第一章
線性方程式系統
1.1 線性方程式系統簡介
1.2 高斯消去法與高斯-喬登消去法
1.3 線性方程式系統的應用
1.1 線性方程式系統簡介
n個變數的線性方程式 (linear equation)
係數a
1，a
2，a
3，…，a
n都是實數，並且常數項b也是 實數。a
1稱為領先係數(leading coefficient)，x
1稱為領 先變數(leading variable)。
注意：
(1) 線性方程式之變數不可以是相乘或是開根號，且 變數不能被包含在三角、指數或對數函數裡面。
(2) 變數只能以第一冪次的方程式表示 。
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 1.1節節節節 pp.2-3
範例 1：線性、非線性 7 2
3 )
(
a x + y =2
2 ) 1
(
b x + y −π z =0 10
2 )
(c x1 − x2 + x3 + x4 =
)
14
2 2sin 2
( )
(
d π x − x = e指數
線性 線性
線性 線性
2 )
(
e xy + z =(
f)
ex −2
y =4
03 2
sin )
(g x1 + x2 − x3 =
( ) 1
+1
=4
yh x
(非第一冪次) 變數不能相乘
指數
三角函數 非第一冪次
非線性 非線性
非線性
非線性
n個變數線性方程式的解 (solution)
b xa x
a x
a x
a + + +
L
+ n n =3 3 2
2 1
1
1,
1 s
x = x2 = s2, x3 = s3,
L
,n
n s
x =
當
b s
a s
a s
a s
a + + +
L
+ n n =3 3 2
2 1
使得
1
解集合 (solution set)
所有滿足線性方程式的解所構成的集合。
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 1.1節節節節 p.3
範例 2：解集合的參數化表示 (parametric representation)
42 2
1 + x =
x
將方程式整理成 ，並令
2
1 4 2x
x = − x2 = t
1 ,
2
21 = x =
其中一解為 (2, 1)，即
x可得
則解集合為 或
{ ( 4 −2
t ,
t) |
t∈R}
2
1 4 t
x = −
{ (s , 2
− 21 s) |
s∈R}
n個變數m條線性方程式系統 (system of linear equations)
n n n
n n
b x
a x
a x
a x
a
b x
a x
a x
a x
a
b x
a x
a x
a x
a
b x
a x
a x
a x
a
= +
+ +
+
= +
+ +
+
= +
+ +
+
= +
+ +
+
L M
L L L
3 3
3 3
33 2
32 1
31
2 2
3 23 2
22 1
21
1 1
3 13 2
12 1
11
m n
mn m
m
m x a x a x a x b
a + + +
L
+ =3 3 2
2 1
1
一致性 (consistent)
線性方程式系統至少有一解
非一致性 (inconsistent) 線性方程式系統無解
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 1.1節節節節 p.5
對一線性方程式系統而言，下列有一為真
(1) 系統只有唯一解(一致性系統)
(2) 系統有無限多組解(一致性系統)
(3) 系統為無解(非一致性系統)
範例 4：(線性方程式系統的解) (1)
(2)
1
−
3
=
− =
+ y x
y x
6 2
2
=
3
+ =
+
y x
y x
) (唯一解
) (無限多組解 兩相交直線
(3)
6 2
2
x + y =1
=
3
+ =
+ y x
y x
) (無限多組解
) (無解 兩重疊直線
兩平行直線
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 1.1節節節節 p.6
範例 5：使用回代法(back substitution)解列梯形形式的方 程式系統
(2) (1) 2
5 2
== −−
y y x
解：將
y = −2代入(1) 可得
1 5 )
2 (
2
− ==−
x x
2 ,
1 = −
= y
此系統有唯一解
x
範例 6：使用回代法解列梯形形式的方程式系統
(3) (2) (1) 2
5 3
9 3
2
==
+ =
+
−
z z y
z y
x
解：將
z = 2代入(2) 可得 5 )
2 (
3
=+ y
1 5 )
2 (
3
== − +y y
再將
y = −1及
z = 2代入(1)得
1 9 )
2 ( 3 )
1 (
2
− + ==−
x x
2 ,
1 ,
1 = − =
= y z
此系統有唯一解
x線性代數線性代數
線性代數線性代數: 1.1節節節節 p.8
等價 (equivalent)
若兩線性方程式系統的解集合完全相同，
則稱此兩 線性方程式系統為等價
下列運算會產生兩個等價的線性方程式系統 (1) 兩方程式互換
(1) 兩方程式互換
(2) 一方程式乘上一非零常數
(3) 一方程式的倍數加到另一方程式
範例 7：利用高斯消去法將線性方程式系統改寫成列梯形 形式
(3) (2) (1) 17
5 5
2
4 3
9 3
2
= +
− = −
+
− − + =
z y
x
y x
z y
x
解：
(1) + (2) → (2)(4) 17
5 5
2
5 3
9 3
2
= +
− ++ ==
−
z y
x
z y
z y
x
(5) 1
5 3
9 3
2
(3) (3)
2) (
(1)
−
=
−
− ++ ==
−
→ +
−
×
z y
z y
z y
x
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 1.1節節節節 p.9
(6) 4
2
5 3
9 3
2
(5) (5)
(4)
==
+ =
+
−
→ +
z z y
z y
x
9 3
2
) 6 ( (6) 21
= +
−
→
×
z y
x
所以此系統的解為
x =1 ,
y = −1 ,
z =2 (唯一解)
25 3
9 3
2
==
+ =
+
−
z z y
z y
x
範例 8：求解線性方程式系統(非一致性(矛盾)系統)
(3) (2) (1) 1
3 2
2 2
2
1 3
3 2
1
3 2
1
3 2
1
−
=
−
+−− −+ == x
x x
x x
x
x x
x
解：
(1) ( 2) (2) (2)→ +
−
×
→ +
−
×
) 5 (
) 4 ( 2
4 5
0 4
5
1 3
(3) (3)
) 1 ( (1)
3 2
3 2
3 2
1
−
=
− =
− =
+
−
→ +
−
×
x x
x x
x x
x
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 1.1節節節節 p.11
所以此線性方程式系統無解
2 00 4
5
1 3
) 5 ( )
5 ( ) 1 ( ) 4 (
3 2
3 2
1
−
==
− =
+
−
→ +
−
×
x x
x x
x
矛盾
範例 9：求解線性方程式系統(無限多組解)
(3) (2) (1)
1 3
1 3
0
2 1
3 1
3 2
= +
− −− == −
x x
x x
x x
解：
1 (1) 3
) 2 ( )
1 (
−
=
−
↔
x x
(3) (2) (1)
1 3
0 1 3
2 1
3 2
3 1
= +
− −− == −
x x
x x
x x
(4)
0 3
3
0 1 3
(3) (3)
(1)
3 2
3 2
3 1
=
− =
− = −
−
→ +
x x
x x
x x
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 1.1節節節節 p.12
0 1 3
3 2
3 1
=
−
−
=
−
x x
x x
t x3 =
令
3,
2 x
x =
⇒
3
1 1 3x
x = − +
則
,
,
, 1 3
3 2 1
t x
R t
t x
t x
=
∈
=
−
= t x3 =
所以此系統有無限多組解
摘要與復習 (1.1節之關鍵詞)
linear equation: 線性方程式
system of linear equation: 線性方程系統
leading coefficient: 領先係數
leading variable: 領先變數
solution: 解
solution set: 解集合
parametric representation: 參數化表示
consistent: 一致性(有解)
inconsistent: 非一致性(無解、矛盾)
equivalent: 等價
1.2 高斯消去法與高斯-喬登消去法
m
×n 矩陣 (matrix)
mn m
m m
n n n
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
L M
L L L
3 2
1
3 33
32 31
2 23
22 21
1 13
12 11
列
mn
行
(4)對一方陣而言，元素a
11, a
22, …, a
nn稱為主對角線
(main diagonal)的元素n
行
(3)若
m = n，則此矩陣稱為n階方陣(square of order n)
注意：
(1)矩陣中的每一個元素(entry)a
ij是一個數
(2)一m列n行的矩陣的大小(size)為m
×n
範例 1： 矩陣 大小
]2 [
0 0
0 0
−
2
0 1 3 1
1 1
×2 2
×4 1
×
2
− 7 4 2 2
π e
2 3×
注意：
矩陣最常用的方式是用來表示線性方程式系統
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 1.2節節節節 pp.18-19
m個方程式n個變數的線性方程式系統
n n
n n
n n
b x
a x
a x
a x
a
b x
a x
a x
a x
a
b x
a x
a x
a x
a
b x
a x
a x
a x
a
= +
+ +
+
= +
+ +
+
= +
+ +
+
= +
+ +
+
K M
K K K
3 3
3 33 2
32 1
31
2 2
3 23 2
22 1
21
1 1
3 13 2
12 1
11
m n
mn m
m
m x a x a x a x b
a + + +
K
+ =3 3 2
2 1
1
= nn
n
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
A
L M
L L L
3 33
32 31
2 23
22 21
1 13
12 11
= bm
b b
b
M
2 1
= xn
x x
x
M
2 1
b Ax =
以矩陣方式表示為
增廣矩陣 (augmented matrix)
] [
3
2 1
3 2
1
3 33
32 31
2 23
22 21
1 13
12 11
b A b
b b b
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
m mn
m m
m
n n n
=
L M
L L L
係數矩陣 (coefficient matrix)
A a
a a
a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
mn m
m m
n n n
=
L M
L L L
3 2
1
3 33
32 31
2 23
22 21
1 13
12 11
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 1.2節節節節 p.19
三個基本列運算 (elementary row operation)
j i
ij R R
r : ↔
(1)兩列互換
i i
k
i k R R
r( )
: ( )
→(2)一列乘上一非零常數
j j
i k
ij k R R R
r( ) : ( ) + →
(3)一列的倍數加到另一列
(row equivalent)
列等價 (row equivalent)
若一矩陣可由另一矩陣的一些基本列運算來獲得，則
此兩個矩陣稱為列等價
範例 2：(基本列運算)
−
−
1 4 3 2
4 3 1 0
3 0 2 1
− −
1 4 3 2
3 0 2 1
4 3 1
0 r12
− −
−
0 3
3 1
1 3
2
1
− − − 0 33 1
2 6
4
2 ( )
1
2
r 1
− −2 1
2 5
0 3
3
1
− −2 1
2 5
0 3
3 1
−
− −− − 8 13
3 0
1 2
3 0
3 4
2 1
−−
−−
2 5
1 2
1 2
3 0
3 4
2
1 ( 2)
13
r −
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 1.2節節節節 p.20
範例 3：使用基本列運算解一個系統
17 5
5 2
4 3
9 3
2
= +
−
−
= +
−
= +
−
z y
x
y x
z y
x
−
−
−
−
17 5
5 2
4 0
3 1
9 3
2 1
線性系統 相對的增廣矩陣 基本列運算
17 5
5 2
5 3
9 3
2
= +
−
= +
= +
−
z y
x
z y
z y
x
−
−
17 5
5 2
5 3
1 0
9 3
2 1
−
−
−
−
1 1
1 0
5 3
1 0
9 3
2 1
2 2
1 )
1 (
12 :(1)R R R
r + →
3 3
1 )
2 (
13 :( 2)R R R
r − − + →
1 5 3
9 3
2
−
=
−
−
= +
= +
−
z y
z y
z y
x
範例 3：使用基本列運算解一個系統
線性系統 相對的增廣矩陣 基本列運算
3 3
2 )
1 (
23 :(1)R R R
r + →
−4 2
0 0
5 3 1 0
9 3 2
1
4 2
5 3
9 3
2
=
= +
= +
−
z z y
z y
x
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 1.2節節節節 p.22
2 1 1
= −
== z y x
−2 1 0
0
5 3
1 0
9 3
2 1
3 3
2) (1
3 )
2 (1
: R R
r →
2 5 3
9 3
2
=
= +
= +
−
z z y
z y
x
列梯形形式 (row-echelon form)
(1)全部為零的列在矩陣最底下
(2)不全為零的列，其第一個非零元素為1，稱為領先1 (leading 1)
(3)對兩相鄰的非零列而言，較高列之領先1出現在較 低列之領先1的左邊
低列之領先1的左邊
列簡梯形形式 (reduced row-echelon form) (1) ~ (3) 同上
(4)在領先1的那一行除了領先1以外的位置全部為零
列簡梯形形式
列簡梯形形式 列梯形形式
列梯形形式
範例 4：判斷下列矩陣為列梯形形式或列簡梯形形式
−
−
2 1
0 0
3 0
1 0
4 1
2 1
− − −2 3
1 0 0
3 1
2 5 1
0 0 0 0
3 1 0 0
5 0 1 0
−3 1
0 0
2 0
1 0
1 0
0 1
列簡梯形形式 列梯形形式
− 1 0
0 0 0
4 1
0 0 0
2 3
1 0 0
0 0 0 0 3 10 0
2 0
1 0
−−
−
3 1
0 0
1 1
2 0
4 3
2 1
−
−
4 2
1 0
0 0
0 0
2 1
2 1
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 1.2節節節節 p.23
高斯消去法 (Gaussian elimination)
將矩陣化簡為列梯形形式的程序
高斯-喬登消去法 (Gauss-Jordan elimination) 將矩陣化簡為列簡梯形形式的程序
注意：
(1) 每個矩陣只有一個列簡梯形形式
(2) 每個矩陣可以有很多種列梯形形式(不同的列運算
會產生不同的列梯形形式)
−
−
−
−
4 5
4 1 8
2
12 8
0 2 0
0
28 12
4 6 8
2
r12
產生 leading 1
最左邊的非零行
範例：高斯消去法與高斯喬登消去法之步驟說明
−
−
−
−
4 5
4 1 8
2
28 12
4 6 8
2
12 8
0 2 0
0
最左邊的非零行 產生 leading 1
讓在leading 1 下的元素為0 leading 1
−
−
−
−
4 5
4 1 8
2
12 8
0 2 0
0
14 6
2 3 4
) 1
( 1
2
r 1
−
−
−
−
24 17
0 5 0
0
12 8
0 2 0
0
14 6
2 3 4
1
) 2 ( 13
r −
子矩陣
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 1.2節節節節 補充補充補充補充
讓在leading 1 下的元素為0
讓leading 1以外的其他位置為0 產生 leading 1 leading 1
−
−
−
−
−
24 17
0 5 0
0
6 4
0 1 0
0
14 6
2 3 4
) 1
( 2
2
−1
r
−
−
−
6 3
0 0 0
0
6 4
0 1 0
0
14 6
2 3 4
1
) 5 ( 23
r −
1 4 −3 2 6 14
3 ) ( 1
r
子矩陣
1 4 −3 2 0 2
) 6 (−
r
leading 1
−
−
−
2 1
0 0 0
0
6 4
0 1 0
0
14 6
2 3 4
1
3
r3
−
2 1 0 0 0
0
2 0 0 1 0
0
2 0 2 3 4
1
) 4 (
r32
2 1 0 0 0 0
2 0 0 1 0 0
8 0 2 0 4 1
) 3 (
r
21
−
−
−
2 1
0 0 0
0
6 4
0 1 0
0
2 0
2 3 4
1
) 6 ( 31
r −
列梯形形式 列梯形形式
範例 7：用高斯-喬登消去法求解線性方程式系統(唯一解)
17 5
5 2
4 3
9 3
2
= +
− = −
+
− − + =
z y
x
y x
z y
x
解：
增廣矩陣
1 − 2 3 9 (1) (−2)
1 − 2 3 9
r(1)
1 − 2 3 9
− −
− −
17 5
5 2
4 0
3 1
9 3
2 1
列簡梯形形式
−2 1
0 0
1 0
1 0
1 0
0 1
) 9 ( 31 )
3 ( 32 ) 2 (
21 , r − , r − r
列梯形形式
2 1 1
= −
== z y x
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 1.2節節節節 p.27-28
−
−
−
1 1
1 0
5 3
1 0
9 3
2 1
) 2 ( 13 ) 1 (
12 ,r −
r r23(1)
−4 2 0 0
5 3 1 0
9 3 2 1
−2 1 0 0
5 3 1 0
9 3 2
) 1
2 (1
r3
範例 8：求解線性方程式系統(無限多組解)
15
3
0 2
4 2
2 1
3 1
1 ++ − ==
x x
x x
x
解：
−1 0 5
3
0 2 4
2
增廣矩陣
−
− 3 1 1
0
2 5
0 1
列簡梯形形式
) 2 ( 21 ) 1 ( 2 ) 3 ( 12 ) (
1 21 ,r − ,r − ,r − r
3 5 0 1
0 1 − 3 −1
相對的線性方程式系統 1 3
2 5
3 2
3
1 + − == −
x x
x x
3
2 1
) variable free
(
, )
variable leading
(
x
x x
： 自由變數
：
領先變數
3 2
3 1
3 1
5 2
x x
x x == − +−
令
x3 = t,
3 1
, 5 2
2 1
R t
t x
t x
∈ +
−
=
−
=
3 t
,
x =所以此系統有無限多組解
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 1.2節節節節 pp.30-31
線性方程式的齊次系統 (homogeneous system) 若一線性方程系統的常數項均為零時，
則此系統為齊次系統
0
0
0
2 3
23 2
22 1
21
1 3
13 2
12 1
11
= +
+ +
+ + + + =
+ + + + =
+
n n
n n
x a x
a x
a x
a
x a x
a x
a x
a
x a x
a x
a x
a
L L L
0
0
3 3 2
2 1
1
3 3
33 2
32 1
31
= +
+ +
+
= +
+ +
+
n mn m
m m
n n
x a x
a x
a x
a
x a x
a x
a x
a
L M
L
顯然解 (trivial solution)
非顯然解 (nontrivial solution) 顯然解之外的其他解
3
0
2
1 = x = x = = xn =
x
L
注意：
(任意n變數齊次系統的解)
注意：
(1) 所有的齊次系統均為一致性(consistent)系統 (2) 若系統的方程式比變數少，則有無限多組解 (3) 對於一個齊次系統來說，下列有一為真
(a) 系統只有一個顯然解
(b) 系統除了顯然解外還有無限多組解
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 1.2節節節節 p.30
範例 9：求解下列的齊次線性方程式系統 0
2
0
3 2
1
3 2
1 +− ++ ==
x x
x
x x
x
解：
−0 3 1 2
0 3 1 1
增廣矩陣
−1 0 1
0
0 2 0
1
列簡梯形形式
) 1 ( 21 ) ( 2 ) 2 (
12
,
r 13,
r r
2 1 3 0
0 1 −1 0
3 2 1
,
xx x
自由變數：
領先變數：
令
x3 = tR t
t x
t x
t
x1 = −
2 ,
2 =,
3 =,
∈) (
0 ,
0
1 2 3顯然解
當
t = x = x = x =摘要與復習 (1.2節之關鍵詞)
matrix: 矩陣
row: 列
column: 行
entry: 元素
size: 大小
square matrix: 方陣
square matrix: 方陣
order: 階
main diagonal: 主對角線
augmented matrix: 增廣矩陣
coefficient matrix: 係數矩陣
elementary row operation: 基本列運算
row equivalent: 列等價
row-echelon form: 列梯形形式
reduced row-echelon form: 列簡梯形形式
leading 1: 領先1
Gaussian elimination: 高斯消去法
Gaussian elimination: 高斯消去法
Gauss-Jordan elimination: 高斯-喬登消去法
free variable: 自由變數
homogeneous system: 齊次系統
trivial solution: 顯然解
nontrivial solution: 非顯然解
1.3 線性方程式系統的應用
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 1.3節節節節 pp.35
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 1.3節節節節 pp.36
線性代數線性代數
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線性代數線性代數
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線性代數線性代數
線性代數線性代數: 1.3節節節節 pp.39-40
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 1.3節節節節 pp.40
線性代數線性代數
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線性代數線性代數
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線性代數線性代數
線性代數線性代數: 1.3節節節節 pp.43
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 1.3節節節節 pp.43-44
線性代數線性代數
線性代數線性代數: 1.3節節節節 pp.44
