單元二：因式分解法解一元二次方程式

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單元二：因式分解法解一元二次方程式 課文 A：利用提公因式法因式分解解一元二次方程式

認識完一元二次方程式與其解的意義後，接下來就要解方程式了！

首先就是要介紹解一元二次方程式的第一個方法─因式分解法，在說明利 用因式分解法解方程式之前，先來看一個會用到的觀念！「A × B = 0」

這個式子代表著有兩個數，一個是 A 、一個是 B ，這兩個東西相乘等於 0 。 那麼這個式子什麼情況下會成立呢？仔細想一下，就可以知道這兩個數當 中至少要有一個是 0 ，換句話說，就是「 A = 0 或 B = 0 」。

所以如果我們知道「A × B = 0」，那麼就可以推論「 A = 0 或 B = 0 」。

有這個觀念後，我們就要利用這個觀念解一元二次方程式，

例如 (3𝑥 + 1) × (𝑥 + 2) = 0 ：代表「不是 (3𝑥 + 1) = 0 就是 (𝑥 + 2) = 0 」，

所以就個別解出「(3𝑥 + 1) = 0 」及「(𝑥 + 2) = 0」就可以了！

也就是說，將一元二次方程式因式分解成

(𝑎𝑥 + 𝑏)(𝑐𝑥 + 𝑑) = 0(A × B = 0)，就能求出方程式的解。

接下來我們介紹三種不同形式的一元二次方程式，看看要如何利用上述方 法解出𝑥。

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例題一：解一元二次方程式 𝑥² − 2𝑥 = 0

◎解題思維：

觀察一下， 𝑥²− 2𝑥 = 0是一個一元二次方程式，等號右邊是 0 ，所 以如果把等號左邊 𝑥²− 2𝑥拆成兩個東西相乘，那麼式子就會符合

「A × B = 0」了！把等號左邊 𝑥²− 2𝑥拆成兩個東西相乘，就是我們 之前學的因式分解！

𝑥²− 2𝑥

𝑥(𝑥 − 2) = 0 A×B = 0

所以 𝑥 = 0 或 𝑥 − 2 = 0 A = 0 或 B = 0 移項整理得到 𝑥 = 0 或2

解：𝑥²− 2𝑥 = 0 𝑥(𝑥 − 2) = 0 𝑥 = 0 或 𝑥 − 2 = 0 𝑥 = 0 或 2

可以同時提出公因式 𝑥 ！

𝑥²− 2𝑥 = 0的解是「 𝑥 = 0 或 2」

試著 𝑥 = 0 、 𝑥 = 2 代回去驗證看看：

𝑥²− 2𝑥 = 0²− 2 ×0

= 0 − 0 = 0 等式成立 𝑥²− 2𝑥 = 2²− 2 ×2

= 4 − 2 × 2 = 4 − 4= 0 等式成立

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例題二：解一元二次方程式 3𝑥² = −4𝑥

◎解題思維：

這個方程式 3𝑥² = −4𝑥等號右邊不是 0 ，那麼怎麼把等號右邊變成 0 呢？

很簡單，就是將等號右邊−4𝑥 移項到等號左邊：3𝑥² + 4𝑥 = 0 接下來就可以繼續做下去了！

3𝑥²+ 4𝑥 = 0

𝑥(3𝑥 + 4) = 0 A×B = 0

所以 𝑥 = 0 或 3𝑥 + 4 = 0 A = 0 或 B = 0 移項整理得到 𝑥 = 0 或 −⁴

3

解：3𝑥² + 4𝑥 = 0 𝑥(3𝑥 + 4) = 0 𝑥 = 0 或 3𝑥 + 4 = 0 𝑥 = 0 或 −⁴

3

可以同時提出公因式 𝑥 ！

3𝑥 + 4 = 0

3𝑥 = −4 +4 移項過去變 −4 𝑥 = (−4) ÷ 3 × 3 移項過去 ÷ 3

= (−4) ×¹

3= −⁴

3

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例題三：解一元二次方程式 (𝑥 + 3)(𝑥 + 2) = (𝑥 + 3)(2𝑥 − 5)

◎解題思維：

等號右邊不是 0 ，等號右邊 (𝑥 + 3)(2𝑥 − 5) 移項到等號左邊：

(𝑥 + 3)(𝑥 + 2) − (𝑥 + 3)(2𝑥 − 5) = 0

(𝑥 + 3)[(𝑥 + 2) − (2𝑥 − 5)] = 0

A × B = 0

所以 𝑥 + 3 = 0 或 −𝑥 + 7 = 0 A = 0 或 B = 0 移項整理得到 𝑥 = −3 或 7

解：

(𝑥 + 3)(𝑥 + 2) = (𝑥 + 3)(2𝑥 − 5) (𝑥 + 3)(𝑥 + 2) − (𝑥 + 3)(2𝑥 − 5) = 0 (𝑥 + 3)[(𝑥 + 2) − (2𝑥 − 5)] = 0

(𝑥 + 3)(𝑥 + 2 − 2𝑥 + 5) = 0

𝑥 = −3 或 7

我們在利用因式分解法解一元二次方程式時，想法就是要將整個式子變成

「A × B = 0」的樣子，等號右邊要讓它為 0 ，而等號左邊要讓它變成兩個東 西相乘，也就是之前學過的多項式因式分解的方法；接下來就可以推得

「 A = 0 或 B = 0 」，把解求出來了！

可以同時提出公因式( 𝑥 + 3) ！

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重點提問

1. 根據上面的課文，利用因式分解法解一元二次方程式需要將式子整理 成什麼樣子？整理之後就可以推得什麼？

2. 利用提公因式因式分解來解一元二次方程式 3𝑥² = 6𝑥

3. 想想看，如果一元二次方程式𝑥(𝑥 − 1) = 1，能不能推論出「𝑥 = 1或 𝑥 − 1 = 1」然後解出𝑥呢？

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․隨堂練習：

1.

2.

5𝑥 = 0

3.

4.

還想多看幾題範例，

請看下面影片(2)

https://www.youtube.com/wa tch?v=ltZpdP_98AI

例題三還不太懂，

請看下面影片(1)

https://youtu.be/UBY3Uv-Vv MA

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課文 B：利用十字交乘法因式分解解一元二次方程式

接下來繼續利用因式分解法解一元二次方程式，

我們這學期剛學過的因式分解有三種方法：提公因式、乘法公式和十字交 乘法。

課文 A 是利用提公因式來因式分解，如果沒有公因式可以提出來的話，就 可以試試十字交乘法來進行因式分解。

來看一下五個利用十字交乘法解一元二次方程式的例題！

例題一：解一元二次方程式 𝑥² − 2𝑥 − 3 = 0

◎解題思維：

觀察一下 𝑥²− 2𝑥 − 3 = 0 這個一元二次方程式，發現等號右邊是 0，如 果將等號左邊 𝑥²− 2𝑥 − 3 因式分解成兩個東西相乘，那麼整個式子就 會符合「A × B = 0」了！

𝑥² − 2𝑥 − 3 沒有公因式可以提出去，可以試試十字交乘法進行 因式 分解。

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十字交乘法有一個口訣：「拆前面、拆後面、造中間」，𝑥²− 2𝑥 − 3 前面 𝑥² 可以拆成 𝑥 乘 𝑥 ；後面−3 可以拆成 +1 乘 −3 ，交叉相乘：

等號左邊 𝑥²− 2𝑥 − 3 = (𝑥 + 1)(𝑥 − 3)

整個式子就是 (𝑥 + 1)(𝑥 − 3) = 0 A × B = 0 所以 𝑥 + 1 = 0 或 𝑥 − 3 = 0

A = 0 或 B = 0 移項整理得到 𝑥 =−1 或 3

解：

𝑥² − 2𝑥 − 3 = 0

(𝑥 + 1)(𝑥 − 3) = 0 𝑥 + 1 = 0 或 𝑥 − 3 = 0 𝑥 = −1 或 3

𝑥 + 1 𝑥 − 3 +𝑥 − 3𝑥 = −2𝑥

x x

3 2

+1 3

x x x

   

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例題二：解一元二次方程式 3𝑥²+ 16𝑥 + 5 = 0

◎解題思維：

把3𝑥²+ 16𝑥 + 5，前面 3𝑥² 可以拆成 3𝑥 乘 𝑥 ； 後面+5 可以拆成 +1 乘+5 ，交叉相乘：

等號左邊 3𝑥²+ 16𝑥 + 5 = (3𝑥 + 1)(𝑥 + 5)

整個式子就是 (3𝑥 + 1)(𝑥 + 5) = 0 A × B = 0 所以 3𝑥 + 1 = 0 或 𝑥 + 5 = 0

A = 0 或 B = 0 移項整理得到 𝑥 =−¹

3 或 −5

解： 3𝑥²+ 16𝑥 + 5 = 0

(3𝑥 + 1)(𝑥 + 5) = 0 3𝑥 + 1 = 0 或 𝑥 + 5 = 0 𝑥 = −¹

3 或−5

3𝑥 + 1 𝑥 + 5 +𝑥 + 15𝑥 = +16𝑥

3𝑥 + 1 = 0

3𝑥 = −1 +1 移項過去變 −1 𝑥 = (−1) ÷ 3 × 3移項過去變 ÷ 3

= (−1) ×¹

3= −¹

3

3x x

15 16

+1 5

x x x

   

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例題三：解一元二次方程式 −3𝑥² + 14𝑥 + 5 = 0

◎解題思維：

為了好分解，我們可以先將等號兩邊同乘−1，這樣方程式就會變為 3𝑥²

－

－

後面－5 可以拆成 +1 乘

－

等號左邊 3𝑥²− 14𝑥 − 5 = (3𝑥 + 1)(𝑥 − 5) 整個式子就是 (3𝑥 + 1)(𝑥 − 5) = 0

A × B = 0 所以 3𝑥 + 1 = 0 或 𝑥 − 5 = 0

A = 0 或 B = 0 移項整理得到 𝑥 =−¹

3 或 5

解：−3𝑥²+ 14𝑥 + 5 = 0 等號兩邊同乘−1 ⇒ 3𝑥²− 14𝑥 − 5 = 0

(3𝑥 + 1)(𝑥 − 5) = 0 3𝑥 + 1 = 0 或 𝑥 − 5 = 0 𝑥 = −¹

3 或 5

3𝑥 + 1 𝑥 －5 𝑥－15𝑥 = －14𝑥

3𝑥 + 1 𝑥 －5 𝑥－15𝑥 = －14𝑥

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例題四：解一元二次方程式 4𝑥²+ 12𝑥 + 9 = 0

◎解題思維：

把4𝑥²+ 12𝑥 + 9，前面4𝑥² 可以拆成 2𝑥 乘2𝑥 ； 後面+9 可以拆成 +3 乘+3 ，交叉相乘：

等號左邊 4𝑥²+ 12𝑥 + 9 = (2𝑥 + 3)(2𝑥 + 3) 整個式子就是 (2𝑥 + 3)(2𝑥 + 3) = 0

A × B = 0 所以 2𝑥 + 3 = 0 或 2𝑥 + 3 = 0

A = 0 或 B = 0 移項整理得到 𝑥 = −³

2 或−³

2

同學們一定會覺得很奇怪，這兩個解不是一樣的嗎？

沒錯！這兩個解都一樣，在這種「兩個解都一樣」的特別情況，我們 叫做「重根」！

所以我們寫出來的解也可以寫成 𝑥 = −³

2 (重根)！

2𝑥 + 3 2𝑥 + 3

6𝑥 + 6𝑥 = +12𝑥

2𝑥 + 3 = 0

2𝑥 = −3 +3 移項過去變 −3 𝑥 = (−3) ÷ 2 × 2移項過去變 ÷ 2

= (−3) ×¹

2 = −³

2

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例題五：解一元二次方程式 (2𝑥 + 5)(𝑥 + 4) = 14

◎解題思維：

這個式子的等號左邊看起來像是已經因式分解好了，但是仔細看等號右 邊不是 0 ，所以必須先將等號右邊的 14 移項過去等號左邊。

(2𝑥 + 5)(𝑥 + 4) − 14 = 0

這樣子等號左邊 (2𝑥 + 5)(𝑥 + 4) − 14 就必須重新整理了，

(2𝑥 + 5)(𝑥 + 4) − 14 = 0 2𝑥² + 8𝑥 + 5𝑥 + 20 − 14 = 0

2𝑥²+ 13𝑥 + 6 = 0 這很明顯可以使用十字交乘法：

前面2𝑥² 可以拆成 2𝑥 乘𝑥 ；後面+6 可以拆成 +1 乘+6 ， 交叉相乘：

所以 (2𝑥 + 1)(𝑥 + 6) = 0

那麼 (2𝑥 + 1) = 0 或 (𝑥 + 6) = 0 移項整理得到 𝑥 = −¹

2 或 −6 2𝑥 + 1 𝑥 + 6

𝑥 + 12𝑥 = +13𝑥

2𝑥 + 1 = 0

2𝑥 = −1 +1 移項過去變 −1 𝑥 = (−1) ÷ 2 × 2移項過去變 ÷ 2

= (−1) ×¹

2= −¹

2

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重點提問

1. 利用十字交乘法因式分解解一元二次方程式 𝑥² + 7𝑥 = −12

2. 利用十字交乘法因式分解解一元二次方程式 (𝑥 + 1)(2𝑥 − 1) = 2

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․隨堂練習：

1.

2.

3.

4.

5.

如果例題一、三、四 還是不太懂，

請看下面影片(1)

https://www.youtube.com/wa tch?v=0FJLIDi2vlM

如果例題五還是不太懂，

請看下面影片(2)

https://www.youtube.com/wa tch?v=9mncwQDUJgw