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線性方程式系統

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Academic year: 2022

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(1)

第一章

線性方程式系統

1.1 線性方程式系統簡介

1.2 高斯消去法與高斯-喬登消去法

1.3 線性方程式系統的應用

(2)

1.1 線性方程式系統簡介



n個變數的線性方程式 (linear equation)

係數a

1

,a

2

,a

3

,…,a

n

都是實數,並且常數項b也是 實數。a

1

稱為領先係數(leading coefficient),x

1

稱為領 先變數(leading variable)。



注意:

(1) 線性方程式之變數不可以是相乘或是開根號,且 變數不能被包含在三角、指數或對數函數裡面。

(2) 變數只能以第一冪次的方程式表示 。

線性代數線性代數

線性代數線性代數: 1.1節節節節 pp.2-3

(3)



範例 1:線性、非線性 7 2

3 )

(

a x + y =

2

2 ) 1

(

b x + y −π z =

0 10

2 )

(c x1x2 + x3 + x4 =

)

1

4

2 2

sin 2

( )

(

d π xx = e

指數

線性 線性

線性 線性

2 )

(

e xy + z =

(

f

)

ex

2

y =

4

0

3 2

sin )

(g x1 + x2x3 =

( ) 1

+

1

=

4

y

h x

(非第一冪次) 變數不能相乘

指數

三角函數 非第一冪次

非線性 非線性

非線性

非線性

(4)



n個變數線性方程式的解 (solution)

b x

a x

a x

a x

a + + +

L

+ n n =

3 3 2

2 1

1

1,

1 s

x = x2 = s2, x3 = s3,

L

,

n

n s

x =

b s

a s

a s

a s

a + + +

L

+ n n =

3 3 2

2 1

使得

1



解集合 (solution set)

所有滿足線性方程式的解所構成的集合。

線性代數線性代數

線性代數線性代數: 1.1節節節節 p.3

(5)



範例 2:解集合的參數化表示 (parametric representation)

4

2 2

1 + x =

x

將方程式整理成 ,並令

2

1 4 2x

x = − x2 = t

1 ,

2

2

1 = x =

其中一解為 (2, 1),即

x

可得

則解集合為 或

{ ( 4

2

t

,

t

) |

tR

}

2

1 4 t

x = −

{ (

s

, 2

21 s

) |

sR

}

(6)



n個變數m條線性方程式系統 (system of linear equations)

n n n

n n

b x

a x

a x

a x

a

b x

a x

a x

a x

a

b x

a x

a x

a x

a

b x

a x

a x

a x

a

= +

+ +

+

= +

+ +

+

= +

+ +

+

= +

+ +

+

L M

L L L

3 3

3 3

33 2

32 1

31

2 2

3 23 2

22 1

21

1 1

3 13 2

12 1

11

m n

mn m

m

m x a x a x a x b

a + + +

L

+ =

3 3 2

2 1

1



一致性 (consistent)

線性方程式系統至少有一解



非一致性 (inconsistent) 線性方程式系統無解

線性代數線性代數

線性代數線性代數: 1.1節節節節 p.5

(7)



對一線性方程式系統而言,下列有一為真

(1) 系統只有唯一解(一致性系統)

(2) 系統有無限多組解(一致性系統)

(3) 系統為無解(非一致性系統)

(8)



範例 4:(線性方程式系統的解) (1)

(2)

1

3

=

− =

+ y x

y x

6 2

2

=

3

+ =

+

y x

y x

) (唯一解

) (無限多組解 兩相交直線

(3)

6 2

2

x + y =

1

=

3

+ =

+ y x

y x

) (無限多組解

) (無解 兩重疊直線

兩平行直線

線性代數線性代數

線性代數線性代數: 1.1節節節節 p.6

(9)



範例 5:使用回代法(back substitution)解列梯形形式的方 程式系統

(2) (1) 2

5 2

== −

y y x

解:將

y = −2

代入(1) 可得

1 5 )

2 (

2

− ==

x x

2 ,

1 = −

= y

此系統有唯一解

x

(10)



範例 6:使用回代法解列梯形形式的方程式系統

(3) (2) (1) 2

5 3

9 3

2

==

+ =

+

z z y

z y

x

解:將

z = 2

代入(2) 可得 5 )

2 (

3

=

+ y

1 5 )

2 (

3

== − +

y y

再將

y = −1

z = 2

代入(1)得

1 9 )

2 ( 3 )

1 (

2

− + ==

x x

2 ,

1 ,

1 = − =

= y z

此系統有唯一解

x

線性代數線性代數

線性代數線性代數: 1.1節節節節 p.8

(11)



等價 (equivalent)

若兩線性方程式系統的解集合完全相同,

則稱此兩 線性方程式系統為等價



下列運算會產生兩個等價的線性方程式系統 (1) 兩方程式互換

(1) 兩方程式互換

(2) 一方程式乘上一非零常數

(3) 一方程式的倍數加到另一方程式

(12)



範例 7:利用高斯消去法將線性方程式系統改寫成列梯形 形式

(3) (2) (1) 17

5 5

2

4 3

9 3

2

= +

− = −

+

− − + =

z y

x

y x

z y

x

解:

(1) + (2) → (2)

(4) 17

5 5

2

5 3

9 3

2

= +

− ++ ==

z y

x

z y

z y

x

(5) 1

5 3

9 3

2

(3) (3)

2) (

(1)

=

− ++ ==

→ +

×

z y

z y

z y

x

線性代數線性代數

線性代數線性代數: 1.1節節節節 p.9

(13)

(6) 4

2

5 3

9 3

2

(5) (5)

(4)

==

+ =

+

→ +

z z y

z y

x

9 3

2

) 6 ( (6) 21

= +

×

z y

x

所以此系統的解為

x =

1 ,

y = −

1 ,

z =

2 (唯一解)

2

5 3

9 3

2

==

+ =

+

z z y

z y

x

(14)



範例 8:求解線性方程式系統(非一致性(矛盾)系統)

(3) (2) (1) 1

3 2

2 2

2

1 3

3 2

1

3 2

1

3 2

1

=

+−− −+ == x

x x

x x

x

x x

x

解:

(1) ( 2) (2) (2)

→ +

×

→ +

×

) 5 (

) 4 ( 2

4 5

0 4

5

1 3

(3) (3)

) 1 ( (1)

3 2

3 2

3 2

1

=

− =

− =

+

→ +

×

x x

x x

x x

x

線性代數線性代數

線性代數線性代數: 1.1節節節節 p.11

(15)

所以此線性方程式系統無解

2 0

0 4

5

1 3

) 5 ( )

5 ( ) 1 ( ) 4 (

3 2

3 2

1

==

− =

+

→ +

×

x x

x x

x

矛盾

(16)



範例 9:求解線性方程式系統(無限多組解)

(3) (2) (1)

1 3

1 3

0

2 1

3 1

3 2

= +

− −− == −

x x

x x

x x

解:

1 (1) 3

) 2 ( )

1 (

=

x x

(3) (2) (1)

1 3

0 1 3

2 1

3 2

3 1

= +

− −− == −

x x

x x

x x

(4)

0 3

3

0 1 3

(3) (3)

(1)

3 2

3 2

3 1

=

− =

− = −

→ +

x x

x x

x x

線性代數線性代數

線性代數線性代數: 1.1節節節節 p.12

(17)

0 1 3

3 2

3 1

=

=

x x

x x

t x3 =

3,

2 x

x =

3

1 1 3x

x = − +

,

,

, 1 3

3 2 1

t x

R t

t x

t x

=

=

= t x3 =

所以此系統有無限多組解

(18)

摘要與復習 (1.1節之關鍵詞)



linear equation: 線性方程式



system of linear equation: 線性方程系統



leading coefficient: 領先係數



leading variable: 領先變數



solution: 解



solution set: 解集合



parametric representation: 參數化表示



consistent: 一致性(有解)



inconsistent: 非一致性(無解、矛盾)



equivalent: 等價

(19)

1.2 高斯消去法與高斯-喬登消去法



m

×

n 矩陣 (matrix)

 

 

mn m

m m

n n n

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

L M

L L L

3 2

1

3 33

32 31

2 23

22 21

1 13

12 11

m

n

(4)對一方陣而言,元素a

11

, a

22

, …, a

nn

稱為主對角線

(main diagonal)的元素

n

(3)若

m = n

,則此矩陣稱為n階方陣(square of order n)



注意:

(1)矩陣中的每一個元素(entry)a

ij

是一個數

(2)一m列n行的矩陣的大小(size)為m

×n

(20)



範例 1: 矩陣 大小

]

2 [

 

 

0 0

0 0

 

 

2

0 1 3 1

1 1

×

2 2

×

4 1

×

 2

− 7 4 2 2

π e

2 3×



注意:

矩陣最常用的方式是用來表示線性方程式系統

線性代數線性代數

線性代數線性代數: 1.2節節節節 pp.18-19

(21)



m個方程式n個變數的線性方程式系統

n n

n n

n n

b x

a x

a x

a x

a

b x

a x

a x

a x

a

b x

a x

a x

a x

a

b x

a x

a x

a x

a

= +

+ +

+

= +

+ +

+

= +

+ +

+

= +

+ +

+

K M

K K K

3 3

3 33 2

32 1

31

2 2

3 23 2

22 1

21

1 1

3 13 2

12 1

11

m n

mn m

m

m x a x a x a x b

a + + +

K

+ =

3 3 2

2 1

1

 

 

= nn

n

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

A

L M

L L L

3 33

32 31

2 23

22 21

1 13

12 11

 

 

= bm

b b

b

M

2 1

 

 

= xn

x x

x

M

2 1

b Ax =

以矩陣方式表示為

(22)



增廣矩陣 (augmented matrix)

] [

3

2 1

3 2

1

3 33

32 31

2 23

22 21

1 13

12 11

b A b

b b b

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

m mn

m m

m

n n n

=

 

 

L M

L L L



係數矩陣 (coefficient matrix)

A a

a a

a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

mn m

m m

n n n

=

 

 

L M

L L L

3 2

1

3 33

32 31

2 23

22 21

1 13

12 11

線性代數線性代數

線性代數線性代數: 1.2節節節節 p.19

(23)



三個基本列運算 (elementary row operation)

j i

ij R R

r : ↔

(1)兩列互換

i i

k

i k R R

r( )

: ( )

(2)一列乘上一非零常數

j j

i k

ij k R R R

r( ) : ( ) + →

(3)一列的倍數加到另一列

(row equivalent)



列等價 (row equivalent)

若一矩陣可由另一矩陣的一些基本列運算來獲得,則

此兩個矩陣稱為列等價

(24)



範例 2:(基本列運算)

 

 

1 4 3 2

4 3 1 0

3 0 2 1

 

 

− −

1 4 3 2

3 0 2 1

4 3 1

0 r12

 

 

− −

0 3

3 1

1 3

2

1

 

− − − 0 3

3 1

2 6

4

2 ( )

1

2

r 1

 

 

− −

2 1

2 5

0 3

3

1

 

− −

2 1

2 5

0 3

3 1

 

 

− −− − 8 13

3 0

1 2

3 0

3 4

2 1

 

 

−−

−−

2 5

1 2

1 2

3 0

3 4

2

1 ( 2)

13

r

線性代數線性代數

線性代數線性代數: 1.2節節節節 p.20

(25)



範例 3:使用基本列運算解一個系統

17 5

5 2

4 3

9 3

2

= +

= +

= +

z y

x

y x

z y

x

17 5

5 2

4 0

3 1

9 3

2 1

線性系統 相對的增廣矩陣 基本列運算

17 5

5 2

5 3

9 3

2

= +

= +

= +

z y

x

z y

z y

x

 

 

17 5

5 2

5 3

1 0

9 3

2 1

1 1

1 0

5 3

1 0

9 3

2 1

2 2

1 )

1 (

12 :(1)R R R

r +

3 3

1 )

2 (

13 :( 2)R R R

r +

1 5 3

9 3

2

=

= +

= +

z y

z y

z y

x

(26)



範例 3:使用基本列運算解一個系統

線性系統 相對的增廣矩陣 基本列運算

3 3

2 )

1 (

23 :(1)R R R

r +

 

 

4 2

0 0

5 3 1 0

9 3 2

1

4 2

5 3

9 3

2

=

= +

= +

z z y

z y

x

線性代數線性代數

線性代數線性代數: 1.2節節節節 p.22

2 1 1

= −

== z y x

 

 

2 1 0

0

5 3

1 0

9 3

2 1

3 3

2) (1

3 )

2 (1

: R R

r

2 5 3

9 3

2

=

= +

= +

z z y

z y

x

(27)



列梯形形式 (row-echelon form)

(1)全部為零的列在矩陣最底下

(2)不全為零的列,其第一個非零元素為1,稱為領先1 (leading 1)

(3)對兩相鄰的非零列而言,較高列之領先1出現在較 低列之領先1的左邊

低列之領先1的左邊



列簡梯形形式 (reduced row-echelon form) (1) ~ (3) 同上

(4)在領先1的那一行除了領先1以外的位置全部為零

(28)

列簡梯形形式

列簡梯形形式 列梯形形式

列梯形形式



範例 4:判斷下列矩陣為列梯形形式或列簡梯形形式

 

 

2 1

0 0

3 0

1 0

4 1

2 1

− − −

2 3

1 0 0

3 1

2 5 1

 

 

0 0 0 0

3 1 0 0

5 0 1 0

3 1

0 0

2 0

1 0

1 0

0 1

列簡梯形形式 列梯形形式

 

 

− 1 0

0 0 0

4 1

0 0 0

2 3

1 0 0

 

 

0 0 0 0 3 1

0 0

2 0

1 0

 

 

−−

3 1

0 0

1 1

2 0

4 3

2 1

 

 

4 2

1 0

0 0

0 0

2 1

2 1

線性代數線性代數

線性代數線性代數: 1.2節節節節 p.23

(29)



高斯消去法 (Gaussian elimination)

將矩陣化簡為列梯形形式的程序



高斯-喬登消去法 (Gauss-Jordan elimination) 將矩陣化簡為列簡梯形形式的程序



注意:

(1) 每個矩陣只有一個列簡梯形形式

(2) 每個矩陣可以有很多種列梯形形式(不同的列運算

會產生不同的列梯形形式)

(30)

4 5

4 1 8

2

12 8

0 2 0

0

28 12

4 6 8

2

r12

產生 leading 1

最左邊的非零行



範例:高斯消去法與高斯喬登消去法之步驟說明

4 5

4 1 8

2

28 12

4 6 8

2

12 8

0 2 0

0

最左邊的非零行 產生 leading 1

讓在leading 1 下的元素為0 leading 1

4 5

4 1 8

2

12 8

0 2 0

0

14 6

2 3 4

) 1

( 1

2

r 1

24 17

0 5 0

0

12 8

0 2 0

0

14 6

2 3 4

1

) 2 ( 13

r

子矩陣

線性代數線性代數

線性代數線性代數: 1.2節節節節 補充補充補充補充

(31)

讓在leading 1 下的元素為0

讓leading 1以外的其他位置為0 產生 leading 1 leading 1

24 17

0 5 0

0

6 4

0 1 0

0

14 6

2 3 4

) 1

( 2

2

1

r

6 3

0 0 0

0

6 4

0 1 0

0

14 6

2 3 4

1

) 5 ( 23

r

1 4 3 2 6 14

3 ) ( 1

r

子矩陣

1 4 3 2 0 2

) 6 (

r

leading 1

2 1

0 0 0

0

6 4

0 1 0

0

14 6

2 3 4

1

3

r3

2 1 0 0 0

0

2 0 0 1 0

0

2 0 2 3 4

1

) 4 (

r32

2 1 0 0 0 0

2 0 0 1 0 0

8 0 2 0 4 1

) 3 (

r

21

2 1

0 0 0

0

6 4

0 1 0

0

2 0

2 3 4

1

) 6 ( 31

r

列梯形形式 列梯形形式

(32)



範例 7:用高斯-喬登消去法求解線性方程式系統(唯一解)

17 5

5 2

4 3

9 3

2

= +

− = −

+

− − + =

z y

x

y x

z y

x

解:

增廣矩陣

1 − 2 3 9 (1) (2)

1 − 2 3 9

r(1)

1 − 2 3 9

 

 

− −

− −

17 5

5 2

4 0

3 1

9 3

2 1

列簡梯形形式

 

 

2 1

0 0

1 0

1 0

1 0

0 1

) 9 ( 31 )

3 ( 32 ) 2 (

21 , r , r r

列梯形形式

2 1 1

= −

== z y x

線性代數線性代數

線性代數線性代數: 1.2節節節節 p.27-28

 

 

1 1

1 0

5 3

1 0

9 3

2 1

) 2 ( 13 ) 1 (

12 ,r

r r23(1)

 

 

4 2 0 0

5 3 1 0

9 3 2 1

 

 

2 1 0 0

5 3 1 0

9 3 2

) 1

2 (1

r3

(33)



範例 8:求解線性方程式系統(無限多組解)

1

5

3

0 2

4 2

2 1

3 1

1 ++ − ==

x x

x x

x

解:

 

 

1 0 5

3

0 2 4

2

增廣矩陣

 

 

− 3 1 1

0

2 5

0 1

列簡梯形形式

) 2 ( 21 ) 1 ( 2 ) 3 ( 12 ) (

1 21 ,r ,r ,r r





3 5 0 1



0 1 − 3 −1



相對的線性方程式系統 1 3

2 5

3 2

3

1 + − == −

x x

x x

3

2 1

) variable free

(

, )

variable leading

(

x

x x

: 自由變數

領先變數

(34)

3 2

3 1

3 1

5 2

x x

x x == − +−

x3 = t

,

3 1

, 5 2

2 1

R t

t x

t x

∈ +

=

=

3 t

,

x =

所以此系統有無限多組解

線性代數線性代數

線性代數線性代數: 1.2節節節節 pp.30-31

(35)



線性方程式的齊次系統 (homogeneous system) 若一線性方程系統的常數項均為零時,

則此系統為齊次系統

0

0

0

2 3

23 2

22 1

21

1 3

13 2

12 1

11

= +

+ +

+ + + + =

+ + + + =

+

n n

n n

x a x

a x

a x

a

x a x

a x

a x

a

x a x

a x

a x

a

L L L

0

0

3 3 2

2 1

1

3 3

33 2

32 1

31

= +

+ +

+

= +

+ +

+

n mn m

m m

n n

x a x

a x

a x

a

x a x

a x

a x

a

L M

L

(36)



顯然解 (trivial solution)



非顯然解 (nontrivial solution) 顯然解之外的其他解

3

0

2

1 = x = x = = xn =

x

L



注意:

(任意n變數齊次系統的解)

注意:

(1) 所有的齊次系統均為一致性(consistent)系統 (2) 若系統的方程式比變數少,則有無限多組解 (3) 對於一個齊次系統來說,下列有一為真

(a) 系統只有一個顯然解

(b) 系統除了顯然解外還有無限多組解

線性代數線性代數

線性代數線性代數: 1.2節節節節 p.30

(37)



範例 9:求解下列的齊次線性方程式系統 0

2

0

3 2

1

3 2

1 +− ++ ==

x x

x

x x

x

解:

 

 

0 3 1 2

0 3 1 1

增廣矩陣

 

 

−1 0 1

0

0 2 0

1

列簡梯形形式

) 1 ( 21 ) ( 2 ) 2 (

12

,

r 13

,

r r





2 1 3 0



0 1 −1 0



3 2 1

,

x

x x

自由變數:

領先變數:

x3 = t

R t

t x

t x

t

x1 = −

2 ,

2 =

,

3 =

,

) (

0 ,

0

1 2 3

顯然解

t = x = x = x =

(38)

摘要與復習 (1.2節之關鍵詞)



matrix: 矩陣



row: 列



column: 行



entry: 元素



size: 大小

square matrix: 方陣



square matrix: 方陣



order: 階



main diagonal: 主對角線



augmented matrix: 增廣矩陣



coefficient matrix: 係數矩陣

(39)



elementary row operation: 基本列運算



row equivalent: 列等價



row-echelon form: 列梯形形式



reduced row-echelon form: 列簡梯形形式



leading 1: 領先1

Gaussian elimination: 高斯消去法



Gaussian elimination: 高斯消去法



Gauss-Jordan elimination: 高斯-喬登消去法



free variable: 自由變數



homogeneous system: 齊次系統



trivial solution: 顯然解



nontrivial solution: 非顯然解

(40)

1.3 線性方程式系統的應用

線性代數線性代數

線性代數線性代數: 1.3節節節節 pp.35

(41)
(42)

線性代數線性代數

線性代數線性代數: 1.3節節節節 pp.36

(43)
(44)

線性代數線性代數

線性代數線性代數: 1.3節節節節 pp.37

(45)
(46)

線性代數線性代數

線性代數線性代數: 1.3節節節節 pp.39

(47)
(48)

線性代數線性代數

線性代數線性代數: 1.3節節節節 pp.39-40

(49)
(50)

線性代數線性代數

線性代數線性代數: 1.3節節節節 pp.40

(51)
(52)

線性代數線性代數

線性代數線性代數: 1.3節節節節 pp.41

(53)
(54)

線性代數線性代數

線性代數線性代數: 1.3節節節節 pp.42

(55)
(56)

線性代數線性代數

線性代數線性代數: 1.3節節節節 pp.43

(57)
(58)

線性代數線性代數

線性代數線性代數: 1.3節節節節 pp.43-44

(59)
(60)

線性代數線性代數

線性代數線性代數: 1.3節節節節 pp.44

(61)

參考文獻

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