L14 4.1 The Mean-value theorem (均值定理) 端點的可微性 Thm A Rolle's theorem
d
dx�tan �sin2�3x2− 1 x7+ x��
3 =
sec2�sin2�3x2− 1x7+ x�� ∙ 2 sin �3x2 − 1x7 + x� ∙ cos �3x2− 1x7+ x� ∙ (6x + 7x8+ 1) 3�tan �sin3 2�3x2− 1x7+ x��
Chapter4 § 4.1 The Mean-value theorem
Def:We say that f is diff. on [a,b], if f is diff. on (a,b),
and lim(h→a+)[f(x+h)-f(x)]/h exists and lim(h→b-)[f(x+h)-f(x)]/h exists.
口語：我們說函數在閉區間可微，如果函數在開區間可微，且 a 點割 線斜率的右極限存在和 b 點割線斜率的左極限存在。
Q:微分考慮誰的極限？A:割線斜率的極限
By the way √x, x>0 考慮在全極限連續，在端點連續則√x, x≥0，體材要擴充
ThmA:Let f be diff. at x0.
f'(x0)它原始意義該點割線斜率的極限，存在切線斜率的極限，可能>0、=0、<0
○1 If f'(x0)>0, 則∃ δ>0, s.t. �𝑓(𝑥) > 𝑓(𝑥0), 𝑖𝑓 𝑥 ∈ (𝑥0, 𝑥0+ 𝛿) 𝑓(𝑥) < 𝑓(𝑥0), 𝑖𝑓 𝑥 ∈ (𝑥0− 𝛿, 𝑥0). 口語：如果在該點的微分大於零，則會存在有一個數 δ，
以 δ 構造出來的右區間內，它的函數值大於該點函數值，和 以 δ 構造出來的左區間內，它的函數值小於該點函數值。
○2 If f'(x0)<0, 則∃ δ>0, s.t. �𝑓(𝑥) < 𝑓(𝑥0), 𝑖𝑓 𝑥 ∈ (𝑥0, 𝑥0+ 𝛿) 𝑓(𝑥) > 𝑓(𝑥0), 𝑖𝑓 𝑥 ∈ (𝑥0− 𝛿, 𝑥0). 口語：如果在該點的微分小於零，則會存在有一個數 δ，
以 δ 構造出來的右區間內，它的函數值小於該點函數值，和 以 δ 構造出來的左區間內，它的函數值大於該點函數值。
-δ x0 δ
f'(x)>0
L14 4.1 The Mean-value theorem (均值定理) 端點的可微性 Thm A Rolle's theorem
pf:
○1 by the way lim(x→c)f(x)=L, if ∀ ε>0,δ>0, s.t ∀ x in 0<|x-c|<δ, |f(x)-L|<ε.
∵ lim(h→0)[f(x0+h)-f(x0)]/h=f'(x0)>0
∴ ε=f'(x0), ∃ δ>0, s.t. ∀ h in 0<|h|<δ, |[f(x0+h)-f(x0)]/h-f'(x0)|< f'(x0)
⇒-f'(x0)<[f(x0+h)-f(x0)]/h-f'(x0)<f'(x0)
⇒0<[f(x0+h)-f(x0)]/h<2f'(x0)
If h∈(0,δ), then f(x0+h)-f(x0)>0⇒ f(x0+h)>f(x0).
If h∈(-δ,0), then f(x0+h)-f(x0)<0⇒ f(x0+h)<f(x0).
Q:可不可以對不等式取極限？A:不行，除非不等式極限已經存在。
Thm:(Rolle's theorem)
Let f:[a,b]→ℝ be a function.
If f is cont. on [a,b] and diff. on (a,b) and f(a)=f(b)(=0), then ∃ c∈(a,b), s.t. f'(c)=0.
口語：Rolle's theorem
如果有一個函數在 ab 閉區間上連續且 ab 開區間上可微，且在端點相 等(取值為 0)，則在 ab 開區間內存在有一個 c，使得該點微分等於 0。
By the way~定理有名稱，用到它一定要寫出來。
By the way~assume 假設、Let 令、Take 取
Q:你們班不是所有人都十八歲什麼意思？A:則有人不是十八歲
~數學的邏輯是生活經驗，數學的內容是離開生活。
L14 4.1 The Mean-value theorem (均值定理) 端點的可微性 Thm A Rolle's theorem
pf:
If f(x)≡0 on [a,b]. we have this theorem.
assume f(x)≢0, then ∃ x0∈[a,b], s.t. f(x0)≠0.say f(x0)>(<)0極值定理 Q:要用極大還極小？A:因為假設 f(x0)>0。
∵ f is cont. on [a,b].
∴ By Extreme value Thm. ∃ c∈[a,b], s.t. f(c)=sup(inf)(x∈[a,b])f(x).
⇒f(c)(≥f(x0))>(<)0
⇒c ∈(a,b) c 在 ab 閉區間取的，c 不等於 ab
⇒f is diff. at c. 條件講的
Claim f'(c)=0. pf of claim 宣言或宣稱，在證明過程中常用的技巧。
By the way~c∈(a,b)在中間過程已經寫了。
Q:怎麼去證這點微分等於 0？
A:第一函數沒有給、第二這點沒有給，沒辦法證，只好利用反證法
assume f'(c)≠0, say f'(c)>(<)0 By thmA，取右邊區間，得矛盾。
By thm A, ∃ x1∈[a,b], s.t. f(x1)>(<)f(c).→←有一點比 f(c)大(小)，得矛盾。
Q:為什麼會有矛盾？A:因為假設錯誤
Therefore f'(c)=0
By the way~最高分 99、90 幾也有滿多，低分的很多，10 幾分也一票人，兩極化。
cor:取值為零可以拿掉，從證明過程中可以知道。
改成≡f(a)或≢f(a)，如果改的出來就是真的懂了。
