※將粗框(灰底)的表格畫在答案紙上並填入對應的答案,每個答案 1 分。
6. 高斯定理 2D (6%) (a)C C C1 2 3r n ds
1
1
3 0
: 0, 1
( , ) 0, 1 0
0
0 0
C
C n
r n x y y x s r n
y r nds ds
2
2
5 0
: 4,3
3 3 5 12 ( , ) 4,3 4 3
4 5
5 12 12
5
C
C n
x s
r n x y x y r n
y s
r nds ds
3
1 2 3
3
4 0
: 1,0
( , ) 1,0 0 0
4
0 0
0#
C
C C C
C n
r n x y x x r n
y s
r nds ds r n ds
(b) r dA
4 3 3 4
0 0 2
0 12 0 12#
r dA y dxdy
(c)C2r n ds
2
2
5 0
: 4,3
3 3 5 12 ( , ) 4,3 4 3
4 5
5 12 12
5 #
C
C n
x s
r n x y x y r n
y s
r nds ds
(d)(0,0)
到L 線的高為多少? H 點的座標?
12 48 36 , , 5 # 25 25#
(e)說明為何國小老師告訴我們三角形面積 1
2底底 而不是1 3底底
# 2
r
高斯定理3D (6%)
(a)S S1 2 S S3 4r n dS
1 1
2 2
3 3
1
4 3 3 4 0 0
2
5 4 4 5 0 0
3
5 3 3 5 0 0
4
: dA
0 0 =0
: dA
0 0 =0
: dA
0 0 =0
20 15 12
: , ,
769 769 769
y
S S
z
S S
z
S S
S n kdxdy
r n dS dxdy dxdy
S n idydz
r n dS dydz dydz
S n jdxdz
r n dS dxdz dxdz
S n
4 4
4
1 2 3 4
S S S S
20 15 12
( , , ) , ,
769 769 769
60 60 769
2 30
769 769
30#
S S
S
r n dS x y z dS
dS r n dS
(b) r dV
3 5 5
4 - 3 5
4 4 3
0 0 0
3
3 30#
y y x
r dV xi yj zk dV dV
dzdxdy
(c)S4r n dS
4 4
4
4
20 15 12
: , ,
769 769 769
20 15 12
( , , ) , ,
769 769 769
60 60 769 #
2 30
769 769
S S
S
S n
r n dS x y z dS
dS
(d)(0,0, 0) S對的高或是到點的距離4 H
?
1 1 1
1 1 1
2 2 2
20 15 12
( , , ), ( , , )
769 769 769
20 15 12
769 769 769 60
20 15 12 769
769
#
769 769
P x y z n
x y z
OH PO n n
底 底 底底底 底 底
(e) H 點的座標?
20 15 12
, ,
60 769 769 769 1200 900 720
(0,0,0) , ,
1 769 769 769
76 #
H 9
(f)說明為何四面體體積 1
3底面積 高 而不是 1 4底高 r 3#