六 多變數函數的積分

六 多變數函數的積分

1 二重積分

正如單變數函數的積分_, 可以提供計算面積的方 法_, 研究雙變數函數積分的動機之一_, 是計算體 積_,例如右圖 _{z = f (x, y)} 函數曲面下的體積_. 雙變數函數的積分稱為二重積分_, 除了被積分 的函數之外_{, x-y} 平面上的積分範圍 ₍相當於 Rb

a f(x)dx 中的 _{[a, b])} 稱為積分的區域_, 底下是 一些區域的例子_:

Y

X

Z

z = f(x,y)

X Y

b X

Y

a b

y=h(x)

y=g(x)

X Y

c d

a

回顧定積分 ^R_a^b_{f(x) dx} 的定義是黎曼和的逼近_, 而黎曼和的構作_, 有三個基本的要素_: (1) 將積分的區間 _{[a, b]} 作等分割為N 段_,

x0 = a < x1 <· · · < xN −1< xN = b, ∆x = xi− xi−1 = b− a N

(2) 在每一個區間 _{[xi−1, xi}], i = 1, · · · N, 任找一點 _{ξi ∈ [xi−1, xi],} 取 _f(ξi) 為長方形的

「長」_{, ∆x} 為長方形的底寬_, 得到一 _[xi−1, xi] × f(ξⁱ)的長方形_. (3) 最後黎曼和 _≡ ^PN_{i=1f(ξi)∆x} ^{N →∞}_−→ ^R_a^b_{f(x) dx.}

接著我們要用類似的黎曼和想法來處理二重積分_, 首先處理左上圖的長方形這種最簡單的 區域: Ω = [a, b] × [c, d].

(1) 分割_: 將_{[a, b]} 等分割成 _M 段_{, [c, d]} 等分割成 _N 段_, 得

x0 = a < x1 <· · · < xN −1 < xM = b, ∆x = b− a M y₀ = c < y1 <· · · < yN −1< yN = d, ∆y = d− c

N 則區域 _Ω被分割成 _{M × N} 個小長方形_Ωij,

Ωij ≡ [xi−1, xi] × [yj−1, yj], 且 _Ωij 的面積 _{= ∆x · ∆y.}

(2) 任取ξi ∈ [xi−1, xi], ηj ∈ [yj−1, yj], 則_(ξi, ηj)是矩形區域_Ωij 中的一點_,取_f(ξi, ηj) 為高_, 於是構成一個長方體_{: Ωij × f(ξi, ηj).}

這_{M × N} 個長方體的體積和顯然構成 _{z = f (x, y)}在 _Ω上體積的一個逼近的黎曼和_.

M,N

X

i,j=1

f(ξi, ηj) × (A(Ω^ij)) =

M,N

X

i,j=1

f(ξi, ηj) · ∆x∆y −−−−−→^{M,N →∞}

Z Z

Ω

f(x, y) dA

Ω32

X Y

x1 x2 x3 x4=b

a=x0 y2 y1 c=y0 d=y3

X

Y

a

b

c d

z = f(x,y)

Ω

註_. ^RR

Ωf(x, y) dA是標準的二重積分符號_,如同單變數_,讀者可以想像這個符號正是從黎 曼和翻譯來的_. 另外這裏 _{(ξi, ηj)} 的取法並不是最一般的_, 因為當 _i 固定時_, 我們強制每一 Ωij 中取點的 _x座標都是一樣的_, 但是這個限制並不必要_{, Ωij} 中任意取點都是可以的_. 黎曼和 ^PM,N_{i,j=1f(ξi, ηj) · ∆x∆y} 中有 _{M × N} 項_,具有兩種非常自然的整理方式_:

N

X

j=1

X^M

i=1

f(ξi, ηj)∆x

∆y) (先橫加再縱加₎

M

X

i=1

X^N

j=1

f(ξi, ηj)∆y

∆x) (先縱加再橫加₎

現在可以進行 ₍₃₎ 求積分的步驟了_. 先考慮 「先橫加再縱加」 的第一種情況_:

M

X

i=1

f(ξi, ηj)∆x^{M →∞}−→

Z b a

f(x, ηj) dx 因此

N

X

j=1

(

M

X

j=1

f(ξi, ηj)∆x)∆y) −−−−−→^{M →∞}

N

X

j=1

Z b a

f(x, ηj) dx

∆y

−−−−−→N →∞

Z d c

Z b a

f(x, y) dx dy

也就是

Z Z

Ω

f(x, y) dA = Z d

c

Z b a

f(x, y) dx dy

其中 ^R_a^b_{f(x, y) dx}的意思是將 _y 想成是常數_, 因此積分可想成是對 _x的定積分_.

同理_, 由第二種整理方式則得到 Z Z

Ω

f(x, y) dA = Z b

a

Z d c

f(x, y) dy dx

這個簡單的想法告訴我們_, 計算二重積分時_, 我們其實是做了兩次單變數積分_, 而且由於積 分順序的不同_, 它會有兩種不同的計算方式_, 但是答案是一樣的_.

註_. 雖然我們本來談的是體積_, 但是正如單變數的情況_, 構作雙變數黎曼和時_, 並不需要 f(x, y)是正函數的限制條件_, 此後不再提醒_.

例 1.1 Z Z

Ω

x²+ xy dA, Ω = [0, 1] × [0, 1].

說明_.

由前面的推導得到 Z Z

Ω

x²+ xy dA = Z 1

0

Z 1 0

x²+ xy dx dy =

Z 1 0

x³ 3 +y

2x²  

1 0

 dy

= Z 1

0

1 3+ y

2



dy = y 3 + y²

4

  

1

0 = 7

12 如果採用另一個順序

Z Z

Ω

x²+ xy dA = Z 1

0

Z 1 0

x²+ xy dy dx =

Z 1 0



x²y+ x 2y²

1 0

 dx

= Z 1

0

x² +x

2 dx = (x³ 3 +x²

4)  

1

0 = 7

12 答案果然和積分的順序無關_,而且計算過程也並不相同_.

一般的區域

對於一般的區域 _{Ω (}下圖_), 我們可以做類似的分割_, 當然各位注意到_, 由於 _Ω 不再是四四 方方的長方形_, 作分割時會有許多不成型的小塊區域₍淺色部分_). 在構作黎曼和時_,我們不 妨將這些零頭區域先丟掉_. 從幾何直覺_, 我們相信當分割越來越細時_, 這些零頭區域對整體 體積的貢獻越來越小_.

Ω Ω

因此對一般的區域_, 整個黎曼和仍然會趨近於體積 ₍二重積分_).

M,N

X

i,j=1

Ωij⊂Ω

f(ξi, ηj) · ∆x∆y −→

Z Z

Ω

f(x, y) dA

由二重積分的定義_, 我們有如下的性質_: 性質 1.1

(1) Z Z

Ω

αf(x, y) dA = α Z Z

Ω

f(x, y) dA (2)

Z Z

Ω

(f (x, y) + g(x, y)) dA = Z Z

Ω

f(x, y) dA + Z Z

Ω

g(x, y) dA (3) 若_f(x, y) ≥ 0,

Z Z

Ω

f(x, y) dA ≥ 0.

(4) 若 _Ω 是兩個區域 _{Ω1, Ω2} 不重疊的聯集 (如右圖_), 則

Z Z

Ω

f(x, y) dA

= Z Z

Ω1

f(x, y) dA + Z Z

Ω2

f(x, y) dA

1

Ω₂ Ω

Ω

證明_.

(4) 的部分_: 如前所述對 _Ω 作長方形分割_, 對 所有 _{Ωij ⊂ Ω} 而言_, 可以分成三類_:

(i) Ωij ⊂ Ω¹; (ii) Ωij ⊂ Ω²; (iii) 其他與_{Ω1, Ω2} 的邊界有交集的_Ωij. (如右圖_), 因此

Ω2

Ω1 Ω

M,N

X

i,j=1

Ωij⊂Ω

f(ξi, ηj) · ∆x∆y =

M,N

X

i,j=1

Ωij⊂Ω¹

(· · · ) +

M,N

X

i,j=1

Ωij⊂Ω²

(· · · ) +

M,N

X

i,j=1

其他 (· · · )

當_{m, n→ ∞}時_,顯然蓋住邊界的 _Ωij 對黎曼和的貢獻會越來越趨近於 _0. 所 以 Z Z

Ω

f(x, y) dA = Z Z

Ω1

f(x, y) dA + Z Z

Ω2

f(x, y) dA

1.1 ^





習題用定義說明 _(1)(2)(3).

− − − − − − − − − − − − − − − − − − −

1.2 ^





習題計算題 (1)

Z Z

Ω(1 − x² − y²) dA, Ω : [0, 3] × [0, 1]

(2) Z Z

Ω

xcos y dA, Ω : [0, 1] × [−π 2,π

2] (3)

Z Z

Ω

1

1 + x + y dA, Ω : [0, 1] × [0, 2]

(4) Z Z

Ω

xy

(x²+ y²)² dA, Ω : [1, 2] × [1, 3]

1.3 ^





習題計算 ^RR

Ω x

(x²+y²)² dA, Ω : [1, 2] × [1, 3]. (Hint: 積分順序_!)

1.4 ^





習題若 _f(x, y) = h(x) · k(y), Ω : [a, b] × [c, d]. 證明 Z Z

Ω

f(x, y) dA =Z b a

h(x) dx

·Z d c

k(y) dy

1.5 ^





習題若 _f(x, y) ≥ g(x, y),說明 Z Z

Ω

f(x, y) dA ≥ Z Z

Ω

g(x, y) dA

1.6 ^





習題若 f(x, y) > 0 且_{Ω1 ⊂ Ω2 ⊂ R}². 用黎曼和說明 Z Z

Ω2

f(x, y) dA ≥ Z Z

Ω1

f(x, y) dA

1.7 ^





習題說明 Z Z

Ω

1 dA 的值等於 _Ω 的面積值. 1.8 ^





習題_f(x, y) = k + mx + ny 為一平面方程式, k, m, n ∈ R, 在 Ω = [a, b] × [c, d] 上積 分,說明二重積分

Z Z

Ω

f(x, y) dA = (k + m · ^a+b₂ + n · ^c+d₂ ) · (b − a) · (d − c)

2 Fubini 定理

在第三章 _4.2 節中_, 我們曾經利用圓盤法去計算旋轉體體積_, 主要的想法是_, 旋轉體的截面 是圓盤_, 而旋轉體體積_, 可以利用 _N 個截面所構成的薄圓柱體體積和來逼近_. 在該節的習 題_4.17則要求讀者_, 利用這個想法去計算正金字塔的體積_.

我們現在要利用這個想法來導出二重積分的計算 方法_, 如右圖_, 考慮區域 _Ω 上_, 曲面 _{z = f (x, y)} 下的立體區域 V. 若令 _{x= α} 則我們可以得到

α-截面 _{≡ V ∩ {}平面_{x= α }}

令 _A(α) 表示 _α-截面的面積_, 則 _A(x) 是一個 _x

的單變數函數_, 其中 _{a≤ x ≤ b. α}

b a

z = f(x,y) Z

Y

X

現對 _{[a, b]} 作等分割_{: x0 = a < x1 <}· · · < xN −1 < xN = b, 且任取 _{ξi ∈ [xi−1, xi],} 考慮 以ξi-截面為底_{, ∆x} 為厚度的薄柱體_, 其體積約為 _{A(ξi) · ∆x,} 運用圓盤法的原理可得

黎曼和

N

X

i=1

A(ξi)∆x ^{N →∞}−−→

Z Z

Ω

f(x, y) dA 因此我們得到下面等式_:

Z b a

A(x) dx = Z Z

Ω

f(x, y) dA 如果區域 _Ω 可以定義為_{( 223}頁下中圖₎ Ω : a ≤ x ≤ b, g(x) ≤ y ≤ h(x) 固定 _x, 則由單變數定積分得到_,

A(x) = Z h(x)

g(x)

f(x, y) dy

z = f(x,y)

b a

Z

X

因此我們得到

定理 2.1 (Fubini 定理₎

(1) 若區域 Ω : a ≤ x ≤ b, g(x) ≤ y ≤ h(x), 則 Z Z

Ω

f(x, y) dA = Z b

a

Z h(x) g(x)

f(x, y) dy dx (2) 若區域 Ω : c ≤ y ≤ d, k(y) ≤ x ≤ l(y), 則

Z Z

Ω

f(x, y) dA = Z d

c

Z l(y) k(y)

f(x, y) dx dy

我們已經證明了 _{(1), (2)}留作習題_. 2.1 ^





習題證明 _(2).

2.2 ^





習題當 Ω = [a, b] × [c, d],說明 _Fubini 定理與上節的結果一致. 2.3 ^





習題利用上一節說明區域為 Ω = [a, b] × [c, d]的方法, 直接說明 _Fubini 定理的正確性. 這樣一來_, 我們果然成功地將二重積分的計算_, 回歸到單變數定積分的計算_. 剩下的問題_, 就是要多練習將一個區域 _Ω 分割或寫成下列標準型式的技巧_.

a≤ x ≤ b, g(x) ≤ y ≤ h(x) 或 c≤ y ≤ d, k(y) ≤ x ≤ l(y)

例 2.1 Z Z

Ω

xy² dA, Ω : y = x, x = 1, x-軸圍成的區域_. 說明_.

Ω可以寫成如右格式: 0 ≤ y ≤ 1, y ≤ x ≤ 1,因此 Z Z

Ω

xy² dA = Z 1

0

Z 1 y

xy² dx dy

= Z 1

0

y²x² 2

1 y

 dy

= Z 1

0

y²1 2− y²

2

 dy

= y³ 6 − y⁵

10

  

1 0

= 1 6− 1

10 = 1 15

X Y

y = x

x = 1

Ω也可以寫成另一種形式: 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x. 因此 Z Z

Ω

xy² dA = Z 1

0

Z x 0

xy² dy dx

= Z 1

0

x·y³ 3

x 0

 dx

= Z 1

0

x⁴ 3 dx

= 1

15(x⁵|¹0) = 1 15

X Y

y = x

x = 1

注意到_, 不同的積分順序計算的繁易可能不太一樣_. 而下一個例子_, 則告訴我們_, 有時候只 有一種形式是可算的_.

例 2.2 Z Z

Ω

sin x² dA, Ω 同上例. 說明_.

如果我們將 _Ω寫成 0 ≤ y ≤ 1, y ≤ x ≤ 1, 則 Z Z

Ω

sin x² dA = Z 1

0

Z 1 y

sin x² dx dy

y = sin x² 是我們的老朋友_, 它是求不出反導數的_. 但是如果將 _Ω 寫成 _{0 ≤} x≤ 1, 0 ≤ y ≤ x, 竟然就可以計算了_.

Z Z

Ω

sin x² dA = Z 1

0

Z x 0

sin x² dy dx

= Z 1

0

(sin x²) · x dx

= − cos x² 2

  

1 0 = 1

2 −cos 1 2

例 2.3 Z Z

Ω

(x²+ y²) dA, Ω : x²+ y² ≤ 1. 亦見例 _{3.6 .} 說明_.

將_Ω 寫成: −1 ≤ x ≤ 1, −√

1 − x² ≤ y ≤ √

1 − x², 則 Z Z

Ω

(x² + y²) dA =

Z 1

−1

Z ^√_1−x²

−√ 1−x²

(x²+ y²) dy dx

=

Z 1

−1



x²y+y³ 3

  

√1−x²

−√ 1−x²

 dx

= 2

3 Z 1

−1

(1 + 2x²)(√

1 − x²) dx

x=sin θ

= 2

3 Z ^π₂

−^π2

(1 + 2 sin²θ) cos²θ dθ

(∗)= π 2

2.4 ^





習題請將 _(∗) 處補足.

例 2.4 Z Z

Ω

√x− y dA, Ω : y = x, y = x − 1, y = ¹₂x, y = ¹₂x+ 1 圍成區域. (參考習 題 _4.4)

說明_.

如右圖_,將 _Ω分成兩部份 _{Ω1, Ω2,} 則 Z Z

Ω

√x− y dA

= Z Z

Ω¹

√x− y dA + Z Z

Ω²

√x− y dA

= Z 2

0

Z x

x 2

√x− y dy dx

+ Z 4

2

Z ^x₂+1 x−1

√x− y dy dx

= 2 3

Z 2 0

x 2

³2

dx+ Z 4

2

1 −x

2 − 1³2 dx

= 2 3

 4 5

x 2

⁵2  

2

0+ 2 − 4 5

x

2 − 1⁵2  

4 2



= 4 3

X Y

y = x

y = x-1

y = .5x (2,2)

(2,1)

(4,3)

Ω1 y = .5x+1 Ω2

− − − − − − − − − − − − − − − − − − −

2.5 ^





習題計算下列二重積分: (1)

Z Z

Ωsin x dA; Ω : 0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ sin x.

(2) Z Z

Ω

xcos y dA, Ω : y = x, y = 0, x = π 2. (3)

Z Z

Ω

x dA, Ω : x² + y² ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0.

(4) Z Z

Ω

e^y+yx2 dA, Ω : −1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 1 + x². 2.6 ^





習題變換下列積分範圍的變數順序. (1) 1 ≤ y ≤ 2, ^y₂ − 2 ≤ x ≤ −1.

(2) 0 ≤ x ≤ 1, x³ ≤ y ≤ x². (3) 0 ≤ x ≤ 1, x² ≤ y ≤ √x.

(4) −^√₂³ ≤ y ≤ ^√₂³, 1 ≤ x ≤ 2p1 − y².

2.7 ^





習題計算下列二重積分: (1)

Z 1 0

Z 1 y

x²e^xy dx dy (2) Z 1

0

Z 1 x¹³

1

1 + y⁴ dy dx (3)

Z 2 0

Z 2 x

y²sin xy dy dx (4) Z 1

0

Z 1

√y

1

x(1 + x²) dx dy 2.8 ^





習題計算下列二重積分: (1) RR

Ωxy dA, Ω : y = ±x, y = x²− 1, y ≥ 0 圍成區域. (2) RR

Ωy− 2x dA, Ω : y = ±x + 1, y = ±x − 1 圍成區域. (3) RR

Ωx+ √y dA, Ω : y + x = 1, y− x = 1, y = 0 圍成區域.

3 二重積分的極坐標形式

3.1 極坐標

坐標是標誌點位置的方法_, 我們平常用的直角坐 標 ₍又稱笛卡兒坐標_), 在選定原點_{, x-}軸與 _y- 軸後_, 可以將平面上任何一點對應到唯一的數對 (a, b). 但是這並不是唯一的方法_, 例如砲兵要攻 擊某目標物時_, 直角坐標便不方便_, 一方面_, 以砲 為原點_,再測量目標的_{x, y}坐標_,有點危險性₍想

想看_); 另一方面也與砲操作的特性不合_. ^0000000000_0000000000

0000000000 1111111111 1111111111 1111111111

00000000 00000000 11111111 11111111

60^o 1000

常用的方式例如_,「敵人目標在₁點鐘方向_,距離₁₀₀₀ 公尺_.」₍₁點鐘表示角度 _{) .} 想想看_, 用距離與角度_, 也真的能標誌平面上的所有點_. 這種取坐標的方式_, 稱為極坐標_. 這與各位 在高中學到的複數極式_,基本上是相同的_.

通常的約定_,是以_x-軸的正向當作極軸的方向_,假 設如圖要標定 P 點的極坐標_, 首先由極軸出發測 量 _OP 與極軸的夾角 _θ, 再測量 _OP 的長度 _r, 則數對 _{[r, θ]}就是 P 點的極坐標_.一般也規定

[r, θ] = [−r, θ + π]

(砲台多轉 ₁₈₀^◦ 再往回打_, 是一樣的_{!! )}

r

P

O

r

θ

[ , θ ]

註_. 極坐標不像直角坐標_, 所有的點都恰恰只有一個數對 _{(x, y)} 來對應_. 除了上面的規定 外_{, [r, θ]}與[r, θ + 2π] 就對應到同一點₍砲台多轉無益的一圈_); 另外_{[0, θ]} 不管θ 是多少_, 都對應到原點_.

由於平面上一點 _P 既可以用 _{(x, y)} 來表示_, 也可以用 _{[r, θ]} 來表示_, 因此 _{x, y} 與 _{r, θ} 間 顯然有互相轉換的關係式_:

(A)

( x = r cos θ y = r sin θ

(B)

( r² = x²+ y²

tan θ = y

x

(x, y) = [r, ]

r sin r

r cos

θ

θ

θ θ

例 3.1 直角坐標 ₍^√_2,^√₂₎ 與極坐標 _[2,^π

4] 說明_.

點_[2,^π

4] 的直角坐標是什麼_? 由關係式 _(A) x = 2 cosπ

4 = 2 ·

√2

2 = √

2 y = 2 sinπ

4 = 2 ·

√2

2 = √

2 所以_[2,^π

4] 與 ₍^√_2,^√₂₎ 是同一點_. 反過來_, 用 _(B) 求 ₍^√_2,^√₂₎ 的極坐標表 示_.







r² = 2 + 2 = 4 ⇒ r = ±2 tan θ =

√2

√2 = 1 ⇒ θ = ^π₄ + nπ, n ∈ Z 仔細審查一下_, 知₍^√_2,^√₂₎的極坐標_,可以是_[2,^π

4+2nπ],也可以是_[−2,^π

4+ (2n + 1)π],其中 n ∈ Z.

例 3.2 雙變數函數的極坐標表示. 說明_.

雙變數函數本來指的是平面^R2 到^R的函數_,而我們常用的形式 _{f(x, y),}指的 是用直角坐標時_, 描述這個對應關係的關係式_. 但是如果改採用極坐標時_, 這 關係式要如何改寫呢_?

例如 _{f(x, y) = x}²_{+ y}²_, 設點_{(x, y)} 有極坐標 _{[r, θ],} 利用轉換式_(A) 得 x²+ y² = (r cos θ)²+ (r sin θ)² = r²

因此, f (x, y) = x²+ y² 如果用極坐標來表示_,就變成了 f[r, θ] = r².

注意_. 為了避免混淆_, 我們引進新的函數符號 _{f[r, θ],} 表示從極坐標觀點的函數關係式_, 它 與_{f(x, y)} 的關係是

f[r, θ] = f (r cos θ, r sin θ)

例 3.3 極坐標的坐標線. 說明_.

x = n, y = m, m, n ∈ Z 的坐標線_, 將平面 ^R2 分割成像棋盤般的整數格線_, 我們可以利用這些格線_,粗略標定平面上一點的直角坐標_.(左下圖₎

X Y

底下我們要解釋極坐標的坐標線_. (1) r = α.

由 _{(B), r}² _{= x}²_{+ y}²_, 所以 _{r = α} 就是圓 _x² _{+ y}² _{= α}²_. 與原點距離固 定為 _α 的曲線_, 當然是半徑為 _α 的圓_.

(2) θ = β

由 _{(B), x}^y _{= tan θ,} 所以 _{θ = β} 對應到 _y = (tan β)x. 這是一條過原點_, 斜率為 _{tan β} 的直線_.

利用 _{r = m, θ = N}^π_n, m ∈ N, n = 1, · · · N, 我們也可以畫出極坐標的坐標 線_, 看起來像地圖在北極周圍的經緯線 ₍右上圖_), 這就是極坐標得名的由來_.

例 3.4 以極坐標定義的曲線 _{r = f (θ).}

說明_.

就像在直角坐標中, y = f (x) 或_{x = g(y)} 都可以決定一條平面曲線一樣_, 我 們也可以考慮 r = f (θ) 或_{θ = g(r)} 之曲線_, 底下我們介紹一些簡單的例子

(1) r = α, θ = β 這些常數函數_, 就是上例的坐標線_.

(2) r = cos θ (左下圖_).左右同乘 _r 得 _r² _{= r cos θ,} 由 _(A)得 x² + y² = x ⇒ (x −1

2)²+ y² = 1 4

X Y

X Y

(3) r = sin θ (上右圖_).同上可得 x²+ (y − ¹2)² = ¹₄.

其他有趣的圖形_{: (}這裡使用基本的描點法與對稱性_, 直角坐標幫不上忙_.)

X Y

X Y

X Y

r = 1 − cos θ (心形線₎ ^r_{= sin 2θ} ^r2 _{= sin 2θ}

例 3.5 極坐標的區域. 說明_.

(1) 0 ≤ r ≤ 1: 這表示x²+ y² ≤ 1 的單位圓 ₍下左圖_).

β Y

X

α a

X Y

b

(2) 0 < a ≤ r ≤ b, α ≤ θ ≤ β 為形如上右圖的區域_.

(3) 0 ≤ r ≤ cos θ, −^π2 ≤ θ ≤ ^π2, 由 _{0 ≤ r ≤} cos θ, 則

r² ≤ r cos θ

⇒ x² + y² ≤ x

⇒ (x −1

2)² + y²≤ 1 4 因此正好是右圖中的陰影區域_.

X Y

− − − − − − − − − − − − − − − − − − −

3.1 ^





習題將直角坐標換成可能的極坐標, 或反過來將極坐標換成直角坐標. (1) [4,^π₃] (2) [−1,^5π₄ ] (3) [0, 2π]

(4) (1, 0) (5) (0, 1) (6)(−1, −1) 3.2 ^





習題利用坐標變換式 _(A)(B), 畫出下列圖形:

(1) r = 4 cos θ (2) r = 2 sin θ (3) r cos(θ −π 4) = 1 3.3 ^





習題將底下以直角坐標定義的函數 f(x, y),換成極坐標下的雙變數函數 f[r, θ].

f(x, y) = (1) x²− y² (2) xy (3) x + y − 1 (4) e^−(x2+y2)

3.2 極坐標形式的二重積分

在第一節_, 討論二重積分時_, 我們對區域 _Ω 作分 割_, 以寫出恰當的黎曼和_, 當時的分割 ₍見 ₂₂₅頁 圖_), 主要是利用坐標線 _{x = x0, x = x1, · · · ,} x= xM 與 y= y0, y = y1, · · · , y = y^N 交織成 的格線_, 將 _Ω 分成主要的一格格小矩形_, 與一些 不成形的小區域_.

當然分割的方式並不見得要用直角坐標的坐標線_, 我們不妨改用極坐標的坐標線_.

r= r0, r= r1, · · · , r = r^M, ∆r = ri− ri−1

θ = θ0, θ= θ1, · · · , θ = θ^N, ∆θ = θj − θj−1

Ω

如上圖_,與直角坐標相同_{, Ω} 會被分成標準的格域 _Ωij.

Ωij ≡ ri−1≤ r ≤ rⁱ, θ_j−1 ≤ θ ≤ θ^j

與一些不成形的區域_. 因此利用這個分割_, 我們也可以寫出另一種黎曼和來逼近二重積分_: Z Z

Ω

f(x, y) dA ≈

M,N

X

i,j=1

Ωij⊂Ω

f[ρi, φj]A(Ωij)

其中 _{ρi ∈ [ri−1, ri], φj ∈ [θj−1, θj], A(Ωij)} 是 _Ωij 的面積_. 這裡的問題是_, 格域面積 A(Ωij)並不像在直角坐標時的面積是一常數 _{∆x · ∆y,} 讓我們計算一下_:

A(Ωij) = 1

2r²_i (θj − θj−1) −1

2r_i−1² (θj − θj−1)

= (ri+ r_i−1)

2 · ∆r · ∆θ

= (2r_i−1+ ∆r)

2 · (∆r ∆θ)

≈ ri−1∆r ∆θ

(Ωij 的面積與 _Ωij 離原點的遠近有關_.)

ri-1

r_i

∆θ

∆θ ∆r r

假設_Ω可以寫成_α≤ θ ≤ β, g(θ) ≤ r ≤ h(θ), 則利用前面推導_Fubini定理或 習題_2.3類 似的想法_, 可以得到

M,N

X

i,j=1

Ωij⊂Ω

f[ρi, φj]A(Ωij)

≈

M,N

X

i,j=1

Ωij⊂Ω

f[ρi, φj] · (ri−1∆r∆θ)





y^{M,N →∞}

Z β α

( Z f(θ)

h(θ)

f[r, θ]r dr) dθ

θ

θ r = h( )

r = g( )

注意_. 讀者請特別注意到在直角坐標中底面積的單位是 _{dx dy} 現在變成了 _{r dr dθ.}

例 3.6 (續例 _{2.3 )} Z Z

Ω

(x²+ y²) dA, Ω : x²+ y² ≤ 1.

說明_.

記得這個例子_, 用直角坐標來計算很複雜_, 現在用極坐標會簡單許多_. ( Ω : x²+ y² ≤ 1 相當於0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2π.

f(x, y) = x²+ y² 相當於 f[r, θ] = r². Z Z

Ω

(x² + y²) dA = Z 2π

0

Z 1 0

r²(r dr dθ) = Z 2π

0

Z 1 0

r³ dr dθ

= 2π ·r⁴ 4   

1 0 = π

2

例 3.7 求心形線 _r = 1 − cos θ 的內部面積. 說明_.

心形線內部用極坐標描述得 Ω : 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ 1 − cos θ,面積等於 Z Z

Ω

1 dA = Z 2π

0

Z _{1−cos θ}

0

r dr dθ

= Z 2π

0

(1 − cos θ)²

2 dθ

= Z 2π

0

1

2− cos θ + 1 + cos 2θ 4

 dθ

= 3

4 · 2π = 3 2π

X Y

例 3.8 求 Z Z

Ω

e^−(x2+y2)dA, Ω: x²+ y² ≤ R². 說明_.

若先用直角坐標計算_,會發現不論積分順序_, 都受困於R e^−x2 dx 而失敗_.現在 利用極坐標, Ω : 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ R, 且_e^−(x2+y2) 對應到_e^−r2_. 則

Z Z

Ω

e^−(x2+y2)dA = Z 2π

0

Z R 0

e^−r2r dr dθ

= 2π ·

− e^−r2 2

  

R

0 = 2π1

2 − e^−R2 2



= π

1 − e^−R2

這個例子告訴我們_, 使用極坐標並不只是好玩_, 或是多學一些奇怪的曲線_, 它對於計算普通 的二重積分_, 有不可替代的重要性_.

− − − − − − − − − − − − − − − − − − −

3.4 ^





習題計算 ^RR

Ωf[r, θ] dA.

(1) f [r, θ] = r sin θ, Ω: 0 ≤ θ ≤ π, 2 ≤ r ≤ 4.

(2) f [r, θ] = √

1 + 2r²+ θ, Ω: 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ r ≤ 3.

(3) f [r, θ] = √

1 − r²tan θ, Ω: 0 ≤ θ ≤ ^π₄, sin θ ≤ r ≤ cos θ.

(4) f [r, θ] = 1, Ω: 0 ≤ θ ≤ ^π2, 0 ≤ r ≤√ sin 2θ.

3.5 ^





習題計算

(1) r = sin 2θ 其中一葉的面積.

(2) 求r= 1 − cos θ (心形線₎扣掉單位圓後的面積. (3) RR

Ωe^(x2+y2) dA, Ω : 1 ≤ x²+ y² ≤ 4, x ≤ 0, y ≥ 0.

(4) RR

Ωln(x² + y²+ 1) dA, Ω : x²+ y² ≤ 1, y ≥ 0.

(5) 計算 ^R1

0

Rh(x)

0 y dA, 其中 _{h(x) =}^q1

4 − (x − ¹₂)². 3.6 ^





習題用極坐標的形式計算 ^R2

0

Rx

0 y dy dx.

(1) 說明積分區域相當於 _{0 ≤ θ ≤} ^π

4, 0 ≤ r ≤ _{cos θ}² . (2) 利用 ₍₁₎ 計算此積分.

3.7 ^





習題若 Ω: α ≤ θ ≤ β, g(θ) ≤ r ≤ h(θ). 說明

Ω 的面積 ₌ ¹

2 Z β

α

(h²(θ) − g²(θ)) dθ

3.8 ^





習題設 Ω = [−1, 1] × [−1, 1], 證明 πln 2 <

Z Z

Ω

1

1 + x²+ y² dA < πln 3 (Hint: 利用習題 _1.6, 極坐標, Ω的外接圓與內切圓_.) 3.9 ^





習題設 _Ωt = { (x, y) | x²+ y² ≤ t }, t > 0, g(t) 為某R 上的函數. 令 G(t) =

Z Z

Ωt

g(x² + y²) dA 請說明 _G^′(t) = π g(t). (Hint: 極坐標與微積分基本定理.)

4 二重積分之變數變換

4.1 單變數變數變換之重新解釋

在單變數時我們學過定積分的變數變換公式如下 ₍設_{b > a)} Z g(b)

g(a)

f(x) dx ^x=g(t)= Z b

a

f(g(t))g^′(t) dt

這是連鎖法則的直接結果_. 不過底下_, 我們希望回到更基本的黎曼和觀點來理解這個等式_. 底下我們假設 _g(t)是一個遞增的函數_, 因此 g(b) > g(a), 且_g(t) 是_1-1函數_, 如果在區間 [g(a), g(b)] 上作等分割成 _N 段_.

g(a) = x0 ≤ x¹ <· · · < x^N = g(b) 則

Z g(b) g(a)

f(x) dx ≈

N

X

j=1

f(ξi)∆x, 其中 ξi ∈ [xi−1, xi]

現令 _ti ∈ [a, b], i = 1, 2, · · · , N, 滿足 _{g(ti) = xi,} 則 _{t0 < t1 <} · · · < tN −1 < tN 構成 [a, b] 上一 ₍通常₎ 非等分割之分割_,又設 _{g(ηi) = ξi.}

2 η

η2

ξ2 η 2

t1 t2 t3

a = t0 t4 = b g(a) = x0 x1 x2 x3 x4 = g(b)

g( ) = f( )

當然下式

N

X

i=1

f(g(ηi))∆ti =

N

X

i=1

f(ξi)∆ti, w2∆ti = ti− ti−1

應該不會近似於原來的定積分_, 因為對任意 _i, 通常

f(g(ηi))∆ti = f (ξi) · ∆tⁱ 6= f(ξⁱ)∆xi = f (ξi)∆x

在變數變換的過程中_{, ∆ti} 與 _∆xi 間還差一個放大率_, 這也就是為什麼連鎖法則會出現的 原因_. 再說詳細些

∆xi = xi− xi−1 = g(ti) − g(ti−1)

≈ g^′(t_i−1)(ti− ti−1)

= g^′(t_i−1)∆ti

所以正確的黎曼和寫法是 Z g(b)

g(a)

f(x) dx ≈

N

X

i=1

f(ξi)∆xi

≈

N

X

i=1



f(g(ηi)) · (g^′(t_i−1)∆ti)

(∗)≈ Z b

a

f(g(t))g^′(t) dt 當 _{N → ∞,} 便得到等式

Z g(b) g(a)

f(x) dx = Z b

a

f(g(t))g^′(t) dt

這裡 dx= g^′(t)dt 有長度單位 「放大」 的意思_. 換一個方向想_, 我們其實也可以先在 _{[a, b]} 上作等分割

t₀ = a < t1 <· · · < tN −1 < tN = b, ∆t = b− a

N , ηi ∈ [ti−1, ti] 然後在 [g(a), g(b)]作相對應的分割

x₀ = g(t0) = g(a) < x1 = g(t1) < · · · < t^N = g(tN) = g(b) 與 _{ξi = g(ηi)} 這樣一來_{, xi} 一般不是等分割_, 但是我們仍有

∆xi = xi− xi−1= g(ti) − g(ti−1) ≈ g^′(t_i−1)∆t 因此

Z b a

f(x) dx ^(∗)≈

N

X

i=1

f(ξi)∆xi

≈

N

X

i=1

f(g(ηi)) · g^′(t_i−1)∆t

≈ Z b

a

f(g(t))g^′(t) dt 在_{N → ∞} 後_,等式同樣成立_.

註_. 在以上的想法中_, 其實我們已經暗中用到黎曼和中的分割_, 不見得需要等分割的事實 (^(∗)≈ 的部分_).

4.2 雙變數的變數變換

現在_, 回到雙變數的情形_, 雙變數的變數變換可寫成 ( x= x(u, v)

y = y(u, v) 或 (x, y) = F (u, v) (單變數相對應的式子是_{: x = x(u)} 或_{x= f (u))}

例 4.1 (x, y) = F (u, v) = (2u,^v₂).

說明_.

從_uv-平面變到_xy-平面發生什麼事呢_? 我們看看坐標線的變化_, 坐標線_{u= 1} 有參數式 _{(1, v)}經過變換得到

(x, y) = (2 · 1,1

2· v) = (2,v 2)

這是 _{x= 2} 的直線_. 因此_,一般來說 _uv-平面上_{u= α} 的坐標線會映到_xy-平 面上 _{x= 2α}的坐標線_.

同理_{, uv-}平面 v = β 的坐標線變成了 _xy-平面上 y = ^β₂ 的坐標線_, 其變化大 致如下圖_:

U V

X Y

F

您也可以看到在 _uv-平面中的直線_,在變數變換中的變化_, 例如圖中 u+ v = 1 的直線現在變成 _xy-平面上的直線 ^x_{2 + 2y = 1.}

相同的_, 我們也可以問在 _xy-平面中的單位圓 _x²_{+ y}² _{= 1,} 是由 _uv-平面中的 什麼曲線變化來的_? 由於 _{x = 2u, y =} ^v

2 加上 x² + y² = 1, 代入計算得到 4u²+^v₄² = 1, 為一橢圓_.

最後_, 我們注意到長方格 _a≤ u ≤ b, c ≤ v ≤ d 在變換中變成了 _xy-平面的長 方形 2a ≤ x ≤ 2b, ₂^c ≤ y ≤ ^d₂.

例 4.2 (x, y) = F (u, v),其中x(u, v) = 2u + u²− v²− uv², y(u, v) = 2u + v − u²+ u²v.

說明_.

如下圖_, 用_u = 0, u = ǫ, v = 0, v = ǫ可以圍成一 「四邊」 區域_, 底下三圖各 是_ǫ= 1, 0.1, 0.01的情形_. 注意到_,當_ǫ 越小_,此區域越近似於一平行四邊形_, 這是下節_, 談二重積分變數變換的重要基礎_.

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

X Y

v=0 v=1

u=0

u=1

ǫ= 1

-0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

-0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

X Y

v=0 v=0.1

u=0

u=0.1

ǫ= 0.1

-0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 -0.005

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035

X Y

v=0 v=0.01

u=0

u=0.01

ǫ= 0.01

− − − − − − − − − − − − − − − − − − − 4.1 ^





習題令變數變換 x= u + v, y = v, 回答下面問題

(1) 畫出 u= −1, 0, 1; v = −1, 0, 1 經過變換後在 xy-平面的對應曲線. (2) u + v = 1 在xy-平面的對應線是什麼_?

(3) x² + y² = 1 在_uv-平面的對應線是什麼_?

(4) 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 1 的方格在對應後, 變成什麼樣子 _? 4.2 ^





習題令 x= r cos θ, y = r sin θ, 請問 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ ^π₂ 在 rθ-平面中的長方格,經 過變換後在 xy-平面中是什麼模樣_?

4.3 二重積分的變數變換

現在回到二重積分_, 仍然假設

( x= x(u, v)

y= y(u, v) 或 (x, y) = F (u, v)

設區域 _{Ω ⊂ xy-}平面_,是由區域 _{Σ ⊂ uv-}平面變換得到的_,即 _{F(Σ) = Ω.} 在 _Σ 上_, 我們 作分割

a= u0 < u₁ <· · · < uM −1 < uM

b= v0 < v₁ <· · · < vN −1< vN

得到長方格 _{Σij = [ui−1, ui] × [vj−1, vj],}並取 _(ηi, ξj) ∈ Σ^ij. 定義下面的符號_,











X_ij = F (ui, vj) =

x(ui, vj), y(ui, vj) ξ_ij = F (ηi, ζj) =

x(ηi, ζj), y(ηi, ζj) Ωij = F (Σij)

Σ Ω

V Y

U

F

Σ Ω^ij

ij

原來的二重積分

Z Z

Ω

f(x, y) dA ≈

M,N

X

i,j=1

Ωij⊂Ω

f(ξ_ij)A(Ωij)

現在如果要換成 _uv-平面_{, Σ} 上的二重積分 ₍回想在單變數時_{, Ω} 相當於[g(a), g(b)], Σ 相 當於 _{[a, b]),} 則原式

M,N

X

i,j=1

Ωij⊂Ω

f(ξ_ij)A(Ωij) =

M,N

X

i,j=1

Ωij⊂Ω

f(ξ_ij)A(Ωij)

A(Σij)· A(Σ^ij)

=

M,N

X

i,j=1

Σij⊂Σ

f(x(ηi, ξj), y(ηi, ζj)) · J^ij · A(Σ^ij)

其中 _{Jij =} ^A(Ωij)

A(Σij) 相當於 _Σij 面積經過 _F 變換後的面積變化率_.

由單變數的經驗_,我們應該讓_{M, N} 變大_,利用連鎖法則_,去得到放大率_. 而由前節的例子_, 當_{M, N} 變大時_{Ωij = F (Σij)}會近似於一平行四邊形 ₍如下圖_).

i-1

vj-1

u u_i

i

vj _j

u_i-1 v_j-1 X

v

i-1 j-1

( , )

i-1 j

X_{i j-1} X_{i j}

u ( , ) X

( , ) ( , )

F

由雙變數的泰勒展式得到

X_i,j−1− Xi−1,j−1 = F (ui, v_j−1) − F (ui−1, v_j−1)

= 

x(ui, v_j−1), y(ui, v_j−1)

−

x(u_i−1, v_j−1), y(u_i−1, v_j−1)

≈ ∂x

∂u · ∆uⁱ, ∂y

∂u∆ui

 

(u_i−1,v_j−1)

= ∂x

∂u,∂y

∂u

(u_i−1, v_j−1) ∆u 同理

X_i−1,j− Xi−1,j−1 ≈ ∂x

∂v,∂u

∂v

(u_i−1, v_j−1) ∆v 由於當 _{M, N} 變大時_{, Ωij} 近似於一平行四邊形_, 利用高中的公式

向量 (a, b), (c, d) 所產生的平行四邊形 ₍有向₎面積 ₌     

a b c d

     則

A(Ωij) ≈          

∂x

∂u

∂y

∂u

∂x

∂v

∂y

∂v

(u_i−1, v_j−1)     

∆u ∆v 其中取絕對值是因為面積是正的_. 又_{A(Σij) = ∆u ∆v,}所以

Jij = A(Ωij) A(Σij) ≈

∂x

∂u

∂y

∂u

∂x

∂v

∂y

∂v

(u_i−1, v_j−1)     

定義 4.1 (Jacobian) 若 _x= x(u, v), y = y(u, v), 定義 _Jacobian 函數為 J(u, v) =

∂x

∂u

∂y

∂u

∂x

∂v

∂y

∂v

(u, v)

如此一來_, 當_{M, N → ∞} 時_, 我們得到

定理 4.1 (雙變數變換變數₎ 若 _{F : Σ → Ω} 是從 _uv-平面到 _xy-平面的坐標變換, 且 F(u, v) = (x(u, v), y(u, v)). 如果 _{J(u, v)} 在 _Σ 中不等於 _0, 則

Z Z

Ω

f(x, y) dA = Z Z

Σ

f

x(u, v), y(u, v)

· |J(u, v)| du dv

註_{. J(u, v)}在_Σ 中不等於 ₀的條件_, 是要保証 _F 會是 _1-1函數_,詳細的解釋已超出本書 範圍_.

例 4.3 Z Z

Ω

x

3 + 2y

dA, Ω : 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ ¹₂. 說明_.

當然直接計算_, 也很容易_, 讓我們試試變換變數_, 令_{x= 3u, y =} ^v

2, 則 J(u, v) =

∂x

∂u

∂y

∂u

∂x

∂v

∂y

∂v

=     

3 0 0 ¹₂

= 3 2 0. 0 又_Σ 相當於

( 0 ≤ 3u ≤ 3

0 ≤ ^v₂ ≤ ¹₂ ⇒

( 0 ≤ u ≤ 1 0 ≤ v ≤ 1 因此由變數變換得到

Z Z

Ω

x

3 + 2y

dA = Z 3

0

Z ¹₂

0

x

3 + 2y dy dx

= Z 1

0

Z 1

0 (u + v) · 3

2 · du dv

= 3 2

Z 1 0

u²

2 + uv  

1 0 dv

= 3 2

Z 1 0

1 2+ v

dv

= 3 2

1 2+ 1

2

= 3 2

例 4.4 極坐標 說明_.

前述極坐標的轉換式_, 其實就是一種變數轉換_: x= r cos θ, y= r sin θ 計算其 _Jacobian函數得

J(r, θ) =     

∂x

∂r

∂y

∂r

∂x

∂θ

∂y

∂θ

=     

cos θ sin θ

−r sin θ r cos θ     

= r cos²θ+ r sin²θ= r 所以積分中的 _{dx dy} 項會變成 _{r dr dθ} 項_.