中 華 大 學 碩 士 論 文

中 華 大 學 碩 士 論 文

題目：整合排量與應力特性之外齒輪式泵浦 最佳化研究

An Optimization Study on External Gear Pumps by Integrating Displacement and Stress Characteristics

系 所 別：機械工程學系 碩士班 學號姓名：M09508020 陳 志 傑 指導教授：黃 國 饒 博 士

中華民國 九十八 年 ㄧ 月

摘要

容積效率、流量變動以及其齒輪承受負載應力狀況為設計正/螺旋齒輪泵浦 之主要指標。本論文將整合泵浦排量與齒輪應力特性考量，建立齒輪泵浦最佳 化分析與設計方法，並經由設計參數分析探討各種限制條件下最佳化排量之齒 輪泵浦設計。

本研究首先應用控制容積方法，以所限定控制區域內之容積改變，推導出 不考慮洩漏之正/螺旋齒輪泵浦理論體積流率的解析解，並計算其理論機構排 量、無因次排量及流率變動係數。然後考慮泵浦與齒輪之設計與製造限制，應 用最佳化程式 MOST，進行齒輪泵浦機構排量最佳化設計，並討論齒輪各設計 參數包含模數、齒數、壓力角、齒頂係數、螺旋角與齒寬等對於泵浦理論機構 排量以及流率變動的影響。接著本研究更進ㄧ步考慮泵浦的洩漏與壓力對於泵 浦性能之影響，以平行板之壓力流與剪切流理論，來計算泵浦齒頂間隙洩漏量，

而泵浦內腔攜油區之壓力分佈也可獲得。在齒輪應力分析方面，應用齒條形刀 具之輪廓方程式所推導之漸開線齒輪方程式，在有限元素分析軟體 ANSYS 中 建構出泵浦齒輪之網格模式，並計算出泵浦內腔各部份的壓力分佈，包括入口 低壓區、出口高壓區以及攜油區，以施加壓力負載於各齒輪面上，再以 APDL 參數設計語言連結來匯入 ANSYS 中，並完成初始、邊界條件與操作條件設定，

進行數值求解，計算泵浦齒輪之齒根應力與接觸應力，最後整合前述泵浦洩漏 與齒輪應力計算結果以作為泵浦最佳化分析之限制條件，完成更完整之齒輪泵 浦最佳化分析。本研究建立了考量廣泛設計與製造因素之正/螺旋齒輪泵浦最佳 化之分析方法，並獲得有用的泵浦設計數值結果。

關鍵字：泵浦，齒輪，流率，最佳化，有限元素分析

Abstract

Displacement efficiency, flow rate fluctuation, and stresses on gears are the essential considerations in designing spur/helical gear pumps. This paper develops an optimal approach to pump design by integrally taking displacements and stresses characteristics into account. Additionally, through parametric analyses, optimal pumps to attain an excellent displacement incorporating variant design and manufacturing constraints can be achieved.

At the beginning of this study, excluding pump leakages volume change in the confined region is derived using the control volume method. An analytic expression representing spur/helical pump volume flow rate is yielded. Subsequently, dimensionless kinematic displacement and flowrate fluctuation coefficient of pumps can also be calculated. Then, by incorporating design and manufacturing constraints of pump and gear, pump optimization process for seeking excellent kinematic displacement capacity is performed using an optimal code, MOST. In addition, influences of numerous gear design parameters on pump displacement and flowrate fluctuation are also investigated those including module, tooth number, pressure angle, addendum coefficient, helical angle, and face width. Then, the optimization process is further formulated by additionally incorporating leakage and pressure considerations in pump performance evaluation. In the aspect of leakage model, the both pressurized and shear flow theories for parallel plates are used to simulate the leakage of pumps between gear addendums and chamber. Accordingly, the pressure on carry over teeth of driving and driven gears can also be formulated. In the other aspect of stress considerations, element models of gears used for the finite element analysis using ANSYS are constructed directed using derived involute gear equations generated from a rack cutter profile. Then pressure distribution obtained via a C code

and is imported in FE package ANSYS using APDL programming. Therefore, the resulted pressures are imposed on their corresponding regions of driving and driven gears those include inlet and outlet ports, carry over regions, and trapped regions.

After adequate settings including initial and boundary conditions and that for pump operation, numerical results of fillet bending stress and contact stress of gear pairs are obtained. Finally, using the results from leakage model and gear stress calculation to be additional constraints in optimization formulation, a more sophisticate formulation for pump optimization can thus be achieved. This paper developed an effective approach for design and manufacturing consideration. Useful results facilitating pump design spur/helical gear pump design optimization by incorporating wide constraints of n were also obtained.

Keyword: pump,gear,optimization,flow rate,ANSYS

誌謝

在兩年半的研究生活中，我充分感受到了學習的喜悅，也了解到自己的不足 與成長的空間。ㄧ路跌跌撞撞走來首要感謝指導教授 黃國饒博士，除了在課業 與研究上的細心指導之外，也能適時的指出我學習態度上的缺失與盲點，讓我能 更勇於精進，不再畫地自限。

此外還要感謝論文口試委員中華大學機械系陳精一教授、中央大學蔡錫錚教 授、陸聯精密股份有限公司郭志維博士，對於論文上的指正與建議，讓本論文更 完善。

當然更不能忘記無數個痛苦的夜晚與我ㄧ起在研究室裡奮戰的學長智展與 同學建羽，以及學弟兼御用司機守仁、景輝，能夠與你們相識是我前世修來的福 份，也期望未來的你們ㄧ切順利。

最後，還要感謝我的母親、阿姨以及姨丈，沒有你們的關心與支持就不會有 現在的我，在此願將這份榮耀與喜悅獻給你們。我相信，告別學生生涯，邁向另 一個人生里程，我會滿懷著信心面對未知的挑戰，放馬過來吧！

目錄

中文摘要 ...

英文摘要 ...

誌謝 ...

目錄 ...

圖目錄 ...

表目錄 ...

符號表 ...

第一章 序論 ...

1.1 研究背景 ... 1

1.2 研究動機與目的 ... 1

1.3 文獻回顧 ... 2

1.4 內容大綱 ... 3

第二章 齒輪泵浦理論排量 ...

2.1 螺旋齒輪式泵浦構造與原理 ... 5

2.1.1 回流現象 ... 6

2.1.2 形成封閉區域 ... 7

2.2 齒輪輪廓方程式 ... 9

2.2.1 齒條形刀具截面方程式 ... 9

2.2.2 創成齒輪之齒廓方程式 ... 12

2.3 齒輪泵浦理論排量推導 ... 15

2.3.1 齒輪面積 ... 16

2.3.2 泵浦淨輸出容積流率 ... 18

第三章 齒輪泵浦排量最佳化分析 ...

3.1 齒輪泵浦排量最佳化設定 ... 25

3.2 泵浦排量最佳化之數值結果 ... 29

3.3 最佳化設計參數分析 ... 31

3.3.1 模數 ... 31

3.3.2 齒數 ... 33

3.3.3 壓力角 ... 35

3.3.4 齒頂係數 ... 37

3.3.5 移位係數 ... 39

3.3.6 螺旋角 ... 41

3.3.7 齒寬 ... 43

3.3.8 泵浦內腔寬度 ... 45

第四章 包含洩漏與應力條件之泵浦最佳化 ...

4.1 洩漏 ... 47

4.1.1 泵浦出入口壓力差 ... 49

4.1.2 齒頂間隙寬度 ... 50

4.1.3 流體黏滯係數 ... 51

4.2 齒輪泵浦的應力分析 ... 52

4.2.1 ANSYS 簡介 ... 52

4.2.2 有限元素模型 ... 53

4.2.3 泵浦內腔壓力分佈 ... 54

4.2.4 邊界條件 ... 60

4.3 整合洩漏與應力分析之齒輪泵浦最佳化 ... 61

4.4 最佳化設計參數分析 ... 64

4.4.1 模數 ... 64

4.4.2 齒數 ... 66

4.4.3 壓力角 ... 68

4.4.4 螺旋角 ... 70

第五章 結論與未來展望 ...

5.1 結論 ... 72

5.2 未來展望 ... 73

參考文獻……….………..……

圖目錄

圖 2-1 泵浦主體剖面圖 ... 5

圖 2-2 齒輪泵浦嚙合過程及回流液體變化 ... 7

圖 2-3 螺旋齒對嚙合示意圖 ... 7

圖 2-4 泵浦中齒對嚙合角度示意圖 ... 8

圖 2-5 平行於兩齒刀截面間之座標系S 與_n S 的關係 ... 10 ₁ 圖 2-6 齒條形刀具之橫向截面輪廓與S 座標系 ... 10 ₁ 圖 2-7 齒輪創成之S 和₁ S 的座標轉換圖示 ... 12 ₂ 圖 2-8 齒輪泵浦運轉示意圖 ... 15

圖 2-9 齒形面積劃分 ... 16

圖 2-10 漸開線特性示意圖 ... 17

圖 2-11 齒輪泵浦運轉過程(由P₁→ )之齒對嚙合與面積變化 ... 19 P₂ 圖 2-12 嚙合齒對接觸線半徑示意圖 ... 20

圖 3-1 齒輪泵浦流率變化 ... 25

圖 3-2 最佳化分析流程圖 ... 26

圖 3-3 泵浦本體 ... 27

圖 3-4 最佳化齒輪泵浦之 CAD 模型 ... 30

圖 3-5 為最佳化齒輪泵浦流率變化 ... 30

圖 3-6 最佳化齒輪泵浦模數與排量相關變化趨勢圖 ... 31

圖 3-7 最佳化齒輪泵浦齒數與排量相關變化趨勢圖 ... 33

圖 3-8 最佳化齒輪泵浦壓力角與排量相關變化趨勢圖 ... 35

圖 3-9 最佳化齒輪泵浦齒頂係數與排量相關變化趨勢圖 ... 37

圖 3-10 最佳化齒輪泵浦移位係數與排量相關變化趨勢圖 ... 39

圖 3-11 最佳化齒輪泵浦螺旋角與排量相關變化趨勢圖 ... 41

圖 3-12 最佳化齒輪泵浦齒寬與排量相關變化趨勢圖 ... 43

圖 3-13 最佳化齒輪泵浦內腔寬度與排量相關變化趨勢圖 ... 45

圖 4-1 齒頂間隙 圖 4-2 齒頂與外殼簡化模型 ... 47

圖 4-3 不同出入口壓力差之洩漏量變化趨勢圖 ... 50

圖 4-4 不同間隙寬度之洩漏量變化趨勢圖 ... 51

圖 4-5 不同流體黏滯係數之洩漏量變化趨勢圖 ... 52

圖 4-6 漸開線齒輪一齒區域規劃圖 ... 53

圖 4-7 漸開線螺旋齒輪對 ... 54

圖 4-8 齒輪泵浦各部角度示意圖 ... 55

圖 4-9 齒廓上各齒厚所佔角度 ... 57

圖 4-10 齒輪泵浦內腔壓力分佈示意圖 ... 59

圖 4-11 邊界條件的施加 ... 60

圖 4-12 齒輪對面上壓力分佈 ... 61

圖 4-13 最佳化齒輪泵浦的有限元素模型 ... 63

圖 4-14 泵浦內齒輪對上的壓力分布 ... 63

圖 4-15 最佳化齒輪泵浦 von Mises 應力圖 ... 64

圖 4-16 最佳化齒輪泵浦模數與排量相關變化趨勢圖 ... 65

圖 4-17 最佳化齒輪泵浦齒數與排量相關變化趨勢圖 ... 66

圖 4-18 最佳化齒輪泵浦壓力角與排量、洩漏量變化趨勢圖 ... 68

圖 4-19 最佳化齒輪泵浦螺旋角與排量相關變化趨勢圖 ... 70

表目錄

表 3-1 最佳化齒輪泵浦之模數設計參數 ... 32

表 3-2 最佳化齒輪泵浦之齒數設計參數 ... 34

表 3-3 最佳化齒輪泵浦之壓力角設計參數 ... 36

表 3-4 最佳化齒輪泵浦之齒頂係數設計參數 ... 38

表 3-5 最佳化齒輪泵浦之移位係數設計參數 ... 40

表 3-6 最佳化齒輪泵浦之螺旋角設計參數 ... 42

表 3-7 最佳化齒輪泵浦之齒寬設計參數 ... 44

表 3-8 最佳化齒輪泵浦之內腔寬度設計參數 ... 46

表 4-1 不同出入口壓力差(P_o-P )之泵浦排量與洩漏... 49 _i 表 4-2 不同齒頂間隙寬度之泵浦排量與洩漏 ... 50

表 4-3 不同流體黏滯係數之泵浦排量與洩漏 ... 51

表 4-4 齒輪元件元素與材料性質 ... 54

表 4-5 最佳化齒輪泵浦之模數設計參數 ... 65

表 4-6 最佳化齒輪泵浦之齒數設計參數 ... 67

表 4-7 最佳化齒輪泵浦之壓力角設計參數 ... 69

表 4-8 最佳化齒輪泵浦之螺旋角設計參數 ... 71

符號表

A ：漸開線扇形面積 Inv

A ：嚙合時，兩齒輪齒頂接觸點與圓心連線所圍成之區域面積 T

A ：齒頂圓扇形面積 a

A ：齒底圓角扇形面積 c

A ：齒底圓扇形面積 d

A& ：淨輸出面積流率 N

A& ：單位時間內藉由嚙合齒對夾帶回入口端的控制面積 B

A& ：單位時間內由入口端送往泵浦出口端的控制區域的面積 O

w：泵浦內腔寬度 F ：齒輪寬度 h ：間隙寬度 n

L ：螺旋齒導程 L ：齒頂寬度 n

P ：節點

P ：入口端壓力 i

P ：出口端壓力 o

Q& ：泵浦每轉理論輸出容積 U ：兩平板的速度差

V& ：泵浦淨輸出容積流率 N

V& ：泵浦輸出容積流率 O

S ：橫向截面座標系 1

S ：2 S 進行齊次座標轉換 ₁ S ：法向截面座標系 n

Z ：齒輪齒數

b：工作節圓之齒刀齒間隙 b ：泵浦入口端寬度 I

b ：泵浦出口端寬度 O

c：齒底隙

ct：橫向背隙 f ：齒頂係數 a

i ：代表所計算第 i 個齒輪 l：節點與嚙合點之距離 κ：泵浦容積效率

lz：齒寬距離到M₁的距離 m：模數

m ：法向模數 n

m ：橫向模數 t

q& ：無因次排量 r ：齒頂圓半徑 a

rp：工作節圓半徑 α ：壓力角

α1：橫向壓力角 αad：齒頂壓力角 αc：刀具壓力角

βi：齒輪對中心線與接觸線之夾角 β：螺旋角

η：流體的黏滯係數 ς：移位係數

φ ：創成漸開線輪廓之旋轉角 ω ：泵浦轉速

εc：接觸比 λ ：流率變動係數

第一章 序論

1.1 研究背景

泵浦(pump)是一種應用非常廣泛的通用型機械，舉凡各種需要運送流體的場 合都會用到它。現今由於工業化的結果，近代的泵浦除了運送水之外，其他諸如 油壓機械、石化工業、產品工業…等等，也都可以看到泵浦的存在。泵浦的種類 繁多，齒輪泵浦(gear pump)為目前市場上極為常見的一種，它屬於定容積式(或 稱為排量式)中的旋轉泵，而齒輪泵浦又可分為兩種形式：(1)內接齒輪泵浦 (internal gear pump)(2)外接齒輪泵浦(external gear pump)，而在各種齒輪外形曲線 中，又以漸開線齒輪最為泛用，因為漸開線運用在齒輪製造上較為簡單，成本也 較低廉。

外接齒輪泵浦的主要構成元件為：兩個互相嚙合的齒輪，以及包含齒輪的外 殼。其優點在於成本低、構造簡單、製造容易、壽命長，適用於高黏滯係數流體，

缺點則為流量與壓力變動過大，易產生噪音。隨著工業界對於機械性能高精度與 高轉速的需求，於每種齒輪機構系統的要求也日趨嚴格，未來齒輪泵浦設計與製 造的趨勢，在於提高泵浦的輸送容積，齒輪對在高運轉速度下還能承受較大的負 載能力，並且降低齒輪泵浦整體的振動與噪音。本研究便是以此理想目標針對外 接齒輪泵浦進行探討。

1.2 研究動機與目的

國內對於齒輪泵浦設計、製造與應用雖已具備相當基礎，但是為了滿足更嚴 格之性能要求，對於其設計、製造等關鍵技術之研究，仍需突破提升。本研究希 望能建立一套整合泵浦排量與應力特性的最佳化分析方法，並探討不同設計參數 對於齒輪泵浦的排量、流率變動與齒輪對應力特性的影響，並將所獲得的分析結

果提供給設計者做為參考，以便提高齒輪泵浦的排量及傳動效益，讓齒輪在泵浦 系統中能夠達到最大輸送效益、降低流率變動、振動及噪音的要求。

1.3 文獻回顧

現今於齒輪泵浦各種類型式及效能之研究文獻眾多，K. Nagamura、K. Ikejo 與 F. G. Tutulan [1]提出將漸開線、擺線、複合線(漸開線與擺線)及修正擺線，四 種不同外嚙合齒輪泵浦的運送液體流量之優劣多寡作比較。吳育仁[2]等人計算 齒輪回流容積內部之壓力、容積及流量隨轉動角或時間變化之情形，可供進行齒 輪齒形及洩壓槽參數對於壓力及流量之研究，包括齒形壓力角、齒隙、洩壓槽高 度及齒寬等。李玉龍[3]等學者提出依據外嚙合齒輪泵浦的回流現象原理，分析 回流容積及回流壓力與洩壓槽寬度及齒側間隙的關係，建立相應的微分方程式組 模型，利用現有的求解微分方程組軟體模擬其動態過程。杜昌義[4]發表齒輪泵 浦輸送液體回流現象的產生與危害及回流現象的洩壓措施之分析，確定回流洩壓 槽偏移的作用和偏移量，並建議採用加工方便且尺寸精度較易控制的圓孔形洩壓 槽。鄭鳴[5]對齒輪泵浦瞬間流量的變化規律以及產生流率變動的原因進行了分 析，指出流率變動對液壓系統的不利影響，並提出降低流率變動的具體措施。

B. Paffoni 從參數推論描述擺線齒輪泵浦的幾何外形，增加力矩、壓力、接觸與 薄膜厚度等條件對於擺線齒輪泵浦的影響。B. Paffoni、R. Progri 與 R Gras [7]提 及齒輪間隙上的接觸壓力與薄膜厚度對液壓擺線齒輪泵浦的影響。Yang、Tong 與 Liu [8]提出魯式泵浦葉片外型設計方法，可達到葉片與泵浦腔體間的高密封 度。Y. W. Liu 與 K. Tang [9]提出利用非對稱齒形可提高齒輪泵浦 10%之流量，降 低流率變動係數約 70%且減少噪音。P.H. Mao 及 P. Hou [10]發表使用奇數齒能使 齒輪泵浦流率變動率減少，並使變動頻率增加，改善了齒輪泵浦的流量品質。

K. Hou [11]分析齒輪的嚙合特點，來探討嚙合齒輪泵浦洩壓槽的設計。Manring 與 Kasaragadda [12]提出理論求解外嚙合齒輪流率變動，運用不可壓縮液體在無

與 Scott 發表齒輪泵浦的磨耗與流率下降的關係，並表示實驗泵浦模型與可用實 驗數值。其他關於齒輪泵浦研究著作中[14-16]，強調液體薄膜厚度對於齒輪與機 件接觸面之影響關係。Foster、Taylor 及 Bidhendi [17]則深入分析求解齒輪泵浦，

考慮泵浦嚙合齒對中的容積流率變化及齒輪齒頂與泵浦側板間的洩漏，產生泵浦 出口流率與齒面壓力變化所造成的週期性激振，計算齒輪軸的動態負荷數值，並 以實驗結果比較，作為泵浦與軸承設計之參考。在齒輪動態分析上，以往幾乎都 使用簡化的等效質量-阻尼-彈簧之離散模式來進行其動態分析，並已有大量研究 成果發表[18-23]。Chen 和 Tsay [24]以有限元素法軟體 ABAQUS，分析螺旋齒輪 組承受局部的靜態接觸負載時之輪齒變化，直到最近的研究[25-32]才開始應用連 體模式進行齒輪動態之探討。

1.4 內容大綱

本研究針對漸開線螺旋齒輪泵浦進行理論排量最佳化與流率之探討及泵浦 腔體內齒輪對之應力分析。論文內容包括第一章說明研究背景、研究動機與目的 及其相關參考文獻。第二章描述本研究對於齒輪泵浦的探討及相關參數理論，應 用控制容積方法，以所限定控制區域內之容積改變，推導出不考慮洩漏之螺旋齒 輪泵浦理論體積流率的解析解，並計算其理論機構排量、無因次排量及流率變動 係數。第三章將上一章所推導的泵浦理論排量撰寫成程式並整合於最佳化設計工 具 MOST 中，進行齒輪泵浦的排量最佳化設計，並比較各齒輪參數對於排量特 性之影響.。第四章首先利用平行板之壓力流與剪切流理論，推導出泵浦齒頂間 隙洩漏量與泵浦泵浦內腔的壓力分佈，接著藉由齒刀方程式與嚙合方程式推導出 漸開線齒輪齒形方程式並於有限元素分析軟體 ANSYS 中直接建立漸開線齒輪對 網格模式並以 APDL 參數設計語言完成初始、邊界條件與操作條件設定進行齒 輪對應力分析，找出最大齒根應力與接觸應力做為最佳化設計中的一項限制條 件，最後完成整合排量、洩漏與應力特性之最佳化齒輪泵浦設計。第五章為本研

圖 1-1 研究流程圖

推導漸開線齒輪齒形方程式。

推導齒輪泵浦理論排量方程式，並完成 分析程式的撰寫。

整合計算排量程式於最佳化工具 MOST 中，進行泵浦排量的最佳化設計。

了解齒輪泵浦內腔相對於齒輪轉角的壓 力變化情形，撰寫成數學表示式。

利用有限元素分析軟體 ANSYS 與 ADPL 參數設計語言進行齒對嚙合應力分析，

並探討最佳化齒輪泵浦的應力特性。

比較泵浦出入口壓差、間隙與流體黏滯 數對於泵浦洩漏、排量與輸送效率的影 響。

探討齒論各設計參數對於最佳化齒輪泵 浦排量特性的影響。

第二章 齒輪泵浦理論排量

2.1 螺旋齒輪式泵浦構造與原理

螺旋齒輪泵浦的構成元件包括主體外殼(hosing)、軸承、前後側蓋以及最重 要的一組相互嚙合的外接齒輪對。齒輪泵浦的作動原理是藉由主、被動齒輪間的 轉動嚙合所產生的容積改變而實現吸排油過程。如圖 2-1 所示，泵浦主體有一個 液體入口及一個液體出口，液體由入口吸入隨齒輪對旋轉而被帶入，然後充滿每 個齒間容積，最後被帶往出口，隨著齒輪對相互嚙合而被擠壓出，然而仍會有殘 留液體被帶回吸入端而造成流量及功耗損失。

Suction side Discharge side

Driving gear Driven gear Gear housing

圖 2-1 泵浦主體剖面圖

2.1.1 回流現象

馬達帶動泵浦齒輪對運轉，使得輸送液體從入口端進入泵浦內腔，藉由齒輪 對每一齒的間隙空間，把液體填滿於每個齒間隙，齒輪對持續運轉將齒間隙的液 體送往出口端排出，其吸入的液體容積應當與輸出的液體容積相等，但是運送完 液體的齒輪嚙合運轉回入口端時，將出口端少許液體藉由嚙合齒輪對間隙帶回入 口端，導致入口端進入的容積與出口端輸出之容積並未相等，此現象便為回流現 象，其過程如圖 2-2 所示。

(a) 開始嚙合(回流液體封閉於嚙合齒間隙)

(b) 嚙合中點

(c) 囓合結束(回流液體釋放於吸入端)

圖 2-2 齒輪泵浦嚙合過程及回流液體變化

2.1.2 形成封閉區域

齒輪泵浦運轉過程中，在齒對嚙合處會有一個封閉的區域產生，藉以分隔泵 浦低壓入口與高壓出口，依此條件下，則在齒輪嚙合過程必定會有一個完全嚙合 (in complete mesh)產生，圖 2-3 是螺旋齒對嚙合時早邊(leading side)與晚邊(lagging side)的表示圖，圖 2-4 則為泵浦中齒對嚙合角度過程示意圖。

晚邊

早邊

圖 2-3 螺旋齒對嚙合示意圖

,

AS E A_{S L,} B_{S E,} B_{S L,} A_{E E,}

φ

φ

φ

φ

φ

C F

φ

φ

,

AE L

圖 2-4 泵浦中齒對嚙合角度示意圖

圖 2-4 符號所代表意義如下：

X_{S E,} 齒對 X 早邊嚙合開始 X_{E E,} 齒對 X 早邊嚙合結束 X_{S L,} 齒對 X 晚邊嚙合開始

X_{E L,} 齒對 X 晚邊嚙合結束

而 A 、 B 則是分別指嚙合齒對與下一齒對

也就是說為了確保完全嚙合的產生，在嚙合齒對的早邊嚙合結束前，下一齒 對的晚邊必須要開始嚙合，因此

(2.1)

C O F

φ ≥φ φ+ 其中

2 (2.2)

O Z

φ = π

2 (2.3)

C C

Z φ =ε ⋅ π

2 2 sin

(2.4)

F

n

F F

L m Z

π β

φ = ^⋅ =

⋅

εC為接觸比， L 為螺旋齒導程

故螺旋齒輪對滿足完全嚙合之條件為 ( 1)

(2.5) sin

C mn

F ε π

β

− ⋅ ⋅

≤

2.2 齒輪輪廓方程式

本節將應用 F.L. Litvin[30]齊次座標座標轉換(homogeneous transformation matrix)與齒輪嚙合方程式(equation of meshing for gear)，推導出漸開線齒輪的齒 型方程式。

2.2.1 齒條形刀具截面方程式

漸開線齒輪之齒形一般是由漸開線與齒底圓角所組成，可分別由齒條形刀具 之直線部分與頂部外圓角部分來創成產生。

Z₁

Yn

Y₁

β

β

lz

Xn X¹

Zn

Sn S¹

圖 2-5 平行於兩齒刀截面間之座標系S 與_n S 的關係 ₁

圖 2-6 齒條形刀具之橫向截面輪廓與S 座標系 ₁

圖 2-5 表示座標系S x y z_n( _n, _n, _n)平行於齒條形刀具之法向(normal)截面以及平 行於橫向(transverse)截面之S x y z 座標系之關係。圖 2-6 表示齒條形刀具之₁( ,_{1 1}, )₁ 任一個橫向截面的輪廓方程式與S x y z 之關係，其中的₁( ,_{1 1}, )₁ x 軸通過刀具齒間的₁ 中間位置，y 軸則對齊齒刀基準節線。因此齒刀橫向截面的輪廓位置齊次座標向₁

橫向截面

法向截面

直線

齒頂外橢圓角

量可寫成R₁ =[x₁ y₁ z₁ 1]^T，其中 T 為向量轉置符號。並將齒刀橫向截面的直 線l 部分與齒頂外橢圓曲線部分之輪廓方程式分別推導於下： ₁

I.齒刀之直線部分之輪廓方程式：

由圖 2-6 所示，齒條形刀具橫向截面的直線部分之輪廓方程式，可表示於座 標系S x y z₁( ,_{1 1}, )₁ 為

1 1 1

1 1 1 1 g

1

cos

( sin tan ) S tan (2.6)

r

r z

z

x a

y a b

z

α

α α β

= −

= ± − − + ⋅

=

I I

I

l

l l

l 其中

1

(2.7) tan (2.8)

4 2

r d n n

t t

n

a f m c m

m c

b m

ς

π ς α

= ⋅ − − ⋅

= − + ⋅ ⋅

2.6 式中之l 則是₁ M 到0 M 的距離，如圖₁ 2-6 所示，M 為在線段₁ l 上任意一₁ 點位置。l 是齒寬距離，而_z f 為齒底高係數，d m 為法向模數，_n m 為橫向模數，_t

c為齒底隙，α_n為法向壓力角，α₁為橫向壓力角，ρ是齒刀法向截面之齒頂圓 角半徑，b是工作節圓之齒刀齒間，c 為橫向背隙，_t β為螺旋角，ς是移位係數。

II.齒刀齒頂外橢圓曲線部分之輪廓方程式：

1 1

1 1 1

1

sin sin

( tan cos cos ) tan (2.9)

f r f

r g z

f z

x a r

y a b r S

z

ρ α θ

α ρ α θ β

= − + −

= ± − − − + + ⋅

=

l l

在式中θ 是齒底圓角座標位置的角度， r 是橢圓中心到輪廓的距離，可表成

2 2 2 1/ 2

(sin cos cos ) (2.10) r=ρ θ + β θ ⁻

此外當 2.6、2.9 式中的± 號為＋時表示齒刀左邊輪廓的方程式，為－時則代

表右邊輪廓的方程式；而符號S 為＋號時，為推導右手螺旋齒輪的齒面輪廓，_g

而S 為－號時，則是推導左手螺旋齒輪。 _g

2.2.2 創成齒輪之齒廓方程式

以下將利用齊次座標轉換以及嚙合方程式，推導出漸開線齒輪的漸開線與齒 底圓角之輪廓方程式。

r_p

Y₂ X₂

Z_f Z₂

Y_f X_f

Z₁

Y₁ X₁

φ

圖 2-7 齒輪創成之S 和₁ S 的座標轉換圖示₂

應用圖 2-7 之S x y z₁( ,_{1 1}, )₁ 與S x y z₂( ,_{2 2}, ₂)之兩座標系關係，進行齊次座標轉換，

即

2 = 21 1 (2.11) R M R

其中齊次座標轉換矩陣

g z

g z

21

cos sin 0 (cos sin ) S tan sin sin cos 0 (sin cos )+S tan sin

(2.12)

0 0 1

0 0 0 1

p p

z

r r

φ φ φ φ φ β φ

φ φ φ φ φ β φ

− + − ⋅

⎡ ⎤

⎢ − ⋅ ⎥

⎢ ⎥

=⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

M

l l l

其中r 是工作節圓半徑，即瞬心圓(centrode)以及齒輪嚙合方程式 _p

, ,

, ,

(2.13)

G G G G

r I r r I r

G G

r x r x

X x Y y

n n

− −

=

2.13 式中之(X_{r I}^G_, ,Y_{r I}^G_, )為瞬時中心的座標，而n_{r x}^G_, 與n_{r y}^G_, 為齒刀橫向截面輪廓 的單位法線向量之 x 與 y 方向分量。應用座標轉換與嚙合方程式 2-11~2-13 式，

並代入齒條形刀之輪廓方程式，即可以得到漸開線齒輪各部之輪廓方程式如下：

I.齒輪漸開線之輪廓方程式：

2 1 1

1 1 1

2 1 1

1 1 1

2

( cos ) cos

( sin tan tan ) sin

[( cos ) sin

( sin tan tan ) cos ]

r p

r p g z

r p

r p g z

z

x a r

a b r S

y a r

a b r S

z

α φ

α α φ β φ

α φ

α α φ β φ

= − +

− − − − + ⋅

= ± − +

+ − − − + ⋅

=

I

I

I

l

l l

l

l l

l (2.14)

2.14 式中角度φ為創成漸開線輪廓之旋轉角

1 1 g z

1

cos tan +S tan

(2.15) sin

f r r

p p

a a b

r r

α α β

φ α

− + ⋅

=l − l

II.齒輪齒底圓角之輪廓方程式：

2

2

2

( sin sin ) cos

( tan cos cos tan )sin

[( sin sin ) sin

( tan cos cos tan ) cos ]

f

r n p

r t t p g z

f

r n p

r t t p g z

f z

x a r r

a b r r S

y a r r

a b r r S

z

ρ α θ φ

α ρ α θ φ β φ

ρ α θ φ

α ρ α θ φ β φ

= − + − +

− − − − + − + ⋅

= ± − + − +

+ − − − + − + ⋅

=

l

l

l (2.16)

在 2.16 式之φ為創成齒底圓角輪廓之旋轉角

( )( )

( )

1

sin sin cos cos sin

tan cos / cos cos / (2.17)

r n

p

r n g z p

a q k rq

r q k

a b S r

ρ α θ θ

φ θ θ

α ρ α β β

− − +

= +

⎡ ⎤

−⎣ + + − ⋅l ⎦

其中k、 q 為簡化公式分別為

k=sin²θ +cos²βcos²θ 1 2

sin sin 2 (2.18)

q= 2 β θ

2.3 齒輪泵浦理論排量推導

齒輪泵浦由馬達運轉帶動齒輪對，將工作流體包覆並輸送至出口。圖 2-8 表 示齒輪泵浦運轉過程，定義出口端附近為控制區域(control region)來推導泵浦的 輸出容積變化。由於泵浦嚙合齒對會產生回流容積，所以齒輪泵浦的淨輸出容積 流率表示式為

(2.19)

N O B

V& =V& −V&

其中V& 為輸出容積流率，_O V& 為回流容積流率 _B

Discharge side Suction side

Control region

Driving gear Driven gear

圖 2-8 齒輪泵浦運轉示意圖

2.3.1 齒輪面積

如圖 2-9，假設全齒為對稱齒形，可以將其面積分為四個部份，分別為齒頂 圓扇形面積A 、漸開線扇形面積_a A 、齒底圓角扇形面積_inv A 與齒底圓扇形面積_c

A 。 d

A_d Ac

A_inv Aa

X

2 φ1

φ2

r₁

r₂ 1

圖 2-9 齒形面積劃分

計算漸開線扇形面積A ，假設漸開線上相近兩點(1、2)其半徑為(_inv r 、₁ r₂)、

與 X 軸夾角為(φ₁、φ₂)。

可得

₁₂ 1 _1,2² _1,2

=2

A r Δφ _1,2 ^{1 2} 2 r r

r = + Δφ_1,2 = φ φ₂− ₁ 最後

1 2

(2.20)

inv 2

A =

∫

r_b Base circle Involute r

2 1

Y X

φ θ

α

dA_inv

圖 2-10 漸開線特性示意圖

如圖 2-10 所示，可得知A 與漸開線特性的關係如下 _inv

2 1 2

(1 ) r=rb +θ

tan tan

θ φ α= + =invα α+ = α α α− + = α φ =tanα α−

(sec2 1) dφ = α− dα

故漸開線扇形面積A 可以以表示成 _inv

2 2 1 2 2 2 3

1 1 1

[ (1 ) ] tan (2.21)

2 2 6

inv b b

A =

∫

∫

2.3.2 泵浦淨輸出容積流率

圖 2-11 為一螺旋齒輪泵浦的橫向截面，其淨輸出面積流率可以表示成

(2.22)

N O B

A& = A& −A&

A& 為單位時間內由入口端送往泵浦出口控制區域的面積，O A& 為單位時間內_B 藉由嚙合齒對從控制區域夾帶回入口端的面積。

2 2 2 1 2

,1 1 ,2 2 1 ,1 ,2

2

1 1 1

( ) (2.23)

2 2 2

O a a a a

A r r r Z r

ω ω ω Z

= + = ⋅ +

&

式中的ω 為齒輪轉速， Z 為齒數

根據圖 2-11 齒輪泵浦運轉過程(由P₁→ )之齒對嚙合與面積變化可以得知P₂ 回流面積流率A& 為 _B

, , , (2.24)

B i inv i Tri i

A& =A& +A&

其中

2 3 2 2 2

, , ,

1 1

( tan ) tan sec (2.25)

6 2

i

Inv i b i i b i i i

d

A d r r

dt dt

α α α α

= =

&

2 ,

1 (2.26) 2

i

Tri i i

A r d dt

= α

&

下標 i 代表計算第 i 個齒輪，r 為漸開線上任意點至齒輪中心的距離 _i

(a) 整體

(b) 局部放大

圖 2-11 齒輪泵浦運轉過程(由P₁→ )之齒對嚙合與面積變化 P₂

其中壓力角α_i與漸開線之關係為

,

cos 1 ^{b i} (2.27)

i

i

r α = ⁻ r

將 2.27 式對時間取導數，代入 2.25、2.26 式

1 ,

, ,

,

1 1

(cos ) (2.28) tan

tan sec (2.29) 2

1 2 ta

i b i i

i i i

b i i

Inv i i i

i Tri i

d d r dr

dt dt r r dt

r dr

A dt

A r α

α

α α

= − =

=

=

&

& (2.30) n

i i

dr α dt

圖 2-12 為嚙合齒對接觸線半徑示意圖，r 為漸開線上任意點至齒輪中心之距_i 離，可表示為

O

O

A

C P P

O

αop

,2

rop

,1

rop

r2

,2

ra

r

β2

β1 l=PPⁱ

lo =PO

圖 2-12 嚙合齒對接觸線半徑示意圖

1

2 2 2

, ,

( 2 cos ) (2.31)

i op i op i i

r = r + −l r ⋅ ⋅l β

其中α_op為嚙合壓力角，β_i是齒輪對中心線與接觸線之夾角 (1) 主動齒：

嚙合開始至中心線的接近角 ₁

2 ^op

β = −π α ，而中心線至嚙合結束的離開角

₁

2 ^op β = +π α

(2) 被動齒：

嚙合開始至中心線的接近角 ₂

2 ^op

β = +π α ，而中心線至嚙合結束的離開

角

₂

2 ^op β = −π α

將 2.31 式對時間取導數，代入 2.29、2.30 式

1

2 2 2

, , ,

,

, ,

1( 2 cos ) (2 2 cos )

2

1 ( cos ) (2.32) 1tan ( cos )

2

i

op i op i i op i i

op i i

i

Inv i i op i i

dr d l d l

r l r l l r

dt dt d t

l r dl

r dt

A l r d l

d t

β β

β

α β

= + − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅

= −

= − ⋅

&

, ,

(2.33) 1 1

( cos ) (2.34) 2 tan

Tri i op i i

i

A l r dl

β dt

= α − ⋅

&

其中l為節點與嚙合點之距離可表示為

0 _{bi i} (2.35) l= −l r ω t

l 為漸進作用長度，可表示為 o

1 ,2

0 ,2

,2

cos[ sin ( ^op cos )] / cos (2.36)

a op op op

a

l r r

α ⁻ r α α

= +

將 2.35 式對時間取導數，代入 2.33、2.34 式

,

, , ,

(2.37) 1tan ( cos ) (2.38) 2

b i i

Inv i i b i i op i i

Tri

dl r dt

A r l r

A

ω

α ω β

=

= ⋅ − ⋅

&

& _, 1 1 _{, ,}

( cos ) (2.39) 2 tan

i b i i op i i

i

r ω l r β

= α ⋅ − ⋅

計算可得

, , , ,

, ,

2

1 1

tan ( cos ) ( cos )

2 2 tan

1 1

( ) ( cos ) (2.40) 2 cos tan

B i b i i op i i b i i op

i

b i i op i i

i i

A r l r r l r

r l r

ω α β ω β

α

ω β

α α

= ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅

= ⋅ − ⋅

&

其中壓力角α_i根據漸開線特性可得

cos _i ^{b i,}

i

r

α = r ，則

2 2

,

,

tan _i ^{i b i}

b i

r r

α = r⁻ 故

2

, ,

1( ⁱ ) ( cos ) (2.41)

B i i op i i

A = r ω l−r ⋅ β

& −

因此泵浦嚙合齒對中的回流面積流率最終可表示成

2 1

1 2 2 ,1 1

1 ,1

2

1 2

,2 2

2 2

2 2 ,2

1 [( )( cos )

2

( ) ( cos )] (2.42)

B op

b

op b

A r l r

r r

Z r

l r

Z r r

ω β

β

= − ⋅

−

+ ⋅ ⋅ − ⋅

−

&

由 2.23、2.42 式可得淨輸出面積流率A& 為 _N

2 1 2

1 ,1 ,2

2

2 2

1 1 2

1 2 2 ,1 1 2 2 ,2 2

1 ,1 2 2 ,2

1 ( )

2

1 [ ( cos ) ( cos )] (2.43)

2

N a a

op op

b b

A r Z r

Z

r Z r

l r l r

r r Z r r

ω

ω β β

= × +

− × − + −

− −

&

由於是螺旋齒輪泵浦，所以其面積流率會隨齒寬改變，故容積流率可以寫成

0^F ( ) 0^F (2.44)

N N O E

V^& =

∫

∫

而泵浦每轉的理論排量為

0

0^t _N (2.45) Q^& =

∫

其中t 為齒輪轉一圈的時間 ₀

另外為了計算泵浦效率，排除泵浦的尺寸因素考量，也分別定義了無因次排 量(normalized displacement) q& 與流率變動係數(flowrate fluctuation coefficient) λ 如 以下式子所示

,1 ,2 1

(2.46) (_{a a} )

q Q

F w r r ω

= ⋅ ⋅ + ⋅

&

&

max min

(2.47)

av

V V

λ= & V⁻ &

&

其中cd為中心距、V&_max為最大流率、V&_min為最小流率及V& 平均流率，_av w內 腔寬度為(cd+r_a,1+r_a,2)。

第三章 齒輪泵浦排量最佳化分析

齒輪泵浦的排量會受到眾多齒輪設計參數的影響，該如何搭配最佳的齒輪設 計參數，來建立具有最大輸送效能的齒輪泵浦便成為很重要的一環，本章先分析 幾何排量問題，不考慮各種泵浦受力的影響如馬達扭矩、腔體壓力、洩漏等，相 關考慮將在第四章再討論。

3.1 齒輪泵浦排量最佳化設定

現以一個內腔寬度w = 47 mm，馬達轉速為 1000 rpm 的螺旋齒輪泵浦為例，

來分析螺旋齒輪泵浦的輸出排量特性，假設泵浦內部的齒輪對各設計參數為如

下：模數m=2.2 mm、齒數Z =9、壓力角α =25^o、齒頂係數 f_a =1.0、移位係

數ς = 、 螺 旋 角0 β =1.0^o 、 齒 寬F=10 mm 。 經 由 計 算 可 得 其 理 論 排 量 為 2580.76 mm 。圖 3-1 為該齒輪泵浦 5 個嚙合週期之流率變化情形，最大流率為3

50651.99 mm /3 s 、最小流率為32102.35 mm /³ s 、無因次排量 q& = 0.00256 與流率 變動係數λ = 0.361512。

0 10000 20000 30000 40000 50000 60000

0 1 2 3 4 5

Cycle of mesh Flowrate mm3 /sec

圖 3-1 齒輪泵浦流率變化

但在相關尺寸條件下，這未必是最有效率的泵浦設計，因次我們希望能藉由 對齒輪的了解，在滿足所有的限制條件下，獲得具有最大理論排量的齒輪泵浦。

圖 3-2 最佳化分析流程圖

圖 3-2 為最佳化分析流程圖，本研究將採用最佳化程式工具進行泵浦排量的 最佳化分析，設定如下：

定義最佳化設計方案 設計變數 目標函數 限制條件

決定齒輪設計參數

經由分析程式獲得 目標函數 泵浦理論排量

限制條件 (1) 泵浦體積限制條件 (2) 齒形創成加工限制條件 (3) 泵浦作動限制條件

有限元素分析

(一)建立三維齒輪對實體模型與網格系統 (二)完成接觸分析設定與邊界條件的施加 (三)進行泵浦齒對嚙合分析獲得限制條件 (4) 接觸應力與齒根應力

進行收斂測試

最佳化設計 改變設計變數

(1)設計變數(design variables)

在設計過程中所考慮的獨立參數，稱之為設計變數。本研究以齒輪設計參數 中的齒數 Z 、模數m、壓力角α 、齒頂係數 f 、移位係數_a ς、螺旋角β與齒寬 F 為最佳化設計變數。

(2)目標函數(objective functions)

在設計過程中，設計者所希望能達到最佳的效益，以設計變數的函數形式表 達。本研究以泵浦最大理論排量Q& 為目標函數。 _N

(3)限制條件(constraint functions)

限制條件的功用是在最佳化的過程中規範設計變數的變化範圍或是變數彼 此間的關係，以等式或不等式的形式表達。本研究中限制條件可分為泵浦本體幾 何限制條件、齒型創成加工限制條件及泵浦作動限制條件。

(A)泵浦幾何限制條件

泵浦內腔寬度 w (如圖 3-3 所示)：

_{,1 ,2} ^{1 2} + _{,1 ,2} (3.1)

a a 2 t n a a m

Z Z

w cd r r + m y m r r w

= + + = ⋅ + ⋅ + ≤

,1

ra cd r_a,2 圖 3-3 泵浦本體

(B)齒型創成加工限制條件 (a)避免過切：

sin² (3.2)

a 2

f ≥ Z α ς+

(b)齒輪之齒頂齒度t 限制： _a

,min

4 tan

= ^c 2 2 (3.3)

a a c ad a

t r inv inv t

Z

π^{+ ⋅ ⋅}ς α α α

⎛ + ⋅ − ⋅ ⎞≥

⎜ ⎟

⎝ ⎠

(C)泵浦作動限制條件

(a)確保封閉區域的形成：

( 1)

(3.4) sin

C mn

F ε π

β

− ⋅ ⋅

≤

(b)避免齒對干涉：

兩相嚙合的漸開線齒輪，若其接觸點超過接觸線與基圓的切點，則會產生干 涉，因此為了避免齒對干涉，必須滿足下列限制條件

2 2

,2 ,2

,1 1 ,1

,1 ,1 ,1

2 sin 2

cos[ sin ( ^op cos )] / cos ^{op b} (3.5)

a

op op op

n b a b

r r r

F r

m Z Z r r r

β π α ⁻ α α ⁻

⋅ + ≤ + +

⋅

3.2 泵浦排量最佳化之數值結果

於最佳化程式工具 MOST 中完成分析設定 (a) 定義最佳化目標函數：齒輪泵浦最大排量 (b) 定義設計變數範圍

(1) 模數： 1.0≤ ≤m 4.0 (mm) (2) 齒數： 9≤ ≤z 30

(3) 壓力角： 12.0≤ ≤α 30.0 (degree) (4) 齒頂係數： 0.5≤ f_a ≤3.0

(5) 移位係數： ^0.0≤ ≤ς ^3.0

(6) 螺旋角： 0.0≤β ≤3.0 (degree) (7) 齒寬： 0.0< F ≤10 (mm)

(c) 定義限制條件

(1) 泵浦最大內腔寬度為 47 mm (2) 齒對不得產生過切

(3) 齒頂不得過尖

(4) 確保齒對具有完全嚙合 (5) 齒對不得產生干涉

應用上述目標函數與限制條件，經由最佳化程式 MOST 可求解出最佳化齒 輪泵浦設計參數與最大泵浦排量如下：模數m=2.338 mm、齒數Z =9、壓力角

28.879 deg ree

α = 、 齒 頂 係 數 f_a =1.05 、 移 位 係 數 ς =0 、 螺 旋 角 1.746 deg ree

β = 、齒寬F =10 mm 與最大泵浦排量 3387.52 mm 。其 CAD 模³ 型如圖 3-4，圖 3-5 為該齒輪泵浦 5 個嚙合週期之流率變化情形，最大流率為

變動係數λ = 0.235954。

圖 3-4 最佳化齒輪泵浦之 CAD 模型

0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000

0 500 1000 1500 2000 2500

Cycle of mesh Flowrate mm3 /sec

圖 3-5 為最佳化齒輪泵浦流率變化

0 1 2 3 4 5