16.4. 理解分組數據和不分組數據的標準差之概念（

香港中學文憑 – 數學科 必修部份 基礎課題 v1.2

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16.4. 理解分組數據和不分組數據的標準差之概念（

）

16.4.1. 不分組數據的標準差

l 唔知你記唔記得咩係“分組數據”同“不分組數據”呢？

n 不分組數據就係好簡單將所有數據一個個咁列晒出嚟。

u 亦有時會用“頻數”嚟指出有幾多個數嘅“值”係一樣。

u 總之最緊要係我哋知道所有數據嘅正確值。

n 分組數據就係會將數據分組，例如“1-10”、“11-20”。然後利用“頻數”嚟指出 每個組別入面有幾多個數據。

u 而喺分組數據入面，我哋唔會知道所有數據嘅正確值（只係知個範圍）。

l 喺度先講咗不分組數據的標準差（通常用符號 σ 代表）嘅公式：

σ = (x − x ) + (x − x ) + ⋯ + (x − x ) n

n 標準差通常用符號 σ 代表（寫法係以順時針方向寫個 O 字後繼續畫多條尾咁）

n n 係數據嘅數量

n x1、x2等係個別數據嘅值

n x 係所有數據嘅平均數（如果題目冇俾，咁你就先要由 D 數據計佢出嚟）

² 留意課程入面提到要我哋識“方差”（variance）依個術語。

u “方差”通常用s 代表。

u 而“方差”定義係 s = σ

16.4.2. 分組數據的標準差

l 分組數據嘅標準差其實差唔多，只不過我哋要考慮埋 n 頻數（f1、f2等）代差每個分組內有幾多個數據

n 要用“組中點”代表每個分組內所有數據嘅值（符號都係x1、x2）。 n 因此條公式就會係

σ = f (x − x ) + f (x − x ) + ⋯ + f (x − x ) n

l 知道咗條上面條咁煩、咁長嘅公式之後，我諗係時候講吓“標準差之概念”。

l 喺後面嗰頁，我哋嘗試吓去理解數學家係點諗到用上面條式。

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16.4.3. 標準差之概念

l 首先，“標準差”可以睇成係“數據同標準嘅差距”（依個解釋係我作嘅）。

n 所以先要定出用咩做標準。而標準差就用咗“數據嘅平均數”做標準。

n 至於“差距”，最簡單就梗係“攞個別數據同平均數嘅差距”。

l 而因為唔同數據組可以有唔同數目嘅數據，所以為求公平，當我哋計“數據同平均數嘅差 距”嘅時候，我哋要計“數據同平均數嘅差距”嘅平均數。

l 基於以上概念，我哋第一個建議用作標準差嘅公式係：

σ = (x − x ) + (x − x ) + ⋯ + (x − x ) n

n 假如數據係5,5,5（平均數 = 5）。

u 而用上面條公式計一計，標準差 = [(5 - 5) + (5 - 5) + (5 - 5)] / 3 = [0 + 0 + 0] / 3 = 0。

u 咁都好正常，因為所有數據同平均數嘅差距都係零！

n 但假如數據係2,5,8 呢？（2,5,8 嘅平均數都係 5）

u 標準差 = [(2 - 5) + (5 - 5) + (8 - 5)] / 3 = [-3 + 0 + 3] / 3 = 0 / 3 = 0 u 咁又唔合理！所以第一個版本嘅公式設計上有問題。

l 好明顯我哋計到零嘅原因係因為D“差距”有正有負，所以 cancel 咗。

n 為咗令所有嘅差距變做正數，我哋不如將每個差距攞二次方。

n 所以我哋將上面嘅建議改成：

σ = (x − x ) + (x − x ) + ⋯ + (x − x ) n

l 雖然咁就解決咗“正、負差距互相cancel”嘅問題，但因為攞咗二次方，所以好似將 D 差 距“放大咗”。

n 例如8 同平均數 5 嘅差距只係 3，但用 (x − x ) 就計到 9。

l 為咗解決“心理上過意唔去”，所以就將個結果“開返方”。

l 因此，最終被接納嘅標準差公式係：

σ = (x − x ) + (x − x ) + ⋯ + (x − x ) n

² 希望上面所作嘅故仔/解釋可以幫到大家明白同記條公式。