高中數學(一)習作甲 第 3 章 指數與對數函數 1
第 3 章 綜合演練
基礎題
1. 設 a 是不為 1 的正數，下列哪些性質是指數函數 f（x）＝ax的特性？（10 分）
(A)函數圖形通過點（0﹐1）
(B)是一遞增函數
(C)函數 f（x）＝ax與 f（x）＝a－x的圖形對稱於 y 軸 (D)函數圖形與任一水平線 y＝k 都有一交點
(E)函數圖形與任一鉛垂線 x＝h 都有一交點 解 (A)○：a 不為 0，規定 a0＝1，故過點（0﹐1）
(B)×：0＜a＜1 時，f（x）＝ax為遞減函數 a＞1 時，f（x）＝ax為遞增函數
(C)○：設 P（x0﹐y0）在 f（x）＝ax的圖形上，得 y0＝a ＝x0 a－（－ ）x0
因而 Q（－x0﹐y0）在 f（x）＝a－x的圖形上，故兩函數的圖形對稱於 y 軸 (D)×：a 為正數，指數 ax的函數值恆為正，故當 k 0 時，y＝k 與 f（x）＝ax的圖形沒
有交點
(E)○：指數函數f（x）＝ax的定義域為所有實數，
故對於任一 x＝h 而言，都有一個相對應的函數值 故選(A)(C)(E)
2. 某種細菌最初的數量是 500 隻，而後每天分裂使細菌數量加倍，則 6.5 天後的細菌數為 隻。（ 2 1.414）（4 分）
解 以 f（t）表 t 天後的細菌數，則有：
t 0 1 2 3 f（t） 500 1000 2000 4000
f（t）以 t 的式子表示為 f（t）＝500．2t
f（6.5）＝500．26.5＝32000 2 45248 故 6.5 天後的細菌數約 45248 隻
3. 函數y＝4x與 y＝23x＋2的圖形之交點坐標為 。（4 分）
解 由 3 2
4 2
x x
y y
L L L L L L L L L
＋
＝
＝
得 4x＝23x＋2
22x＝23x＋2 2x＝3x＋2 x＝－2 代入得 y＝4－2＝ 1
16
故交點坐標為 1
2 16
－ ，
4. 若 9x－3x＋1－4＞0，則 x 的範圍為 。（4 分）
解 令 3x＝t，其中 t＞0，則原式可改寫為 t2－3t－4＞0
（t－4）（t＋1）＞0
t＞4 或 t＜－1（不合）
3x＞4 log33x＞log34
x＞log34
5. 設a 是不為 1 的正數，下列哪些性質是對數函數 f（x）＝logax 的特性？（10 分）
高中數學(一)習作甲 第 3 章 指數與對數函數 2
(A)函數圖形通過點（1﹐0）
(B)是一遞增函數
(C)函數f（x）＝logax 與 f（x）＝log1
a
x 的圖形對稱於 x 軸 (D)函數圖形與任一水平線y＝k 都有一交點
(E)函數圖形與任一鉛垂線x＝h 都有一交點 解 (A)○：因 loga1＝0，故過點（1﹐0）
(B)×：0＜a＜1 時，f（x）＝logax 為遞減函數 a＞1 時，f（x）＝logax 為遞增函數
(C)○：設P（x0﹐y0）在 f（x）＝logax 的圖形上，得 y0＝logax0 於是log1 0
a
x ＝log 0 log 1
a
a
x a
＝－logax0＝－y0
因而 Q（x0﹐－y0）在 f（x）＝log1
a
x 的圖形上，故兩函數的圖形對稱於 x 軸 (D)○：對數函數為一對一函數且其值域為所有實數，
故函數圖形與任一水平線 y＝k 都有唯一的交點 (E)×：對數函數 f（x）＝logax 的真數 x 必須大於 0，
故當 h 0 時，x＝h 與 f（x）＝logax 的圖形沒有交點 故選(A)(C)(D)
6. 若 log（x－2）（6x2－35x＋50）有意義，則 x 之範圍為 。（4 分）
解 log(x－2)（6x2－35x＋50）有意義
2
2 0 2 1
6 35 50 0 x
x
x x
－ ＞
－
－ ＋ ＞
2
3
10 5
3 2
x x
x x
＞
＞ 或 ＜
∴2＜x＜5
2或 x＞10 3
7. 設 a＞1，函數 y＝a－x與 y＝logax 之圖形可能是下列哪一個選項？（6 分）
(A) (B) (C) (D)
解 ∵a＞1 ∴y＝logax 之圖形由左往右上升 而 y＝a－x＝ 1 x
a
之圖形由左往右下降 故選(A)
8. 設 log23＝a，log37＝b，試以 a，b 表示下列各式之值：
(1) log27＝ 。（4 分） (2) log1484＝ 。（4 分）
解 (1)log27＝（log23）（log37）＝ab (2)log1484＝ 2
2
log 84
log 14 ＝ 2 2 2
2 2
2log 2 log 3 log 7 log 2 log 7
＋ ＋
＋ ＝2
1 a ab
ab
＋ ＋
＋
高中數學(一)習作甲 第 3 章 指數與對數函數 3
9. 設 log2＝0.3010，則：
(1) 230 為 位數。（4 分）
(2) 1 20
16
在小數點後第 位開始出現不為 0 的數字。（4 分）
解 (1)log230＝30 log2＝30×0.3010＝9.030＝9＋0.03
∴230為 10 位數 (2)log
1 20
16
＝log（2－4）20＝log2－80＝（－80）log2
＝（－80）×0.3010＝－24.08＝－25＋0.92
∴ 1 20
16
在小數點後第 25 位開始出現不為 0 的數字 進階題
1. 設a＞1，若
1
a ＋2 1
a－2＝3，試求下列各式之值：
(1) a＋a－1＝ 。（6 分）
(2)
3
a ＋2 3
a－2＝ 。（6 分）
(3)
1
a －2 1
a－2＝ 。（6 分）
解 (1)∵
1
a ＋2 1
a－2＝3，平方得 a＋a－1＋2＝9 a＋a－1＝7 (2)
3
a ＋2 3
a－2＝（
1
a ）2 3＋（
1
a－2）3＝（
1
a ＋2 1
a－2）〔（
1
a ）2 2－
1
a ×2 1
a－2＋（
1
a－2）2〕
＝（
1
a ＋2 1
a－2）（a－1＋a－1）
＝3×（7－1）＝18 (3)（
1
a －2 1
a－2）2＝（
1
a ＋2 1
a－2）2－4
1
a ×2 1
a－2＝32－4×1＝5
1
a －2 1
a－2＝± 5 但 a＞1
1
a ＞1，而2 1
a－2＜1
1
a －2 1
a－2＞0
∴
1
a －2 1
a－2＝ 5 2. (1) 已知 log2＝0.3010，若 5
2
n
＞1000，則 n 的最小自然數為 。（8 分）
(2) 已知 log2＝0.3010，log3＝0.4771，若 3 4
n
＜10－6，求最小正整數 n 為 。（8 分）
解 (1) 5 2
n
＞1000 n log5
2＞log1000
n（log5－log2）＞3 n×（0.6990－0.3010）＞3
n×0.3980＞3 n＞ 3
0 3980. 7.54
∴n 的最小自然數為 8 (2) 3
4
n
＜10－6 log 3 4
n
＜log10－6
高中數學(一)習作甲 第 3 章 指數與對數函數 4
n log3
4＜－6 n（log3－2 log2）＜－6
n（0.4771－0.6020）＜－6 n＞ 6
0 1249. ＝48.03……
故 n 的最小值為 49
3. 某甲在股票市場裡買進賣出頻繁，假設每星期結算都損失該星期初資金的 1％，而第 n 星 期結束後，資金總損失已超過原始資金的一半，則 n 的最小值為 。（8 分）
（已知 log2＝0.3010，log3＝0.4771，log11＝1.0414）
解 設原始資金為 P
則第 n 個星期後，資金變為原來的（1－0.01）nP
∴（1－0.01）nP＜1
2P （1－0.01）n＜1 2 兩邊同取對數得 log（1－0.01）n＜log1
2 log 99 100
n
＜log1 2
n（－2＋log99）＜－log2 n（－2＋2 log3＋log11）＜－log2
n（－2＋2×0.4771＋1.0414）＜－0.3010
n（－0.0044）＜－0.3010
n＞0 3010 0 0044
.
. 68.4，故 n 的最小值為 69
