國立中科實驗高級中學 101 學年度教師甄選 數學科專業知能

國立中科實驗高級中學 101 學年度教師甄選 數學科專業知能

一、 單選題：每題 3 分

說明：第 1 至 10 題，每題選出最適當的一個選項，依題號在答案卷上作答，不須寫出計算 過程，每題答對得 3 分，答錯不倒扣。

1. 設坐標空間中三條直線 L1，L2，L3的方程式分別為 L1： x 1 ＝

y＋3 6 ＝

z＋4 8 ； L2： x

1 ＝ y＋3

3 ＝ z＋4

4 ；L³： x 1 ＝

y 3 ＝

z

4 。試問下列哪些選項是

不正確

的？

(A) L1與L2相交 (B) L2與L3平行 (C) 三直線 L1，L2，L3共平面

(D)直線 L：

⎩⎪

⎨⎪⎧ x＝0 y＋3

4 ＝ z＋4

－3 與直線 L1，L2皆垂直

(E)點 P (0 , －3 , －4 ) 與 Q ( 0 , 0 , 0 ) 的距離即為點 P 到 L3的最短距離。

答：E

2. 某廠商委託民調機構在甲、乙兩地調查聽過某項產品的居民佔當地居民之百分比（以下簡稱 為「知名度」）。結果如下﹕在 95%信心水準之下，該產品在甲、乙兩地的知名度之信賴區間 分別為

[

0.50,0.58 、

] [

0.08,0.16 。試問下列哪些選項是正確的﹖

]

(A)甲地本次的參訪者中，45%的人聽過該產品

(B)此次民調在乙地的參訪人數少於在甲地的參訪人數

(C)此次調查結果可解讀為﹕甲地全體居民中有一半以上的人聽過該產品的機率大於 95%

(D)若在乙地以同樣方式進行多次民調，所得知名度有 95%的機會落在區間

[

0.08,0.16

]

(E)經密集廣告宣傳後，在乙地再次進行民調﹐並增加參訪人數達原人數的 4 倍，則在 95%

信心水準之下該產品的知名度之信賴區間寬度會減半（即 0.04）

答：B

3.設 a 為一正實數且滿足a ³ = 3﹒試問下列哪選項是正確的﹖

(A) a³ = 3 (B) log ₃a= 3 (C)

log

_a

3 3 = 3 3

(D)

1

34

a< (E) a < 1 答：C

4.將一圓的六個等分點分成兩組相間的三點，它們所構成的兩個正三角形扣除內部六條線段後 可以形成一正六角星，如圖所示的正六角星是以原點O為中心，其中

K

x

﹐

K

y

分別為原點O 到兩個頂點的向量。若將原點O到正六角星12 個頂點的向量，都寫成為 a x b y

K K

+

的形式，

則a b+ 的最大值為何﹖

(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6。

答：D

5.心理學家有時候用數學模式：^{L t}

( )

^{=100 1 10}

(

^{− −kt}

)

^{來描述在時間t 時的學習量L t ，其中}

^{( )}

^k為常

數。假設有一個學生需要背熟100個英文單字，心理學家發現這個學生在10分鐘時背熟10個 單字，根據上述資料，這個學生要花幾分鐘才能背熟90個以上的單字？(選出最接近的答案) (A)180 (B)190 (C)200 (D)210 (E)220

答：E

6.將自然數 1、2、3、4、5….依序刪去 2 的倍數、3 的倍數、5 的倍數，其餘次序不變，

得一數列<a_n >=<1,7,11,13,17,19,....>，則a₁₀₀ =﹖

(A) 313 (B) 343 (C) 373 (D) 403 (E) 433。

答：C

7.一束光線由點 A(1,2,5)射出，通過球面S:(x−1)² +(y−2)² +(z−1)² =1，在xy 平面產生的 陰影區域面積為何？

(A) 25

π

(B) 16

π

(C)

π 3

16

(D)

π 3

25

(E)

π 3

5

答：E

8.在平面坐標中，設直線y= x3 −1的圖形與拋物線y=x² −3x+k交於A、B 兩點，且AB=4 5， 則k = ？

(A) 1 (B)3 (C)

5

24

(D) 6 (E)

2 15

答：D

9.設a,b,c∈{1,2,3,...9}，若

900 . 700 900 0

699 < abc< ，則a+b+c=？

(A) 5 (B) 13 (C) 17 (D) 20 (E) 23。

答：D

10.求值：cos²10°+cos²50°−sin40°sin80°=? (A)

2

1

(B)

2

3

(C)

5 2

3

(D)

4

3

(E)

6

5

。 答：D

二、 填充題：每題 4 分，共 60 分

說明：第 1 至 15 題，不須寫出計算過程，依題號在答案卷上作答，每題答對得 4 分。

1.設球面

Γ

的球心在原點，半徑為1，令 Q 的座標為(1,2,0)，N 的座標為(0,0,1)，

S 的座標為(0,0,－1)，設NQ線段交球面

Γ

於P 點，求PS 線段與 xy 平面的交點坐標為 。

答：

, 0 ) 5 , 2 5 ( 1

2.箱子裡有大小相同的號碼球 120 個，其中 i 號球有 i 個，i=1, 2,3,....,15，從箱子裡一直取球 (取後放回)，每取一球就計算該球之球號與某整數 n 的差的絕對值，使得這些差的期望值為 最小，則 n 值=_______。

答：11

3.將『中科實中中部科科第一』十個字重新排成一列，若要求相同字不能相鄰，

則排列數＝ 。 答：24240

4.考慮雙曲線y²－x²＝1 圖形的上半部（如右圖），取此雙曲線上x 坐標為 n 的點，此點與漸近線 y＝x 的距離記為 dn，其中n 為正整數。則 limn→∞（n．d ⁿ）＝______

答：

4 2

5.設四次多項式 f(x)=−x⁴+x³−x²+x，選取積分區間a ≤ x ≤ b，使得定積分∫b

a f (x) dx 得到 最大值，求此最大值為 。

答：60 13

6.一隻螞蟻在一個正四面體的某一個頂點 A 之上，此時它隨機選擇一個臨近的頂點(每個臨近 的頂點 B,C,D 被選中的機率皆為 1/3)，並且在一分鐘之後走到那裡；接著它又隨機選擇 一個臨近的頂點，並在一分鐘之後走到那裡。假設這隻螞蟻一直以上述的方式在各個頂點 之間走動，那麼在 n 分鐘之後，它的位置恰好在頂點 A 的機率為 。

答：

]

3 ) 1 1 ( 4 [ 1

−1

+ −

_n ⁿ

7.設x≠ ±1, 1

± 3，解有理方程式

3

2 2

3

2 2

2 3

1 1 1 3

3 2 3

1 1 1 3

x x x

x x

x x x

x x

+ −

− −

= − ⋅ −

− −

，得x 的最大值為 。

答：

tan 78

°(或

30 tan 13 π

)

8. 設 x 為實數且滿足1≤ x <2，試求滿足方程式 2x² −[2x²]=2(x−[x])² 的解，

其個數有多少= 。（註：[x]為不大於x 的最大整數）。

答：3

9.設a,b為正實數，A= a² +b² − 2ab，B= 49+a² −7 20 ，C= 64+b² −8 3b， 則A+B+C之最小值= 。

答：送分

10.若多項式(1+ +x x² +x³ +x^{4 11}) 的展開式為1+a x a x₁ + ₂ ²+ +... a x₄₃ ⁴³+x⁴⁴，試求a₆ =______。

答：7887

11.三次曲線y=x³ +ax²+x+1，若由原點可作三條相異之切線，試求實數a 的範圍 為 。

答：a>

3

12.設函數

2

( ) 1 y f x x

= = x

− ，求 =

) 0 (

) 0 (

) 4 (

) 6 (

f

f 。 【註： f^{( )n} ( )a 表示在 x=a 處的 n 階導數】

答：30

13.設 有 一 階 梯 共 有 20 階 ， 每 次 只 能 走 2 階 或 3 階 ， 第 8 階 階 梯 壞 掉 不 能 踩 且 必 須 踩 上 第 12 階 的 上 樓 方 法 數 ＝ 。

答：32

14.多項式 f x( )，已知

deg f ( x ) = 98

，

k k

f 1

)

( =

₍

k = 1 , 2 , 3 , " , 99

)，試求

f ( 100 ) =

。

答：

50

1

15.右圖中，P 為三角形 ABC 內部一點，已知

+ + = 2012 PF

CP PE BP PD

AP

，

試求

× × =

PF CP PE BP PD

AP

。

答：2014

A

B C

F E

D P