不等式與線性規畫

(1)

不等式與線性規畫

2

Ø一元多次不等式與絶對值不等式

Ø分式不等式與根號不等式 Ø絕對不等式

Ø二元一次不等式及其圖形 Ø重點回顧

Ø

歷屆試題

(2)

+ +

－ a 1 a ……. _ ₂

2 n -

a a _n_-₁

a n

主題一一元多次不等式與絶對值不等式

1. 一元一次不等式： ax > b

(1) a > 0 時 a x > b

(2) a < 0 時 a x < b

(3) a = 0 且 b ³ 0 時無解 (4) a = 0 且 b < 0 時解集合為 R 2. 一元二次不等式：

(1) a > b 時：

a. ( x - a )( x - b ) > 0 Þ x > a 或 x > b b. ( x - a )( x - b ) < 0 Þ b < x < a

(2) f ( x ) = ax ²+ bx + c ³ 0 , a , b , c Î R ( ¹ a 0 ) a. D = b ²- 4 ac < 0 且 a > 0 ，則 " x Î R , f ( x ) > 0 b. D = b ²- 4 ac < 0 且 a < 0 ，則 " x Î R , f ( x ) < 0

3. 一元高次不等式：

(1) ( x - a ₁)( x - a ₂) × × × × × ( x - a _n) > 0 Þ 取正號區間 (2) ( x - a ₁)( x - a ₂) × × × × × ( x - a _n) < 0 Þ 取負號區間

0

<

a 0

0 0

<

D

= D

>

D x x

0

>

a

0 0 0

>

D

= D

<

D

y y

(3)

4. 一元絶對值不等式：

(1) x - a 的幾何意義表 x 與 a 之間的距離 (2)

î í ì

-

= Þ

<

= Þ

>

a a a

0 0

(3) x - a £ b ( b > ) 0 Û - b + a £ x £ b + a (4) x - a ³ b ( b > ) 0 Û x ³ b + a 或 x £ - b + a

(5) ax + b + cx + d £ e 作圖分區間去掉絶對值以求解

(6) a - b £ a ± b £ a + b

(4)

教師解析

設 2 £ a £ 7 ,-2 £ b £ 1 , 試求 ( a -4) ²+(b-3) ²之最大值與最小值。

解：

自我挑戰

1.設-2 £ x £ 1 , - 3 £ y £ 2 , 試求 3x-2y 之最大值與最小值。

2.設

-3 £ x £ 2 , - 5 £ y £ 4 , 試求 xy 之最大值與最小值。

解不等式 2-x-x ²³ 0

解：

3.解不等式 0 3 5 2 x ²- x - <

4.解不等式 3x ²+10x-8 ³0

(5)

解不等式 4x ²-12x+9>0

解：

5.解不等式 x ²+2x+1<0 6.解不等式 x+x ²>2x ²+9

解不等式(x-1)(x+3)(x-5) ³ 0

解：

7.解不等式

x ³-6x ²+11x-6<0 8.解不等式

(x ²-4)(x ²-1) £0

(6)

解不等式

x ³(x ²-1)(x ³-1)(x+2)<0

解：

解下列各不等式:

9.(x-3) ²(x+2) ³(2x-1) ⁴ (x-1) ⁵£ 0

10.(x-2) ²(3x ²+x-4)>0

(7)

解不等式 2 + x 3 £ 7

解：

11.解不等式 5 - x 2 >3 12.解不等式 2< 3 - x 1 <5

解不等式 3 - x 2 > x + 1

解：

13.解不等式 x 2 + 3 £ x - 2 14.解不等式

2

3 - x -5<3- 2 + x 1

(8)

x Î R , 試求 2 + x 3 + 2 - x 5 之最小值。

解：

15. x Î R , 試求 x

3

7 + - 5 - 3 x 之最大值。

16. x Î R , 試求 7

2 - x - 5 - 3 x 之最大值。

若 ax +5x+b>0 之解為 ² - 3 ,

2

1 < x < 試求 a 、b 之值。

解：

17.若 ax ²+ bx + 2 ³ 0 之解為 3

³ 2

x 或 x £ - 4 , 試求 a 、b之值。

18.若 ax ²+ bx + 2 ³ 0 之解為 ,

2 4 1 £ £

- x 試求 a 、b 之值。

(9)

作業研究

1. 下列何者正確?(A)若 a > b 則 cb

ca > (B) a ²+ b ²= a + b (c)若 c - 2 < 3 , 則 - 1 < x < 5 (D)

若 ,

c d a

b > 則 bc > ad 。

2. 不等式 2 £ x + 1 < 6 的解為整數者,共有(A)7 個(B)8 個 (C)9 個(D)10 個。

3. 設 2 x - a £ b 之解集合為 {x 1 £ x £ 7}, 則 ( b a , ) 之值為 (A)(4,2) (B)(3,4) (C)(8,6) (D)(6,8)。

4. x - 2 + x + 6 的最小值等於(A)8 (B)4 (C)2 (D)6 。 5. 若 x ²- x 3 - 4 > 0 的解集合為 A, x ²+ bx + c £ 0 的解集合為 B 且 A È B = R , A Ç B = { x 4 < x £ 5 }, 則(b,c)之值為(A)(4,5) (B)(5,4) (C)(-5,-4) (D)(-4,-5) 。

6. 不等式 4 x + 5 < x ²< - 2 - 3 x 之解為 (A) x > 5 或 x < - 1 (B) - 2 < x < - 1 (C) - 1 £ x £ 5 (D) - 1 < x < 5

7. 不等式 0 < - 3 x + 5 < 7 之解為 (A) 4 3

2 < <

- x

(B) 3 - 2

<

x 或 x > 4 (C)

3 5 3

2 < <

- x 或 4

3

5 < x < (D)

3 5 3

2 < x <

或 4

3 5 < x <

8. 不等式 ( x - 2 ) ²( x + 2 ) ³( x ²- x - 12 ) < 0 之解為 (A) x < - 3 或 - 2 < x < 4 (B) x < - 3 或 - 2 < x < 2 或 2 < x < 4

(C) - 3 < x < - 2 或 2 < x < 4 (D) - 3 < x < - 2 或 x > 4 9. 不等式 2 x - 3 £ 5 的解集合為 (A)

{

^x^-¹^£^x^£⁴

}

(10)

(B)

{

^x^-²^£^x^£³

}

^(C)

{

^x^-³^£^x^£²

}

^(D)

{

^x^-⁴^£^x^£¹

}

(E)

{

^x^-⁵^£^x^£⁰

}

(11)

～解答～

自我挑戰：

1. 最大值 9，最小值-10 2. 最大值 15，最小值-12

3. 3

2 1 < <

- x

4. x £ - 4 或 3

³ 2 x

5. 無解 6. 無解

7. x < 1 或 2 < x < 3

8. - 2 £ x £ - 1 或 1 £ x £ 2 9. - 2 £ x £ 1 或 x = 3 10. 3

- 4

<

x 或 1 < x < 2 或 x > 2 11. x > 1 或

5 - 1

<

x

12. 1 < x < 2 或

3 1 3

4 < < -

- x

13. 3

5 £ £ - 1

- x

14. 5

9 5

7 < <

- x

15.12 16.10

17. a = b 3 , = - 8

18. 2

, 7 1 = -

= b

a

作業研究：1.C 2.B 3.C 4.A 5.D 6.B 7.C 8.B 9.A

(12)

主題二分式不等式與根號不等式

1. 分式不等式

(1) 0 ( ) ( ) 0 )

( )

( > Þ f x ´ g x >

x g

x f

(2) 0 ( ) ( ) 0 )

( )

( ³ Þ f x ´ g x ³ x

g x

f 但 g ( ¹ x ) 0 2. 根號不等式

(1)

[ ]

ï î ï í ì

£

³

³ Þ

£

) 2

( ) (

0 ) (

0 ) ( )

( ) (

x g x f

x g

x f x

g x f

(2)

[ ]

ï î ï í ì

³

³ Þ

³

) 2

( ) (

0 ) (

0 ) ( )

( ) (

x g x f

x g

x f x

g x

f 或

î í ì

<

³ 0 ) (

0 ) (

x g

x f

(13)

教師解析

解不等式

) 3 )(

1 (

) 1 )(

1 2

( ²

- +

- + +

x x

x ³ 0

自我挑戰

1.解不等式

4 3

2

2 2

- +

- -

x x

x

x < 0 2.解不等式

1 0 ) 2 )(

3

( >

+ + -

x x x

解不等式 1 0

³ - x

x 3.解不等式 1

1 3

2 ³

- + x

x

4.解不等式 x

x <

+ 2 3

(14)

解不等式 15 - 2 x < 2 x - 3 5.解不等式 1 - x ³ < 2 x - 1 6.解不等式 x -1 < 5 - 2 x

(15)

作業研究

1. 不等式 0

1 ) 2 )(

3

( ³

+ + -

x x

x 之解為(A) 1 < x < 2 或 3 < x (B) - 2 < x £ - 1 或 3 £ x (C) - 2 £ x £ - 1 或 3 £ x

(D) - 2 £ x < - 1 或 x ³ 3

2. 設 x ²- 7 £ x - 1 成立，若其解集合為

{

^x^a^£^x^£^b

}

^，則下

列何者正確？(A) a Î

{

0 , 1 , 2

}

， ^b^Î

{

³^,⁴^,⁵

}

(B) ^a^Î

{

³^,⁴^,⁵^，

}

^b^Î

{

^6,7,8

}

^(C)^a^Î

{

^3,2,1^，

}

^b^Î

{

^0,1,2

}

^(D)

{

^6,7,8

}

^b^Î

{

^9,10,11

}

Î ， a

3. 不等式

x

1 5 3

x £ 之解為(A)

{

^x¹^<^x^£²^或^x^³⁴

}

(B)

{

^x²^£^x^£⁴^或^x^<¹

}

^(C)

{

^x²^£^x^<⁴^或^x^<¹

}

(D)

{

^x^x^³⁴^或^x^£²

}

(16)

～解答～

自我挑戰：

1. - 4 < x < - 1 或 1 < x < 2 2. - 2 < x < - 1 或 x > 3 3. x £ - 4 或 x > 1 4. - 3 < x < - 2 或 x > 1 5. 1

5 4 < x £

6. 1 £ x < 2 或 4

> 13 x

作業研究：1.D 2.A 3.B

(17)

主題三絶對不等式

1. 算術平均數 ³ 幾何平均數：(①已知和求乘積之最大最小

②已知乘積求和之最大最小)

}

î í

ì + + + ³ ´ ´ ´ Þ

È

Î ⁺ ⁿ ⁿ _n

n a a a

n a a

R a a a

a .... ...

0 ,...,

, ₂ ¹ ² ₁ ₂

1

(其中「=」成立 Þ a ₁= a ₂= ... = a _n)

2. 柯西不等式：(已知和求和之最大最小) R

b b b a a

a ₁, ₂,..., _n, ₁, ₂,...., _nÎ

2 2

2 1 1 2 2

2 2 1 2 2

2 2

1 ... )( ... ) ( ... ) ( a + a + + a _n b + b + + b _n ³ a b + a b + + a _nb _n Þ

(其中「=」成立

n n

b a b

a b

a = = =

Þ ...

2 2 1

1 )

(18)

教師解析

3 2

1 2 )

( x = - x ²+ x + £ x £

f 且，

試求 f (x ) 之最大值與最小值。

自我挑戰

1. f ( x ) = - x ²+ 2 x + 1 且 - 2 £ x £ 2

，試求 f (x ) 之最大值與最小值。

2. 設

1 2 )

( x = - x ²+ x +

f 且

R

x Î ，試求 f (x ) 之最大值與最小值。

設 x 、y均為正整數，若 6

= + y

x ，試求 log ₃x + log ₃y 的最大值。

3. 設 a 、b、 c 均為正 整數，試求

c a b c a

b + + 之最

小值

4. 設 x > 0 ， y > 0 ，若 5

2 = + y

x ，試求xy之最大

值

(19)

設 a、b、c 均為正整數，且 3

= + + b c

a ，試求

c b a

1 1 1 + +

之最小值

5. 設 a > 0 ， b > 0 ，試求 1 )

)( 2 2

( a + b a + b 之最小值 6. 設 a 、b、 c 為實數，且

2 22

2

2 + b + c =

a ，試求

c b a 3 3

2 - + 之最大值

(20)

作業研究

1. 設 a ，b， c ，d Î R ，下列各敘述何者為真？ (A)若 b

a > ， c > d ，則 ac > bd (B)恆有 a b ab + ³

2 (C)若 ab > 0 則 0

>

+ b

a (D) a ²³ 0

2. 設 f ( x ) = x ( x - 2 ) ，則 f (x ) 之相對極大值為 (A) 2 - 1

(B) 2 1 (C)

2

2 (D) 2

3. 設 x ，y， z 皆為實數且

3 2 2

1 1

1 +

+ =

- = y z

x ，令

2 2

2 y z

x + + 之極小值為 m ，則 m 之值為 (A)2 (B)2.5 (C)3 (D)3.5

4. 若 f ( x ) = ( x ²+ 2 x + 8 )( x ²+ 2 x ) - 2 x ²- 4 x + 3 ，則其最小值為 (A)0 (B)-2 (C)-1 (D)1

5. 設 x ，y， z 皆為正實數且 2 x + y 5 = 10 ，則xy的最大值為 (A)10 (B)5 (C)2 (D)2.5

6. 設 a、b、c 為實數，且 a ²+ b ²+ c ²= 33 ，試求 2 a - 3 b + 3 c 之最大值為 (A)66 (B)33 (C) 11 3 (D) 11 6

(21)

～解答～

自我挑戰：

1. 最大值 2，最小值-7 2. 最大值 2，無最小值 3. 3

4. 8 25

5. 9 6. 22

作業研究：1.D 2.B 3.B 4.B 5.D 6.D

(22)

主題四二元一次不等式及其圖形 1. 二元一次不等式：

設 a , , b c 為實數，且 a ²+ b ²¹ 0 ，則 ax + by + c > 0 ， 0

<

+ + by c

ax ， ax + by + c ³ 0 ， ax + by + c £ 0 均稱為二元一次不等式。

2. 二元一次不等式之圖形

直線 L : ax + by + c = 0 將坐標平面E分成兩個半平面 E ， ₁ E ₂ 甲、若 ( x ₁, y ₁) Î E ₁且 ax ₁+ by ₁+ c < 0 ，則對於 E 上 ₁ 之任意一點均滿足 ax + by + c < 0

乙、若 ( x ₂, y ₂) Î E ₂且 ax ₂+ by ₂+ c > 0 ，則對於 E ₂ 上之任意一點均滿足 ax + by + c > 0

3. 直線與點之關係

若平面上有一直線 L : ax + by + c = 0 ， A ( x ₁, y ₁) 與 B ( x ₂, y ₂) 為不在直線L上的相異兩點

丙、 A 與 B 在直線 L 之同側 0 ) )(

( ₁+ ₁+ ₂+ ₂+ >

Þ ax by c ax by c 丁、 A 與 B 在直線 L 之異側

0 ) )(

( ₁+ ₁+ ₂+ ₂+ <

Þ ax by c ax by c

(23)

教師解析

請圖解二元一次不等式

ï î ï í ì

£

>

- +

³ + -

6 4

0 5

0 4 2

x y x

y x

自我挑戰

1.請圖解二元一次不等式 2 x - y £ 4

2.請圖解二元一次不等式

î í ì

³ +

4 2

6 2 3

y x

已知直線 L : 3 x - 4 y + k = 0 ，若兩點 A ( 2 , 1 ) 與 B (- 1 , 3 ) 在直線 L 之同側，試求 k 之範圍。

3.已知直線 0 4

3

: x - y + k =

L ，若兩點

) 1 , 2 (

A 與 B (- 1 , 3 ) 在直線 L 之異側，試求 k 之範圍。

4.已知直線 0 4

3

: x - y + k =

L ，若兩點

) 1 , 2 (

A 與 B (- 1 , 3 ) 不在直線 L 之同側，試求 k 之範圍。

(24)

請畫出不等式 5 3 2

2 £ x + y £ 所成區域，並求其面積。

5.請畫出聯立不等式

ï î ï í ì

£ - +

³ + -

³ - +

0 47 7

0 4 2

0 5

y x

所成區域，並

求其面積。

6.請畫出聯立不等式

ï ï î ï ï í ì

³

£

£ - +

³ + -

0 3 0

0 5

0 1

y x y x

y x

所成區域，並

求其面積。

(25)

作業研究

1.設 x ，y皆為整數，則不等式組 ï î ï í ì

-

>

-

³

£ +

1 2 1

y x

有多少組解？ (A)7

組 (B)8 組 (C)9 組 (D)10 組

2.在坐標平面上，不等式組 ï î ï í ì

-

³

£ - +

2 0

0 4 2

y x

所圍的區域面積等於

(A)6 (B)9 (C)12 (D)15

3.若 y = mx - 3 與 AB 相交，其中 A - ( 1 , 2 ), B ( 4 , 3 ) ，則 m 的範圍為

(A) 2

5 £ £ 3

- m (B) 5

2 3 £ £

- m (C)

2

³ 3

m 或 m £ - 5 (D)

2 - 3

£

m 或 m ³ 5

4.在坐標平面上， x + y £ 2 所圍的區域面積等於 (A)2 (B)4 (C)5 (D)8

(26)

～解答～

自我挑戰：

1.如圖(一) 2.如圖(二) 3. - 2 < k < 15 4. - 2 £ k £ 15 5.如圖(三)，15 6.如圖(四)，

2 13

作業研究：1.D 2.B 3.C 4.D

y

x 4

2 x - y = -

4 2 x - y =

圖(一)

(27)

重點回顧

□ 不等式基本性質： a > b

² c > 0 Þ ac > bc

² c < 0 Þ ac < bc

□ 一元二次不等式：(設

a

<

b

)

² ( x -

a

)( x -

b

) < 0 Þ

a

< x <

b

² ( x -

a

)( x -

b

) > 0 Þ x <

a

或 x >

b

□ 一元高次不等式：

設 a ₁> a ₂> a ₃> ... > a _n

² ( x - a ₁)( x - a ₂)...( x - a _n) > 0 之解取「＋」的範圍

² ( x - a ₁)( x - a ₂)...( x - a _n) < 0 之解取「－」的範圍

□ 分式不等式：移項、通分、變成高次不等式再求解

□ 絶對值不等式： ( > a 0 )

² x < a Þ - a < x < a

² x > a Þ x > a 或 x - < a

□ 絶對不等式：

² 算術平均數 ³ 幾何平均數

² 柯西不等式

□ 二元一次不等式圖形：(設 L : ax + by + c = 0 )

² 上、下側半平面之判別

☆當 b > 0 時 î í ì

<

+ +

>

+ +

之下側半平面圖形在

之上側半平面 圖形在

L c

by ax

L c

by ax

0 0

(28)

☆當 b < 0 時 î í ì

<

+ +

>

+ +

之上側半平面圖形在

之下側半平面 圖形在

L c

by ax

L c

by ax

0 0

² 左、右側半平面之判別

☆當 a > 0 時 î í ì

<

+ +

>

+ +

之左側半平面圖形在

之右側半平面 圖形在

L c

by ax

L c

by ax

0 0

☆當 a < 0 時 î í ì

<

+ +

>

+ +

之右側半平面圖形在

之左側半平面 圖形在

L c

by ax

L c

by ax

0 0

□ 線性規劃

² 已知條件繪出不等式圖形之區域，並求出各頂點坐標

² 將各頂點坐標值代入目標函數

(29)

歷屆試題

1. 不等式 1 - x 2 < 5 之所有解為 (A) - 3 < x < 2 (B) - 2 < x < 3 (C) - 3 < x < 3 (D) 2 < x < 3 (E) - 3 < x < - 2

【85 日工】

2. 若

2 4 2

) ( ,

2 = + + +

-

>

x x x

g

x ，則 g (x ) 的最小值為 (A)6 (B)4 (C)2 (D)1

【85 日商】

3. a, 均為實數，若 b ax ²+ bx - 10 < 0 之解為

3 4 2

5 < <

- x ，則

= + b

a (A)

2

17 (B)7 (C) 2

13 (D)5

【85 日商】

4. 不等式 x ²- 6 x - 3 < x - 3 之解為 (A) 0 < x < 7 (B) 0 < x < 6 (C) - 1 < x < 3 (D) - 1 < x < 7

【85 二夜】

5. 設 S 為 x ²( x - 1 )( x - 2 )( x - 3 )( x - 4 )( x - 5 ) < 0 之解集合，則 (A) Î S

2

3 (B) Î S

2

7 (C) Î S

2

11 (D) - Î S

2 1

【85 二夜】

6. 不等式 2 x - 3 £ 5 的解集合為 (A)

{

^x^-¹^£^x^£⁴

}

(B)

{

^x^-²^£^x^£³

}

^(C)

{

^x^-³^£^x^£²

}

^(D)

{

^x^-⁴^£^x^£¹

}

(E)

{

^x^-⁵^£^x^£⁰

}

【86 日工】

7. 設 x 為實數，解不等式 x + 1 - 10 < 7 ，則在 x 的解集合中包含 整數之個數有 (A)13 個 (B)18 個 (C)22 個 (D)26 個

【86 日商】

(30)

8. 設 a , b , x , y 皆為正實數，且已知 a < b 及 x < y ，比較下列三數

b a ，

x b

x a

+

+ ，

y b

y a

+

+ 何者最大？ (A) b a (B)

x b

x a

+

+ (C)

y b

y a

+

+ (D) 無法比較

【86 二夜】

9. 設二次方程式 ax ²+ ( a - 1 ) x + a = 0 有兩實根，其中 a 為一實 數，則 a 的範圍為 (A) a < - 1 或

3

< 1

a (B)

3 1 < < 1

- a (C)

1 -

£

a 或

3

³ 1

a (D)

3 1 £ £ 1

- a (E) - 1 < a < 0 或

3 0 < a < 1

【86 二夜】

10. 設 x, y 均為正實數，且 xy = 100 ，則 x + y 的極小值為 (A)100 (B)200 (C)20 (D)10

【86 二夜】

11. 在不等式 ï ï î ï ï í ì

£ +

³

30 3

20 2

0 0

y x

所圍成區域之面積為 (A)70 (B)68

(C)60 (D)48

【87 保甄工】

12. 設 xy > 0 ，則 1 ) 4 )(

( ² ₂ ² ₂ y x

x + y + 之最小值為 (A)8 (B)10 (C)8.5 (D)9

【87 保甄工】

13. k為實數，如果點 )

2 1 2 1 3 ( 1

- + + + +

k k k

P k 在第二象限，下列何者正

確？ (A)

3 1 2

1 < < -

- k (B)

2 1 < < - 1

- k (C) 2

2 1 < <

- k

(D) - 1 < k < 2

【87 保甄商】

(31)

14. 目標函數 f ( x , y ) = x + 2 y 在限制條件

ï ï ï î ï ï ï í ì

³

³ +

0 0

16 2 8

5 20 7 2

y x

的極小值

為 (A)3 (B)5 (C)7 (D)9

【87 保甄商】

15. 不等式 0

6 5

1

2 <

+ -

- x x

x 之解為 (A) x < 1 或 2 < x < 3

(B) - 3 < x < - 2 或 x > 1 (C) x < 2 或 3 < x < 5 (D) 1 < x < 2 或 3

>

x

【87 日商】

16. 設 a Î , b R 且 a ²+ b 3 ²= 4 ，則 a 3 - b 之最小值為 (A) - 2 10

(B - 8 ) (C)-4 (D)-16

【87 北夜】

17. 設 ^A⁼

(

⁽^x^,^y⁾¹^£^x^£⁴^,^x⁺^y^£⁷^,^x⁺³^y^³⁴

}

^，則²^x^+ y⁺³^在多邊

形區域上之最大值為 (A)6 (B)11 (C)14 (D)17

【87 北夜】

18. 不等式 5 x - 4 < x ²< 2 x + 3 之解為 (A) - 1 < x < 3 (B) x < 1 或 x > 4 (C) x < 3 或 x > 4 (D) - 1 < x < 1

【87 北夜】

19. 若 x ³ 0 , y ³ 0 , x - 2 y ³ - 2 , 2 x + y £ 6 之條件下，

2

) 2

,

( x y x y

f = + 之最大值為 (A)10 (B)12 (C)9 (D)8

【87 嘉南夜】

20. 在平面直角坐標系中， x ³ 0 , y ³ 0 , 3 x + y £ 3 及 2 x + y 3 £ 6 ， 則 x + y 的最大值為 (A)3 (B)

2 5 (C)

7

15 (D)2

【88 推甄】

21. 設一函數 f ( x ) = ( x ²+ 4 x + 5 )( x ²- 2 x - 3 ) ，若 f ( < x ) 0 ，則 x 之 範圍為 (A) 1 < x < 5 (B) - 5 < x < - 1 (C) 1 < x < 3 (D) - 1 < x< 3

(32)

【88 推甄】

22. 三直線 L ₁: x - y + 2 = 0 ， L ₂: 2 x + y 3 + 9 = 0 ， 0

27 3 8

3 : x + y - =

L 圍成 D ABC 。若 P ( a 3 , ) 在 D ABC 內部，則 a 的 範圍為 (A) - 4 < a < 3 (B) - 5 < a < 1 (C) - 2 < a < 4

(D) - 3 < a < 2

【88 保甄工】

23. 滿足

ï ï ï î ï ï ï í ì

³ - +

£ - +

³ + -

³

0 2

0 26 3 2

0 2 0 0

y x

的條件下， f ( x , y ) = x - 2 y 的最小值為

(A)-4 (B)-8 (C)-12 (D)-16

【88 保甄商】

24. 若 2 x - 5 < 3 ，則 x 的範圍為 (A) 0 < x < 2 (B) 0 < x < 3 (C) 1 < x < 4 (D) 2 < x < 5

【88 日工】

25. 滿足不等式 ( x - 1 )( x + 2 )( x - 3 ) < 0 ， x 的範圍為 (A) - 1 < x < 1 或 x > 3 (B) x > 3 (C) x < - 2 或 1 < x < 3 (D) - 2 < x < 1

【88 日商】

26. 不等式 5 x - 4 < x ²< 2 x + 3 之解為 (A) - 1 < x < 3 (B) x < 1 或 4

>

x (C) x < 3 或 x > 4 (D) - 1 < x < 1

【88 北夜】

27. 不等式 ( x - 1 )( 1 - 2 x ) ³ 0 之解為 (A)

{

^x^x^³¹

}

(B) î í ì

þ ý

£ ü

£ 1

2 1 x

x (C)

î í ì

þ ý

£ ü 2 x 1

x (D)

î í ì

þ ý

³ ü

£ 1

2 1 x x

x 或

【88 北夜】

28. x, y 為實數，若 x ²+ y ²= 52 ，當 ( y x , ) 為何時， 3 + x 2 y 為最大值？ (A) ( x , y ) = ( 6 , 4 ) (B) ( x , y ) = ( 4 , 6 ) (C) ( x, y ) = ( 7 , 3 )

(33)

(D) ( x , y ) = ( 3 , 7 )

【88 北夜】

29. 設 x, y 為正數，且 x + y = 5 ，則 y x ² 之最大值為 (A) 9 125

(B) 9 500 (C)

27 125 (D)

27 500

【88 中夜】

30. 若方程式 x ²+ ( k + 1 ) x + 1 = 0 之兩根為相異實數，則k之範圍為 (A) k ³ k 3 , £ - 1 (B) k > k 3 , < - 1 (C) k < - 3 > , k 1 (D) - 3 £ k £ 1

【88 嘉南夜】

31. 滿足不等式

3 3 4 2

3

2 +

<

- x

x 之最小整數為 (A)-9 (B)-8 (C)-7 (D)-5

【89 推甄工、商】

32. 滿足聯立不等式 î í ì

³ +

4 2

6 2 3

y x

y

x 之解的圖形没有通過第幾象

限？ (A)I (B)II (C)III (D)IV

【89 推甄工】

33. 不等式之 1 0 1

1 2 - <

- + x

x 解的範圍是 (A) x < - 2 (B) x > - 2 (C) - 2 < x < 1 (D) x < - 2 或 x > 1

【89 日工】

34. x 為實數，不等式 3 x + 2 > 2 x + 1 的解為 (A)

5 1 < < - 3

- x

(B) 6 - 5

<

x 或

3 - 2

>

x (C)

2 1 3

2 < < -

- x (D) x < - 1 或

5 - 3

>

x

【89 日商】

35. 在坐標平面上，設 S、T 為不等式 x + y 3 £ 7 之圖形上的任意二點，則 S 與 T 的最大距離為 (A)42 (B)14 (C)8 (D)6

【89 北夜】

36. x Î R ，若 x ²- x 2 - 3 > 0 之解集合為 A， x ²+ bx + c £ 0 之解集

(34)

合為 B，若 ^A^È^B⁼^R^,^A^Ç^B⁼

{

^x³^<^x^£⁴

}

^，則b + c (A)-7 (B)6 (C)-5 (D)8

【89 中夜】

37. 設 a , b , c > 0 ，則 1 2 3 ) )(

3 2

( a + b + c a + b + c 之最小值為 (A)30 (B)36 (C)41 (D)42

【89 嘉南夜】

38. 設 x, y 滿足不等式 2 £ x £ 5 , x + y £ 8 , y ³ 0 ，試求 3

2 ) ,

( x y = x - y +

f 的最小值？ (A)-10 (B)13 (C)6 (D)1

【90 學測工】

39. 在坐標平面上，不等式 0

6 2

6 £ - -

- +

y x

y

x 的解集合中滿足

2 0

, 6

0 £ x £ £ y £ 區域的面積為多少？ (A)3 (B)5 (C)7 (D)9

【90 學測商】

40. 已知 x, y 為實數且滿足不等式 9 3 , 18 3 4 , 0 ,

0 ³ + ³ + ³

³ y x y x y

x ，則 x + y 的最小值為何？ (A)4

(B)5 (C)6 (D)9

【91 學測工】

41. 已知 4 < ( 2 x - 3 ) ²< 25 ，試求 x 的範圍為何？ (A)

2 1 < < 5

- x

(B) 1

2

3 < < -

- x 或 4

2

5 < x < (C) - 1 < x < 4 (D)

2 1 < < 1

- x 或

2 4 5 < x <

【91 學測商】

42. 設 b a, 為實數，若不等式 ax ²- 4 x + b < 0 之解為

2 5 2

1 < <

- x ，

則 a + b = (A)- 2

1 (B)- 4

1 (C)- 6

1 (D)- 8 1

【92 學測工】

43. 設 x ³ 0 , y ³ 0 , 3 x + y £ 30 , x + 2 y £ 20 的條件下，函數 y

x y x

f ( , ) = 4 + 的最大值為 (A)30 (B)38 (C)40 (D)80

(35)

【92 學測商】

44. 在坐標平面上，滿足 x + y ³ - 2 , x - 2 y ³ - 2 , x £ 2 不等式組的區域面積為何？ (A)12 (B)20 (C)24 (D)28

【93 學測工】

45. 不等式 3 x - 5 < 9 的解為整數者共有多少個？ (A)3

(B)4 (C)5 (D)6

【93 學測商】

46. 在坐標平面上，滿足 x £ y £ 8 的區域面積為何？

(A)16 (B)32 (C)64 (D)128

【94 學測工】

47. 若不等式 ax ²+ bx + c < 0 之解為 1 < x < 2 ，則不等式

2 0

³ + + cx a

bx 的整數解有幾個？ (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

【94 學測商】

48. 在坐標平面上，滿足不等式組 0 , 0 , 45 ,

180 2

5 x + y £ x + y £ x ³ y ³ 的區域面積為何？

(A)270 (B)675 (C)945 (D)1620

【94 學測商】

49. 設 x , , y z 均為正整數，若 x + 2 y + 3 z = 9 ，則xyz的最大值為何？ (A)3 (B)4 (C)5 (D)6

【94 學測商】

50. 下列何者與不等式 x - 4 < 8 的解相同？

(A) ( x + 4 )( x - 12 ) > 0 (B) ( x - 4 )( x + 12 ) > 0 (C) ( x + 4 )( x - 12 ) < 0 (D) ( x - 4 )( x + 12 ) < 0

【95 學測工】

51. 在坐標平面上，不等式方程組 y £ x + 2 , x £ 0 , y ³ 0 的區域面積為何？ (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

【95 學測商】

52. 若 f ( x ) = 4 x + 1 + 3 2 x - 1 ，則 f (x ) 的最小值為何？

(36)

(A)3 (B)4 (C)6 (D)9

【96 學測工】

53.下列何者為不等式 x + 5 ³ 2 - x 的解？ (A) 2 2

3 £ £

- x

(B) 2 - 3

³

x (C) - 5 £ x £ 0 (D) x ³ - 5

【96 學測工】

54.滿足聯立不等式 ï î ï í ì

-

³ -

£ +

³

10 20

0 , 0

y x

的條件下，試求 3 y - x 的最大值

(A)10 (B)20 (C)30 (D)40

【96 學測商】

55.求聯立不等式 î í ì

£ -

£ +

8 8 y x

y

x 之圖形區域面積為何？ (A)64

(B)86 (C)100 (D)128

【96 學測商】

(37)

歷屆試題：

～解答～

1.○ B 2.○ B 3.○ C 4.○ D 5.○ D 6.○ A 7.○ D 8.○ B 9.○ E 10.○ C 11.○ A 12.○ D 13.○ B 14.○ C 15.○ A 16.○ C 17.○ C 18.○ D 19.○ C 20.○ C 21.○ D 22.○ B 23.○ B 24.○ C 25.○ C 26.○ D 27.○ B 28.○ A 29.○ D 30.○ C 31.○ C 32.○ C 33.○ C 34.○ D 25.○ B 36.○ A 37.○ B 38.○ D 39.○ A 40.○ B 41.○ D 42.○ A 43.○ C 44.○ A 45.○ D 46.○ C 47.○ B 48.○ C 49.○ B 50.○ C 51.○ B 52.○ C 53.○ B 54.○ D 55.○ D

不等式與線性規畫