平行與四邊形 4

從以往平行的軌跡中，深入那些已熟悉的 形狀，不僅有新發現，更多了說服力。

在國小已學過「平行線」的概念，本 章將更有系統的介紹「平行線的截角性 質」。從計算、作圖到等面積圖形的變 化，帶領同學了解平行線的應用，並進 一步配合「三角形的全等性質」，深入介 紹平行四邊形與梯形的相關性質。經由 本章的學習，將可提升同學們對於幾何 推理的能力。

4-1 平行線與截角性質

• 平行線的意義

• 截線與截角

• 平行的判別

• 平行的應用

4-2 平行四邊形

• 平行四邊形的性質

• 平行四邊形的判別

• 特殊平行四邊形

4-3 梯形

• 等腰梯形

• 梯形中線

平行與四邊形

第 章

1 平行線與截角性質

1兩平行線永不相交。 2 在紙片上有兩條平行線，旋轉這 張紙片，當其中一條直線成鉛直 時，另一條直線也會鉛直。

3 兩平行線之間每條垂直線段的長 度都相等。

4 一直線如果垂直於平行線中的一 條直線，必定垂直於平行線中的 另一條直線。

若平面上的兩條直線同時與另一條直線垂直，則這兩條直線是平行線，我們 稱這兩條直線互相平行。

一般而言：

在國小時，我們已知道平行線有下列特性：

旋轉

L L

為了方便，可用符號「//」表示「平行」。例如：兩直線 L₁、L₂ 平行時，

記作「L₁ //L₂」，讀作「L₁ 平行於 L₂」，也可記作「L₂ //L₁」，讀作「L₂ 平行 於 L₁」。

平行線的意義

1

1 平行線與截角性質

4

對應能力指標 8-s-05、8-s-06

如圖 4-1， L₁、 L₂ 為同時與 L 垂直的平行線， A、 B 為垂足，則稱 AB 為 L₁、 L₂ 兩平行線的距離。 L₃、 L₄、 L₅ 為與 L₁ 垂直的任意直線 （ D、 F、 H 為 垂足），且分別交 L₂ 於 C、 E、 G 三點。

在圖 4-1 中，因為四邊形 ABCD 有三個內角為直角，且四邊形的內角和為 360°，所以 ∠1＝360°－90°×3＝90°，因此 L₃⊥L₂ 且四邊形 ABCD 為長方 形。同理可推得 ∠2＝∠3＝90°，故四邊形 ABEF 及 ABGH 均為長方形。

因為長方形的對邊等長，所以 CD、 EF、 GH 的長度均與 AB 相等，

即 AB＝CD＝EF＝GH。

透過上面的說明，我們可以再次確認 「若一直線垂直於兩平行線中的一條 直線，必定也垂直另一條直線」 且 「兩平行線間的距離處處相等」 的特性。

1 如右圖，直線 L 為線對稱圖形的對稱軸，B、

D 分別為 A、C 的對稱點。檢查對稱點的連線 AB、CD 是否為平行線？並說明理由。

2 準備一張紙，先在紙張上摺出一條直線，接著利用平行線的意義，

在紙張上摺出另一條與原摺線平行的摺線。

圖 4-1

L₂ L₁ L₃ L₄ L₅ L

A D F H

B C E G

1 2 3

L

A B

C D

配合習作基礎題 1

因為對稱點的連線與對稱軸垂直，

所以 L⊥AB 且 L⊥CD。

由平行線的定義可知 AB// CD。

設先摺出的直線為 L₁，再依序摺出 L⊥L₁ 及 L₂⊥L（L₁ 與 L₂ 不重合），

則可得 L₂ // L₁。

在圖 4-2 中，我們知道當 L₁ // L₂，且 L⊥L₁ 時，L 與 L₂ 亦垂直，也就是

∠1＝∠2（＝90°）。但如果 L 與 L₁ 不垂直，如圖 4-3，此時 ∠1與 ∠2 是否仍 然相等呢？

為了方便研究這個問題，當直線 L 與直線 L₁、L₂ 相交於不同的兩點時

（如圖 4-4 與圖 4-5），我們稱直線 L 為直線 L₁、L₂ 的截線，而所形成的八個 角（∠1、∠2、∠3、……、∠7、∠8）都稱為截角。

這些截角以共同的頂點來看，可分為∠1、∠2、∠3、∠4 及∠5、∠6、

∠7、∠8 兩組，依相關位置可區分為三類：

1同位角： 在這兩組截角中，∠1 和∠5 的開口都在右上方，我們稱∠1 和∠5 是同位角；同樣地，∠2 和∠6、∠3 和∠7、∠4 和∠8 都是同位 角。

2同側內角： ∠2 和∠5 在 L 的同一邊，且在 L₁、L₂ 兩直線的內側，我們稱

∠2 和∠5 是同側內角；同樣地，∠3 和∠8 也是同側內角。

3內錯角： ∠2 和∠8 在 L₁、L₂ 兩直線的內側，且交錯在 L 的兩邊，我們稱

∠2 和∠8 是內錯角；同樣地，∠3 和∠5 也是內錯角。

L₂ L₁ L

1

2

圖 4-2

L₂ L₁ L

1

2

圖 4-3

L₂ L₁ L

1 2 4

3 5

6 8

7

圖 4-4

L₁ L

1 2 4

3 5

6 8

7

圖 4-5 L₂

截線與截角

2

如右圖，直線 L 為 L₁、L₂ 的截線，試問︰

1∠3 的同位角為哪一個角？

2∠3 的內錯角為哪一個角？

3∠3 的同側內角為哪一個角？

1 ∠BAD＝180°－（∠1＋∠ADB）

＝180°－（50°＋90°）＝40°

∠2＝180°－（∠CAE＋∠AEC）

＝180°－（40°＋90°）＝50°

　 ∠3＝180°－∠1＝180°－50°＝130°

　 ∠4＝180°－∠2＝180°－50°＝130°

　 ∠5＝∠1＝50°

　 ∠6＝∠2＝50°

　 ∠7＝∠3＝130°

∠8＝∠4＝130°

2 ∠2＋∠7＝50°＋130°＝180°，∠4＋∠5＝130°＋50°＝180°

如右圖，直線 L₁、L₂ 為同時與直線 M 垂直的平行 線，且交 M 於 D、E 兩點，截線 L 分別交 M、L₁、L₂ 於 A、B、C 三點，已知∠1＝50°，試問：

1 ∠2、∠3、……、∠7、∠8 各截角的度數分別是 多少？

2同側內角∠2、∠7 與∠4、∠5 的和分別是多少？

截角的關係

例

1

L₂ L₁ L

1 2

4 3

5 8 6 7

對頂角相等 平角

180°

M

L₂ L₁ L

B 3 5 2 6 C

D

E A

7 1

4 8

接著我們繼續探討圖 4-3 中，∠1、∠2 兩個同位角是否相等的問題，及其 他截角的關係。

對頂角相等

三角形的內角和＝180°

∠7

∠6

∠5

兩平行線被一直線所截時，它們的同位角會相等，內錯角也會相等，

而同側內角會互補。

如右圖，直線 L₁、L₂ 為同時與直線 M 垂直的平行線，且交 M 於 D、E 兩 點，截線 L 分別交 M、L₁、L₂ 於 A、B、C 三點，已知 ∠1＝x°，請仿照 例題 1 的計算方式，回答下列問題：

1∠2＝ 度，∠3＝ 度，

∠4＝ 度，∠5＝ 度，

∠6＝ 度，∠7＝ 度，

∠8＝ 度。

（用含 x 的式子表示）

2∠2＋∠7＝ 度，

∠4＋∠5＝ 度。

動動腦

根據例題 1 及隨堂練習的結果，試問：

1 「∠1 與 ∠2」、「∠3 與 ∠4」、「∠5 與 ∠6」、「∠7 與 ∠8」這 四組同位角有什麼關係？

2「∠2 與 ∠5」、「∠4 與 ∠7」這兩組內錯角有什麼關係？

3「∠2 與 ∠7」、「∠4 與 ∠5」這兩組同側內角有什麼關係？

由動動腦我們可以發現：

L M

A

3 L1 D

L2

E

2 4 6 8

C 1 B

7 5

x 180－x

180－x x

x 180－x

180－x

180 180

1這四組同位角都分別相等。

2這兩組內錯角都分別相等。

3這兩組同側內角的和都是 180°。

1如右圖，L₁ // L₂，M 是 L₁、L₂ 的一條截線，∠1＝60°，求 ∠2。

2 柯西在公園的小路玩滑板，滑行路線如下圖所示，其中甲、乙、丙是 三條筆直的道路，且甲、乙兩道路平行。已知 ∠1＝80°，求 ∠2。

因為 L₁ // L₂，

且 ∠1、∠2 是同位角，

所以 ∠2＝∠1＝115°。

如右圖，L₁ // L₂，M 是 L₁、L₂ 的一條截線，

∠1＝115°，求 ∠2。

例

2

L₂

L₁ M 1 2

兩平行線被一直線所截的同位角相等

L₂ L₁

M 1

2

丙

甲 乙

1 2

配合習作基礎題 21、2

因為 L₁ // L₂，且∠1、∠2 是同位角，

所以∠2＝∠1＝60°（平行線的同位角相等）。

因為甲// 乙，且∠1、∠2 是同位角，

所以∠2＝∠1＝80°（平行線的同位角相等）。

因為 L₁ // L₂ 且 ∠1、∠2 是內錯角，

所以 ∠2＝∠1＝98°。

因為 L₁ // L₂ 且 ∠1、∠3 是同側內角，

所以 ∠1＋∠3＝180°，

98°＋∠3＝180°，

∠3＝82°。

如右圖，L₁ // L₂，M 是 L₁、L₂ 的一條截線，

∠1＝98°，求 ∠2、∠3。

內錯角與同側內角

例

3

1如右圖，L₁ // L₂，M 是 L₁、L₂ 的一條截線，

∠1＝79°，求 ∠2、∠3。

2 小梅在做勞作時，把一條有平行邊的紙帶，如下圖剪成有直線的邊緣。

已知 ∠1＝96°，求 ∠2。

平行線的內錯角相等

平行線的同側內角互補

M

L₂ L₁

3 2 1

1 2

L₂

M L₁

1 3 2

配合習作基礎題 23、4

配合習作基礎題 3

因為 L₁ // L₂，且∠1、∠2 是內錯角，

所以∠2＝∠1＝79°（平行線的內錯角相等）。 又∠1、∠3 是同側內角，

所以∠1＋∠3＝180°（平行線的同側內角互補）。

79°＋∠3＝180°，∠3＝101°。

因為紙帶有平行邊，且∠1、∠2 是同側內角，

所以∠1＋∠2＝180°（平行線的同側內角互補）。

96°＋∠2＝180°，∠2＝84°。

平行的判別—同位角

例

4

我們知道兩平行線被一直線所截時，它們的同位角會相等。反過來說，

如果兩直線被一直線所截出的同位角相等，此兩直線是否平行呢？

如右圖，直線 L⊥L₁ 於 D 點，且交 L₂ 於 E 點，

截線 M 分別交 L、L₁、L₂ 於 A、B、C 三點，

同位角 ∠1、∠2 均為 60°。

1求 ∠3。

2直線 L₁ 與 L₂ 是否平行？

1 因為 △ABD 的內角和為 180°，所以 ∠1＋∠BAD＋∠BDA＝180°。

60°＋∠BAD＋90°＝180°，∠BAD＝30°

又 △ACE 的內角和為 180°，所以 ∠2＋∠CAE ＋∠3＝180°。

60°＋30°＋∠3＝180°，∠3＝90°

 2 因為 ∠3＝90°＝∠ADB，所以直線 L₁ 與 L₂ 同時與直線 L 垂直，

由此可知 L₁ // L₂。

在例題 4 中，若 ∠1＝∠2＝x°，則 ∠3 是幾度？直線 L₁ 與 L₂ 是否平行？

L₂ L₁ L

B 1

2 3 C

D

E A

M

從例題 4 與隨堂練習，我們發現︰

如果兩直線被一直線所截的（任何一組）同位角相等，這兩直線就會平行。

平行的判別

3

1因為△ABD 的內角和為 180°，

所以∠1＋∠BAD＋∠BDA＝180°

x°＋∠BAD＋ 90° ＝180°

∠BAD＝90°－x°

又△ACE 的內角和為 180°，

所以∠2＋ ∠CAE ＋∠3＝180°

x°＋（90°－x°） ＋∠3＝180°

∠3＝90°

2 因為∠3＝90°＝∠ADB，所以 直線 L₁ 與 L₂ 同時與直線 L 垂直，

由平行線的定義可知 L₁ // L₂。

1 如右圖，M 為 L₁、L₂ 的截線，且 ∠1＝∠2＝43°，

則 L₁、L₂ 是否平行？

2 如右圖，袁太將兩塊等腰直角三角板與直尺邊 緊靠，此時兩斜邊是否平行？

我們知道兩平行線被一直線所截時，內錯角會相等且同側內角會互補。反 過來說，如果兩直線被一直線所截出的內錯角相等或同側內角互補，此兩直線 是否平行呢？

L₂ M L₁

1

2

1 2

由動動腦我們發現：若兩直線被一直線所截出的內錯角相等或同側內角互 補，則它們的同位角就會相等。前面探討過同位角相等則兩直線會平行，所以，

1如右圖，M 為 L₁、L₂ 的截線，∠1、∠2 是內錯角。

 1如果 ∠1＝∠2＝124°，則同位角 ∠2、∠3 是否相等？

 2如果 ∠1＝∠2＝x°，則同位角 ∠2、∠3 是否相等？

2如右圖，M 為 L₁、L₂ 的截線，∠1、∠2 是同側內角。

 1如果 ∠1＝57°，∠2＝123°（∠1 與 ∠2 互補），

則同位角 ∠2、∠3 是否相等？

 2如果 ∠1＝x°，∠2＝180°－x°（∠1 與 ∠2 互補），

　 則同位角 ∠2、∠3 是否相等？

動動腦

L₂

L₁ M

2 3

1

L₁ L₂

M 2 3

1

如果兩直線被一直線所截的（任何一組）內錯角相等，或（任何一組）同側 內角互補，則這兩直線就會平行。

因為∠1、∠2 兩同位角相等，所以 L₁ // L₂。

1因為∠1＝∠2（已知），且∠1＝∠3（對頂角），所以∠2＝∠3。 2是。

因為∠1＝∠2＝45°，且∠1、∠2 為同位角，

所以兩斜邊平行。

1因為∠1＋∠2＝180°（互補），且∠1＋∠3＝180°（平角）， 所以∠1＋∠2＝∠1＋∠3＝180°，可知∠2＝∠3。

2是。

1試判別下列各小題中的直線 L₁、L₂ 是否平行？並說明你的理由。

 1  2  3

2 小梅將一條兩邊是直線邊的紙帶，如下圖剪成兩段剪裁邊為直線的紙 帶。她量得 ∠1 和 ∠2 的度數相同，請問紙帶的兩直邊是否平行？為 什麼？

平行的判別—同側內角

例

5

如右圖，M 為 L₁、L₂ 的截線，且 ∠1＝78°，

∠2＝102°，請問 L₁ 與 L₂ 是否平行？

因為 ∠1、∠2 是 L₁、L₂ 被 M 所截出的同側內角，

且 ∠1＋∠2＝78°＋102°＝180°，

即 L₁、L₂ 被 M 所截出的同側內角互補，所以 L₁ // L₂。

L₂ L₁

84° 84°

1

2

60° 112°

L₂ L₁

48°

48°

L₁ L₂

L₂

M 1 2

L₁

這些有關平行線截角的性質統稱為平行線的截角性質。

如果兩直線被一直線所截的（任何一組）同位角相等，或（任何一組）內錯 角相等，或（任何一組）同側內角互補，則這兩直線會平行。

兩平行線被一直線所截時，它們的同位角相等、內錯角相等、同側內角互補。

反過來說，

綜合前面有關平行線截角的特性，可得到下面的結論：

配合習作基礎題 5

1是，因為同位角相等。 2是，因為內錯角相等。3不是，因為同側內角不互補。

是，因為內錯角相等。

例

6

在計算有關平行線截角度數的問題時，我們經常會用到平行線的截角性 質，讓我們看看下面的例題。

如右圖，L₁ // L₂，M 是 L₁、L₂ 的一條截線，

∠1＝52°，求 ∠2。

因為 ∠1、∠2 沒有直接關係，

所以要利用其他截角，如右圖 ∠3。

因為 L₁ // L₂ 且 ∠1、∠3 是同位角，

所以 ∠3＝∠1＝52°。

因為 ∠2 和 ∠3 形成一個平角，

所以 ∠2＋∠3＝180°

　　 ∠2＋52°＝180°

∠2＝128°

L₂ M

L₁ 2

3 1

2 M L₂ L₁

1

平行線的同位角相等

數學是最精密的科學，它的全部結論都能絕對地證明。而之所以會如此，

是因為數學並不試圖得出絕對的結論，所有的數學真理都是相對的、有條 件的。

—斯坦美次（ Charles Proteus Steinmetz，1865-1923）

數學小語錄

平行的應用

4

配合習作基礎題 6

1如右圖，L₁ // L₂，M 是 L₁、L₂ 的一條截線，∠1＝134°，求 ∠2。

2 右圖是一輛玩具車的行徑路線圖，

其中甲、乙、丙是三條筆直的道路，

且甲、乙兩道路平行，∠1＝56°。

 1求∠2。

 2玩具車一共轉了多少度？

L₁ L₂ M

1

2

丙

乙 甲

1 2

如圖，

∠3＝∠1＝134°（同位角相等），

又∠2 和∠3 形成一個平角，

所以∠2＝180°－∠3 ＝180°－134°

＝46°

1如圖，∠3＝∠1＝56°（同位角相等）， 又∠2 和∠3 形成一個平角，

所以∠2＝180°－∠3＝180°－56°＝124°

2∠1＋∠2＝56°＋124°＝180°

L₁ L₂ M

1

2 3

丙

乙 甲

1 2

3

截角與外角的應用

例

7

如右圖，AB // CD，E、F 分別在 AB 與 BD 上，

已知 ∠1＝130°，∠2＝137°，求 ∠3。

1 B

3

A E

F

C 2 D

如右圖，直線 L₁ // L₂，A 點在 L₁ 上，B、C 兩點 在 L₂ 上，AB 與 CD 相交於 D 點，已知 ∠1＝58°，

∠2＝63°，求 ∠3。

因為 L₁ // L₂，且 ∠1、∠4 是內錯角，

故 ∠1＝∠4＝58°。

因為 ∠3 為 △BCD 的外角，

所以 ∠3＝∠2＋∠4

＝63°＋58°

＝121°

L₂ L₁ 1

D 3 A

2 4

C B

內錯角相等

因為 AB // CD ，

所以∠B＋∠2＝180°（同側內角互補）

∠B＋137°＝180°

∠B＝43°

因為∠3 為△BEF 的外角，

所以∠3＝∠B＋∠BEF

＝43°＋（180°－∠1）（∠BEF 與∠1 形成平角）

＝43°＋180°－130°

＝93°

配合習作基礎題 7

下圖為撞球桌上的白球由 A 點連續碰撞桌邊 B、C 兩點後，停在 D 點的路 線。已知 ∠1＝∠2，∠3＝∠4。

1求 ∠1＋∠4。

2求 ∠5＋∠6。

3 AB 與 CD 是否平行？

截角與反射角的應用

例

8

右圖為撞球桌上的白球由 A 點連續碰撞桌邊 B、C 兩點後停在 D 點的路線。已知 PQ // RS，

且 ∠1＝∠2，∠3＝∠4，試問：

1∠1 與 ∠4 是否相等？

2∠5 與 ∠6 是否相等？

3 AB 與 CD 是否平行？

1 因為 PQ // RS，且 ∠2、∠3 是內錯角，所以 ∠2＝∠3，

又因為 ∠1＝∠2，∠3＝∠4，故 ∠1＝∠2＝∠3＝∠4。

2 因為 ∠1、∠5、∠2 形成一個平角，∠3、∠6、∠4 也形成一個平角，

所以 ∠1＋∠5＋∠2＝∠3＋∠6＋∠4＝180°。

又因為 ∠1＝∠2＝∠3＝∠4，

由等量公理可得 ∠1＋∠5＋∠2＝∠3＋∠6＋∠4，即 ∠5＝∠6。

3 因為 ∠5＝∠6，且 ∠5、∠6 是 AB 與 CD 被 BC 所截出的內錯角，

所以 AB // CD。

B C

S

Q R

P

1 3

4 6

D

A

5 2

B A

1 2

3 4 6

5

D C 內錯角相等

1∠1＋∠4＝∠2＋∠3＝90°（桌角為直角）

2因為∠1＋∠2＋∠5＝180°（∠1、∠2、∠5 形成一個平角），

∠3＋∠4＋∠6＝180°（∠3、∠4、∠6 形成一個平角），

所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝360°

180°＋∠5＋∠6＝360°

∠5＋∠6＝180°

3因為∠5、∠6 是 AB、CD 被 BC 截出的同側內角，

且∠5＋∠6＝180°，所以 AB // CD。

L₂ L₁

圖 4-6

利用平行線的截角性質，我們可以用直尺 與三角板畫平行線，如圖 4-6。

為什麼圖 4-6 中 L₁、L₂ 兩直線是平行的？

動動腦

下圖 △ABC 中，P 點在 AB 上，利用尺規作圖畫出通過 P 點且與 BC 平行 的直線 M。

上面平行線的尺規作圖，也是常用的基本作圖，為了方便，一般將上述的 作法簡述為：「作過直線 L 外一點 P 與 L 平行的直線。」

P A

B

C

圖 4-8 1 L

M

P

A R

Q 2 圖 4-7

L P

同樣的道理，若已知直線 L 外一點 P（如圖 4-7），

我們也可利用尺規的等角作圖，作出過 P 點與 L 平行的直線（如圖 4-8），其做法如下：

1 過 P 點任意作一直線 M，與 L 相交於 A 點，

所形成的交角為 ∠1。

2 在直線 M 上取一點 R，以 P 點為頂點，

PR 為一邊，作 ∠2，使得∠2＝∠1。

3 在 ∠2 另一邊取一點 Q，則 PQ 即為所求。

因為同位角相等，所以 L₁ 與 L₂ 平行。

配合習作基礎題 4

A

B

C

P M

平行線距離的應用

例

9

平行線除了截角性質的應用外，也可利用「兩平行線之間距離處處相等」

的性質，作等面積的圖形變化。

如下圖，L₁ // L₂，△ABC 的高是 AH，且面積是 104 平方公分。如果將 L₁ 上的 A 點向右移動 20 公分到 A₁ 後，△A₁BC 的高是 A₁H₁，則 △A₁BC 的面 積是多少？

因為 AH 及 A₁H₁ 均是平行線 L₁、L₂ 的距離，而平行線的距離處處相等，

所以 AH＝A₁H₁。

△A₁BC 的面積 ＝ 1

2 ×BC×A₁H₁

＝ 1

2 ×BC×AH

＝△ABC 的面積

＝104（平方公分）

承例題 9，將 △ABC 的頂點 A 在直線 L₁ 上任意移動後，得到的新三角形面 積與原 △ABC 的面積有何關係？

動動腦

L₁

H C

L₂ B

A L₁

L₂

H C

B H₁

A A₁

三角形的面積＝ 1

2 ×底×高

因為兩個三角形同底等高，所以面積相等。

如右圖，DE // AC，若 △ABC 的面積是 6，

△ADC 的面積是 4，求 △ABE 的面積。

!平行線：在平面上的兩條直線，如果同時與一條直線垂直，就稱這兩 條直線是平行線。

@平行線的截角性質：

 1 兩平行線被一直線所截時，它們的同位角相等，內錯角相等，

同側內角互補。

 2 如果兩直線被一直線所截的（任何一組）同位角相等，或（任何一組）

內錯角相等，或（任何一組）同側內角互補，則這兩直線平行。

#截角性質的應用：利用截角性質可計算有關平行線的截角角度問題，

或判斷兩直線是否平行。

$平行線的尺規作圖：利用平行線的尺規作圖，可畫出「經過已知直線 L 外一點 P，且與 L 平行」的直線。

%平行線距離的應用：利用「兩平行線之間距離處處相等」的性質，可 作固定面積的圖形變化。例如，將一個三角形變形為一個等面積的等 腰三角形；或可利用此關係，求出相關圖形的面積。

重點回顧

D

C E

A

B

因為 DE // AC，所以

△ACE 的面積＝△ADC 的面積

＝4

因此△ABE 的面積＝△ABC 的面積＋△ACE 的面積

＝6＋4

＝10

1如右圖，L₁ // L₂，M 是 L₁、L₂ 的一條截線，∠1＝124°，求 ∠2。

2 如右圖，L₁ // L₂，M 及 N 都是 L₁、L₂ 的截線，且交點在 L₁ 上，求 ∠1、∠2。

3如右圖，L₁ // L₂，L₂ // L₃，∠2＝115°。

 1求 ∠1、∠3。

 2 L₁ 與 L₃ 是否平行？為什麼？

自 我 評 量 4-1

L₁

L₂ M

2 1

L₁

L₂ N 2

M

45° 1

70°

L₁ L₂

M 1

L₃ 2 3

如圖，∠3＝∠1＝124°（同位角相等），

所以∠2＝∠3＝124°（對頂角）。

∠1＝70°（內錯角相等）。

（70°＋∠2）＋45°＝180°（三角形內角和為 180°）

115°＋∠2＝180°

∠2＝180°－115°

＝65°

1∠1＝∠2＝∠3＝115°（同位角相等）。 2是，因為同位角相等（∠1＝∠3）。

L₁

L₂ M

2 1 3

4 右圖紅色部分是一個線對稱圖形，B、D 分別為 A、C 的對稱點。如圖連接 直線 AB 及直線 CD 後，量得 ∠1＝106°。

 1直線 AB 與直線 CD 是否平行？為什麼？

 2求 ∠2、∠3。

5 袁太將兩塊「全等」紙板的 c 邊與直尺邊緊靠如下圖，而且兩個紙板的 c 邊 也緊連在一起，兩紙板無重疊部分，但袁太發現兩紙板間有空隙。試問︰

 1圖形中，兩紙板的 a 邊是否平行？為什麼？

 2同一片紙板的 a、b 兩邊是否平行？為什麼？

B 2 A

1

3

D C

b d

a c

d

b a

c

1因為直線 AB 與直線 CD 為對稱點的連線，

因此同時垂直於對稱軸，

所以直線 AB 與直線 CD 平行。

2∠2＝∠1＝106°（線對稱圖形）

又∠1＋∠3＝180°（同側內角互補）

106°＋∠3＝180°

∠3＝74°

1是，因為同位角相等。

2否，因為同側內角不互補。

6 右圖四邊形 ABCD 中，試問︰

 1 AB 與 CD 是否平行？為什麼？

 2 AD 與 BC 是否平行？為什麼？

7 如右圖，L₁、L₂ 為平行線，△ABE 的面積是 5，

△BCE 的面積是 3，求 △DCE 的面積。

8 於下圖 △ABC 中，利用尺規作圖畫一直線 L，使 L 會經過 B 點且與 AC 平行。

A 95°

85°

87°

D

B

C

L₁

L₂

E

A D

B C

A

C

B

1否，因為同側內角不互補。

2是，因為同側內角互補。

因為△BCD 面積＝△ABC 面積，

所以△BCE 面積＋△DCE 面積 ＝△ABE 面積＋△BCE 面積 得△DCE 面積＝△ABE 面積＝5。

A

C

B L