第壹部分：選擇題(占65分) 一、單選題

第壹部分：選擇題(占 65 分)

一、單選題(占 30 分)

說明：第 1 題至第 6 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請 畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得 5 分；答錯、未作 答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。

1. 等差數列 a_n 中共有 13 個項。此數列所有項的算術平均數為 6，現從中刪去兩個項，使剩下的 11 個項之算術平均數亦為 6。已知刪去者之其中一項為a ， 則 刪 去 之 另 一 項 為 原 數 列₉ a_n 的第 k 項，求 k 值為？

(1) 2 (2) 3 (3) 4 (4) 5 (5) 6

2. 如圖(1)所示，今要在某燈飾上的 6 個點 A、B、C、D、E、F 上各裝上一個燈泡，為了使燈光的變 化多彩，在同一曲線段兩端分別採用不同顏色的燈泡。若現在有紅、綠、藍 3 種不同顏色的燈泡 可供選用(每種顏色的燈泡數量均足夠多)，則此燈飾共有多少種不同的安裝方法？

(1) 3 種 (2) 6 種 (3) 12 種 (4) 18 種 (5) 24 種

3. 函數 x

x x

f 2 log₃ )

( =− + 的圖形與 x 軸的一個交點落在下列哪兩個實數之間？

(1) 0 與 1 之間 (2) 1 與 2 之間 (3) 2 與 3 之間 (4) 3 與 4 之間 (5) 4 與 5 之間

圖(1)

4. 對任意實數 x， f(x)= x+1 − x−1 的最大值與最小值的和等於下列哪一個選項？

(1) 0 (2) 1 (3) 2 (4) 4 (5) 不存在

5. 圓心在直線 L：x− y=2上，且與直線L ：₁ 2x− y+2=0，L ：₂ x− y2 =0均相切的圓有多少個？

(1) 0 個 (2) 1 個 (3) 2 個 (4) 3 個 (5) 無限多個

6. 某一個盒子中共有 12 個球，其中有 3 個 1 號球，9 個 2 號球。假設每個球被取到的機率相同且 P 表示從盒子中一次取出1 3 個球，取出的三球恰有兩個是 1 號球的機率

P 表示從盒子中每次取出一球，取後放回，依次取出2 3 球，取出的球三次中恰有兩次是 1 號球的 機率

P 表示從盒子中每次取出一球，取後不放回，依次取出3 3 球，取出的球三次中恰有兩次是 1 號球 的機率

試問下列哪一個選項是正確的？

(1) P₁=P₂=P₃ (2) P₁>P₂=P₃ (3) P₁=P₂>P₃ (4) P₁<P₂<P₃ (5) P₁=P₃<P₂

二、多選題(占 35 分)

說明：第 7 題至第 13 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正 確選項畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有 選項均答對者，得 5 分；答錯 1 個選項者，得 3 分；答錯 2 個選項者，得 1 分；

答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

7. 對於坐標空間中一直線 L：

3 1 2

2 3 −

− =

= +

+ y z

x 。下列哪些選項是正確的？

(1) 點(2,3,−1)在 L 上 (2) L 與

1 1 2

3 1

2 −

+ = + = y z

x 垂直

(3) L 與





= + +

= + +

0 7 2 3

0 7 2

z y

y

x 重合

(4) L 與平面x−2y+3z−4=0平行 (5) L 與 x 軸互為歪斜線

8. 下列哪些選項是正確的？

(1) 0.8³>0.7³

(2) log_0.50.7>log_0.50.8 (3) 0.8^−0.7<0.8^0.7 (4) log0.8>log0.7 (5) 8^0.3>7^0.3

9. 下列各選項中，哪些選項中的兩組解完全相同？

(1) 不等式x²≥9與不等式 x ≥3

(2) 不等式x²+ x+1>0與不等式x³−1>x−1 (3) 不等式 x

x <

+ 2

3 與不等式3<x(x+2)

(4) 不等式 2

3

2 2 <

+ x − x

x 與不等式2x²− x5 +6>0

(5) 不等式 0 2 3≤ +

− x

x 與不等式(x+2)(x−3)³≤0

10. 設平面上兩直線





= + +

− +

= + + +

0 3 ) 2 ( ) 2 3 (

0 5 5 ) 1 2 (

2 1

y m x m L

my x m L

：

： 的交點為(x₀,y₀)，其中x 的值恰為₀ y 值的₀ 2 倍。下

列哪些選項是正確的？

(1) m=−2

(2) 直線L 不經過第二象限 ₁ (3) 直線L 與直線₁ L 的夾角為₂ 90°

(4) 交點(x₀,y₀)在第一象限 (5) 交點(x₀,y₀)到原點的距離為

4 5

11. 已知 f(x)=ax²+bx+c為實係數多項式函數，且滿足−2≤f(11)≤1，−3≤f(12)≤−1，−1≤f(14)≤3。 下列哪些選項是正確的？

(1) f(15)=1×f(11)+2×f(12)+2×f(14) (2) f(15)的最小值為 10−

(3) f(15)的最大值為 13

(4) 當 f(11)=1， f(12)=−3， f(14)=3時， f(15)有最大值 (5) 當 f(11)=−2， f(12)=−3， f(14)=−1時， f(15)有最小值

12. 轉移矩陣須滿足下列兩條件：(a)該矩陣的每一個元均為非負實數，(b)該矩陣的每一行各元的和都 等於 1。已知二階方陣 A 為轉移矩陣，若 



 



=



 





2 1 2 1

c c b

A b ，其中b 、₁ b 均為非負實數且₂ b₁+ b₂=1。下

列哪些選項是正確的？

(1) c 、₁ c 均為非負實數且₂ c₁+ c₂ =1 (2) c₁²+ c₂²≤1

(3) b₁²+b₂² =c₁²+c₂² (4) detA ≤1

(5) 若二階方陣 B 為轉移矩陣，則 AB 亦為轉移矩陣

13. 海水的溫度主要取決於太陽輻射，溫度隨著水深不同而改變，為了研究某海域水深對溫度的影 響 ， 經 過 實 地 測 量 得 到 六 組(水深,溫度)的 數 據 資 料 如 下 ：(500,8.5)、(600,7.5)、(700,6.3)、

) 2 . 5 , 800

( 、(900,4.5)、(1000,2.8)，其中測量單位分別為公尺和攝氏溫度。將此筆資料的相關係 數記為 r，以最小平方法決定溫度對水深的迴歸直線斜率記為 m。現將單位轉換為呎(一呎約等於 0.3048 公尺)及華氏溫度(攝氏 x 度等於華氏 32

5

9x+ 度)，若單位換算後該資料的相關係數記為 r'，

以最小平方法決定溫度對水深的迴歸直線斜率記為 m'。下列關係式有哪些是正確的？

(1) rm>0 (2) m' >0 (3) m'>m (4) r=r' (5) m=m'

第貳部分：選填題(占 35 分)

說明：1. 第 A 至 G 題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的 列號(14~28)。

2. 每題完全答對給 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A. 平面上二點 A、B 的極坐標分別為A

[

]

[

]

試求 OM 的長度 = 　　

。(化為最簡根式)

B. 在直角坐標平面上由不等式組







≤

≤

≤

≤

y x y

x

2 2 2

2 0

所決定的區域 D，若M(x,y)為 D 上的動點，點 A 的坐標

為(2, 2)，則 的最大值為 ○¹⁷ 。

○¹⁴○¹⁵

○¹⁶

C. 如圖(2)所示，有一邊長為 1 的正方形 ABCD，今置頂點 A 於坐標平面上的原 點(0,0)，置頂點 C 於直線為 y=2x上且點 C 在第一象限，則 B 點的 y 坐標為 　　

。(化為最簡根式)

D. 在∆ABC中 ， ∠ 、A ∠ 、B ∠ 所 對 的 邊 分 別 為 a、 b、 c。 若C ∆ABC面 積 為 96 且

3 4 cos

cos = = a b B

A ，

則 c 的長度為 ○²²○²³ 。

E. 設 、 、 為坐標空間中三向量，並以 表示 與 的外積。若 ， ，且 在

上之正射影向量為(5,−5,−5)，則由 、 、 三向量所張的平行六面體的體積為 ○²⁴○²⁵ 。

F. 設 k 為一常數，已知 P 為橢圓 1 Γ 9

2 2

1 + y =

k

：x 與雙曲線 1

18 Γ 9

2 2

2 =

− − k

y

：x 之一交點。若

F 、1 F 為橢₂ 圓Γ 的兩個焦點，且1 PF₁：PF₂ =4：1，則雙曲線

Γ 兩個焦點的距離為 ○2 ²⁶ 。

G. 在一個不透明的箱子中有編號為 1 至 10 的球，假設從中取出任何一顆球的機率均相等，現由甲乙 兩人進行取球的遊戲，從甲開始依甲、乙、甲、乙、……順序取球，每次取一球，取後不放回，

當出現球號為 3 的倍數時，遊戲停止並由最後一位取球者獲得勝利。若已知取出第五顆球時勝負 決定，則取球過程中恰出現 2 個奇數號球的機率為 ○²⁷ 。(化為最簡分數)

○²⁸

圖(2)

○¹⁸○¹⁹

○²⁰○²¹

可能用到的參考公式及數值

1. 參考數值：log₁₀2≈0.3010、log₁₀3≈0.4771、log₁₀7≈0.8451

2. 通過(x₁,y₁)與(x₂,y₂)的直線斜率

1 2

1 2

x x

y m y

−

= − ，x₂≠x₁

3. 首項為 a 且公比為 r 的等比數列前 n 項之和

r r S a

n

n −

= − 1

) 1

( ，_r≠1

4. 三角函數的和角公式：sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，

B A

B B A

A 1 tan tan tan ) tan

tan( −

= + + B

A B A B

A ) cos cos sin sin cos( + = −

5. ∆ABC的正弦定理：

R c

C b

B a

A

2 1 sin sin

sin = = = ，R 是外接圓半徑

ABC

∆ 的餘弦定理：c²=a²+b²−2abcosC

6. 分點公式：若 P 點在 AB 上，且AP：PB=m：n，O 為任意一點，則

7. 標準差：

∑ ∑

=

=

−

=

−

=

n

i i n

i

i x

x n

n ₁

2 2 1

2 1

) 1 (

µ µ

σ

8. 相關係數：

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

−

−

−

−

=

=

n

i i n

i i n

i

i i n

i i i

y y x

x

y y x x n

y x r

1

2 1

2 1 1

) ( ) (

) )(

( '

'

9. 迴歸直線： ( )

) (

) )(

(

1

2

1 x x

x x

y y x x y

y _n

i i n

i

i i

−

−

−

−

=

−

∑

∑

=

=