摘要
容積效率為外齒輪泵浦最主要的關鍵性能指標，而流率變動與動態響應亦為 其設計的重要考量。因此本文將先進行外齒輪式泵浦容積最佳化設計分析，並運 用所獲得之泵浦齒輪最佳化設計值，進行泵浦容積的參數分析。此外亦探討齒輪 泵浦流率變動及動態行為，以確保齒輪泵浦動態的可靠性。
外齒輪式泵浦的容積特性主要受到齒輪幾何設計參數的影響，因此本研究將 先推導出漸開線齒廓方程式，建立齒輪泵浦之齒輪外形，然後推導泵浦的輸出與 回流容積來獲得齒輪泵浦的理論淨輸出容積方程式，並且與最佳化分析軟體 MOST 整合，得到可輸出最大容積值之齒輪泵浦最佳化設計，最佳化泵浦設計的 輸出容積數值結果並將與 CAD 軟體模型之計算數值比較驗證。此外亦討論齒輪 設計參數與泵浦理論淨輸出容積的關係。在泵浦流率變動之研究方面，除了分析 前面所得到之容積最佳化泵浦設計的流率變動特性外，也將討論各種齒輪設計參 數對於流率變動率之影響。
最後本研究將分析泵浦齒輪對的動態齒根應力，應用前述齒輪曲線方程式，
直接於有限元素分析軟體 ANSYS/APDL 中建構出泵浦外齒輪對之網格模式，並 設定齒輪對初始及邊界等條件，最後以LS-DYNA 求解器計算泵浦齒輪對的動態 響應。本研究之齒輪泵浦容積效率、流率變動以及動態特性的結果，希望作為齒 輪泵浦分析與設計的參考。
關鍵字：泵浦，齒輪，漸開線，最佳化，流率，動態分析，ANSYS/LS-DYNA
Abstract
Ability of volume displacement is among the most critical indexes in external gear pumps. Also, quality of flow rate and dynamic response is often the most important design consideration of the gear pumps. In this thesis, plentiful optimization analyses in order to obtain maximum displacement volumes for the external gear pumps are executed to find the optimal design parameters. In addition, parametric analysis to evaluate influence of design parameters on pump displacement capability is also performed. Besides, characteristics of flow rates and dynamic responses are also investigated to assure the related pump performance.
The displacement performance of gear pumps is mainly determined by their geometric design parameters related to their gears. Therefore, this study firstly derives equations of involute tooth profile by which geometric profiles of their gears can be obtained. Then, theoretic net displacement volume is deduced after respectively deriving the output and backflow volumes. Next using an optimal code MOST, the optimal pump design for the maximum displacement can be achieved. To verify numerical accuracy, the numerical displacement of optimization pump design of the proposed method is compared with the result calculated by a CAD software package. In analyzing flow rate characteristics, flow rate fluctuation coefficients of the gear pump through the optimal process are calculated. Influences of gear design parameters on the flow rate characteristics for the gear pumps are also investigated.
Finally, this study expects to conduct the investigation of pump dynamic characteristics. Fillet stresses of the gear pumps are calculated using an FEM software.
Using a code of ANSYS/APDL, analyzing model of FEM for gear pairs in gear pumps is generated. After assigning suitable initial and boundary conditions, dynamic
Anticipatively, the results of this study including the displacement capability, flow rate fluctuation, and dynamic characteristic for the gear pumps are served to facilitate the design of the external gear pumps.
Keywords: pump, gear, involute, optimization, flow rate, dynamic analysis, ANSYS/LS-DYNA
誌謝
兩年時間轉眼即過，學生研究生生活也即將在此論文上劃上句點，在這短短 的兩年本論文能順利完成，首先要特別感謝我的指導教授 黃國饒博士，在課業方 面、研究主題與論文寫作上細心指導，而且在學生碰到研究瓶頸時；老師更是助 我良多，更使我在研究態度及待人處世方面獲得豐收，在此衷心的感謝老師這兩 年來對學生的照顧，對於恩師的謝意實在難以言表。
此外也要感謝口試委員中華大學機械系徐永源教授、華夏科技大學機械系林 文輝教授以及陸聯精密股份有限公司郭志維博士，對於論文上的指正與建議，提 供寶貴意見使本論文能更完善。
兩年的研究生活中，還要感謝學長秉巖、俊宏、茂榮、竣傑與同學信維、俞 凡、明達，總是能在我遇到困難時，適時的伸出援手，不厭其煩的與我討論；也 要感謝學弟建羽、建誠、友誠，在研究過程中給予協助，使我能順利的完成論文 的研究與撰寫。
最後，僅以此論文獻給我親愛的家人，因為有你們精神上的支持與鼓勵，我 才能順利的完成學業，在此將這份系喜悅與榮耀與所有關心我的家人及親友們分 享。
目錄
中文摘要 ...
I英文摘要 ...
II誌謝 ...
IV目錄 ...
V圖表目錄 ...
IX符號表 ...
XIII第一章 序論
...
11.1 研究背景 ... 1
1.2 研究動機與目的
...
21.3 文獻回顧 ... 4
1.4 內容大綱
...
5第二章 齒輪泵浦流量最佳化分析
...
62.1 外齒輪式泵浦結構與工作原理 ... 6
2.2 外嚙合齒輪式泵浦效能流失
...
82.2.1 回流現象
...
82.2.2 油液洩漏
...
. 102.2.3 流量變動
...
. 102.3 齒條形刀具截面方程式 ... 10
2.4 創成齒輪之齒形方程式 ... 14
2.5 齒輪泵浦理論淨輸出容積 ... 16
2.5.1 泵浦理論淨輸出容積表示式
...
162.5.2 齒輪泵浦之齒輪面積
...
172.5.3 齒輪泵浦回流容積
...
192.6 齒輪泵浦回流容積之最佳化設定 ... 22
2.7 容積最佳化齒輪設計之驗證 ... 24
2.8 容積最佳化齒輪設計參數之結果 ... 27
2.8.1 容積最佳化齒輪泵浦之設計參數
...
282.8.2 最佳化模數參數分析
...
292.8.3 最佳化齒數參數分析
...
302.8.4 最佳化壓力角參數分析
...
322.9 結果討論各參數對於容積效益的影響 ... 34
第三章 泵浦流率分析
...
353.1 齒輪泵浦流率理論推導 ... 35
3.2 洩壓槽 ... 43
3.3 齒輪泵浦設計參數之流率分析 ... 47
3.3.1 洩壓槽對於流率之影響
...
473.3.2 齒輪設計參數對於流率與流率變動係數之影響
...
483.3.3 容積最佳化齒輪設計參數之流率分析
...
593.3.4 非相同齒數之齒輪對之流率分析
...
63
3.4 結果討論齒輪設計參數對於流率之影響 ...64
第四章 齒輪泵浦動態分析 ...
654.1 齒輪的網格元素 ... 65
4.2 建立齒輪對的網格模式 ... 68
4.3 齒輪泵浦之動態液體數學模式 ... 70
4.4 最佳化齒輪泵浦設計之動態分析 ... 72
4.5 齒輪動態的參數分析 ... 76
4.5.1 大負載與高轉速齒輪對動態響應的參數分析
...
764.5.2 小負載與高轉速齒輪對動態響應的參數分析
...
804.5.3 大負載與低轉速齒輪對動態響應的參數分析
...
844.6 結果討論各齒輪參數對於齒輪動態的影響 ... 88
第五章 結論與未來展望 ...
895.1 結論 ...
895.2 未來展望 ... 90
參考文獻
...
91圖表目錄
圖 1-1 研究流程圖 ………...………...… 3
圖 2-1 外嚙合齒輪式泵浦圖示與其立體爆炸視圖 ………..……6
圖 2-2 泵浦主體剖面圖 ………...………...……7
圖 2-3 齒輪泵浦嚙合過程及回流液體變化 ………..…...…… 9
圖 2-4 平行於兩齒刀截面間之座標系
Sn和
S1的關係 ….…... 11
圖 2-5 齒條形刀具之橫向截面輪廓與
S1座標系 ………... 12
圖 2-6 齒輪創成之
S1和
S2的座標轉換圖示 ………...……14
圖 2-7 齒形面積劃分 ………...……..……...……..18
圖 2-8 回流容積區分示意圖 ………...…….……19
圖 2-9 漸開線特性示意圖 ……... ...
20圖 2-10 3D CAD 軟體之齒輪實體幾何模型 ……….……...24
圖 2-11 齒形過切 ………....………24
圖 2-12 單個齒輪之 CAD 軟體幾何模型 …...………25
圖 2-13 齒輪對之 CAD 幾何模型 ………26
圖 2-14 嚙合齒對間為最小回流容積位置(節點嚙合)之圖示 …..… 27
圖 2-15 最佳化齒輪泵浦之 CAD 模型 ………...…29
圖 2-16 最大理論淨輸出容積之模數趨勢變化圖 …..……..……30
圖 2-17 最大理論淨輸出容積之齒數趨勢變化圖 ………32
圖 2-18 最大理論淨輸出容積之壓力角趨勢變化圖 ……...….…34
圖 3-1 齒輪泵浦運轉過程輸出與回流容積表示 ….…….….…36
圖 3-2 齒輪泵浦運轉過程(
P1→P2)之齒對嚙合與容積變化 …...37
圖 3-3 主、被動齒之漸開線半徑示意圖 ……….…39
圖 3-4 無洩壓槽回流容積變化過程 ……...………45
圖 3-5 有洩壓槽回流容積變化過程 ……...………47
圖 3-6 洩壓槽對流率之影響圖 ……..………..….……48
圖 3-7 流率特性與齒數之關係 ……....……….…50
圖 3-8 流率特性與模數之關係 ……....……….…52
圖 3-9 流率特性與壓力角之關係 ……...………...…54
圖 3-10 流率特性與齒頂係數之關係 ……...………56
圖 3-11 流率特性與移位係數之關係 ……...………58
圖 3-12 最佳化齒數之流率變動係數圖 ………60
圖 3-13 最佳化模數之流率變動係數圖 ………61
圖 3-14 最佳化壓力角之流率變動係數圖 …….………62
圖 3-15 四組非相同齒數齒輪對的流率變動圖 ……..…………64
圖4-1 單一輪齒網格分割 …. ………66
圖 4-2 編寫 txt 檔與齒輪網格的流程圖 . ……...……….…..…67
圖 4-3 齒數 20 齒網格模型 ………...……….…68
圖 4-4 齒數 10 齒網格模型 ....……….………….…69
圖 4-5 困油容積等效模擬模型 ....………..………...…70
圖 4-6 容積最佳化齒輪泵浦設計之齒輪對網格模式 ...….…73
圖 4-7 容積最佳化齒輪泵浦設計之齒輪對動態應力分佈圖 ……74
圖 4-8 容積最佳化齒輪之動態 von Mises 齒根應力 ...…….…74
圖 4-9 容積最佳化齒輪之動態 von Mises 齒根應力 …...………75
圖 4-10 容積最佳化齒輪之動態 von Mises 齒根應力 ...…….…76
圖 4-11 大負載及高轉速之動態齒根應力及嚙合時之局部放大圖…
79圖 4-12 小負載及高轉速之動態齒根應力及嚙合時之局部放大圖....
83圖 4-13 大負載及低轉速之動態齒根應力及嚙合時之局部放大圖…
87表 2-1 CAD 軟體與程式工具之齒輪模型數值比對數值 ……… 25
表 2-2 最佳化齒輪泵浦之設計參數數值 ……..…….…….… 28
表 2-3 最佳化齒輪模數之設計參數數值 ……...…...30
表 2-4 最佳化齒輪齒數之設計參數數值 ……..……..…….…31
表 2-5 最佳化齒輪壓力角之設計參數數值 …….……...….…33
表 3-1 有無洩壓槽之各流率數值 ……….…48
表 3-2 齒數之各流率與流率變動係數數值 ……….…49
表 3-3 模數之各流率與流率變動係數數值 ……….…51
表 3-4 壓力角之各流率與流率變動係數數值 ………..…53
表 3-5 齒頂係數之各流率與流率變動係數數值 …..……….…55
表 3-6 移位係數之各流率與流率變動係數數值 ………..….…57
表 3-7 最佳化數值之流率與流率變動係數數值 …………...…59
表 3-8 最佳化模數之流率與流率變動係數數值 ………..….…60
表 3-9 最佳化壓力角之流率與流率變動係數數值 …...…….…62
表 3-10 四組非相同齒數齒輪對各流率與流率變動係數數值 ……63
表 4-1 齒根網格元素於大負載及高轉速之最大齒根應力及應力比較
...
80表 4-2 齒根網格元素於小負載及高轉速之最大齒根應力及應力比較
...
84表 4-3 齒根網格元素於大負載及低轉速之最大齒根應力及應力比較
...
88符號表
A ：嚙合時，兩齒輪所夾帶之回流面積 B
A ：齒輪面積 G
A ：漸開線扇形面積 Inv
A ：單位齒數所能夾帶之液體面積 O
A ：嚙合時，兩齒輪齒頂接觸點與圓心連線所圍成之區域面積 T
A ：齒頂圓扇形面積 a
A ：齒底圓角扇形面積 c
A ：齒底圓扇形面積 d
A ：單位時間內出口端藉由嚙合齒對夾帶回入口端的控制面積 B
A ：單位時間內由入口端壓進面積送往泵浦出口端的控制面積 O
C：流量係數
D ：齒輪對之中心距 C
D ：齒頂圓直徑 a
D ：泵浦內腔寬度 w
F ：齒輪寬度
M ：被動齒節點位置之嚙合點 N：主動齒節點位置之嚙合點 P ：節點
P ：鄰近輸出端之困油區壓力 a
P ：鄰近吸入端之困油區壓力 b
P ：吸入端壓力 i
P ：輸出端壓力 o
Q ：泵浦每轉理論嚙合回流容積 B
Q ：理論淨輸出容積 N
Q ：泵浦每轉理論輸出容積 O
Q ：回流之容積流率 B
QN：齒輪泵浦理論淨輸出流率 Q ：輸出之容積流率 O
Q ：平均排出流率 av
Qmax：最大排出流率
Qmin：最小排出流率 S ：橫向截面座標系 1
S ：2 S 進行齊次座標轉換 1 S ：由困油區域 a 流出的流量 a
S ：由困油區域 b 流出的流量 b
S ：由困油區域 a 流向困油區域 b 的流量 h
S ：法向截面座標系 n
T ：N點於相鄰齒之相對位置 V ：鄰近輸出端的回流容積 a
V ：鄰近吸入端的回流容積 b
W ：相應a S 的面積 a W ：相應b S 的面積 b W ：相應h S 的面積 h
Z ：齒輪齒數
b：工作節圓之齒刀齒間隙
c
：齒底隙c
t：橫向背隙f ：齒頂係數
i ：代表所計算第 i 個齒輪 l：節點與嚙合點之距離 Az：齒寬距離到M1的距離 m：模數
m ：法向模數 n
m ：橫向模數 t
q ：每齒對的嚙合理論回流容積 B
q ：齒輪每齒所輸出之理論容積 O
r ：齒頂圓半徑 a
rp：工作節圓半徑 x ：1 S 座標系之 x 軸 1 x ：n S 座標系之 x 軸 n α ：壓力角
α1：橫向壓力角 αad：齒頂壓力角 αc：刀具壓力角 αn：法向壓力角
βi：齒輪對中心線與接觸線之夾角 η：液體的密度
ξ：體積彈性模量 κ：輸出流率變動係數 ς：移位係數
φ ：創成漸開線輪廓之旋轉角 ω ：泵浦轉數
第一章 序論
1.1 研究背景
泵浦(pump)因用途及環境需求上的不同，種類繁多，其中齒輪泵浦為目前市 場上應用極廣泛的泵浦種類。齒輪泵浦的特點在於結構簡單緊實、價格便宜、自 吸性能強，缺點則為流量及壓力變動過大，易產生噪音。大型的齒輪泵浦因輸送 介質以油質、液態氨等，所以要求壽命長、無洩漏、不需高壓，且軸承選用以壽 命長、結構緊實為主，在泵浦密封上宜選用效果好的機械式密封，但此密封結構 複雜且價格昂貴。現今市面已有多種齒輪外形曲線作為泵浦主要內部傳動之齒輪 對，其中以漸開線齒輪外形最為廣泛。因為漸開線運用於齒輪製造上較為簡單，
製造成本也較低廉，雖然使用漸開線曲線之齒輪效能並不是所有齒輪泵浦中最好 的，但對於使用者功能選用及成本考量，則主要以漸開線曲線所製造的齒輪為首 要之選。
伴隨著現在工業界對於機械性能高精度與高轉速之需求，於每種齒輪機構系 統的振動特性及噪音要求也日趨嚴格，導致未來齒輪泵浦設計與製造的趨勢，在 於提高泵浦內部齒輪系統的輸送容積，齒輪對達到高運轉速度之下還能承受較大 的負載能力，並且降低齒輪泵浦整體振動與噪音，以增加泵浦齒輪對容積輸送效 益，讓齒輪對的性能成為齒輪泵浦中最重要之關鍵，然而對於齒輪齒形研究希望 達到的功能要求，是藉由材料的改進和加工技術的提升及齒輪外形設計條件的加 強。根據實務經驗，齒輪泵浦的出口流率變動是造成液壓或各種管路系統振動及 噪音之最主要來源，流率不均勻會產生流率變動不穩定。甚至當流率變動之構成 頻率與液壓系統的自然頻率相同時，會引起液壓系統的共振，對於泵浦本身之傳 動軸與軸承及所有管路系統之接頭和密封件都會產生相當的影響，最嚴重者將會
何提高齒輪泵浦的容積及傳動效益，讓齒輪在泵浦系統中能夠達到大流量輸出容 積、降低壓力變動、振動及噪音等要求，因而獲得平穩輸出流率的泵浦設計是非 常重要的性能指標之ㄧ，本研究便以此理想目標針對外嚙合齒輪泵浦進行探討。
1.2 研究動機與目的
國內對於齒輪泵浦設計、製造與應用雖已具備相當基礎，但是為了滿足更嚴 格之性能要求，對於其設計、製造等關鍵技術之研究，仍需突破提升。本研究主 要針對外齒輪式泵浦進行流量最佳化設計、流率變動率與齒輪對動態特性分析，
以建立此種外齒輪式泵浦產品設計、製造及應用的技術。
為了準確計算外齒輪式泵浦的有效容積流率，本研究將推導出漸開線齒輪齒 形的曲線方程式。先以創成齒條形刀具截面之輪廓方程式，再以齊次座標轉換與 齒輪嚙合方程式，推導出齒輪之漸開線、齒底圓角以及齒頂導角的曲線方程式；
然後應用所推導的齒形曲線方程式，於程式語言中找出各點座標，計算出泵浦理 論淨輸出容積，以獲得泵浦理論淨輸出容積表示式，再將計算容積之程式整合於 最佳化程式工具，進行齒輪泵浦容積最佳化設計，將所得數值結果加以驗證比 對。分別計算各齒輪設計參數之泵浦流率變動率，找出齒輪設計參數與流率變動 率相互之影響，探討容積最佳化泵浦的流率變動率，進而了解理論淨輸出容積大 小與流率變動率之間的關係。針對最佳化程式設計獲得之齒輪泵浦設計參數值與 齒輪漸開線方程式直接於有限元素分析軟體 ANSYS/LS-DYNA 中計算出格點座 標，產生泵浦主要組件齒輪對之網格元素，將初始與邊界條件設定於有限元素分 析軟體中，並以前處理器來顯示分析網格與各種條件設定，完成齒輪泵浦動態分 析設定方法，進行動態特性分析，以確定所設計的最佳化泵浦齒輪對之動態特 性，從動態齒根應力數值探討較佳容積效益及較小流率變動率之齒輪泵浦是否適 用於各負載及轉速環境。最後將本文研究之內容與過程整理於如圖1-1 所示之流 程圖。
圖1-1 研究流程圖
於程式語言中找出各點座標，計算齒輪泵浦容積，獲得泵浦 理論淨輸出容積之表示式。
計算容積之程式整合於最佳化程式工具，進行泵浦容積之最 佳化設計，將所得數值結果驗證比對。
分別計算各齒輪設計參數之泵浦流率，了解理論淨輸出容積 大小與流率變動率之間的關係。
將所需之初始與邊界條件設定於有限元素分析軟體 ANSYS/LS-DYNA 中。
以前處理器顯示分析網格與各種條件設定，完成齒輪泵浦動 態分析設定方法，進行動態特性分析。
推導漸開線齒輪齒形方程式。
將最佳化程式設計獲得之齒輪泵浦參數值與齒輪漸開線方程 式，直接於有限元素分析軟體 ANSYS/LS-DYNA 中計算出格 點座標，產生泵浦主要組件齒輪對之網格元素。
結果比較各種齒輪設計參數之齒輪對齒根應力值，探討各種 最佳化容積泵浦齒輪對之動態特性及安全性。
1.3 文獻回顧
現今於齒輪泵浦各種類型式及效能之研究文獻眾多，K. Nagamura、K. Ikejo 與F. G. Tutulan [1]提出將漸開線、擺線、複合線(漸開線與擺線)及修正擺線，四種 不同外嚙合齒輪泵浦的運送液體流量之優劣多寡作比較。吳育仁[2]等人計算齒輪 回流容積內部之壓力、容積及流量隨轉動角或時間變化之情形，可供進行齒輪齒 形及洩壓槽參數對於壓力及流量之研究，包括齒形壓力角、齒隙、洩壓槽高度及 齒寬等。李玉龍[3]等學者提出依據外嚙合齒輪泵浦的回流現象原理，分析回流容 積及回流壓力與洩壓槽寬度及齒側間隙的關係，建立相應的微分方程式組模型，
利用現有的求解微分方程組軟體模擬其動態過程。杜昌義[4]發表齒輪泵浦輸送液 體回流現象的產生與危害及回流現象的洩壓措施之分析，確定回流洩壓槽偏移的 作用和偏移量，並建議採用加工方便且尺寸精度較易控制的圓孔形洩壓槽。鄭鳴 [5]對齒輪泵浦瞬間流量的變化規律以及產生流率變動的原因進行了分析，指出流 率變動對液壓系統的不利影響，並提出降低流率變動的具體措施。B. Paffoni從參 數推論描述擺線齒輪泵浦的幾何外形，增加力矩、壓力、接觸與薄膜厚度等條件 對於擺線齒輪泵浦的影響。B. Paffoni、R. Progri與R Gras [7]提及齒輪間隙上的接 觸壓力與薄膜厚度對液壓擺線齒輪泵浦的影響。Yang、Tong與Liu [8]提出魯式泵 浦葉片外型設計方法，可達到葉片與泵浦腔體間的高密封度。Y. W. Liu與K. Tang [9]
提出利用非對稱齒形可提高齒輪泵浦10%之流量，降低流率變動係數約70%且減 少噪音。P.H. Mao及P. Hou [10]發表使用奇數齒能使齒輪泵浦流率變動率減少，並 使變動頻率增加，改善了齒輪泵浦的流量品質。K. Hou [11]分析齒輪的嚙合特點，
來探討嚙合齒輪泵浦洩壓槽的設計。Manring與Kasaragadda [12]提出理論求解外 嚙合齒輪流率變動，運用不可壓縮液體在無洩壓槽之下，觀察泵浦齒輪對中主、
被動齒以不同齒數搭配的流率變動情形。Frith與Scott發表齒輪泵浦的磨耗與流率 下降的關係，並表示實驗泵浦模型與可用實驗數值。其他關於齒輪泵浦研究著作 中[14-16]，強調液體薄膜厚度對於齒輪與機件接觸面之影響關係。Foster、Taylor 及Bidhendi [17]則深入分析求解齒輪泵浦，考慮泵浦嚙合齒對中的容積流率變化 及齒輪齒頂與泵浦側板間的洩漏，產生泵浦出口流率與齒面壓力變化所造成的週 期性激振，計算齒輪軸的動態負荷數值，並以實驗結果比較，作為泵浦與軸承設 計之參考。在齒輪動態分析上，以往幾乎都使用簡化的等效質量-阻尼-彈簧之離 散模式來進行其動態分析，並已有大量研究成果發表[18-23]。Chen和Tsay [24]以 有限元素法軟體ABAQUS，分析螺旋齒輪組承受局部的靜態接觸負載時之輪齒變 化，直到最近的研究[25-31]才開始應用連體模式進行齒輪動態之探討。
1.4 內容大綱
本研究針對漸開線齒輪泵浦進行理論容積最佳化與流率之探討及泵浦內腔齒 輪對之動態分析。論文內容包括第一章說明研究背景、研究動機與目的及其相關 參考文獻。第二章描述本研究對於齒輪泵浦的探討及相關參數理論，根據齒刀方 程式與嚙合方程式推導出漸開線齒形方程式且整合於最佳化程式工具，利用齒輪 設計參數改變齒輪幾何外形找出可產生泵浦最佳理論容積之齒輪齒形，並比較各 齒輪參數對於容積效益之影響，且於CAD 軟體中驗證齒輪模型及最佳化理論容積 運算方法。第三章描述流率相關參數理論，且根據第二章所求解之最佳化齒輪設 計參數及各齒輪設計參數進行流率分析及探討。第四章將推導之漸開線齒輪齒形 方程式於有限元素分析軟體 ANSYS/LS-DYNA 中直接建立漸開線齒輪對網格模 式，針對第二章所得之齒輪設計參數進行齒輪對動態特性分析，並給定所需之初 始、邊界條件及設定結果輸出，數值結果討論最佳化齒輪泵浦於不同負載及轉速
第二章 齒輪 泵浦流量最佳化分析
2.1 外齒輪式泵浦結構與工作原理
圖 2-1 所示為典型的外嚙合齒輪式泵浦圖示與其立體爆炸結構，構成齒輪泵 浦主要零件包括主體外殼、軸承、前後側蓋以及最重要的一組相互嚙合外齒輪 對。上述齒輪對ㄧ般是由兩個齒數相同齒輪所組成。
圖 2-1 外嚙合齒輪式泵浦圖示與其立體爆炸視圖 軸承
齒輪對
主體外殼
液體進出口
泵浦後側蓋 泵浦前蓋
齒輪泵浦作動原理是藉由主、被動齒輪間轉動嚙合所產生之容積改變而實現 吸排油過程。如圖2-2 所示，齒輪式泵浦主體設有一個液體吸入口及一個液體輸 出口，液體由吸入口隨齒輪對旋轉而被帶入，然後充滿每個齒間容積，最後被帶 往輸出端，隨著齒輪對相互嚙合而持續被擠壓出，然而仍會有殘留液體被帶回吸 入端而造成流量及功耗損失。齒輪的齒形一般以漸開線齒形為主，因為漸開線齒 輪易加工，且具有加工尺寸精確及精度驗證容易等優點，所以廣泛的被用於齒輪 泵浦上。
圖 2-2 泵浦主體剖面圖
2.2 外嚙合齒輪式泵浦效能流失
齒輪式泵浦在運轉過程，其輸出容積大小並非維持恆定的，約略有三種現象 將導致其容積效益降低與振動噪音之產生，其現象產生敘述如下：
2.2.1 回流現象
馬達帶動泵浦齒輪對運轉，使得輸送液體從吸入端進入泵浦內腔，藉由齒輪 對每一齒的間隙空間，把液體填滿於每個齒間隙，齒輪對持續運轉將齒間隙的液 體送往輸出端排出，其吸入的液體容積應當與輸出的液體容積相等，但是運送完 液體的齒輪嚙合運轉回吸入端時，將輸出端少許液體藉由嚙合齒輪對間隙帶回吸 入端，導致吸入端進入的容積與輸出端輸出之容積並未相等，此現象便為回流現 象，其過程如圖2-3所示。
(a) 開始嚙合(回流液體封閉於嚙合齒間隙)
(b) 嚙合中點(回流液體最小)
(c) 嚙合結束(回流液體釋放於吸入端)
圖2-3 齒輪泵浦嚙合過程及回流液體變化
2.2.2 液體洩漏
泵浦運轉過程中，泵浦主體中因設計製造與密封的緊密程度皆會產生一定程 度的洩漏。將泵浦洩漏部分區分為：齒輪對嚙合時，從出口端液體夾帶回來的回 流容積、齒頂與主體外殼間之配合間隙的洩漏、傳動軸與主體外殼的間隙洩漏以 及齒輪寬度(軸向)面與主體外殼間的間隙洩漏。然而，齒頂及齒輪寬度與主體外 殼間的洩漏部分，因組裝及工件配合而增加或減少。由於齒輪對嚙合的回流容積 洩漏不只會使泵浦容積效益降低，便是造成泵浦運轉振動噪音的主要原因，為外 齒輪式泵浦設計製造主要技術考量因素，本研究中將忽略兩項洩漏問題，針對齒 輪對的回流容積為討論重點。一般防制外齒輪泵浦洩漏情形發生之方法，在製造 時可針對泵浦所有組合工件之精密度加以改善，增加組合之配合精度，使用密封 墊(seal)填滿配合空隙及慎選潤滑機油等。
2.2.3 流率變動
齒輪泵浦正常運作時，脫離嚙合的輪齒將液體吸入泵浦本體完成吸油過程，
而泵浦本體中的液體要靠進入嚙合的輪齒向外輸出。一對輪齒在嚙合過程中，其 齒面上的嚙合線一直都是平行於其軸線的，輪齒在軸向上同時進入嚙合及脫離嚙 合，兩齒間的液體容積突然受擠壓而送出，此現象是不連續的，導致瞬間流量的 不均勻，這就是產生流率變動的主要原因。
2.3 齒條形刀具截面方程式
泵浦傳輸容積效率特性主要決定於泵浦本體內的嚙合齒輪對之輪齒齒形設 計，比較齒輪各設計參數對於容積效益的影響，並找出一組可達到泵浦最佳容積
效益的齒輪設計參數。本研究以漸開線齒輪作為容積最佳化與動態分析之模型，
此章節首先應用F. L. Litvin [30]之齊次座標轉換(HTM)與嚙合方程式(equation of meshing)之幾何方法，推導出漸開線齒形方程式，建立出完整齒形，產生嚙合齒 輪對，且以2D 平面之齒刀幾何模式，依次創成各齒輪寬度之截面，導出包括漸 開線及齒底圓角之曲線方程式，可包含齒形修整之更廣泛種類輪齒外形。
漸開線齒輪之齒形一般是由漸開線與齒底圓角所組成，可分別由齒條形刀具 之直線部分與頂部外圓角部分來創成產生。
圖2-4 平行於兩齒刀截面間之座標系Sn和S1的關係
圖2-5 齒條形刀具之橫向截面輪廓與S1座標系
圖2-4 表示座標系Sn(x y zn, ,n n)平行於齒條形刀具之法向(normal)截面以及平行 於橫向(transverse)截面之S x y z1( 1, ,1 1)座標系之關係。圖 2-5 表示齒條形刀具之任一
個橫向截面的輪廓方程式與S x y z1( 1, ,1 1)之關係，其中的x 軸通過刀具齒間的中間位1 置，y 軸則對齊齒刀基準節線。因此齒刀橫向截面的輪廓位置齊次座標向量可寫1 成R1=[x1 y1 z1 1]T，其中T 為向量轉置符號。並將齒刀橫向截面的直線A1部分與 齒頂外橢圓曲線部分之輪廓方程式分別推導於下：
(i) 齒刀之直線A1部分之輪廓方程式
由圖2-5 所示，齒條形刀具橫向截面的直線A1部分之輪廓方程式，可表示於 座標系S x y z1( , , )1 1 1 為
( )
1 1 1
1 1 1 1
1
cos
sin tan
r
r
z
x a
y a b
z
α
α α
= −
= ± − −
= A
A A
(2-1)
其中
r d n n
a = f ⋅m − − ⋅c ς m (2-2)
/ 2 tan 1
4
t
t n
b=πm −c + ⋅ς m ⋅ α (2-3)
而(2-1)式中之A1則是M 到0 M 的距離(如圖2-5所示)，1 M 為在線段1 A1上任意一點位 置。Az是齒寬距離，而
f 為齒底高係數，d
m
n為法向模數，m
t 為橫向模數，而正齒輪時mn =mt = ，m
c
為齒底隙，α
n為法向壓力角，α1為橫向壓力角，ρ 是齒 刀法向截面之齒頂圓角半徑，b
是工作節圓之齒刀齒間，c
t為橫向背隙， ς是移 位係數。(ii) 齒刀齒頂外橢圓曲線部分之輪廓方程式
11
(
11 1)
1
sin sin
tan cos cos
f r f
r f
z
x a
y a b
z
ρ α ρ θ
α ρ α ρ θ
= − + −
= ± − − − +
= A
(2-4)
(2-4)式中θ 是齒底圓角座標位置的角度，此外當第(2-1、2-4、2-6)式中的 ± 號為＋
時表示齒刀左邊輪廓的方程式，為－時則代表右邊輪廓的方程式。
2.4 創成齒輪之齒形方程式
以下將利用齊次座標轉換以及嚙合方程式，推導出漸開線齒輪的漸開線與齒 底圓角之輪廓方程式。
圖2-6 齒輪創成之S1和S2的座標轉換圖示
應用圖2-6 之S x y z1( 1, ,1 1)與S2(x y z2, ,2 2)之兩座標系關係，進行齊次座標轉換，即
R2 =M R 21 1 (2-5)
其中齊次座標轉換矩陣
( )
( )
21
cos sin 0 cos sin sin cos 0 sin cos
0 0 1
0 0 0 1
p
p
z
r r
φ φ φ φ φ
φ φ φ φ φ
⎡ − + ⎤
⎢ − ⎥
⎢ ⎥
=⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
M A (2-6)
其中r 是工作節圓半徑，即瞬心圓(centrode)以及齒輪嚙合方程式 p
, ,
, ,
G G G G
r I r r I r
G G
r x r x
X x Y y
n n
− −
= (2-7)
(2-7)式中之
(
Xr IG,,Yr IG,)
為瞬時中心的座標，而nGr x, 與nr yG, 為齒刀橫向截面輪廓的單位法 線向量之x 與 y 方向分量。應用座標轉換與嚙合方程式 (2-5、2-7)式，並代入齒 條形刀之輪廓方程式，即可以得到漸開線齒輪各部之輪廓方程式如下：(i) 齒輪漸開線之輪廓方程式
( ) ( )
( ) ( )
2 1 1 1 1 1
2 1 1 1 1 1
2
cos cos sin tan sin
cos sin sin tan cos
r p r p
r p r p
z
x a r a b r
y a r a b r
z
α φ α α φ φ
α φ α α φ φ
= − + − − − −
⎡ ⎤
= ±⎣ − + + − − − ⎦
=
A A
A A
A
(2-8)
(2-8)式中角度φ 為創成漸開線輪廓之旋轉角
1 1
1
cos tan
sin
f r r
p p
a a b
r r
α α
φ α
− +
=A −
(2-9)
(ii) 齒輪齒底圓角之輪廓方程式
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2
sin sin cos tan cos cos sin
sin sin sin tan cos cos cos
f
r n p r t t p
f
r n p r t t p
f z
x a r a b r
y a r a b r
z
ρ α ρ θ φ α ρ α ρ θ φ φ
ρ α ρ θ φ α ρ α ρ θ φ φ
= − + − + − − − − + −
⎡ ⎤
= ± − +⎣ − + + − − − + − ⎦
= A
(2-10)
在(2-10)式之φ 為創成齒底圓角輪廓之旋轉角，則
( ) (
1)
cos sin tan cos
sin
r n r n
p p
a a b
r r
θ ρ α α ρ α
φ θ
− ⋅ − + +
= − (2-11)
2.5 齒輪泵浦理論淨輸出容積
為了簡化模型本研究只針對回流面積最佳化之計算及動態齒輪對特性之研 究，其回流液體氣蝕、液體洩漏及流率變動現象在此將不考慮。首先計算出外齒 輪式泵浦於考慮回流容積情況之理論淨輸出容積，將計算出齒輪泵浦運轉中嚙合 齒對所挾帶的回流容積，於泵浦吸入端輸入的容積中減去，便可獲得齒輪泵浦理 論淨輸出容積。
2.5.1 泵浦理論淨輸出容積表示式
齒輪泵浦之理論淨輸出容積Q 可表示為 N
N O B
Q = Q − Q
(2-12)(2-12)式中Q ：泵浦每轉理論輸出容積，O Q ：泵浦每轉理論嚙合回流容積。 B 其中
Q
O= ⋅ ⋅ ⋅ 2 ω Z q
O (2-13)Q
B= ⋅ ⋅ ω Z q
B (2-14)q ：齒輪每齒所輸出之理論容積，O q ：每齒對的嚙合理論回流容積，B ω ：泵浦 轉數， Z ：泵浦齒輪齒數
如(2-13)式齒輪泵浦排出容積流率為QO = ⋅ ⋅ ⋅ ，其中 2 ω Z qO
(
a2 G)
O
r
F A
q Z
π ⋅ −
= ⋅
(2-15
上式中 F 為齒輪寬度，A 為齒輪面積。 G
2.5.2 齒輪泵浦之齒輪面積
利用(2-8)至(2-11)式的漸開線齒形方程式，可以找出位於漸開線及齒底圓角 上任意點的座標值，便可找出線段與圓心距離來計算齒輪面積A 。 G
如圖 2-7，假設一個全齒為對稱齒形，計算一個全齒的面積，先將一全齒分 成1
2齒再區分成四個部分面積：
面積A ：齒頂圓扇形面積，面積a A ：漸開線扇形面積，面積Inv A ：齒底圓角扇形c 面積，面積A ：齒底圓扇形面積。 d
計算面積A ，首先設定漸開線上兩相近的點(1、2)分別計算其半徑(Inv r 、1 r )2 及與X 軸之夾角(θ1、θ2)。
圖2-7 齒形面積劃分
2 2
1 1 1
r = x + y
，r
2= x
22+ y
22 ， 1,2 1 22 r r
r = +
， 1 1 11
tan y θ =
−x
，1 2
2
2
tan y
θ =
−x
，Δ θ
1,2= θ θ
2−
1 ， 12 21
A = 2 r Δ θ
，最後，
1,22
1 2
A
Inv= ∑ r Δ θ
(2-16)同理分別算出A 、a A 、c A 之面積，相加得d 1
2齒面積，將1
2齒面積乘上兩倍齒數 即得到齒輪面積A ，再乘上齒輪寬度( F )便為齒輪體積，則 G
A
G= ⋅ 2 ( A
a+ A
Inv+ A
c+ A
d) ⋅ F
(2-17)2.5.3 齒輪泵浦回流容積
齒輪泵浦作動中，因齒輪對中的間隙會將液體帶回吸入端，減低了泵浦的效 能，所以必須減少回流容積的流失，針對齒形俢整來減小回流的容積。預設最小 回流容積於節點嚙合時，其齒輪對間齒頂接觸，可將計算的面積區分為四部分，
如圖2-8 所示。
圖2-8 回流容積區分示意圖
圖2-8 中 MN為接觸線段， P 為節點位置，T 為N於相鄰齒之相對位置。
1 2
, ,
M O =N O 為齒頂圓半徑r ，a MN為一個基節，MP=PN 為1
2基節。
面積A ：嚙合時，兩齒輪齒頂接觸點與圓心連線所圍成之區域面積，其值由T MN、
, 2
M O 、N O, 2線段所為成之三角形的兩倍求出。
面積A ：嚙合時，計算回流面積減去一全齒多於之漸開線扇型面積。 Inv
由漸開線特性算出面積A ，如圖 2-9 所示，可得知漸開線特性與面積Inv A 之inv 關係式。
圖2-9 漸開線特性示意圖
圖中各數值計算為
(
1 2 2)
1r=rb +θ
inv tan tan θ φ α= + = α α+ = α α α− + = α φ =tanα α−
(
sec2 1)
dφ = α− dα
則面積A 可表示成(2-18)式： Inv
A
Inv= 1 2 r d
2φ = 1 2 ⎡ ⎢ r
b( 1 + θ
2)
12⎤ ⎥
2d φ = 1 6 r
b2tan
3α
⎣ ⎦
∫ ∫
(2-18)面積A 為單位齒數所能夾帶之液體面積，O Z 為齒輪之齒數，ra =M O, 2=N O, 1為 齒頂圓半徑，則面積A 可表示成(2-19)式： O
2
a G
O
r A
A Z
π ⋅ −
=
(2-19)面積A 為嚙合時，兩齒輪所夾帶之回流面積，可表示成(2-20)式： B
B T
2 A
G invA A A
Z
⎛ ⎞
= − ⎜ ⎝ − ⎟ ⎠
(2-20)將以上所得之面積乘上齒輪寬度( F )，即可得齒輪泵浦各過程進出之容積。
2.6 齒輪泵浦回流容積之最佳化設定
齒輪泵浦要達到最佳的輸送效能，影響最大的因素為齒輪所能攜帶液體之容 積大小，相對的齒輪齒形之設計為最重要的一環。齒輪創成之條件限制很多，因 為齒輪設計參數眾多，修改任一項參數皆會改變齒形的形狀。如何搭配最佳齒輪 設計參數，來建立最大輸送容積之齒輪泵浦，因此最佳化將訂定目標函數搭配設 計參數來達成泵浦最大輸送效能，最小回流液體的流失。本研究將採用最佳化程 式工具MOST[31]，可由數學方程式中求出建立模型之最佳化參數。
泵浦最佳化設計以達到最大液體理論輸出容積及最小回流容積為目標，因此 其目標函數及設計參數定義如下：
目標函數：
Q
N= Q
O− Q
B設計參數：齒數 Z (齒輪對齒數Z 、1 Z )、模數2 m、壓力角α、齒頂係數 f 及移位a 係數ς。
由於齒輪創成之條件限制及泵浦主體齒輪對中之配合限制，列出以下之最佳 化限制條件：
(i) 泵浦體積限制條件：
齒輪對之中心距： 1 2 2
C
Z Z
D =⎛⎜⎝ + +y⎞⎟⎠⋅m (y 為中心距增加係數) 齒頂圓直徑： Da = ⋅m ⎡⎣Z+2
(
fa+ς)
⎤⎦泵浦內腔寬度： Dw =Dc+Da
(ii) 齒形創成加工限制條件：
避免產生齒頂過尖(pointed)： 4 tan
2 2 0
c
a c ad
r inv inv
Z
π+ ⋅ ⋅ς α α α
⎛ + ⋅ − ⋅ ⎞≥
⎜ ⎟
⎝ ⎠
(αc：刀具壓力角，αad：齒頂壓力角)
避免過切(undercutting)：
sin2
2 0
c a
f −Z⋅ α + ≤ ς
2.7 容積最佳化齒輪設計之驗證
利用CAD軟體產生單一齒輪，為了驗證計算齒輪面積及理論容積輸出值，便 於CAD軟體中設計建構出產生漸開線齒輪之系統工具，以確保最佳化程式工具所 獲得齒輪設計參數之正確性。
將推導之漸開線齒形方程式於CAD軟體中建立出齒輪漸開線，並完成2D剖面 產生實體齒輪模型。在漸開線方程式中將模數、齒數、壓力角及移位係數改成變 數型態，用以將最佳化程式工具MOST所獲得不同之齒輪設計參數輸入CAD軟體 中，判斷齒輪設計參數是否符合建構齒輪條件，而產生完整所需之齒輪模型。如 圖2-10所示，由CAD軟體中所建構之完整齒輪模型，其齒輪設計參數為模數：2.0 mm，齒數：20齒，移位係數：0.0，壓力角：20°。如果將此齒輪設計參數之壓力 角改為16°，則會造成齒輪過切條件而無法產生完整之齒輪，如圖2-11所示。
圖2-10 3D CAD軟體之齒輪實體幾何模型(模數2.0 mm，齒數20齒，移位係數 0.0，壓力角：20°)
圖2-11 齒形過切(模數2.0 mm，齒數20齒，移位係數0.0，壓力角16°)
為了驗證最佳化程式部份，首先將漸開線齒輪之設計參數輸入 CAD 軟體工 具中，產生出相同之齒輪對，藉由CAD 軟體工具之量測功能，檢驗比較程式工 具計算所產生之齒輪與CAD 軟體工具產生之齒輪，證實由程式工具產生的模型 及回流容積運算之正確性。以模數2.0 mm，壓力角 20°，齒數 20 齒，齒頂係數 1，
移位係數0.0，齒寬 1.0 mm 之齒輪設計參數建造驗證模型。由 CAD 軟體產生之 單一齒輪(如圖 2-12)及齒輪對(如圖 2-13)，將齒輪對旋轉至嚙合中點即最小回流 容積 (如圖 2-14)，藉由 CAD 軟體之量測工具找出單一齒輪體積及最小回流容積 與程式工具計算之數值比對如表2-1。兩者比較後，單一齒輪體積誤差約略為 0.030
mm ，最小回流容積誤差約為 0.006 3 mm ，因此確認由程式工具所產生之模型與3 回流容積之運算，將可用於齒輪泵浦最佳化理論容積效益之分析。
表 2-1 CAD 軟體與程式工具之齒輪模型數值比對數值 單一齒輪體積 最小困油容積 使用CAD 軟體產生齒輪模型 1235.770 mm 3.002 3 mm 3
使用程式工具計算齒輪模型 1235.800 mm 2.996 3 mm 3
圖 2-12 單個齒輪之 CAD 軟體幾何模型
圖 2-13 齒輪對之 CAD 幾何模型
(a) 找出嚙合位置最小回流容積
(b) 量測嚙合位置的最小回流容積
圖 2-14 嚙合齒對間為最小回流容積位置(節點嚙合)之圖示
2.8 容積最佳化齒輪設計參數之結果
於最佳化程式工具 MOST 將齒輪泵浦相關限制條件定義如下:
(i) 完成定義最佳化齒輪泵浦目標函數：找出泵浦齒輪最大理論淨輸出容積。
(ii) 完成定義最佳化齒輪泵浦限制條件：
(1) 符合泵浦齒輪對最大寬度 47 mm (2) 泵浦齒輪對不得產生齒形過切 (3) 泵浦齒輪對不得產生齒形頂點過尖
最小回流容積
(iii) 完成定義最佳化齒輪泵浦設計變數求解範圍值：
(1) 模數: 1.0 m 4.0≤ ≤ (mm) (2) 齒數: 9≤ ≤Z 30
(3) 壓力角: 12≤ ≤α 30(degree) (4) 齒頂係數: 0.5≤ fa ≤3.0 (5) 移位係數: 0.0≤ ≤ς 3.0
2.8.1 容積最佳化齒輪泵浦之設計參數
求解最佳化齒輪泵浦各設計參數範圍中，不限制任何設計變數為定值，最佳
化程式工具MOST 在給予之設計變數範圍求解出最佳化齒輪泵浦的設計變數。其 齒輪 CAD 模型如圖 2-15 所示，齒輪設計參數數值如表 2-2。而此設計參數所完 成的齒輪運用於本研究泵浦中，不探討流率變動及效能流失等問題，在容積效益 上是產生最大理論淨輸出容積之齒輪泵浦。
表 2-2 最佳化齒輪泵浦之設計參數數值
模數(mm) 壓力角(degree) 齒頂係數 移位係數 齒數 理論淨輸出容積(mm )3 2.338 28.879 1.050 0 9 340.738
圖2-15 最佳化齒輪泵浦之 CAD 模型
2.8.2 最佳化模數參數分析
達到目標函數，針對齒輪設計變數中的模數參數範圍(1.0 m 4.0≤ ≤ )之特定模 數做最佳化參數分析，其餘設計變數範圍皆不改變。模數與各設計參數的搭配受 限於目標函數及限制條件，使得只有8 個限定模數參數可達得目標函數之值，其 值分析計算如表 2-2，最大理論淨輸出容積是以模數 2.25 mm、齒數 9 齒、壓力 角25.944°、齒頂係數 1.072、移位係數 0.211 搭配之 329.572 mm 。其趨勢如圖3 2-16 顯示之最大理論淨輸出容積隨著模數增大而增加，
表 2-3 最佳化齒輪模數之設計參數數值
模數(mm) 壓力角(degree) 齒頂係數 移位係數 齒數 理論淨輸出容積(mm )3 1.0 19.560 1.325 0.092 22 190.607 1.125 18.547 1.310 0.350 19 205.151
1.25 19.664 1.274 0.311 17 222.016 1.375 18.531 1.299 0.542 15 235.259
1.5 21.591 1.211 0.263 14 252.954 1.75 24.090 1.151 0.151 12 282.049
2.0 22.942 1.142 0.382 10 304.296 2.25 25.944 1.072 0.211 9 329.572
0 100 200 300 400
0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5
模數(mm)
淨輸出容積
(mm³
)
圖 2-16 最大理論淨輸出容積之模數趨勢變化圖
2.8.3 最佳化齒數參數分析
達到目標函數，針對齒輪設計變數中的齒數參數範圍( 7≤ ≤Z 30)之特定齒數 做最佳化參數分析，其餘設計變數範圍皆不改變。最佳化齒數參數分析計算之值 如表2-4，以齒數 7 齒、模數 2.875 mm、壓力角 30°、齒頂係數 0.979、移位係數 0.104 所得之理論淨輸出容積 381.768 mm 為最大值。從中可見 23 齒的各設計參3 數值，其模數與齒頂係數為給予範圍之最小值，壓力角為給予範圍之最大值，移
位係數逼近於給予範圍之最小值，參數設計搭配之範圍皆已接近極值，所以與齒 數22 齒之理論淨輸出容積值落差較大。圖 2-17 顯示齒數與理論淨輸出容積值之 趨勢，可見愈小的齒輪所得之理論淨輸出容積越大。
表 2-4 最佳化齒輪齒數之設計參數數值
模數(mm) 壓力角(degree) 齒頂係數 移位係數 齒數 理論淨輸出容積(mm )3 2.875 30 0.979 0.104 7 381.768 2.601 30 1.012 0.012 8 362.325 2.338 28.879 1.050 0 9 340.738 2.120 27.752 1.084 0 10 321.183 1.940 26.763 1.115 0 11 303.916 1.788 25.886 1.144 0 12 288.537 1.658 25.098 1.170 0 13 274.736 1.547 24.386 1.193 0 14 262.266 1.449 23.735 1.215 0 15 250.931 1.363 23.138 1.235 0 16 240.571 1.287 22.587 1.254 0 17 231.057 1.219 22.075 1.271 0 18 222.279 1.158 21.597 1.287 0 19 214.149 1.103 21.150 1.302 0 20 206.592 1.053 20.730 1.316 0 21 199.542 1.007 20.333 1.328 0 22 192.946
1.0 30 0.5 0.0000143 23 69.952
0 50 100 150 200 250 300 350 400
6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
齒數 淨輸出容積 (mm³)
圖 2-17 最大理論淨輸出容積之齒數趨勢變化圖
2.8.4 最佳化壓力角參數分析
達到目標函數，針對齒輪設計變數中的壓力角參數範圍(12≤ ≤α 40)之整數數 值做最佳化參數分析，其餘設計變數範圍皆不改變。最佳化壓力角參數分析計算 之值如表2-5，表中以壓力角 29°、齒數 9 齒、模數 2.339 mm、齒頂係數 1.047、
移位係數0.0 所得之理論淨輸出容積 339.881mm 為最大值。如圖 2-18 顯示壓力3 角約略從12°至 29°之理論淨輸出容積隨著角度加大而增加，而壓力角約略從 29°
至 40°時之淨輸出容積隨著角度加大而減少，此因當壓力角增加使得齒頂齒形部 分愈來愈尖，加上受限泵浦最佳化齒形目標函數，導致理論淨輸出容積愈來愈小。
表 2-5 最佳化齒輪壓力角之設計參數數值
模數(mm) 壓力角(degree) 齒頂係數 移位係數 齒數 理論淨輸出容積(mm )3 1.984 12 2.050 1.856 9 296.539 1.995 13 1.885 1.657 9 297.980 2.008 14 1.745 1.482 9 299.549 2.022 15 1.627 1.325 9 301.249 2.037 16 1.525 1.184 9 303.082 2.053 17 1.439 1.054 9 305.056 2.070 18 1.365 0.935 9 307.170 2.088 19 1.302 0.825 9 309.431 2.108 20 1.248 0.722 9 311.840 2.129 21 1.203 0.625 9 314.408 2.151 22 1.164 0.533 9 317.136 2.174 23 1.133 0.446 9 320.030 2.198 24 1.107 0.363 9 323.095 2.224 25 1.087 0.283 9 326.339 2.252 26 1.071 0.206 9 329.768 2.280 27 1.060 0.132 9 333.390 2.311 28 1.053 0.061 9 337.210
2.339 29 1.047 0 9 339.881
2.345 30 1.023 0 9 332.820
2.350 31 0.999 0 9 325.757
2.356 32 0.976 0 9 318.705
2.361 33 0.952 0 9 311.671
2.367 34 0.929 0 9 304.665
2.372 35 0.906 0 9 297.694
2.378 36 0.883 0 9 290.767
2.383 37 0.860 0 9 283.864
2.389 38 0.837 0 9 277.065
2.394 39 0.816 0 9 270.301
2.400 40 0.793 0 9 263.601
0 50 100 150 200 250 300 350 400
10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 壓力角 (degree)
淨輸出容積 (mm³)
圖 2-18 最大理論淨輸出容積之壓力角趨勢變化圖
2.9 結果討論各參數對於容積效益的影響
在本章自行設定之最佳化限制條件下，最佳化齒輪泵浦符合目標函數及設計 變數的範圍，求解出最大理論淨輸出容積之齒輪泵浦設計參數。而各齒輪設計參 數經過分析比較後，可了解不同之設計變數對於泵浦輸出容積的變化。模數設計 變數因模數加大其容積效益也增加，齒數設計變數因齒數越小而有較大之容積效 益，壓力角設計變數則是約略小於 29°時，其容積效益因壓力角遞增而增加；反 之壓力角約略大於 29°時，其容積效益因壓力角遞增而減少。根據最佳化齒輪泵 浦之模數、齒數及壓力角設計參數，其數值結果皆可增加容積效益，最大理論淨 輸出容積也為本研究探討各參數之容積效益中的最佳數值。
第三章 泵浦流率分析
3.1 齒輪泵浦流率理論推導
齒輪泵浦工作原理是由馬達運轉帶動齒輪對，藉由嚙合齒對產生容積變化。
圖3-1 表示齒輪泵浦運轉過程，定義出口端附近為控制區域(control region)來推導 泵浦之輸出容積變化，由於泵浦嚙合齒對中會產生回流容積，導致泵浦出、入口 端容積流率不一致。齒輪泵浦理論淨輸出流率QN 為單位時間內總輸出之容積，
其表示式為
( )
N O B O B
Q =Q −Q = ⋅F A −A (3-1)
Q 為輸出之容積流率，O Q 為回流之容積流率，B AO為單位時間內由入口端壓進面 積送往泵浦出口端的控制面積，AB為單位時間內將泵浦內部出口端區域裡藉由嚙 合齒對夾帶回入口端的控制面積，而F為齒面寬大小，本研究為正齒輪式泵浦，
此值並不影響其流率特性，因此設定為單位齒寬，即為1.0 mm。因此體積理論淨 輸出流率可簡化成面積表示式，即
N O B
A =A −A (3-2)
圖3-1 齒輪泵浦運轉過程輸出與回流容積表示
