前面討論過的函數中，凡是可以整理成形如

(1)

一次函數與常數函數

自我評量函數圖形

(2)

前面討論過的函數中，凡是可以整理成形如 f （ x ）＝ ax ＋ b （ a≠0 ）的函數，因為自變數 x 的次方是一次，所以這種函數都稱為一次函數，例如：

f （ x ）＝－ 3x ＋ 2 ， f （ x ）＝ x ＋ 32

等都是一次函數。 9 5

(3)

在一次函數 f （ x ）＝ ax ＋ b 的表示式中，稱 ax 是 x 的一次項，其中 a 與 b 都是固定的數，它們並不會隨著 x 的改變而改變，相對於 x 的可變動性，我們稱它們為常數

，也因此我們稱

b

是一次函數 f （ x ）＝ ax

＋

b 中的

常數項。

(4)

1

函數值的應用

一次函數 f （ x ）＝ ax ＋ 4 ，若 f （ 3 ）＝－

2 ，求 a 的值。

f （ 3 ）＝－ 2 表示 x ＝ 3 時的函數值為－

2

f （ 3 ）＝ 3a ＋ 4 ＝－ 2

故 a ＝－ 2

解解

(5)

一次函數 f （ x ）＝ 3x － b ，若 f （－ 2 ）＝

6 ，求 b 的值。

b ＝－ 12

(6)

2

求一次函數

有一個一次函數 f （ x ）＝ ax ＋ b ，且 f

（ 2 ）＝ 5 ， f （ 3 ）＝ 7 ，求此一次函數。

解解

由 f （ 2 ）＝ 5 ，可得 f （ 2 ）＝ 2a ＋ b ＝ 5…….

由 f （ 3 ）＝ 7 ，可得 f （ 3 ）＝ 3a ＋ b ＝ 7…….

 式－式可得：

a ＝ 2

將 a ＝ 2 代入 1 式可得： 4 ＋ b ＝ 5 ， b

＝ 1

所以此一次函數為 f （ x ）＝ 2x ＋ 1 。

(7)

有一個一次函數 f （ x ）＝ ax ＋ b ，且 f

（ 1 ）＝ 4 ， f （ 3 ）＝ 10 。求此一次函數

f （ x ）＝ 3x ＋ 1

。

(8)

在函數 f （ x ）＝ ax ＋ b 中，若

a ＝ 0 ，則 f ( x ) ＝ 0x ＋ b ，即 f （ x ）

＝ b 。此時不論變數 x 的值為何，函數 f

（ x ）都對應到一個常數 b 。例如：函數 f

（ x ）＝ 3 ，無論 x 的值為何，所對應的函數值皆為 3 ，此符合函數的定義「對每一個 x 值，都恰好有一個對應的 y 值」，因此 f

（ x ）＝ 3 也是一個函數。

形如 f （ x ）＝ b 的函數，稱為常

數函數。

(9)

對每一個 給定的 x

值對應的

函數值皆為 3

(10)

3

求常數函數

有一個常數函數， f （ x ）＝ b ，且 f （ 2 ）

＝－ 5 。求此常數函數。

解解

由 f （ 2 ）＝－ 5 ，可得 f （ 2 ）＝ b ＝－

5 ，

故此常數函數為 f （ x ）＝－ 5 。

(11)

有一個常數函數 g （ x ）＝ b ，且 g （ 100 ）

＝ 3 。

求此常數函數。

g

（ x ）＝

3

(12)

給定一個函數 y ＝ f （ x ），我們可以把每個 x 值及其對應的 y 值，寫成數對

（ x , y ），並在坐標平面上畫出對應的點，此

時就可以得到函數 y ＝ f （ x ）的圖形。

(13)

例如：給定一次函數 f （ x ）＝－ 3x

＋ 2 ，因為所對應的函數值 f （ x ）就是 y 坐

標，所以要畫一次函數 f （ x ）＝－ 3x ＋ 2 的

圖形，就是將符合 y ＝－ 3x ＋ 2 的所有點（ x

, y ）描繪在坐標平面上，因此， f （ x ）＝－ 3 x ＋ 2 的圖形，就是 y ＝－ 3x ＋ 2 的圖形。

(14)

二元一次方程式 y ＝－ 3x ＋ 2 的圖形為一直線，因此只要找出滿足方程式的兩個點（ 0

, 2 ）、（－ 1 , 5 ），再將它們連成直線，即為 f

（ x ）＝－ 3x ＋ 2 的圖形，如圖 4-3 所示。

圖 4-3

(15)

4

畫一次函數的圖形

在坐標平面上畫出函數 y ＝ f （ x ）＝ 2x ＋ 1 的圖形。

解解

找出滿足 y ＝ 2x ＋ 1 的兩組解，並將這兩點標示在坐標平面上。

x

0 1

y

1 3

(16)

再畫出通過這兩點的直線。

此直線即為函數 y ＝ f （ x ）＝ 2x ＋ 1 的圖形

。

(17)

在坐標平面上畫出下列函數的圖形：

(1) y ＝ f （ x ）＝－ x ＋ 3

x

0 1

y

3 2

(18)

(2) y ＝ g （ x ）＝ x － 1

x

0 1

y

－

1 0

(19)

5

畫常數函數的圖形

畫出函數 y ＝ f （ x ）＝－ 2 的圖形，並求 f

（ 100 ）＝？

解解

找出兩組對應的 x 、 y 值，如下表

：

x

1 2

y ^－

2

^－

2

(20)

再畫出通過此兩點的直線，此直線即為 y ＝ f （ x ）

＝－ 2 的圖形。

函數 f （ x ）＝

－ 2 表示不論 x 的值為何，函數值都是－ 2 ，因此

f （ 100 ）＝－ 2

。

(21)

在坐標平面上畫出下列函數的圖形：

(1) y ＝ g （ x ）＝－ 1

x

0 1

y ^－

1

^－

1

(22)

(2) y ＝ h （ x ）＝ 0

x

0 1

y

0 0

(23)

由例題 5 及隨堂練習可以知道：

像

f （ x ）＝－ 2 ， g （ x ）＝－ 1 ， h （ x ）

＝ 0 這類的常數函數，無論自變數為何，所對應的函數值都是一個固定值，故常數函數 f

（ x ）＝ b （ b≠0 ）的圖形為平行於 x 軸的直線，而函數 f （ x ）＝ 0 的圖形就是 x 軸

。

一次函數與常數函數的圖形都是一

直線，這兩種函數都稱為線型函數。

(24)

形如 f （ x ）＝ ax ＋ b 的函數，稱為線型函數。

其中，

(1) 當 a≠0 時， f （ x ）＝ ax ＋ b 稱為一次函數；

(2) 當 a ＝ 0 時， f （ x ）＝ b 稱為常數函數

。

(25)

6

已知兩點，求線型函數

已知 f （ x ）為一線型函數，其圖形通過（ 2 ,

－ 4 ）與（－ 1 , 5 ）兩點，且分別與 x 、 y 軸交於 A 、 B 兩點，試求：

(1) 此線型函數。

(2) 三角形 ABO 的面積。 ( O 為坐標平面的原

點 )

(26)

解解

(1) 設此線型函數為 y ＝ f （ x ）＝ ax ＋ b ，因為函數圖形通過（ 2 , － 4 ）與（－ 1 ,

5 ）

兩點，可得 2a ＋ b ＝－ 4……..

－ a ＋ b ＝ 5……

….

由式－式得： 3a ＝－ 9 ， a ＝－ 3 將 a ＝－ 3 代入式得：（－ 6 ）＋ b

＝－ 4 ， b ＝ 2

故此函數為 f （ x ）＝－ 3x ＋ 2 。

(27)

(2) y ＝ f （ x ）＝－ 3x ＋ 2

x

0

y

0 2

3 2

與 x 軸交點 A （ , 0 ）與 y 軸交點 B （ 0 , 2 ）所以三角形 ABO 的面積

＝ × ×

＝ × × 2 ＝（平方單位）。

3 2

1 2

OA OB

1 2

3 2

(28)

已知 f （ x ）為一線型函數，其圖形通過（－ 1

,

－ 4 ）與（ 3 , 4 ）兩點，且分別與 x 、 y 軸交於 A 、 B 兩點，試求：

(1) 此線型函數。

(2) 三角形 ABO 的面積。 ( O 為坐標平面的原

點 )

(29)

(1) 設此線型函數為 y ＝ f （ x ）＝ ax ＋ b 。將（－ 1 , － 4 ）、（ 3 , 4 ）代入得

解得 a ＝ 2 ， b ＝－ 2 。

故此線型函數為 f （ x ）＝ 2x － 2 。

















b a

3 4

4 (2) y ＝ 2x － 2 與 x 軸交點坐標為 A （ 1 , 0 ），

y

＝ 2x － 2 與 y 軸交點坐標為 B （ 0 , － 2 ）。

故三角形 ABO 的面積為 × 1 × 2

＝ 1 ( 平方單位 ) 。

1 2

(30)

7

函數圖形

在坐標平面上畫出當 x 是小於 5 的正整數時

，函數 y ＝ f （ x ）＝ 2x － 1 的圖形。

(31)

解解

因為 x 是小於 5 的正整數，將每個合乎條件的 x 值及其對應的 y 值列出如下表：

x

1 2 3 4

y

1 3 5 7

然後，在坐標平面上畫出這些

對應的點，即為函數的圖形。

(32)

在坐標平面上畫出下列函數的圖形：

(1) y ＝ g （ x ）＝－ 2x ＋ 3 ， x 是小於 6 的正整數。

x 1

2 3 4 5

y 1 －

1 －

3 －

5 －

7

(33)

(2) y ＝ h （ x ）＝ 4 ，

x 是大於－ 5 的負整數。

x －

4 －

3 －

2 －

1

y 4

4 4 4

(34)

8

函數圖形的應用

摩天輪的時間與高度之間的關係圖如下圖所示

，每一個時間都對應到一個高度，因此它是函數的對應關係，若

以 x 表示時間， g （ x ）表示該時間點所對應

的高度。試求：

(35)

8

函數圖形的應用 (1) g （ 0 ）＝？

(2) g （ 6 ）＝？

(3) g （ 22 ）＝？

解解

(1) g （ 0 ）表示 0 分鐘時所對應的高度，

所以

g （ 0 ）＝ 3 。

(2) g （ 6 ）表示 6 分鐘時所對應的高度，

所以

g （ 6 ）＝ 45 。

(3) g （ 22 ）表示 22 分鐘時所對應的高度

，所

以 g （ 22 ）＝ 10 。

(36)

9

一次函數圖形的應用某次數學考試，老師用一

次函數 f （ x ）＝ ax ＋ b 來調整分數，其中 x 為原來的分數， f （ x ）表示調整後的分數。已知原來 60 分變成 68 分， 100 分還是 100 分，

試問：

(37)

9

一次函數圖形的應用 (1) a 、 b 之值為多少？

(2) 原來分數考 80 分變成多少分？

(3) 原來分數考多少分調整後變成 60 分？

(38)

(1)因為原來 60 分變成 68 分， 100 分還是 1 00 分，

所以

　 f （ 60 ）＝ 60×a ＋ b ＝ 68 …………

　 f （ 100 ）＝ 100×a ＋ b ＝ 100 ……..

　 式－式得： 40a ＝ 32 ， a ＝ 0.8 　將 a ＝ 0.8 代入式得： b ＝ 20

　所以 a ＝ 0.8 ， b ＝ 20 ，

　一次函數為 f （ x ）＝ 0.8x ＋ 20

解解

(39)

(2) f （ 80 ）＝ 80×0.8 ＋ 20 ＝ 84 （分）

(3) 設原來分數考 t 分，調整後變成 60 分。

可列式： f （ t ）＝ t×0.8 ＋ 20 ＝ 60 解得： 0.8t ＝ 40 ， t ＝ 50

所以原來分數考 50 分，調整後變成

60 分。

(40)

A 城市的當月水費與當月使

用度數成線型函數的關係，如右圖所示，其中 x 表示當月使用度數， f （ x ）表示當月水費。

試回答下列問題：

(41)

(1) f （ x ）＝？

(2) 若當月使用 100 度，水費是多少元？

(3) 當月使用多少度時，水費是 5040 元？

(1) f （ x ）＝ 20x ＋ 240 (2) 2240 元

(3) 240 度

(42)

1. 線型函數：形如 f （ x ）＝ ax ＋ b 的函數，

稱為

線型函數。其中，

(1) 當 a≠0 時， f （ x ）＝ ax ＋ b 稱為一次函數；

(2) 當 a ＝ 0 時， f （ x ）＝ b 稱為常數函數

。

2. 函數圖形：在坐標平面上，將合於 y ＝ f

（ x ）

關係的所有點（ x , y ）畫出來，所得到的圖

形就是函數 y ＝ f （ x ）的圖形。

(43)

一個國家只有數學蓬勃的發展，才能展現它國力的強大。數學的發展和至善，跟國家繁榮昌盛密切相關。

—— 拿破崙（ Napoleon Bonaparte ， 1769-182

1 ）

(44)

4-2 自我評量

1. 判斷下列各函數中，哪些是常數函數？哪些是一

次函數？哪些是線型函數？ (A) f （ x ）＝ 2 (B) g （ x ）＝ 3x － 5

(C) h （ x ）＝ (D) A

（ x ）＝ 6x

²

(E) B （ x ）＝ 2 － x

(1) 是常數函數的有： ____________________

(2) 是一次函數的有： ____________________

(3) 是線型函數的有： ____________________

(A) 、 (C) (B) 、 (E)

(A) 、 (B) 、 (C) 、 (E) 5

2

(45)

2. 已知一次函數 f （ x ）＝ ax － 7 ，若 f （ 2 ）

＝－ 1 ，求 a 的值。

a ＝ 3

(46)

3. 已知 f （ x ）為一次函數，且 f （ 0 ）＝

5 ， f （ 2 ）＝－ 3 ，試求：

(1) f （ x ） (2) f

（ 5 ）

(1) f （ x ）＝－ 4x ＋ 5

(2) f （ 5 ）＝－ 4×5 ＋ 5 ＝

－ 15

(47)

4. 在坐標平面上畫出下列各函數的圖形：

(1) y ＝ f （ x ）＝－ x

x

1

^－

1

y ^－

1 1

(48)

(2) y ＝ f （ x ）＝－ x － 3

x

0

^－

3

y ^－

3 0

(49)

(3) y ＝ f （ x ）＝ 3

x

0 1

y

3 3

(50)

(4) y ＝ f （ x ）＝ 3x ＋ 1 ， x 是小於 4 的正整數。

x

1 2 3

y

4 7 10

(51)

5. 設 f （ x ）為線型函數，其圖形通過（－ 1 , 2 ）

與（ 3 , 10 ）兩點，設函數 y ＝ f （ x ）的圖形與

x 軸、 y 軸分別交於 A 、 B 兩點，試求

：

(1) 函數 f （ x ）。

(2) A 、 B 兩點的坐標。

(3) 三角形 OAB 的面積。

(1) f （ x ）＝ 2x ＋ 4

(2) A （－ 2 , 0 ）、 B （ 0 , 4 ）

(3) 4 平方單位

(52)

6. 大力文具行舉辦周年慶促銷活動，已知促銷方式是將原來的價格用線型函數調整成新的價格，

使得原來 40 元的文具變成 28 元， 60 元的文具變成 40 元，試問：

(1) 原來價格 80 元的文具調整後變成多少元？

(2) 原來價格多少元的文具調整後變成 100 元 (1) 52 元？

(2) 160 元

(53)

函數繪圖軟體

GeoGebra 數學軟體是一個結合動態幾何、

代數與微積分的數學軟體，它是由美國佛羅里達州大西洋大學（ Florida Atlantic University ）的數學教授 Markus Hohenwarter 所設計的。這套軟體可以協助我們畫出點、直線、圓與多邊形的圖形，也可以直接在直角坐標系中輸入點坐標

、方程式與函數名稱得到圖形。

(54)

GeoGebra 數學軟體繪製函數圖形的功能非常強大，方法如下：

一、進入 GeoGebra ；

二、在下方輸入框內輸入函數。

例如：輸入 g （ x ）＝ 2x ＋ 4 ，按 ENTER ，得

到 y ＝ g （ x ）＝ 2x ＋ 4 的圖形。

再輸入： f （ x ）＝ x^2 － 6x ＋ 8 ，按 ENTER ，

得到 y ＝ f （ x ）＝ x

²

－ 6x ＋ 8 的圖

形。

(55)

(56)

同學亦可試著輸入其他函數，認識一些未學過函數的圖形，例如： f （ x ）＝ x

³

、 f

（ x ）＝

等。

以上資料改編自： GeoGebraWiki 中文版

http://www.geogebra.org/en/wiki/index.php/%

E4%B8%AD%E6%96%87

免費取得安裝軟體與說明請參考上面網站。

x

前面討論過的函數中，凡是可以整理 成形如

前面討論過的函數中，凡是可以整理 成形如 f （ x ）＝ ax ＋ b （ a≠0 ）的函數，因 為自變數 x 的次方是一次，所以這種函數都稱 為一次函數，例如：

等都是一次函數。 9 5

在一次函數 f （ x ）＝ ax ＋ b 的表 示式中，稱 ax 是 x 的 一次項 ，其中 a 與 b 都是固定的數，它們並不會隨著 x 的改變而改 變，相對於 x 的可變動性，我們稱它們為常數

，也因此我們稱

是一次函數 f （ x ）＝ ax

＋

常數項。

函數值的應用

一次函數 f （ x ）＝ ax ＋ 4 ，若 f （ 3 ）＝－

2 ，求 a 的值。

2

故 a ＝－ 2

一次函數 f （ x ）＝ 3x － b ，若 f （－ 2 ）＝

6 ，求 b 的值。

求一次函數

有 一 個 一 次 函 數 f （ x ） ＝ ax ＋ b ， 且 f

（ 2 ）＝ 5 ， f （ 3 ）＝ 7 ，求此一次函數。

由 f （ 2 ）＝ 5 ，可得 f （ 2 ）＝ 2a ＋ b ＝ 5…….

由 f （ 3 ）＝ 7 ，可得 f （ 3 ）＝ 3a ＋ b ＝ 7…….

 式－式可得：

將 a ＝ 2 代入 1 式可得： 4 ＋ b ＝ 5 ， b

＝ 1

所以此一次函數為 f （ x ）＝ 2x ＋ 1 。

有 一 個 一 次 函 數 f （ x ） ＝ ax ＋ b ， 且 f

（ 1 ）＝ 4 ， f （ 3 ）＝ 10 。求此一次函數

。

在函數 f （ x ）＝ ax ＋ b 中，若

＝ b 。此時不論變數 x 的值為何，函數 f

（ x ）都對應到一個常數 b 。例如：函數 f

（ x ）＝ 3 ，無論 x 的值為何，所對應的函 數值皆為 3 ，此符合函數的定義「對每一個 x 值 ， 都 恰 好 有 一 個 對 應 的 y 值」，因此 f

（ x ）＝ 3 也是一個函數。

形如 f （ x ）＝ b 的函數，稱為 常

數函數。

求常數函數

有一個常數函數， f （ x ）＝ b ，且 f （ 2 ）

＝－ 5 。求此常數函數。

由 f （ 2 ）＝－ 5 ，可得 f （ 2 ）＝ b ＝－

5 ，

故此常數函數為 f （ x ）＝－ 5 。

有一個常數函數 g （ x ）＝ b ，且 g （ 100 ）

＝ 3 。

求此常數函數。

（ x ）＝

3

給定一個函數 y ＝ f （ x ），我們可 以把每個 x 值及其對應的 y 值，寫成數對

（ x , y ），並在坐標平面上畫出對應的點，此

時就可以得到函數 y ＝ f （ x ）的圖形。

例如：給定一次函數 f （ x ）＝－ 3x

＋ 2 ，因為所對應的函數值 f （ x ）就是 y 坐

標，所以要畫一次函數 f （ x ）＝－ 3x ＋ 2 的

圖形，就是將符合 y ＝－ 3x ＋ 2 的所有點（ x

二元一次方程式 y ＝－ 3x ＋ 2 的圖形 為一直線，因此只要找出滿足方程式的兩個點（ 0

（ x ）＝－ 3x ＋ 2 的圖形，如圖 4-3 所示。

畫一次函數的圖形

在坐標平面上畫出函數 y ＝ f （ x ）＝ 2x ＋ 1 的圖形。

找出滿足 y ＝ 2x ＋ 1 的兩組解，並將這兩 點標示在坐標平面上。

0 1

1 3

再畫出通過這兩點的直線。

此直線即為函數 y ＝ f （ x ）＝ 2x ＋ 1 的圖形

。

在坐標平面上畫出下列函數的圖形：

(1) y ＝ f （ x ）＝－ x ＋ 3

0 1

3 2

(2) y ＝ g （ x ）＝ x － 1

0 1

－

1 0

畫常數函數的圖形

畫出函數 y ＝ f （ x ）＝－ 2 的圖形，並求 f

（ 100 ）＝？

找出兩組對應的 x 、 y 值，如下表

：

1 2

2

2

再畫出通過此兩點 的直線，此直線即 為 y ＝ f （ x ）

＝－ 2 的圖形。

前面討論過的函數中，凡是可以整理成形如

前面討論過的函數中，凡是可以整理成形如 f （ x ）＝ ax ＋ b （ a≠0 ）的函數，因為自變數 x 的次方是一次，所以這種函數都稱為一次函數，例如：

在一次函數 f （ x ）＝ ax ＋ b 的表示式中，稱 ax 是 x 的一次項，其中 a 與 b 都是固定的數，它們並不會隨著 x 的改變而改變，相對於 x 的可變動性，我們稱它們為常數

有一個一次函數 f （ x ）＝ ax ＋ b ，且 f

有一個一次函數 f （ x ）＝ ax ＋ b ，且 f

（ x ）＝ 3 ，無論 x 的值為何，所對應的函數值皆為 3 ，此符合函數的定義「對每一個 x 值，都恰好有一個對應的 y 值」，因此 f

形如 f （ x ）＝ b 的函數，稱為常

給定一個函數 y ＝ f （ x ），我們可以把每個 x 值及其對應的 y 值，寫成數對

二元一次方程式 y ＝－ 3x ＋ 2 的圖形為一直線，因此只要找出滿足方程式的兩個點（ 0

找出滿足 y ＝ 2x ＋ 1 的兩組解，並將這兩點標示在坐標平面上。

再畫出通過此兩點的直線，此直線即為 y ＝ f （ x ）

函數 f （ x ）＝

－ 2 表示不論 x 的值為何，函數值都是－ 2 ，因此

＝ 0 這類的常數函數，無論自變數為何，所對應的函數值都是一個固定值，故常數函數 f

（ x ）＝ b （ b≠0 ）的圖形為平行於 x 軸的直線，而函數 f （ x ）＝ 0 的圖形就是 x 軸

(1) 當 a≠0 時， f （ x ）＝ ax ＋ b 稱為一次函數；

－ 4 ）與（－ 1 , 5 ）兩點，且分別與 x 、 y 軸交於 A 、 B 兩點，試求：

(1) 設此線型函數為 y ＝ f （ x ）＝ ax ＋ b ，因為函數圖形通過（ 2 , － 4 ）與（－ 1 ,

由式－式得： 3a ＝－ 9 ， a ＝－ 3 將 a ＝－ 3 代入式得：（－ 6 ）＋ b

與 x 軸交點 A （ , 0 ）與 y 軸交點 B （ 0 , 2 ）所以三角形 ABO 的面積

＝ × × 2 ＝（平方單位）。

－ 4 ）與（ 3 , 4 ）兩點，且分別與 x 、 y 軸交於 A 、 B 兩點，試求：

(1) 設此線型函數為 y ＝ f （ x ）＝ ax ＋ b 。將（－ 1 , － 4 ）、（ 3 , 4 ）代入得

＝ 1 ( 平方單位 ) 。