第二章.极限概念 函数的连续性

第二章.极限概念　函数的连续性

如果说对 于函数的概念，我 们总是能够从日常直观出发，就能很好地加以理解，因为毕竟因果关系的 观念在我 们的意识当中是非常深根蒂固的。那 么要真正严格地理解极限的观念，就不是那么自然的了。

对于极限的观念，最 为关键的问题 是，极限的模糊形象是谁都有的，但是如何定量地加以描述，从而 是可以应用来作为一般的判别标准的呢？

这个问题实际上困扰了人们几百年，一直到19世纪才加以解决的。

数列的极限。

数数是人 类最原始的数学活动，应该说，对于数数我们没有更多的 数学方面的分析可言的了，或者 说 至少从数学的角度而言，数数是一 个足够清楚而明确的行为。因此我们引入极限这么一个抽象概念就从数 数开始。

最为主要的一种事物运动变化的方式，是一种给人以连续性的感觉的变化。对于这样的变化方式，我 们可以有两种研究方式，一是属于物理学范畴的研究方式，就是 说去探 讨事物 变化发展中表现出来的连续 性，究竟是一 个什么样的过程。另一种研究方式是 并不考虑所谓连续性究竟是什么回事，而是首先人为地 定义一种明确的可以定量 处理的连续性，使得我们对于一般事物 变化发展的描述都具有这 种连续性的特 点，并且总是在这种应用当中，随时对实际过程与理论推理 进行验证与对比，从而得到使用这种人为连续 性的观念的合理性，一直到 实验表明再也不能使用这个人为前提为止。

确实，我们应该学会 承认，当我们对客观事物 进行描述与分析时，肯定是要基于一些前提条件或者说 假设的，问题 的关键，不是在于我们 是不是应该首先证 明了这些前提的正 确性，才能再来进行随 后的工 作，而是承认任何的理论工作都只是相对的，是否有用必须经过实验 的证明才能决定。

现在我们的主要工作就是建立一个关于日常生活的连续 性的严格表述。而这个概念是可以从我们进 行 最为简单 的数数开始的。

设存在一个数列，也就是一个数值的集合，这个集合的元素可以一个一个的数出来，同时，每一个元 素都可以加上唯一的标志，而自然 数是最为适宜作 这件工作的。比如说，把一 个数列写成这样的 样子：

，或者简单地记成{ 。

显然，可以想象，随着我们的数数 ，这个数列的取值，就会发生某 种变化，（ 当然，对于总是取同一 个数值的数列，我 们没有什么兴趣。）这种变化的过程应该说是相当明确而没有任何含糊与抽象的地方。

然后，我们来规定一种具有特定规律的数列变化过程：

对于数列 ，假 设存在一个确定的常数a，现在我 们考虑变量 （显然这是一 个反映 数列数值变化的，随着n而发生变化的变量。），如果我们任意找到一个数 ，无论它的数值有多 么大或 者多 么小，我们总 是能 够在这个数 列当中找到一个元素 ，使得在这个元素后面的所有的 数列元素，都

使得相应 的变量 的数值小于 ，换一句 话来说，就是，对于任意的 ，总 是存在一个N，使得 当 n>N时，总是有

成立，这时我们就把 a称为数列 的极限。 并且称数列 收敛于极限a。我 们使

用记号 来表示这点。否则我们就说数列{ 是发散的_。

,....

, , 2 3

1 a a

a ^an}

,....

, , 2 3

1 a a

a ^an−a

ε aN

an−a ε ε

ε

<

−a an

,...

, , 2 3

1 a a

a a1,a2,a3,....

an a

n

∞ =

lim→ an}

Ｐａｇｅ　１　ｏｆ　１２ 第二章

这就是一个数列收敛于一个极限或者 说存在一 个极限的定义。

在这个定义里面，最为关键 的地方，也是初学者最为困难的地方有两个：

1。数值 是任意的。实际 上也就是 说，只要存在一个 的数值不满足定 义的条件，就不能 说数列收 敛于极限a。

这里初学者感到非常困难的地方是，我 们是不是一定要对所有可能的 都进行检验，才能得到最后的

判断呢？在实际问题当中，由于我们的目的是希望知道变量 是否越来越小，因此一般总是只要取 大于 0，并且足 够小（以后我 们在有关极限的定义当中，总是先假设了这点，记住这点并非是必要的，而 是方便的），当然只是这样还不能 减少我 们对 的任意取值进行验证 的任务，关键在于，我 们一般所处理 的数列，总是按照某 种特定的规律来变化或者说是按照某种特定的规律来定义的，这样一般 从这个数列的 变化规律本身，就可以足 够使得我们进 行判断，并且还有可能找到一 个特定的由 决定的 N的值，使得条 件得到满足，或者是可以找到反例。

实际上本章的最困难的地方就是如何判断一个数列是否存在极限，如果存在的话，又如何得到这个极 限。这里最重要的方法是应用不等式。

不过，我们的课程在 这个方面的要求并不是过高的，因此我 们只是需要考虑一些比较简单的例子，而 我们的精力应该集中在对于极限思想的理解。

1．　满足条件的n必须取遍所有大于N的自然 数。

初学者往往会觉得这是不可能的，实际上，我 们并不需要对所有大于 N的n值进行检验，同 样由于数列 的变化是具有 规律的，从生成数 列本身的规律，我 们一般 总是能够通过有限的 步骤，来得到所需要的判 断。

那么究竟所谓生成 数列的 规律是什么呢？一般说来，一个数 列的元素总是一 个由变量n决定的函数，

这里变量n取遍自然数，就生成了 数列的全部项。这个函数的表达式称为通项 的通项公式。

不过通项公式有时候并非完全只是n的函数，而是同时由变量n和第 n项之前的项所决定，这时，通 项 公式表现为一个递推公式，这种情况的处理比较复杂，我们不过多的涉及。

实际上对 于上面的第二点，如果我 们把希望得到的 结论放弱一点，就还可以有第二 种更为方便的 说 法，这就是相 当重要的 柯西收敛原理：

我们说数列{ 收敛，它的充要条件是：对于任意的 >0，总是存在正整数N，使得对于任意的自然 数p和n>0，有

成立。

可以看到，在 这里对数列所 进行的 检验与极限的定义当中对数列所进行的检验是存在一 点差异的，就 是在这里对数列进行检验，我们并不需要知道这个数列的极限究竟是多少，而通 过检验，我 们也只是知道 这个极限是否存在极限。而在极限的定义当中，要 对一个数 列进行检验，实际 上是预先假设知道了这个极 限是多少，所谓的检验只不过是证明这个数列的极限是否这个给出的极限值。

因此，在实际问题当中，应用柯西原理是更为方便的检验方法。

在说明了一个数列的极限的含义以后，我们就可以得到一系列的 这种极限过程的性 质如下：

（1）数列{ 以a为极限的另一个说法，或者 说一个充要条件是：对于数列{ 的任意一个子数列{

都以a为极限。

这种说法一般 并不是应用于正面的结论，因 为这就意味着我们要取一 个数列的任意子数列来 进行验 证，这反而把事情搞复杂了，但一般说来更难以说明正面结论的判据，往往更易于说明反面结论，这也就

ε ε

ε

an−a ε

ε

ε

an

an} ε

ε

<

+ −a an p n

an} an}

a_ni}

Ｐａｇｅ　２　ｏｆ　１２ 第二章

是说，我们常常可以很方便地应用这个判据来说明某个数列是 发散的，因 为，我们只要能够在一个数 列里，构造出一个发散的子数列，或者是构造出两个具有不同收敛极限的子数列，就可以说明这个数列是 发散的。

（2）如果两个不同数列具有相同的 极限： _，而另外一个数列{ 满足条件：存在 一个确定的自然数N，当n>N时，总是有

成立，那么数列{ 收敛，并且极限为c。

这个性质被称为夹逼定理，常常用 来求某 个合适的数列的极限，前提是已知另外两个数 列的极限，并 且这三个数列具有定理所要求的 关系。

（3）如果我们把数列看成是以自然数为自变量的函数，那 么就可以相应地定 义这 个函数的有界性和 单调性，这两 个概念是相当直观 的，并且显然可以知道一 个收敛数列必然是有界的，因 为按照收 敛的定 义，满足

的项总是有限的，因此 总能够得到一 个确定的函数的界。

反过来，则还必须加上一个条件：

单调而且有界的数列必定存在极限。

这是一个相当重要的极限存在定理，因为往往判定一个数列的单调性和有界性是比 较容易的。

从这个定理可以得到一 个条件比性质（1）更弱，但 结论一样的极限存在定理：

（4）如果 数列 { 的子数列 { 和{ 都收敛于同一 个极 限，那 么数列{ 也收 敛于这 个极 限。

显然 这个 定理比性质（1）所需要的 条件更弱，但 结论是一 样 的，这是因 为 我们选 取了特定的子数 列。

（5）如果一个数 列是由两个收敛数列通 过四则运 算得到的，那么这个数 列的收敛性质就完全由这两 个数列决定，这就是数列极限的四则运算性质：

a． 其中k为实数；

b． ；

c． ；

d． ，其中 。

函数的极限。

上面对于数列的 讨论，完全可以看成是对于一种最为简单的函 数的极限的讨论，这里唯一的差别，就 是一般的函数的取值往往是 连续的，而数列的取值是可以用自然数计数的。

这里数值的连续 性，或者说实数的连续性，仍然是我们不清楚的概念，尽管这是一个微积分最为基本 的概念，是我 们下面 讨论的一个基础，但是由于本课程的限制，我们不学习艰涩的实数连续统理论，因此 从逻辑的角度来讲，我们只能是预先承认一种直观上的 连续性观念，而 实际上，这种直观观 念对于我们下 面的学习，也是足够了的。

b c

a n

n n n

=

= →∞

∞

→ lim

lim _c}

n

b c an≤ n ≤ n

cn}

ε

>

−a an

an} a2k+1} a2k} an}

k a ka_n lim _n

lim =

b a

b

an n) lim n lim n

lim( + = +

b a

b

an n) lim n lim n

lim( ⋅ = ⋅

b a b

a

n n n

n

lim lim = lim

0 limbn≠

Ｐａｇｅ　３　ｏｆ　１２ 第二章

尽管数列的 项是可以用自然 数计数，但在 数列的极 限定义当中，我 们并没 有依赖于在实际的 检验当 中，进行逐项的比较，也就是说，在极限的定义当中，数列的这种离散取值形式是无关紧要的。我们仍然 可以仿照数列的极限的定义，说明一个函数的极限的定 义。

不过我们还必须首先考 虑一个函数与数列的形式方面的差别。

我们知道，一 个数列所表示的变化，是具有明确的自 变量变化形式的，即随着自然数的增大而变化，

而一个一般函数所表达的，则只是一般的自变量与因变量的 数值对应，而并没有更具体地要求指明自变量 与因变量的变化过程是如何 进行的，函数的这种属性，实际 上也正是函数的抽象能力之所在。那么我们如 何考虑在一个函数所表 达的变化过程当中可能存在的极限现象呢？类似于 数列的 极限过程里面，自变量可 以取得任意大一 样，在函数的极限过程里面，可以考虑自变量与某一个特定值的距离任意小。我们知道一 个数列如果收 敛，那么它的极限肯定是唯一的 ，这也可以说是极限概念之所以有意义的地方。而对于一个 函数来说，同 样必须考虑自变量在一定的变化方向上的函数变化性 质，即如何定义函数的具有唯一性质的 极限。这里所谓自变量的变化方向，就是指自变量与某个特定值的距离任意小的意思。

为了说明自变量与某个特定值的距离任意小这种函数变化的特定形式，我们定义一个特定的概念，就 是邻域的概念：

对于确定的一个实数x，我们定义它的一个邻域，是指一个开区间 这个开区间的特别之 处在于 可以看成是一 个变量，并且一般是可以取任意小的 数值 的变量，因 此这个开区间的特 别之处在 于，这个开区间的大小是可以任意地小。邻域这个概念在下面函数的极限定义当中具有关键的作用，希望 同学们认真加以体 会。

首先假设函数f（x）在点 的邻域 内有定义，而在 点上不一定需要有定义。如果存

在一 个 确定的 点 A，而 我 们如果取点 A的任意一 个 邻域 ，都可以找到相应 的点 的邻 域

使得对于函数y=f（x）来说，只要自变量x属于邻域 里，就有因变量y属于邻

域 _，这 样 我 们 就 可 以 说 当 函 数 自 变 量 x 趋 向 于 点 时，函 数 以 A 为 极 限，记 成

。

我们也可以不使用邻域是概念，直接使用 实数之间距离的概念，以 类似于 数列极限的形式 来说明函 数 的极限：

对于函数y=f（x），假设存在两个确定的常数 和A，现在我们分别考虑变量 （这个变量反映

了函数自变量和一个确定的点之间的距离）和 （显然这是一个反映函数数值变化的，随着x而发 生变化的距离变量。），如果我们任意找到一个数 ，无论它的数值有多么大或者多 么小，我们总是能 够 找到一个相应的数 ，使得变量 满足

时，都使得相应 的变 量 的数值 小于 ，换 一句话 来说，就是，对 于任意的 ，总是存在一个

，使得当

时，总是有

), , (x−ε x+ε ε

x0 (x−δ,x+δ) x0

) ,

(A−ε A+ε x0

), ,

(x−δ x+δ (x−δ,x+δ)

) ,

(A−ε A+ε x0

A x f

x

x =

→ ( ) lim

0

x0 x−x₀

A x f( )−

ε

δ x− x0

δ

<

−

< x x0

0

A x

f( )− ε ε

δ

δ

<

−

< x x₀ 0

Ｐａｇｅ　４　ｏｆ　１２ 第二章

成立，这时我们就把 A称为函数ｆ（ｘ）在ｘ趋向于ｘ_０时的极限。我们使用记号 来表示 这点。否则 我们就说函数ｆ（ｘ）在ｘ趋向于ｘ_０时是发散的。

由于函数变化的 连续性，使得函数的极限的概念比数列的极限的概念要显得复杂，因此我们还可以通 过图形的方式来加强理解。

如下图所示，我们可以分别观察在X轴和Y轴上的取 值情况。

可以看到，在 x的取值向x₀接近的过程中，函数y=f（x）表现出了这么一种现象，就是在Y轴上存在一 点A，无论我们取多么小的A的一个邻域，我们都总能至少找到x₀的一个邻域，使得在 这个邻域内的所有函 数值都处于我们取定了的A的那个邻域内，这就说明了函 数在x趋向x₀时，存在一个极限A。

假如在 x₀的这个 邻域内 存在一点，使得函数 值超出了 A的那 个邻域，比如函 数的 图形如 图中虚线 所 示，突出一个峰B点，那么我们总是还可以在继续向x₀接近的过程中，找到更小的邻域满足条件。

注意，在图中我们 故意没有使得 也没 有使得 尽管是实际问题

当中，我 们可能常常这么取，但 这并不是必须的。因为在定义当中，只是要求一种存在性就可以了。

另外在图中，我 们也可以看到，极限的存在并不要求函数在x

0是有定义的，只要函数能够无限地接近 这点就可以了。

从图形当中我们可以体会到，函 数在某点存在极限，反映的是函数在这点附近的局部性质，这里附近 的意思是指与任何确定距离处函数的性质无关，就好象 图中虚线所示，无论函数如何变化，只要这种变化 被限制在 确定的距离处，就不影 响函数在这点处的 极限性质。实际上，函 数在 这点是否具有这个 极限性 质，是分析函 数在这点的行 为的一 个强大工具。后面的学习当中，我 们能够进 一步体会到，判断一个函数 在某点处是否具有极限，是表示函数在这点行为的重要特征。

函数的单侧极限，左右极限，函数的分段点处的极限。

在前面的 图形说明当中，我 们可以看到，函数 自变量的取值 趋向某个特定的 点，还可以取特定的方 向，比方说只从左边或者只从右边接近特定的点，这在函数所表示的变化规律本身常常是允 许的。这就自 然地得到了单侧极限的概念。

根据自变量趋向某点的方向的左右，可以把 单侧极限分成两种，即左极限与右极限。顾名思义，左极 限就是在X轴上，自 变量总是从左边趋向特定的点，也就是说，自 变量在 趋向这个特定的值时，总是小于 这个值；反之右 极限就是在X轴上，自 变量总是从右边趋向特定的点，也就是说，自 变量在 趋向这个特定 的值时，总是大于 这个值。

ε

<

−A x f( )

an a

n =

∞

lim→

, )

(x0−δ = A−ε

f f(x0+δ)= A+ε,

Ｐａｇｅ　５　ｏｆ　１２ 第二章

引入这个概念，首先在理论上具有重要的作用，这体现在如下的定理当中：

一个函数在自 变量趋向某 点时具有 极限A，这件事的另一个说法，或者说它的一个充要 条件就是函数 在这点的左右极限都存在，并且都是A。

这个定理可以 应用于对很多函数在特定点的极限性 质的判 断，当然一般是 应用于否定性的判 断，即通 过很容易地得到函 数在这个特定点的左右 极限，由于它们不相等，而得到函数在这点不存在 极限的结论。

这个定理 还具有 另外一 个方面的实际应用价 值，就是用于分析分段函数。我们知道分段函数在分段点 处的性质是分段函数最为关键的地方，而对于分段函 数在分段点处的极限性质，就只有通过分别地考虑函 数在分段点处的左右极限来得到。

无穷小量，无穷大量，无穷小量的阶。

在微积分的历史上，一种具有重要意义的极限过程，即无穷小量充当了很 关键的角色。而在理论的角 度来看，这种极限过程也是非常有用的。

所谓无穷小量就是这样 一种函数的极限过程，即 当函数自变量趋向于某个特定的值时，函数值本身 趋 向于0，直观地说，也就是函 数值要多小就有多小。更清楚地说明这点，就是：

对于任意的 ，总是存在一个 ，使得当

时，总是有

成立。

这里的f（x）在x趋向于x₀时，就是 无穷小量。

正如一个函数的极限和 这个函数在这点的取 值不能混为一谈一样，无穷小量和0不能混为一谈。无穷 小量是一种极限过程，可以理解为是“运动物体 ”，而任何一个确定的数值，总是一个“静止物体”。一 个无穷小量可以 达到和0无限地接近而总是不能取值为0，因 为极限过程毕竟表 达的只是一 个变量的 变换过 程。

把无穷小量看成是以0为极限值的函数，则同样可以对它进行四则运算，我 们可以得到如下定理：

（1） 有限个无穷小量的和仍然是无穷小量。

（2） 有界函 数与无穷小量的乘积是无穷小量。

（3） 常数和无穷小量的乘积是无穷小量。

（4） 有限个无穷小量的乘积是无穷小量。

既然以 0为极限的函数具有特定的 研究价 值，那么反过来，比方说无穷小量的倒数，是趋向于 无穷大 的，也是具有一点价值的研究对象。这就是所 谓无穷大量。

类似地，我们可以定义无穷大量为当函数自变量趋向于某个特定的值时，函数值本身趋向于无穷大，

直观地说，也就是函数值要多大就有多大。我 们更清楚地说明这点，就是：

对于任意的 ，总是存在一个 ，使得当

时，总是有

成立。

这里的f（x）在x趋向于x₀时，就是 无穷大量。

ε δ

δ

<

−

< x x₀ 0

ε

<

) (x f

ε δ

δ

<

−

< x x₀ 0

ε

>

) (x f

Ｐａｇｅ　６　ｏｆ　１２ 第二章

无穷小量最为重要的研究价 值，体 现在我 们可以 对它的趋向于 0的“速度 ”进行比较。这种比较的结 果，就得到了阶的概念。

设在同一个极限过程当中， 和 都是无穷小量，如果

（1） ，那 么 关 于 就 是 高 阶 无 穷 小 量，反 过 来 关 于 就 是 低 阶 无 穷 小 量。写 成

。

（2） ，那么 和 就是等 阶无穷小量， 写成 ～ 。并且称 和 互为主要部分。

（3） ，那么 和 就是同阶无穷小量，写成 ～a 。 一般说来，如果存在常数A>0和B>0，使得

成立，那么 和 就是同 阶无穷小量， 写成 =O （ ）。

（4）一般的无穷小量的比 较，可以通过定义一个基本无穷小量，即定 义函数x=x在x趋向于 0时的x为 基本无穷小量，则当 时，（k为正数。）称 为k阶无穷小量。

特别地，如 果 ，那 么 和 就是同阶 无穷小量，是等价的，并且 称 是无穷 小量 的主要部分。

应用无穷小量的阶的性质，可以 简化极限计算与近似计算，下面是相关的一些定理：

如果 ～ ， ～ ，其中 ， ， 都不取0值，则

（1）当 存在时， 也一定存在，并且 = 。

（2）如果 存在， 则 =

（3）如果 存在，则 = 。

这几个定理都表明应用等阶无穷小量 进行替 换，不会改变结果，这样就有可能用来进行极限计算的 简 化。

（4）如果 ～ ，则有 和 。反过来也成立。

这个定理则是进行近似 计算的基本定理，即用主要部分代替一个变量，误差为一个高阶无穷小。

α β

→0 β α

α β β α

(β) ο α =

→1 β α

α β α β α β

) 0 ( , ≠

→a a β

α

α β α β

B A< <

β α

α β α β

(x ) O ^k

=

α _α

) 0 (

, ≠

→a a

x^k α

α α x^k α x^k

α

α β α' β' β α' β'

lim ββ'

lim ' α

α

lim ' α

α

lim ββ' '

) lim (

β β xf

' ) lim (

α α xf

' ) lim (

β β xf

) ( '

limα f x limαf(x) limα' f(x)

α β α −β =ο(α) α −β =ο(β)

Ｐａｇｅ　７　ｏｆ　１２ 第二章

极限的四则运算法则。

在研究数 列的极限时，我们 已经讨论了数 列极限的四则运 算性质，对于函 数的极限，具有同样 的性 质，因为这种运算性质只涉及到极限过程本身，与是数列还是函数无关。我们列出如下：

首先假设函数f（x）和g（x）都在自 变量x趋向于x₀时存在有限的 极限，那 么就有下面的运算规则，

（我们简写了极限符号，都是表示 ）：

a． 其中k为实数；

b． ；

c． ；

d． ，其中 。

注意这里函数的运算规则里面包括了减法，而数列的减法则没有一般的运算规则。

函数除了通过四则运算进行构造以外，另一个重要的函 数构造途径就是函数的复合，那么复 合函数的 极限与其组成函数的极限有什么关系呢？

（1）　设 ， ；

（2）　设存在 x

0的一 个去心 邻域。对于在 这个邻域内的所有x都有 ，也就是说，在x趋向于 x₀的过程当中，g（x）不会取值u

0； 在这两个条件下，我们有

这个法则对于我 们求函 数的极限是非常有用的，因为常常需要 进行变量代换，使得复杂函数变换为比 较简单的函数，从而得到所需要的极限。

极限存在的判别性质。

类似于数列极限的夹逼定理，同 样存在函 数极限的夹逼定理：

设两个函数g（x）和h（x）在 时，存在同一个极限A，而在x₀的去心邻域里，存在另一个函数 f（x）满足以下 条件：

，

那么在 时，f（x）也存在极限A。

在有关函数极限的问题 当中，记住重要的一点，就是函数的自变量只需要考虑在它所趋向的 点的去心 邻域内的定义即可。

这个定理在某些 条件下，可以应 用于求函数在某点 的极限，即如果已知两 个具有简单极限性 质的函 数，和要考虑的函数具有上面不等式所要求的性质，则可以直接得到所考虑函数的极限性质。

利用这个定理，可以得到重要的两种形式的函数的极限。

两个重要极限。

对于这两个极限，重要的是抓住它们的结构特征：

x→x0

) ( lim )

(

limkf x =k f x

) ( lim ) ( lim )]

( ) (

lim[ f x ±g x = f x ± g x ) ( lim ) ( lim )]

( ) (

lim[f x ⋅g x = f x ⋅ g x

) ( lim

) ( lim ) (

) lim (

x g

x f x

g x

f =

0 ) ( limg x ≠

x u g

x

xlim ( ) 0

0

→ = f u A

u

u =

→ ( ) lim

0

x u g( )≠ ₀

→ [ ( )]= lim

0

x g f

x

x

A u f

u

u =

→ ( ) lim

0

x→x0

) ( ) ( )

(x f x h x

g ≤ ≤

x→x0

Ｐａｇｅ　８　ｏｆ　１２ 第二章

（1） 。

这个极限的结构特征可以表示为：

，

也就是说，括号里的部分是 无穷小量。这个极限可以应用于求很多函数的极限。

（2）

这个极限的结构特征可以表示为：

也就是说，括号里的部分是 无穷大量。这个极限同样可以应用于求很多函数的极限。

我们在后面的练习当中，会遇到很多的例子。

函数的连续性，单侧连续性。

我们已经提到过实数的连续性，不 过实数的连续 性是比较困难的概念，我 们不要求掌握，至于这里的 函数的连续性，则是另外一个概念，应用极限作为工具，可以很好地加以说明。

在上面的关于函 数极限的图形说明当中，我们提到一个直观问题，就是存在极限，就意味着随着自变 量趋向给定的点，我 们希望函数值与极限值之间的距离有多小，就可以通过找到一个与给定点足够接近的 自变量值，使得这个自变量取值和给定点之间的所有的自变量取值所对应 的函数值，都与极限值之间的距 离是足够小的。

针对我们关于函数连续的直观观念，我们讨论 下面的三种情况：

（1）如果函数在某 点不存在有限的极限，那 么函数在这点的表现肯定是不符合我 们关于连续 的直 观 的。这也就是 说，函数在这点存在极限，是函数在这点连续的必要条件。

那么函数在这点存在极限是否就是在这点连续了的呢？

（2）我 们在讨论函数极限时，强调了函 数并不一定必须在这点是有定义的。如果函数在这点都没有 定义，那么显然函数就不可能在 这点是连续的了。

（3）如果函数在 这点 是有定 义的，而 函 数 在这 点的极 限并 不是函 数在 这点 的函 数值，那么 可以想 象，函数的图形仍然不符合我们关于连续性的观念。

因此在直观上，可以很容易地接受下面的 连续性定义：

我们说函数在某点是连续的，意思是说

（1） 函数在这点的某个领域内有定义；

（2） 函数在这点存在极限；

（3） 函数在这点的极限等于函数在这点的函数值。

上面的定义里，（ 2）（3）两条还可以使用另外的说法，因 为这里的关键实际上就是极限的概念。

直观地说，函数在某 点连续 ，就是函数值在极限值处的邻域想要多小就可以多小，只需要我 们取给定 点的足够小的邻域即可得到相应的足够的函数值区间。精确地说，就是：

我们说函数在某点 处是连续的，意思是说

（1） 函数在这点的某个领域内有定义；

（2） 对于任意给定的 ，总是存在某个 ，使得只要 sin 1

lim0

→ x = x

x

() 1 sin() lim

0 ()

→ =

x e

x

x + =

∞

→ 1) 1 lim(

=e

∞ +

→ )

() 1 1 lim(

()

()

x0

ε δ

Ｐａｇｅ　９　ｏｆ　１２ 第二章

， 就可以得到相应的

，

注意与极限定义相比， 这里 没有要求大于 0，而是存在等于 0的情况。

我们可以看到 极限与连续存在 紧密联系，相应于单侧极限的概念是单侧联系，它正是通过单侧极限来 定义的：

函数在某点存在左 极限，并且左极限值等于函 数在这点的因变量值，这称函数在这点左连续；

函数在某点存在右 极限，并且右极限值等于函 数在这点的因变量值，这称函数在这点右连续。

显然函数在这点连续的一个充要条件就是函数在这点同时左连续与右连续，左右极限值都同 时等于函 数在这点的因变量值。

同样这种单侧连续概念可以 应用于研究分段函数。

最后，我们可以看到，类似于极限性质是一种局部性质，这里定 义的连续性同 样是函 数在一 点的局部 性质，只是依 赖于函 数在这点的某 个邻域的行为。而我们应该已经能够体会到，邻域概念本身就是一个表 达一点的局部范围的概念。

那么对于一个函数，如果它在定义域的每一点都是连续的，则称函数在它的定义域上都是连续的。

连续函数的运算性质，初等函数的连续性。

非常类似于极限的运算性质，对于连续性，由于它的极限本 质，同样存在相应的四则运算性 质和复合 性质：

1．设函数f（x）和g（x）在x₀处连续，则函数

（1） ，其中 a，b为任意常数；

（2） ；

（3） ，其中g（x）不能等于0。

都在x₀处连续 。

2．设函数u=g（x）在x₀处连续 ，函数y=f（u）在u₀处连续 ，g（x₀）= u₀，那么函数 y=f[g（x）]在x₀处连续 。

有了这两 个基本定理，我 们从基本初等函数的连续性开始，可以一步一步地得到初等函数的连续性，

即任意初等函数在其定义域上的每一点处都是连续的。

这个结论 具有极其重要的价值。后面我 们可以看到，初等函数的这个性质使得我们对 它们的处理大大 简化了。

间断点及其分类。

前面我们已经把函数在某点连续的意思概括为三点，那么相应的，如果说一个函数在某 点不连续，或 者说发生了间断，就必定是出现了三种情况之一：

（1） 函数在这点没有定义；

（2） 函数在这点不存在左右极限之一或左右极限都不存在；

（3） 函数在这点的左右极限与函数在这点的函数值至少有一个不相等。

因此我们可以把函数发生间断的情况分成三类：

（1）函 数在这点的左右极限都存在，并且相等，而 与函数在这点的函数值不相等，或者函 数在这点 δ

<

− x x ₀

ε

<

− ( )

)

(x f x₀ f

x−x₀

) ( )

(x bg x af +

) ( ) (x g x f ⋅

) (

) (

x g

x f

Ｐａｇｅ　１０　ｏｆ　１２ 第二章

根本就没有定义，我们知道，这在函数的极限定 义里，是可以允许的。这种间断点，由于只要通过重 新定义函数在这点的函数值，就可以得到一个在这点连续的新的函数，因此称为可去间断点。

（2）函 数在这点的左右极限都存在，但不相等，这时 无论函数在这点的函 数值如何，都把 这种间断 点称为第一类间断点。

（3）函数在这点的左右 极限至少有一 个不存在，这时，称为第二类间断点。

对于这三类间断点，我们必须拥有很好的直观，因为图形直观可以帮助我们直截了 当地解题。

闭区间连续函数的性质，中值，最值。

通过前面的学习，我 们可以体会到，所谓函数的连续 性，其实是保持一个连续 区间的连续性的任意 变 换。

而所谓区间的连续性，直观地看，就是实数轴上面的一个线段区间，而函数的连续性，就正是体现在 把X轴上面的一个连续线段区间，变换为Y轴上面的一个连续线段区间。

对于所谓实数区 间的连续性，我 们只能从直观的角度来把握，而不能作更进一步的理论探讨，因为这 超出了本课程的范 围。不过基本的直观对于我们下面的 学习是足够了的。

对于连续 函数或者说连续变换来说，实数轴上面的闭区间具有非常重要的意义，首先我们给 出一个基 本定理：

连续函数把一个有限闭区间变换为 一个有限 闭区间，或者说，定义在有限闭区间上面的连续 函数的值 域也是有限闭区间。

从这个基本定理出 发，我们可以从下面的几个定理体会到闭区间对于连续函数的意义之所在：

（1） 定义在一个闭区间上面的连续函数，必定存在函数在这个区间上面的最大值与最小值。这就 是所谓最值定理。

（2） 定义在一个闭区间上面的连续函数，必定是有界的。这就是所谓有界性定理。

（3） 定义在一个闭区间[a，b]上面的连续函数f（x），对于满足f（a）<c<f（b）的任意的c值，总 是存在一个相应的 ，使得 这就是所 谓介值定理。

（4） 定 义 在一 个 闭 区 间[a，b]上面的 连续 函 数 f（x），如 果 f（a）·f（b）<0，则总 是 存 在 一 个

，使得 这就是所 谓零值定理。

（5） 如果函 数 y=f（x）为 在闭区 间[a，b]上面 严 格单调 增加（减 小）的 连续 函 数，f（a）=A，f

（b）=B，则在闭区间 [A，B]上面存在 f的反函 数x=g（y）为严格单调减 小（增 加）。这实 际上是极其基本的反函数存在定理 。

二，答疑解难。

1．数列的极限的定 义当中， 与N的取值是一一对应的吗？

[答]：不是。

初学者对于极限的定义的叙述往往理解不够深入， 并且常常 产生歧义，这个问题就是最 为典型的。

尽管在根据定义进行具体的极限分析时，常常是由 推出N的表 达式，但 这并不是意味着这两个变量 之间具有一定的函数关系，这两个变量之 间确实是具有一定的关系，但 决不是函数的关系，而是一种两个 区间的相互影响与决定的关系，实际上，我 们给出一 个 的意思，实际 上是给出了一个区间，同样由此而 得到的N，也是一 个区 间的概念，而不是 两个数 值变量的 关系，因此 N的求法是很多形式的，实际问题当 中，我们只是选择了最为方便的形式而已。

2．函数的极限的定 义当中， 与 是取值是一一对应的吗？

[答]：不对。

这里的原因与数列的情形是类似的。这两 个变量同样是意味着两个区 域，而并不是两个数值变量的 关 系。因此在作具体问题时，可以 灵活地选择最为方便的途径来求出它们的对应关系。

] , [ ' a b

x∈ f(x')=c.

] , [ ' a b

x∈ f(x')=c.

ε

ε ε

ε δ

Ｐａｇｅ　１１　ｏｆ　１２ 第二章

3．函数的极限的定 义当中，不等式 里面大于０是必要的吗？

[答]：是。

初学者往往忽略了这点，因为在数列的极限的定义当中不存在这个问题。

这里的意思其实就是取x₀的去心邻域。因 为函数可以对某点取极限，而同时函数不一定需要在该点有 定义，这种情况在实际问题 当中是有必要考虑的，因此为了照顾到这种情况，就在定 义当中加入了 这点要 求，而同时不会损害极限的定义本身。

4．求极限的主要方法有 哪些？

[答]：在求极 限之前，要注意观 察，通 过观 察来判断 需要应 用什么 样的途径 与方法，而不是盲目 尝 试，一般的方法有如下的几 种，其中有些方法是基于后面的知识，我们也列出，以供参考：

（1） 对于函数在连续点的极限，直接代入即可；

（2） 运用消去零因子的方法；

（3） 通过一定的 变形，利用两个重要的 极限；

（4） 在某些特殊情况下，需要通过左右极限来判断函数在某点的极限；

（5） 运用等价无穷小或者 无穷大的性质；

（6） 运用单调有界性 质；

（7） 运用夹逼准则；

（8） 通过变量代换；

（9） 对于未定式，必要的话可以考 虑运用罗必塔法则；

（10） 对于数列，可以先尝试计 算出有限和，再取其极限；

（11） 运用级数收敛的必要 条件；

（12） 通过运用定积分的定 义来得到；

（13） 应用导数的定义；

（14） 运用微分中值定理。

δ

<

−

< x x0

0

Ｐａｇｅ　１２　ｏｆ　１２ 第二章