1.英文2.工程數學3.材料力學 4.動力學

流體力學組 1.英文2.工程數學3.熱力學(包括熱傳學) 4.流體力學 航空工程組 1.英文2.工程數學3.熱力學(包括熱傳學) 4.流體力學 設計組 1.英文2.工程數學3.靜力學 4.動力學

熱學組 1.英文2.工程數學3.熱力學(包括熱傳學) 4.流體力學

台 大 機械所

製造組 一、筆試:1.英文2.工程數學 3.機械製造 二、口試:50%

電控組 1.工程數學2.電路學及電子學 3.控制系統

設計、製造組 一、筆試:1.工程數學2.應用力學(含靜力學、動力學) 二、書面審查

生醫系統組 一、筆試 10%:科技英文 二、書面審查:90%

固體與奈微

米力學組 1.工程數學2.應用力學(含靜力學、動力學)3.材料力學 光機電系統組 一、筆試 10%:科技英文

二、書面審查:90%

清 大 動機所

熱流組 1.工程數學2.熱流學(一)3.熱流學(二)(熱流學含流體力 學、熱力學及熱傳學)

熱流組 1.工程數學2.熱力學 3.流體力學(含熱傳學)

控制組 1.工程數學2.應用力學(含靜力學與動力學)3.自動控制 固體力學組 1.工程數學2.應用力學(含靜力學與動力學)3.材料力學

交 大 機械所

設計製造組 1.工程數學2.應用力學(含靜力學與動力學) 固力組 1.工程數學 2.材料力學 3.動力學

機械製造與

材料組 1.工程數學 2.材料力學 3.機械製造及材料

機械設計組 1.工程數學 2.靜力學及專業英文 3.動力學及專業英文 機械控制組 1.工程數學2.自動控制 3.動力學

成 大 機械所

熱流科學組 1.工程數學 2.熱力學 3.流體力學 光機電系統組 1.工程數學2.自動控制

台師大 機電所

精密機械組 1.工程數學2.應用力學(含靜力學與動力學)

製造與材料組 1.工程數學2.材料導論與機械製造(以切削加工及半導 體製程為主)

系統組 1.工程數學(含程式設計)2.自動控制 3.動力學 熱流組 1.工程數學2.熱力學 3.流體力學及熱傳學

中 央 機械所

固力與設計組 1.工程數學2.材料力學 3.動力學

固力組 1.工程數學2.材料力學 3.應用力學(含靜力學與動力學) 設計製造組 1.工程數學2.動力學 3.靜力學

中 山 機電所

控制組 1.工程數學2.自動控制 3.應用力學(含靜力學與動力學)

微奈米系統組 1.工程數學2.動力學 3.靜力學

熱流組 1.工程數學2.熱力及熱傳導、熱輻射學 3.流體力學及 熱對流

製造組 1.工程數學2.製造學 控制、機電及

電腦應用組 1.工程數學2.系統控制 熱力與流力組 1.工程數學2.熱力與流力 材料製程與

分析組 1.工程材料(一)2.工程材料(二)

台科大 機械所

固體力學與

機械設計組 1.工程數學2.材力與動力 機電整合創

新設計組 1.工程數學2.工程力學(僅考動力學與靜力學) 老人醫學工

程組

1.工程數學2.工程力學(動力學、靜力學)、電子學、醫 工概論(擇一)

機電所

奈微米機電

與控制組 1.工程數學、2.電子學、自動控制(擇一)

製造所

子、資訊類相 關領域

1.工程數學(僅考線性代數)2.電子學、計算機概論、電 路學(擇一)

北科大

自 動 化 所

甲組-機械相 關領域

1.工程數學(包含線性代數及微分方程)2.工程力學(僅 考靜力學及動力學)、自動控制(擇一)

二、工程數學(一)被當，擋修大三自動控制，延畢的可能性大！

科 目 應 先 修 科 目

科目代碼 開課學期 科目代碼 開課學期

工程數學(一) 微積分(二)

MTU0009 二上

MTU0008 一下

工程數學(二) 微積分(二)

MTU0016 二下

MTU0008 一下

應用電子學(一) 電路學

MTU0075 二下

MTU0013 二上

自動控制 工程數學(一)

MTU0028 三上

MTU0009 二上

機電整合技術 應用電子學(一)

MTU0029 三下

MTU0075 二下

◎本系自 104 級(含)以後學生開始適用。

三、 工程數學被當，您還得再修一次...，除了心煩，還很有可能三修(有學長工

數(一)(二)總共修了五次，最後靠外系暑修才得以畢業)！

數學學習對工程設計與分析的重要性

(利用數值模擬即可獲得最佳化設計)

In the engine shown in Figure, a 7-inch connecting rod is fastened to a crank of radius 3 inches. The crankshaft rotates counterclockwise at a constant rate of 200 rpm (revolutions per minute). Find the velocity (i.e.,dx dt) of the piston when

θ π

【Solution】

The velocity of a piston is related to the angle of the crankshaft.

Crank(曲柄)

Piston (silder 滑塊)

Find the relation between x and θ by law of Cosines.

Law of Cosines.

等號兩邊取微分

已知值

θ π

200(2 ) rads/min d

dt

θ = π

未知值 x=?

可寫程式 run 出數值，並電腦繪出曲柄 轉一圈時，滑塊的位移、速度、加速度、

輸出力變化圖，甚至是呈現動畫。

2

dx d x2 . (0 ~ 2 )

x vs

dt dt θ π

即 或 或 曲柄-滑塊機構

θ π= 3^{時滑塊的速度}

曲柄-滑塊機構傳動之運動分析曲線

http://cmee.cumt.edu.cn/jxyl/jixieyuanlikejian/wlkj14/3-1.html

模擬曲柄-滑塊機構傳動之視窗軟體

建立數學分析與運算能力，以及程式撰寫與運用的能力，對自己

未來的職場生涯會有很大的助益！請學生時代即建立此一能力！

工程數學的學習要點(步驟)與重要性

(一) 觀察與確認物理系統

固力學問題

2.

振動學問題

熱傳學問題

流力學問題

機構學問題

電子電路問題

…...等等工程領域問題。

(二) 建立系統數學方程式(Governing equation) (建模)

建模就是將實際的系統以一具有相同特性的物理模型來取代，並將物理模型依 定律、法則描述成數學模式。 透過假設把實際的系統行為以數學語言表達出來，

特別是在電腦普及便利的今天，利用數學模型有利於分析、設計與模擬。例如 設計衛星的姿態控制器，我們不可能把一枚衛星直接搬到設計桌上設計控制 器，亦不可能每設計一控制器就直接施加於衛星上作測試。

例：圖 1 系統之運動方程式

(三) 工程數學之應用(數學方程式求解)

1.

常微分方程式

3.

線性代數：向量、矩陣、行列式

向量微分與向量積分

5. Fourier 級數積分與轉換 6.

偏微分方程式

…...等等解題技巧。

圖 1. 簡諧振動系統示意圖

解常微分方程式得

，其中

不同物理系統，必須 建立不同類型的數 學方程式，因此必須 有不同的解方程式 技巧。

工程數學即用以解不同類型數學 方程式(理工領域)之一門學問，不 同方程式需要不同解題技巧。

振幅

相位

求解 x (工數技巧)

(四) 分析與應用(並解釋結果)

整理上式成

再利用以下參數作整理 (使式子更具物理意義，並方便寫電腦程式)

(a) 式

(b) 式

寫程式將(a)式與(b)式作電腦繪圖並分析其結果

上頁式子，分子分母同除以 k

自然頻率 臨界阻尼

阻尼係數

寫程式 run 出數 值，並電腦繪出 以下圖形

重要!!

解釋圖形曲線所代表的意義，並 據此了解實際產生的物理現象。

僅由數學分析即可獲得重要結 果，這就是學習數學的主要目的。

振幅趨近於無窮大(共振現象)

ωn

：自然頻率；ω

：操作頻率 強制振動無阻尼時，當ω

生共振現象，應該加以避免。

1. 增加阻尼 c 可以抑制共振。

2. 改變 m, k，即改變自然頻率ωn

。

。