• 沒有找到結果。

第壹部分:選擇題(占60分) 一、單選題

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "第壹部分:選擇題(占60分) 一、單選題"

Copied!
7
0
0

加載中.... (立即查看全文)

全文

(1)

第壹部分:選擇題(占 60 分)

一、單選題(占 30 分)

說明:第 1 題至第 6 題,每題 5 個選項,其中只有一個是最適當的答案,畫記在答案 卡之「解答欄」。各題答對得 5 分;未作答、答錯或畫記多於一個選項者,該 題以零分計算。

1. 在某個應用數學歸納法進行證明的習題解答中,Z1Z2、…、Zn、…等複數(n>1),恰能滿足Z1=1, 且Zk+1=ikZk+1(k為任何一個正整數,i= −1)等條件。請問:此時Z20的值會是下列哪一個選項?

(1) − i (2) 1+i

(3) 0 (4) 1

(5) 條件不足,無法判定

2. 設方程式log3x+2log3(1−x)=log32 的實根個數為 k,則 k 之值為

(1) 0 (2) 1

(3) 2 (4) 3

(5) 4

3. 右圖為某函數p(x)=x4+ax3+bx2+cx+d 的圖形,

請問:下列五個選項中的數值,何者最小?

(1) p(−1)

(2) p(x)的係數總和 (3) p(x)=0的實根總和 (4) p(x)=0的所有根乘積 (5) p(x)=0的虛根乘積

(2)

4. 已知無窮級數 L

L L +

+ + + + + +

+ + + +

n a a

a a

2 1 3

2 1 2

1 的和為 10000,則可反推 a 之值為

(1) 625 (2) 1250

(3) 2500 (4) 5000

(5) 7500

5. 設複數平面上有兩個複數 A 與 B,其中A=3−4iB=cosθisinθ,已知乘積 AB 落在複數平面上 虛數軸(y 軸)右方的實數軸(x 軸),則 B 的位置應該是落在複數平面的第幾象限內?

(1) 第一象限 (2) 第二象限 (3) 第三象限 (4) 第四象限

(5) 條件不足,無法判定

6. 有一張長方形色紙 ABCD,其中 AD 的長度為 4。這張紙被人將一角( BCD∠ )折起,使得頂點 C 落 在另一邊 AB 上,如右圖所示。設折痕為 DE (E 在原色紙一邊 BC 上),且∠CDE=θ,那麼下列各 選項中,哪一個式子可以用來表示 DE 的長度?

(1) 4sinθsecθ (2) 4sinθcosθ (3) 2secθcscθ (4) 2sec2θcscθ (5) 2secθcsc2θ

(3)

二、多選題(占 30 分)

說明:第 7 題至第 12 題,每題有 5 個選項,其中至少有一個是正確的選項,選出正 確選項畫記在答案卡之「解答欄」。各題之選項獨立判定,所有選項均答對者,

得 5 分;答錯 1 個選項者,得 3 分;答錯 2 個選項者,得 1 分;所有選項均未 作答或答錯多於 2 個選項者,該題以零分計算。

7. 下列各項有關函數 y= f(x)=4sin2x−3cos2x+5之圖形的敘述,哪些是正確的?

(1) 此函數圖形的週期為2 π (2) −5≤ f(x)≤5

(3) 此函數圖形與 y 軸交於點(0,2)

(4) 此函數圖形與 x 軸的交點有無限多個 (5) 此函數圖形對稱於 x 軸

8. 已 知 2 和 i+1為 三 次 方 程 式 x3+ax2+bx−4=0 的 兩 個 根 , 其 中 a 、 b 為 實 數 。 如 果 令 4

)

(x =x3+ax2+bx

f ,試問下列各選項何者正確?

(1) a<0 (2) b<0 (3) f(i−1)=0 (4) f(a+ b)=0 (5) f(1)f(4)>0

(4)

9. 小丸子在她姊姊的數學課本中看到兩組等差數列,分別是由 1,4,7,10,…,1000 所構成的數列〈an〉, 以及由 11,21,31,41,…,1001 所構成的數列〈bn〉。小丸子在把玩一番後發現,竟然有一些數字可以同 時出現在這兩組數列中!如果將上述兩組數列裡的共同項抽出來做為一組新數列〈cn〉,則下列關 於〈cn〉的各項敘述,哪些是正確的?

(1) 〈cn〉中的首項為 61 (2) 〈cn〉中的末項為 991 (3) 〈cn〉中共有 32 項 (4) 數列〈cn〉的總和為 16863 (5) 數列〈cn〉的總和為 16833

10. 設三實數 a、b、c,已知二次函數 f(x)=ax2+bx+c的圖形通過點(0,−2)且與 x 軸不相交;又對任 意實數 t 而言, f(−t−1)= f(t+3)恆成立,則下列選項何者正確?

(1) a>0 (2) a+ b<0 (3) b+ c>0 (4) b2 + ac4 <0 (5) f(−1)> f(4)

11. 設非零整數 a、b,已知對任意非零整數 m 而言,a 除以 m 所得到的餘數與 b 除以 m 的餘數相等時,

記為「ab」,此時m (ab),亦即ab必為 m 的倍數;另一方面,形如a+bi的複數又可用坐 標平面上的一個點( ba, )表示。請問:下列關於整數 a、b 的各項敘述中,哪些是正確的?

(1) 若ab,則 a、m 的最大公因數等於 b、m 的最大公因數 (2) 當 c 為另一非零整數時,若cacb,則ab

(3) 若已知某方程式ax+ by+1=0在坐標平面上的圖形不通過第三象限,則複數平面上的兩複數 bi

a+ 與b+i必不在同一象限中

(4) 如果在複數平面上將滿足 (a−1)+(b−1)i = a+bi 的複數a+bi全都標示出來,這樣所形成的 圖形恰為兩個點

(5) 若ab,則 a− b ≥1

(5)

12. 設 ABC∆ ,其中AB=3,AC=5,BC=6,而 BAC的角平分線 AD 交 BC 於 D 點。若 E 點為 AC 上 之動點,則當 E 點移動到 DE 有最小長度之位置時,下列各相關數值何者正確?

(1) 4

=15 BD

(2) ∆ABC的面積為 142 (3) ∆ABC的外接圓半徑為

7 14 2

(4) 2

= 14 DE (5) 4

= 105 AD

第貳部分:選填題(占 40 分)

說明:1. 第 A 至 H 題,將答案畫記在答案卡之「解答欄」所標示的列號(13~33)。

2. 每題完全答對給 5 分,答錯不倒扣,未完全答對不給分。

A. 設

n n

n

S 1n 4 9 256

+ + + +

= L ,其中 n 為正整數,那麼使得 S 之值為整數的 n 共有 ○1314 個。

B. 有長度為 600 公分的繩子一條,切取

43 圍成一個正三角形,令此三角形面積為S1,再從餘下的 41 中 切取43 圍成第二個正三角形,令此三角形面積為S2,如此持續做下去。如果前述程序永遠進行而 不中斷,則S1S2、…、Sn、…等正三角形面積之總和為 ○15161718 平方公分。

C. 已知複數 1 1 +

z

z 的實部為 0,則 z 為 ○20

19

(6)

D. 已知藥物 A 注入某種生物體 t 小時後,在該生物體內所量到之 A 殘餘量為 f(t)公克;又由實驗數 據發現,若令

x = t

y = log f ( t )

,則數對(x,y)在坐標平面上的圖形恰好是直線y=abx的一部分。

今將藥物 A 注入前述生物體中,於稍後第 1 小時及第 3 小時量得之殘餘量分別為 2 公克及 0.08 公 克,那麼根據實驗與測量結果,可推論當初注入該生物體的藥物 A 應為 ○2122 公克。

E. 設一次多項式 px+r為多項式(x−1)10除以x2 +1的餘式,其中 p、r 都是實數,則pr之值為 ○232425

F. 設

0 π6 θ<

< ,若 1+log2cosθ + 1+log2sinθ =2,則tanθ = ○26.○2728

G. 設 A、B、O 為複數平面上三點,分別表示複數αβ、0。若αβ 同時滿足 α−3 =1β =(−1+i)α則 ABO∆ 面積的最大值與最小值總和為 ○2930

H. 設k =2011090602, k a k1)

1 ( +

= , 1) 1

1 ( + +

= k

b k ,則 a b

b

a 112

之值為 ○313233

(7)

可能用到的參考公式及數值

1. 一元二次方程式ax2 +bx+c=0的公式解:

a ac b x b

2

2 4

±

=−

2. 平面上兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)間距離為 2 1 2 2

1 2 2

1P (x x ) (y y )

P = − + −

3. 通過(x1,y1)與(x2,y2)的直線斜率

1 2

1 2

x x

y m y

= − ,x2x1

4. 首項為 a 且公比為 r 的等比數列前 n 項之和

r r S a

n

n

= − 1

) 1

( ,

r 1

5. 三角函數的和角公式:

A B B A B

A ) sin cos sin cos

sin( + = +

B A B A B

A ) cos cos sin sin

cos( + = −

6.

ABC

的正弦定理:

c C b

B a

A sin sin sin = =

ABC的餘弦定理:c2 =a2+b2−2abcosC

7. 棣美弗定理:設z=r(cosθ+isinθ),則zn =rn(cosnθ+isinnθ)

參考文獻

相關文件

正誤題 清單 口頭提問 攝影作品 歌唱 日記及日誌 配對 問卷 口頭訪問 美工展品 舞蹈表演 學習紀錄 多項選擇題 閱讀 說故事 電腦圖像 樂器演奏 作品選輯. 填充題 書評

在選擇合 適的策略 解決 數學問題 時,能與 別人溝通 、磋商及 作出 協調(例 如在解決 幾何問題 時在演繹 法或 分析法之 間進行選 擇,以及 與小組成 員商 討統計研

在選擇合 適的策略 解決 數學問題 時,能與 別人溝通 、磋商及 作出 協調(例 如在解決 幾何問題 時在演繹 法或 分析法之 間進行選 擇,以及 與小組成 員商 討統計研

• 選課指導:在指導學生選修單元 時,教師要判斷選修部分中哪些

智慧型手機的 Android

在產婦住房資料部分,會選擇來此坐月子中心,大概可分幾種理由,而首推

舉例而言,若某年度指考國文取材自教材選文的試題總占分為 30 分,則其中出自 B 類選文的試題,以不高於 12 分(30 分的 40%)為原則;出自 C 類選文的試題,以不 高於

[r]