第壹部分:選擇題(占 60 分)
一、單選題(占 30 分)
說明:第 1 題至第 6 題,每題 5 個選項,其中只有一個是最適當的答案,畫記在答案 卡之「解答欄」。各題答對得 5 分;未作答、答錯或畫記多於一個選項者,該 題以零分計算。
1. 在某個應用數學歸納法進行證明的習題解答中,Z1、Z2、…、Zn、…等複數(n>1),恰能滿足Z1=1, 且Zk+1=ik⋅Zk+1(k為任何一個正整數,i= −1)等條件。請問:此時Z20的值會是下列哪一個選項?
(1) − i (2) 1+i
(3) 0 (4) 1
(5) 條件不足,無法判定
2. 設方程式log3x+2log3(1−x)=log32 的實根個數為 k,則 k 之值為
(1) 0 (2) 1
(3) 2 (4) 3
(5) 4
3. 右圖為某函數p(x)=x4+ax3+bx2+cx+d 的圖形,
請問:下列五個選項中的數值,何者最小?
(1) p(−1)
(2) p(x)的係數總和 (3) p(x)=0的實根總和 (4) p(x)=0的所有根乘積 (5) p(x)=0的虛根乘積
4. 已知無窮級數 L
L L +
+ + + + + +
+ + + +
n a a
a a
2 1 3
2 1 2
1 的和為 10000,則可反推 a 之值為
(1) 625 (2) 1250
(3) 2500 (4) 5000
(5) 7500
5. 設複數平面上有兩個複數 A 與 B,其中A=3−4i,B=cosθ−isinθ,已知乘積 AB 落在複數平面上 虛數軸(y 軸)右方的實數軸(x 軸),則 B 的位置應該是落在複數平面的第幾象限內?
(1) 第一象限 (2) 第二象限 (3) 第三象限 (4) 第四象限
(5) 條件不足,無法判定
6. 有一張長方形色紙 ABCD,其中 AD 的長度為 4。這張紙被人將一角( BCD∠ )折起,使得頂點 C 落 在另一邊 AB 上,如右圖所示。設折痕為 DE (E 在原色紙一邊 BC 上),且∠CDE=θ,那麼下列各 選項中,哪一個式子可以用來表示 DE 的長度?
(1) 4sinθsecθ (2) 4sinθcosθ (3) 2secθcscθ (4) 2sec2θcscθ (5) 2secθcsc2θ
二、多選題(占 30 分)
說明:第 7 題至第 12 題,每題有 5 個選項,其中至少有一個是正確的選項,選出正 確選項畫記在答案卡之「解答欄」。各題之選項獨立判定,所有選項均答對者,
得 5 分;答錯 1 個選項者,得 3 分;答錯 2 個選項者,得 1 分;所有選項均未 作答或答錯多於 2 個選項者,該題以零分計算。
7. 下列各項有關函數 y= f(x)=4sin2x−3cos2x+5之圖形的敘述,哪些是正確的?
(1) 此函數圖形的週期為2 π (2) −5≤ f(x)≤5
(3) 此函數圖形與 y 軸交於點(0,2)
(4) 此函數圖形與 x 軸的交點有無限多個 (5) 此函數圖形對稱於 x 軸
8. 已 知 2 和 i+1為 三 次 方 程 式 x3+ax2+bx−4=0 的 兩 個 根 , 其 中 a 、 b 為 實 數 。 如 果 令 4
)
(x =x3+ax2+bx−
f ,試問下列各選項何者正確?
(1) a<0 (2) b<0 (3) f(i−1)=0 (4) f(a+ b)=0 (5) f(1)f(4)>0
9. 小丸子在她姊姊的數學課本中看到兩組等差數列,分別是由 1,4,7,10,…,1000 所構成的數列〈an〉, 以及由 11,21,31,41,…,1001 所構成的數列〈bn〉。小丸子在把玩一番後發現,竟然有一些數字可以同 時出現在這兩組數列中!如果將上述兩組數列裡的共同項抽出來做為一組新數列〈cn〉,則下列關 於〈cn〉的各項敘述,哪些是正確的?
(1) 〈cn〉中的首項為 61 (2) 〈cn〉中的末項為 991 (3) 〈cn〉中共有 32 項 (4) 數列〈cn〉的總和為 16863 (5) 數列〈cn〉的總和為 16833
10. 設三實數 a、b、c,已知二次函數 f(x)=ax2+bx+c的圖形通過點(0,−2)且與 x 軸不相交;又對任 意實數 t 而言, f(−t−1)= f(t+3)恆成立,則下列選項何者正確?
(1) a>0 (2) a+ b<0 (3) b+ c>0 (4) b2 + ac4 <0 (5) f(−1)> f(4)
11. 設非零整數 a、b,已知對任意非零整數 m 而言,a 除以 m 所得到的餘數與 b 除以 m 的餘數相等時,
記為「a∞b」,此時m (a−b),亦即a−b必為 m 的倍數;另一方面,形如a+bi的複數又可用坐 標平面上的一個點( ba, )表示。請問:下列關於整數 a、b 的各項敘述中,哪些是正確的?
(1) 若a∞b,則 a、m 的最大公因數等於 b、m 的最大公因數 (2) 當 c 為另一非零整數時,若ca∞cb,則a∞ b
(3) 若已知某方程式ax+ by+1=0在坐標平面上的圖形不通過第三象限,則複數平面上的兩複數 bi
a+ 與b+i必不在同一象限中
(4) 如果在複數平面上將滿足 (a−1)+(b−1)i = a+bi 的複數a+bi全都標示出來,這樣所形成的 圖形恰為兩個點
(5) 若a≠b,則 a− b ≥1
12. 設 ABC∆ ,其中AB=3,AC=5,BC=6,而 BAC∠ 的角平分線 AD 交 BC 於 D 點。若 E 點為 AC 上 之動點,則當 E 點移動到 DE 有最小長度之位置時,下列各相關數值何者正確?
(1) 4
=15 BD
(2) ∆ABC的面積為 142 (3) ∆ABC的外接圓半徑為
7 14 2
(4) 2
= 14 DE (5) 4
= 105 AD
第貳部分:選填題(占 40 分)
說明:1. 第 A 至 H 題,將答案畫記在答案卡之「解答欄」所標示的列號(13~33)。
2. 每題完全答對給 5 分,答錯不倒扣,未完全答對不給分。
A. 設
n n
n
S 1n 4 9 256
+ + + +
= L ,其中 n 為正整數,那麼使得 S 之值為整數的 n 共有 ○13○14 個。
B. 有長度為 600 公分的繩子一條,切取
43 圍成一個正三角形,令此三角形面積為S1,再從餘下的 41 中 切取43 圍成第二個正三角形,令此三角形面積為S2,如此持續做下去。如果前述程序永遠進行而 不中斷,則S1、S2、…、Sn、…等正三角形面積之總和為 ○15○16○17○18 平方公分。
C. 已知複數 1 1 +
− z
z 的實部為 0,則 z 為 ○20 。
○19
D. 已知藥物 A 注入某種生物體 t 小時後,在該生物體內所量到之 A 殘餘量為 f(t)公克;又由實驗數 據發現,若令
x = t
,y = log f ( t )
,則數對(x,y)在坐標平面上的圖形恰好是直線y=a−bx的一部分。今將藥物 A 注入前述生物體中,於稍後第 1 小時及第 3 小時量得之殘餘量分別為 2 公克及 0.08 公 克,那麼根據實驗與測量結果,可推論當初注入該生物體的藥物 A 應為 ○21○22 公克。
E. 設一次多項式 px+r為多項式(x−1)10除以x2 +1的餘式,其中 p、r 都是實數,則p−r之值為 ○23○24○25 。
F. 設
0 π6 θ<
< ,若 1+log2cosθ + 1+log2sinθ =2,則tanθ = ○26.○27○28 。
G. 設 A、B、O 為複數平面上三點,分別表示複數α、β、0。若α、β 同時滿足 α−3 =1和β =(−1+i)α, 則 ABO∆ 面積的最大值與最小值總和為 ○29○30 。
H. 設k =2011090602, k a k1)
1 ( +
= , 1) 1
1 ( + +
= k
b k ,則 a b
b
⋅a 112
之值為 ○31○32○33 。
可能用到的參考公式及數值
1. 一元二次方程式ax2 +bx+c=0的公式解:
a ac b x b
2
2 4
−
±
=−
2. 平面上兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)間距離為 2 1 2 2
1 2 2
1P (x x ) (y y )
P = − + −
3. 通過(x1,y1)與(x2,y2)的直線斜率
1 2
1 2
x x
y m y
−
= − ,x2 ≠x1
4. 首項為 a 且公比為 r 的等比數列前 n 項之和
r r S a
n
n −
= − 1
) 1
( ,
r ≠ 1
5. 三角函數的和角公式:
A B B A B
A ) sin cos sin cos
sin( + = +
B A B A B
A ) cos cos sin sin
cos( + = −
6.
∆ ABC
的正弦定理:c C b
B a
A sin sin sin = =
∆ABC的餘弦定理:c2 =a2+b2−2abcosC
7. 棣美弗定理:設z=r(cosθ+isinθ),則zn =rn(cosnθ+isinnθ)