有限控制容積分析 5

處理許多有關流體力學的問題時，我們需要對空間中一個有限區域鍵控 制容鍵鍵的內涵予以分析其流體行為。例如，當對噴射引擎進行測試 時，我們或許會問固定該引擎的力量為多少？經由有限控制容鍵的分析，我們 可以容易地回答許多重要的問題。控制容鍵分析的方法都是以一般物理學之基 本原理為基礎，其中包括質量守恆、牛頓第二運動定律、熱力學定律等。因此 我們可以預期，在處理各類需要工程判斷的流體力學問題時，控制容鍵分析的 技巧是非常有效力的。同時有限控制容鍵方法的準則相當容易解讀也很容易使 用。

5.1.1 ^{紑紑方紑式的推導}

系統的定義為內涵成份不變的集合體。所以，系統的質量守恆原理可簡單 地表示為鍵

系統質量隨時間的變化率
0

有限控制容積分析

Finite Control Volume Analysis

噴向諢止水域的水噴束：襻噴束由左方狹長的噴口噴出時，將有一些動邾自液體噴束失去而流向周遭流體。

這種動邾的失去造成噴束減速同時增加噴束的寬度（水域中出現空氣氣泡；感謝法國 ONERA 提供本圖片）

5.1 質量守恆－連續方程式

Conservation of Mass－The Continuity Equation

5

CHAPTER

當

或

其中 m_sys為系統質量。

圖 5.1 所示為一系統與固定且不變形的控制容鍵，在某瞬間重合的情形。

由於我們將考慮質量守恆的特性，因此我們將質量視為外延性質鍵亦即，B

m

或

在微小體鍵 d V 之質量d V，故在控制容鍵 mcv內所包含的質量為

若該控制容鍵有數個進口與出口，為了表示進出那些進、出口的流動，則 必鍵將 5.2 式修改成

當流動為穩定時，流場所有的性質鍵即任何指定鍵的性質鍵包括密度在內 對時間而言都保持為定值，因此控制容鍵內之質量時間變化率為鍵，亦即

所以對靜止流體而言

鍵5.1鍵

鍵5.2鍵

鍵5.3鍵

圖 5.1 在三個不同瞬間時的系 統與控制容積：a 在 t t 時 間；b 在 t 時間，重合情況；

c在 t t 時間。

系統

控制容積

a b c

2

V

V

1

鍵5.4鍵

5.1 質邾守恆—連續方程式

135

質瘳守恆鍵conservation of mass鍵的控制容鍵表示方式，通常鍵為瘳瘳方瘳 式鍵continuity equation鍵，可由 5.1、5.3 式 合併而得

5.5 式的文字敘述為鍵為使質量守恆所以控制容鍵內質量的時間變化率與進出控 制表面的淨質量流動變化率，二者之和為鍵。必鍵注意的是，5.5 式僅限於固 定、不變形、且在入出口間具有均一性質、同時流速垂鍵於入出口的控制容 鍵。至於針對一般流況之一般連續方程式，讀者可參閱附錄 D 所示。

流體流經面鍵為 A 的控制表面，其質瘳流率鍵mass flowrate；　鍵的慣用 表示式為

其中 為流體密度，V 為垂鍵面鍵 A 的流速分量，Q
VA 為體鍵流率鍵ft³
s 或 m³
s鍵。並請注意表示質量 m 與質量流率　 鍵slugs
s 或 kg
s鍵符號上的不同。

通常流過截面 A 的流速並非均勻的。在此情況下，5.6 式中的速度必鍵是 流速在截面垂鍵分量的平均值，該平均速度的 V



假若在整個截面 A 上的速度呈現均勻地分布鍵一鍵流動鍵，則 V



符號也可以不鍵。

5.1.2 ^{固定、不紑形控制容紑}

以下所列範例，即在討鍵均針對固定、不變形控制容鍵之連續方程式鍵5.5 式鍵的應用。

鍵5.5鍵

鍵5.6鍵

鍵5.7鍵

E XAMPLE 例題 5.1

海水穩定的經由消防水管尾端的錐狀噴嘴中流出，如圖 E 5.1 所示。若海水在噴 嘴出口的速度必鍵保持在 20 m
s，試問泵的抽吸能力最小應該是多少 m³
s？

解答

泵的抽吸能力為由泵將海水傳輸到水管及噴嘴的體鍵流率。由於我們欲求泵所排出之 流率，而我們僅已知噴嘴出口流率，故將此兩種流率以控制容鍵加以關連，如圖 E

V

V

5.1 所示之虛鍵範圍。該控制容鍵的內涵，為在任一瞬間介於泵出口與噴嘴出口平 面，於水管與噴嘴內的海水。

將 5.5 式應用於該控制容鍵得

由於為穩定流動，控制容鍵內質量的時間變化率為鍵，同時只有一流進流量〔泵流出 口，截面1〕及流出流量〔噴嘴出口，截面 2〕，1 式變成

且由 睧AV 得

又由於質量流率為流體密度 與體鍵流率 Q 鍵見 5.6 式鍵的乘鍵，由 2 式可得

本範例為低速流動，故可視為不可壓鍵，因此

由 3 與 4 式得

泵的抽吸能力即為在噴嘴出口處的體鍵流率。為了簡化計算，可令在噴嘴出口平面的 速度呈均勻分布，由 5 式得

鍵1鍵

鍵2鍵

鍵3鍵

鍵4鍵

鍵5鍵

鍵Ans鍵

E XAMPLE 例題 5.2

不可壓鍵、層流的水在一半徑為 R 的平鍵導管流動中，如圖 E 5.2 所示。在截面

圖 E 5.1

鍵穩定流動鍵

5.1 質邾守恆—連續方程式

137

1 的速度曲鍵為均勻分佈，流速為 U 且與管鍵平行。在截面 2 的速度曲鍵則為鍵 對鍵且為拋物鍵形鍵沿管壁的速度為鍵，而在中心鍵有最大流速 u_max。請問 U 與 u_max 之關係為何？於截面2 的平均速度 V

2與 u_max又有何關係？

解答

取圖 E 5.2 中虛鍵所描繪的控制容鍵，並應用公式 5.5 式得

在截面l 的進口處，水的流速成均勻分布，且 V1
U，故

在截面 2 的出口處，水的流速非均勻，但是通過該截面之淨流率相當於流體通 過許多像墊片狀微小面鍵 dA₂
2r dr鍵如圖中陰影所示鍵之流率之總和。通過每一 小面鍵的流體速度為 u₂，由於為微小面鍵，故流率之總和可由鍵分式表示之，

將 1、2、3 式合併，我們得到

由於為不可壓鍵流動，1
2，並將截面2 的拋物鍵速度分布代入 4 式中得

將之加以鍵分得

或可得

鍵1鍵

鍵2鍵

鍵3鍵

鍵4鍵

圖 E 5.2

鍵5鍵

鍵Ans鍵

由於為不可壓鍵流動，由於由 5.7 式知鍵在控制容鍵的任何截面上平均流速為 U。因 此，在截面2 的平均速度 V2為最大速度 u_max的一半，即

鍵Ans鍵

E XAMPLE 例題 5.3

欲將水由水龍頭引入浴鍵中。由水龍頭流出的水具穩定流率為 9 gal
min，而浴 鍵體鍵近似於如圖 E 5.3 所示之矩形空問。試估計在任意瞬間浴鍵中水位高度的時間 變化率 h
t，單位為 in.
min 。

解答

取如圖 E 5.3 中虛鍵所示之固定、不變形的控制容鍵。在任意瞬間該控制容鍵一鍵分 含有由水龍頭流入的的水，另一鍵份則為空氣。應用 5.5 及 5.6 式得

由於在一極小體鍵鍵dV鍵內流體之質量為 dm
dV，1 式中的鍵分代表鍵控制容鍵 中空氣與水的總量，而且前兩鍵的和為控制容鍵內質量的時間變率。

由於空氣質量及水質量的變化率都不為鍵，但由於空氣的質量必鍵守恆，故在控 制容鍵內空氣質量的變化率必鍵等於流出控制容鍵之空氣質量變率。為簡化本例題，

我們並不考慮水的蒸發，所以對於空氣與水應分別使用 5.5 及 5.6 式，對空氣而言鍵

對水來鍵鍵

鍵1鍵

圖 E 5.3

鍵2鍵

水的 空氣 體積

體積

空氣 體積

空氣

空氣 空氣 水 水 水

空氣 空氣

水的 體積

水 水

空氣

水

5.1 質邾守恆—連續方程式

139

前面的例題鍵明當流動處於穩定的狀況時，則控制容鍵內質量的時間變率 為鍵，同時經由控制表面的淨質量流率 也為鍵，故

假使流動為穩定且不可壓鍵，則流經控制表面的淨體鍵流率 Q 也為鍵，故

但若當流動不穩定時，在控制容鍵中質量瞬間變化率則並非必定為鍵。

對於特定流體且僅有單一流動的穩定流，流經控制容鍵的截面 1 與截面

2，則有

而對不可壓鍵流動則有 在控制體鍵內水的體鍵為

其中 A_j為水從水龍頭流入浴鍵的截面鍵。合併 2 與 3 兩式得

故而

由於 A_j 10 ft²，我們得到以下鍵鍵

或是

鍵3鍵

鍵Ans鍵

鍵5.8鍵

鍵5.9鍵

鍵5.10鍵

鍵5.11鍵

水的 體積

水 水 水

水 水

水 水

5.1.3 紑動、但不紑形控制容紑

當我們使用可鍵動的控制容鍵時，相對於該可鍵動控制容鍵的流體速度 鍵相對速度鍵而言，為一鍵重要的流場變數。相對速度 W 意指隨鍵控制容鍵鍵 動的觀察者所見到的流體速度，控制容鍵速度 V_cv 是指位於固定座標系統的觀 察者所見到控制容鍵的鍵動速度，而鍵對速度 V 則表示在固定座標系統中由靜 止觀察者所觀察到的流體速度。這些速度之間的關係可藉由向量表示式表示

若將固定控制容鍵表示式的鍵對速度轉換成相對速度，則對可鍵動但不變形的 控制容鍵而言，其質量守恆表示式鍵連續方程式鍵與固定控制容鍵之表示式將 完全相同，亦即

要注意的是，5.13 式僅限用於介於進出口間具有均勻性質之控制體鍵且流速垂 鍵於進出口截面。

鍵5.12鍵

鍵5.13鍵

E XAMPLE 例題 5.4

水以穩定流率 1000 ml
s 由旋轉草地灑水器的底座進入，如圖 E 5.4 所示。假鍵 該灑水器的兩個噴嘴的出口面鍵均為 30 mm²。試針對下列情況依次求出水流出噴嘴 而且相對噴嘴的平均速率；若 a 旋轉灑水龍頭固定，b 灑水頭以 600 rpm 速率旋 轉，c 灑水龍頭由 0 加速至 600 rpm 。

解答

我們在任意時間中，取旋轉灑水頭內的水為控制容鍵。縱然控制容鍵並不變形，但它

圖 E 5.4

V

V

W

5.2 牛頓第二定律—線性動邾與動邾矩方程式

141

卻隨灑水頭鍵動鍵旋轉鍵。考慮題意之三種情形並針對控制容鍵引用 5.13 式得到相同 為的表示式

因其為穩定流動且在控制容鍵內充滿水，因此上式中控制容鍵內水質量的時間變率為 鍵。

由於僅有一處流進流量〔自旋轉鍵的底座，截面 1〕以及二處流出流量〔旋轉 鍵兩端的兩個噴嘴，截面2 與截面 3，並有相同的面鍵及流速〕，1 式變為

對不可壓鍵流而言，1
2
3，故 2 式變為

由於 Q
A1

W

或

W

其中 U
R 表示噴嘴速率，而  與 R 則各代表灑水頭的鍵速度和半徑。

鍵1鍵

鍵2鍵

鍵Ans鍵

5.2 牛頓第二定律－線性動量與動量矩方程式

Newton s Second Law-The Linear Momentum and Moment-of-Momentum Equations

5.2.1 ^{紑性動紑方紑式的推導}

系統的牛頓第二運動定律可寫成

系統鍵性動量的時間變化率
作用於系統之外力合 0 穩定流動或控制容鍵內充滿不可壓鍵流體

因動量為質量與速度的乘鍵，且對於質量為 dV 的微小質鍵來鍵，其動量 為 VdV。因此整個系統的動量為系統內微小體鍵元鍵的動量和鍵或鍵分鍵，其 數學式為sysV dV，而牛頓定律則可寫成

在任意時間當控制容鍵與系統重合時，作用於系統的作用力與作用於重合 控制容鍵鍵見圖 5.2鍵內成份的作用力相同，即

此外，對一系統與一固定但不變形之重合控制容鍵而言，我們可利用雷諾轉換 定理〔將 4.17 式中的 b 鍵定為速度，B_sys為系統動量〕得到下列公式

上式中的鍵分鍵cvV dV 代表控制容鍵中動量之大小。若以文字敘述鍵明公式 5.16 式則為

5.16 式鍵明了系統鍵性動量的時間變率為兩個控制容鍵物理量之和，亦即 控制容鍵成份的鍵性動量的時間變率，與藉由控制表面的鍵性動量淨變率。當 代表質量之質鍵經由控制表面而進出控制容鍵時，該些質鍵也將鍵性動量鍵入 或鍵出控制容鍵，所以鍵性動量流動和質量流動可鍵視為相同的。

將 5.14、5.15 與 5.16 式加以合併可得到下列牛頓第二運動定律之數學表示 法鍵

鍵5.14鍵

鍵5.15鍵

鍵5.16鍵

圖 5.2 作用在系統和重合控制容積的外力。

FD

重合控制容積

FA

FE

系統

FC

FB

重合之控制容積的內涵

控制容積的內涵

5.2 牛頓第二定律—線性動邾與動邾矩方程式

143

當流動為穩定時，在控制體鍵中微小體鍵 d V 內的流體速度鍵也包括其動量鍵 對時間而言為定值，是故在控制容鍵內的總動量cvV dV 對時間而言為亦為定 值，在前述公式中對時間的微分鍵便為鍵－在本書中，所有動量的問題都與穩 定流動有關。因此，對穩定流動而言

5.17 式鍵為瘳性動瘳方瘳式鍵linear momentum equation鍵。該式僅限用穩定流動 流過固定、不變形、介於進出口間具有均勻性質之控制體鍵且流速垂鍵於進出 口截面。至於針對一般流況之鍵性動量方程通式，讀者可參閱附錄 D 所示。

5.17 式的作用力為作用在控制容鍵的力，一般可區分成物體力與表面力，

在本章唯一考慮的物體力為重力，鍵慣上以重量視之。表面力乃是與控制容鍵 內鍵物質互相接鍵之外鍵物質作用在控制容鍵內的成分的作用力。例如，與流 體接鍵之壁面，將施加一反作用表面力於接鄰的流體。同樣的，在控制容鍵外 鍵的流體在與控制容鍵共同介面處，會對內鍵之流體形成推力，通常會在控制 表面上形成開口使流體得以穿鍵。

5.2.2 ^{紑性動紑方紑式的應用}

慣性控制容鍵的鍵性動量方程式為一種向量方程式 5.17 式。在工程應用 上，我們通常會使用到該向量方程式的分量，如鍵鍵座標系的 x、y 及 z 分量或 圓柱座標系的 r、 及 x 分量。首先考慮一個一鍵、穩態、不可壓鍵流動的例 子。

鍵5.17鍵

E XAMPLE 例題 5.5

就如同圖 E 5.5 a 所示，水噴束以均勻速率 V₁
10 ft
s 自噴嘴噴出，水平地噴向 一個葉片並以 鍵轉向。在不考慮重力與黏性效應之條件下，試求鍵持葉片固定所需 的支撐力？

噴嘴

A

V

a

葉片

控制容積 的內涵

解答

取葉片和一鍵份水為控制容鍵，如圖 E 5.5b、c 的虛鍵鍵份所示，再針對此固定的控 制容鍵應用鍵性動量方程式。該控制容鍵中為流體所通過的鍵分為截面 1鍵入口鍵 及截面2鍵出口鍵。5.17 式的 x、z 分量分別為

以及

其中 且Fx和Fz分別表示作用在控制容鍵內成份之作用力在 x 與 z 方 向的淨力分量。而在 x 與 z 方向的速度分量 u 與 w 可能為正或負抑或為鍵而完全視特 定流況及所選定之座標系統而定。在本例中，不鍵在進口或出口處，流體鍵沿正方向 流動。

由於水是以在大氣壓力下的自由噴束進出控制容鍵，亦即圍鍵在整個控制容鍵的 鍵為大氣壓力，所以作用於控制容鍵表面的淨壓力為鍵。若不考慮水和葉片的重量，

則作用在控制容鍵的作用力分別僅為支撐力的水平及垂鍵分力，亦即 F_Ax、F_Az。 由於重力與黏滯效應已鍵忽略，同時 p₁
p2，流體速度保持定值，V₁
V2
10 ft
s鍵見 3.6 式的柏努利方程式鍵，故知在截面 l 處鍵u1
V1，w₁
0 而在截面 2 處，

u

經由以上所得，可將 l、2 式寫成

噴嘴

V

b

c

V

控制容積

x z

F

F

2

1

圖 E 5.5

鍵1鍵

鍵2鍵

鍵3鍵

V

5.2 牛頓第二定律—線性動邾與動邾矩方程式

145

及

藉由質量守恆原理，3 及 4 式可加以簡化。質量守恆原理應用於本例之不可壓鍵流可 得 A₁

V

V

及

由已知得

及

如果
0鍵即水在葉片上流動但不轉向鍵，支撐力將為鍵，也就是無黏性流體只 是滑過葉片，卻不產生任何作用力。若
90，則 FAx
11.64 lb 且 FAz
11.64 lb，

因此必鍵將葉片向左推鍵使葉片推向水且 F_Ax 為負鍵及向上推以使水流由水平轉向而 成垂鍵；必鍵有力的作用才能改變動量。若
180，則水噴束將轉回原方向，如此

F

5 與 6 式所代表之支撐力亦可利用質量率　
A1

V

V

及

在本範例中，必鍵施加支撐力以產生流經控制表面非鍵之淨動量流率鍵質量流率乘以

x、z 速度分量的變量鍵

E XAMPLE 例題 5.6

圖 E 5.6 a 所示為接於水龍頭出口之錐狀噴嘴。已知水流率是 0.6 liter
s，噴嘴質 量 0.1 kg，噴嘴入、出口鍵徑依次為 16 mm 和 5 mm ，噴嘴鍵鍵為垂鍵，且在截面l

與2 間的鍵向距鍵為 30 mm，同時在截面 1 的壓力是 464 kPa。欲使噴嘴保持在圖 示位鍵不動，試求所需的支撐力大小為何？

解答

所需的支撐力即為水龍頭與噴嘴螺鍵間的反作用力。我們可應用鍵性動量方程式，

5.17 式，計算該反作用力。

選取如圖 E 5.6 a 及圖 E 5.6 b 所示，於任意瞬間能包含整個噴嘴及噴嘴中的水的空間 為控制容鍵。所有作用在控制容鍵成份的垂鍵作用力如圖 E 5.6 b 中所標示者。由於 對鍵的關係，大氣壓的作用力相互抵消故未予以標示，而錶壓力在垂鍵方向並沒有抵 消，故標於圖中。將 1 式應用於控制容鍵成份並考慮垂鍵或 z 方向分量得

其中 w 為流體速度之 z 方向分量，其他參數列示於圖中。

力的方向以「向上」為正，2 式中的流速 w 方向準則亦同。由於在截面 (1) 流動 向下，w₁
V1。同樣的，在截面2 w2
V2，2 式可寫成

方程式中，　
AV 表示質量流率。

鍵1鍵

圖 E 5.6 a

鍵2鍵

鍵3鍵

控制容積之內涵

5.2 牛頓第二定律—線性動邾與動邾矩方程式

147

解 3 式得

由 5.10 式之質量守恆方程式得

將之與 4 式合併得

由上式可看出支撐力將如何受到不同作用力的影鍵，例如噴嘴重量
n、水重量

w及截面1 的錶壓力 p1

A

A

將已知數據代入 6 式等號右邊各鍵便可完成本例題。但是，首先由 5.6 式得

以及

同時由 5.6 式

圖 E 5.6 b

鍵4鍵

鍵5鍵

鍵6鍵

鍵7鍵

鍵8鍵

噴嘴的重量
n可藉由噴嘴的質量 m_n加以計算，而的

控制容鍵中水的重量
w可藉由水的密度  與噴嘴高度 h 中的水體鍵 Vw計算而得，

如

故得

如同在 3.6.1 節所討鍵的，當次音速流動排放至大氣中鍵如本範例之情形鍵，排放的壓 力可視為大氣壓，故截面2 的錶壓力 p2為鍵。於是支撐力 F_A可由 611式得

或

鍵9鍵

鍵10鍵

圖 E 5.6 c 和 d

鍵11鍵

鍵Ans鍵

5.2 牛頓第二定律—線性動邾與動邾矩方程式

149

由於 F_A 為正，鍵示作用方向是沿鍵 z 鍵往上，如果噴嘴未鍵拴鍵，則可能會鍵此作 用力推鍵水龍頭。

在本題中，選取控制容鍵來解析此問題，並不是僅有的方式。下列所述為兩個控 制容鍵的另一種解法；當中的一個控制容鍵只包括噴嘴，而另一個則只包含噴嘴中的 水。圖 E 5.6 c 與圖 E 5.6 d 中所示，即為這些控制容鍵，並鍵鍵出作用於控制容鍵成 份的垂鍵力。而圖中新出現的力 R_z，代表作用於水與噴嘴錐形中之表面間的作用力，

它同時包含了該介面間的淨壓力及黏滯力。

將 5.17 式 應用到圖 E 5.6 c 式中的控制容鍵成份，得

方程式中之 p_atm鍵A₁  A2鍵代表示大氣壓力施於噴嘴外表面的合力鍵亦即噴嘴沒 有與水接鍵的表面鍵，這是由於壓力作用在斜表面的作用力，即等於壓力乘以斜表面 在噴嘴鍵向的投影面鍵，而該投影面鍵為 A₁  A2。另外，大氣壓力在噴嘴與水間的 效應已經併入在 R_z中考慮之。

同樣的可得，圖 E5.6d 中的控制容鍵為

式中 p₁及 p₂為錶壓力。藉由 13 式可得，由於 A₁
A2，R_z與大氣壓力 p_atm有關，因 此為了得到正鍵的 Rz值，必鍵使用鍵對壓力而非錶壓力。

將 12 與 13 式合併，得到與 6 式一樣的解答

要注意的是，在流體及噴嘴壁面之間的作用力 R_z 為 p_atm 的函數，但支撐力 F_A 卻不是

p

鍵12鍵

鍵13鍵

由本範例可知，當應用鍵性動量方程式解題時，必鍵注意以下概括性的要 鍵鍵

1. 鍵性動量具有方向性；可在任何垂鍵座標系分解座標分量。此外流體質鍵的 鍵性動量在鍵上的正向或負向，因而具備正或負值。在例題 5.6 中僅考慮 z 方向的鍵性動量鍵且都朝負 z 方向鍵。

2. 若流體為穩定流動，則對一個不變形之控制容鍵內含而言，其鍵性動量之時 間變率為鍵。但是，對一系統而言即使流動為穩態，其鍵性動量之時間變率 通常並不為鍵，這是由於當鍵成系統之流體質鍵流過控制體鍵時它們的動量 會發生變化；亦即，即使流動為穩態，質鍵可能加速、減速或改變其方向。

在本書中有關動量之問題鍵考慮穩態流動。

3. 若選取的控制表面使進、出控制容鍵的流體與之垂鍵，則由控制容鍵外鍵流 體在控制表面上施加在內鍵流體的表面力即為壓力。此外，當次音速流動由 控制容鍵流進大氣時，在出口截面處的壓力為大氣壓力，如例題 5.6 中，因 屬於次音速流動，所以我們令出口壓力為大氣壓力。5.10 式的連續方程式，

可以依次算出在截面1 和 2 的速度 V1及 V₂。

4. 大氣壓施於控制表面而形成的作用力必鍵考慮，就如 13 式之介於噴嘴與流 體間的反作用力。當我們計算支撐力 F_A 時，由於大氣壓施於控制表面的作 用力相互抵消〔例如將 12 與 13 式合併之後，大氣壓作用力效應就不再加以 考慮〕，因此在計算過程中便可以使用錶壓力。

5. 當外力與座標正方向同向則為正值，反之則為負值。

6. 鍵性動量方程式 5.17 式只考慮作用在控制容鍵內含之外力。若控制容鍵僅 有流體為內含時，則流體與表面間之反作用力或與流體接鍵之所有表面鍵濕 表面鍵間之反作用力，就必鍵在 5.17 式中加以考慮。若流體與濕表面或所 有表面為控制容鍵的內含時，則前述之反作用力便不需在 5.17 式中出現；

這是因為該反作用力為內力而非外力。不過，使濕表面鍵持不動之支撐力為 外力，因此必鍵在 5.17 式中加以考慮。

7. 由於在控制表面之表面壓力或剪力的作用、流體流過包含物體之控制容鍵所 產生的鍵性動量變化、控制容鍵內物體及流體之重量等因鍵，我們需要支撐 力將物體加以鍵鍵固定。在範例 5.6 中，固定噴嘴所需的支撐力主要來源為 壓力的作用，而鍵份來源則是由於將噴嘴中的流體加速所鍵成之鍵性動量變 化所鍵。至於包含在控制容鍵內的水重及噴嘴重量對支撐力的影鍵，則是相 當鍵微。

E XAMPLE 例題 5.7

水流經水平之 180 彎管，如圖 E 5.7 a 所示，整個彎管的流動截面鍵為定值且為 0.1 ft²，同時鍵向的流動速度鍵為 50 ft
s。在彎管的入口與出口的鍵對壓力為 30 psia 及 24 psia。試問將彎管固定在圖示位鍵上所需水平支撐的 x、y 分力為何？

解答

由於本例題之鍵的在計算固定彎管位鍵的水平支撐力量，因此選取包括彎管及任意時 間彎管所含的水為控制容鍵，鍵見圖 E 5.7 a 的虛鍵區域鍵。作用在控制容鍵成份的水 平力如圖 E 5.7 b 所示。由於水的重量為沿垂鍵方向鍵負 z 方向鍵，故與平面之 x、y 的 支撐分力無關。可解出所有作用在流體與彎管的法鍵及切鍵方向水平作用力並歸鍵成

F

5.2 牛頓第二定律—線性動邾與動邾矩方程式

151

其中

在截面1 與截面 2 上僅有 y 方向的流動，故 u
0。又由於進出控制容鍵的流體沒 有 x 方向的動量流動，由此可知 1 式之 F_Ax
0。

在 y 方向，由 5.17 式得

在控制容鍵出入口截面上，流速之 y 方向分量 ₁、 ₂分別為 ₁
V1
V 及 2
V2

V，其中 V
V1
V2
50 ft
s。因此，2 式變為

同時，截面 1 上 y 方向速度的分量是正值，而且截面 2 上的速度分量則是負值。

由連續方程式鍵5.10 式鍵可得

因此 3 式可寫為

解 5 式得

由題意已知並由 4 式計算 得

鍵2鍵

鍵3鍵

鍵4鍵

鍵5鍵

鍵6鍵

圖 E 5.7 a 和

鍵1鍵

欲求 F_Ay 支撐力，由於大氣壓力作用抵鍵，故可使用錶壓力 p₁、p₂。將 6 式之變數以 數字代入得

鍵果 F_Ay為負，表示 y 方向的支撐力作用在負 y 方向，而非如圖 E 5.7 b 所示的正 y 方 向。

和例題 5.6 一樣，彎管的支撐力與大氣壓力無關，但彎管作用於內鍵流體的作用 力 R_y 卻和大氣壓相關。由圖 E 5.7 c 所示、僅包含彎管內鍵流體的控制容鍵可看出，

在這種狀況下運用動量方程式可得如下

其中 p₁ 及 p₂ 必鍵使用鍵對壓力值，這是由於流體與管壁間的作用力 R_y，完全是壓力 效應鍵鍵對壓力鍵之故。由此可得

鍵Ans鍵

圖 E 5.7 c 和

鍵7鍵

5.2 牛頓第二定律—線性動邾與動邾矩方程式

153

我們也可使用僅包含彎管鍵不包含內鍵流體鍵的控制容鍵，如圖 E 5.7 d 所示，來 決定固定彎管所需支撐力之 y 分量。考慮該控制容鍵並利用 y 方向之動量方程式得

方程式中 R_y可在 7 式中得之，而 p_atm A1 A2 代表在控制容鍵外之淨壓力作用力；彎 管內之淨壓力作用力為 R_y。將 7 與 8 式合併得

此鍵果與圖 E 5.7 b 選取之控制容鍵所得的解答完全相符。

鍵8鍵

由例題5.5、5.6 及 5.7，我們看出流速與流向的改變將產生反作用力。以鍵 性動量方程式鍵5.17 式鍵所解析之其他型態的問題，則由以下範例鍵明。

E XAMPLE 例題 5.8

例題 5.2 中，如果流體垂鍵向上流動，請導出代表在截面1 與 2 間壓力鍵方程 式。

解答

選取僅包含截面1 至 2 的流體為控制容鍵鍵見圖 E 5.2 虛鍵鍵份鍵。圖 E 5.8 標示出 施加在該流體的作用力。將 5.17 式之鍵向分量應用於該控制容鍵中的流體可得

方程式中 R_z為濕管壁作用在流體的合力，
為介於截面 1 與截面 2 之間流體的重 量，p₁、p₂ 分別為在進、出口的壓力，而 w 為速度的垂鍵鍵或鍵向鍵分量。由於在截 面 1 的流動速度呈均勻分布，故在進口之動量通量為

在 截 面 2 的出口處流速非為均勻分布，但是通過該截面之淨動量通量相當於 woutAout

V

或

鍵1鍵

鍵2鍵

合併 1 、 2 、 3 式得

解 4 式 便得由截面1 至截面 2 之壓力鍵，p1 p2，為

由以上分析可知截面1、2 之壓力鍵的原因為鍵

1. 在截面1、2 之間速度由均勻分布轉變為拋物鍵分布，鍵使動量流動產生變化。

由 1 式得知在截面1 的動量通量為 w1 1，而由 3 式得知在截面2 的動量通量為 4 w1

2

R

2. 管壁的摩擦。

3. 水柱的重量，亦即靜液壓效應。

假使在截面 1 與 2 的速度曲鍵鍵呈拋物鍵狀，則在每個截面上的動量流率都 會是一樣的，這種狀態我們鍵為「完全發展」的流動，而壓力鍵 p₁  p2 僅與管壁摩 鍵3鍵

圖 E 5.8

鍵4鍵

鍵Ans鍵

5.2 牛頓第二定律—線性動邾與動邾矩方程式

155

擦與水柱重量有關。鍵了為完全發展流動之外，若流動的重量效應不計鍵例如鍵液體 水平的流動或氣體任意方向的流動鍵，則任意兩截面之間的壓力鍵 p₁ p2僅由管壁摩 擦所引鍵。

E XAMPLE 例題 5.9

圖 E 5.9 a 及圖 E 5.9 b 分別所示者為橫跨於寬度 b 的渠道的洩洪閘門於關鍵與開 啟的情形，其關鍵與開啟位鍵則如圖 E 5.9 a 及圖 E 5.9 b 所示。試求哪一種所需的支 撐力鍵大，當閘門固定在關鍵時或開啟狀態？

解答

我們可以藉由比鍵閘門在關鍵、開啟時，閘門與水之間的反作用力 R_x 的表示方式得 到本題之解答。圖 E 5.9 a 及 E 5.9 b 的虛鍵框示鍵份為針對閘門關鍵、開啟時所選取 的控制容鍵。

圖 E 5.9 c 所標示為當閘門關鍵時，施於控制容鍵成份的水平力。利用 5.17 式得

方程式中我們引用了液體靜壓力 H²

b

鍵1鍵

圖 E 5.9

（無流體流動）

其等於水施加在閘門的液體靜壓力值。

當閘門開啟時，施於控制容鍵成份的水平力，就如圖 E 5.9 d 所標示者。再利用 5.17 式可得

在此我們假鍵在截面1 與 2 處水中的壓力分布為液體靜壓鍵見 3.4 節鍵。同時，渠 道底鍵與水之間的摩擦力鍵為 F_f。假鍵均勻速度分布

因為 H  h，故上游速度 u1 遠小於 u₂，故流入控制表面的動量流動鍵分值可以忽略 之，故將 3 與 4 式合併後得

解 5 式可求出反作用力 R_x為

比鍵反作用力 R_x 的表示式鍵2 式及 6 式鍵，我們得知當閘門為開啟時，閘門與水之間 的反作用力鍵亦即固定閘門在圖示位鍵所需的支撐力鍵鍵閘門為關鍵時的反作用力 小。

鍵2鍵

鍵3鍵

鍵4鍵

鍵5鍵

鍵6鍵

從以上的例題可歸鍵的得到，流體流動因下列因鍵形成反作用力鍵

1. 鍵性動量流量於方向或大小發生變化。

2. 流體壓力。

3. 流體摩擦力。

4. 流體重量。

控制容鍵的選取亦為重要的因鍵，鍵當的控制容鍵可使解析問題變得鍵為鍵 接。

5.2.3 ^{動紑紑方紑式的推導}

在許多工程問題中，作用力鍵鍵固定鍵轉動所形成的力矩，鍵為扭矩 鍵torque鍵，為一重要的物理量。牛頓第二運動定律所導引的便是作用力與鍵性動 量流動間相當實用的關係式鍵見 5.17 式鍵。鍵性動量方程式亦可用來解析與扭

5.2 牛頓第二定律—線性動邾與動邾矩方程式

157

矩相關的問題。不過，藉由鍵性動量矩的公式以及慣性座標系統中某一流動質 鍵的合力公式，我們可針對控制容鍵成份獲得連鍵扭矩及鍵動量流動關係之動 量矩方程式。

我們定義 r 為由慣性座標系統的原鍵至流體質鍵之位鍵向量鍵見圖 5.3鍵，

並將 5.14 式等號兩邊相對於慣性座標系統原鍵取其彎矩，其鍵果為

或

系統動量矩之時間變率
作用在系統的外在扭矩和

在任意時間，當控制容鍵與系統重合時，施加在系統與控制容鍵成份的扭矩將 會相同

由 5.2.1 節中得知，sysV dV 和 cvV dV 分別代表系統動量與控制容鍵成份的 動量。同理，sysr  V dV 和 cv r  V dV 分別代表系統動量矩與控制容 鍵成份的動量矩。故我們可應用雷諾轉換定理 4.14 式將其中之 B 鍵成動量矩、

b 鍵為鍵r

以文字述之為

將 5.18 式、5.19 式及 5.20 式合併，便可獲得固定之控制容鍵的動量矩數學 方程式鍵

鍵5.18鍵

圖 5.3 慣性座標系統

鍵5.19鍵

鍵5.20鍵

控制容積的內涵

若流動為穩態，則前述方程式中對時間的微分鍵變為鍵。在本書中，有關動量 矩的問題鍵與穩態流動有關。故對穩態流而言，

5.21 式鍵為動瘳瘳方瘳式鍵moment-of-momentum equation鍵。該式僅限用穩 定流動流過固定、不變形、介於進出口間具有均勻性質之控制體鍵且流速垂鍵 於進出口截面。至於針對一般流況之鍵性動量方程通式，讀者可參閱附錄 D 所 示。

5.21 式為向量方程式，因此該式可依其在徑向 r、切向 及鍵向 z 寫成分量 式。在本書中對該方程式之應用，我們將只考慮鍵向分量。

5.2.4 ^{動紑紑方紑式的應用}

如圖 5.4 中所示的旋轉灑水器。由於水經由底座入口〔截面 1〕到噴口

〔截面 2〕流動的方向與大小都改變，因此水在灑水頭上形成一扭矩使灑水頭 旋轉或實際上像渦鍵轉子一樣，如圖 5.4 所示之方向旋轉。在此種流動情況下 欲應用動量矩方程式鍵 5.21 式鍵，我們選擇使用如圖 5.4 所示之固定且不變形的 控制容鍵。該圓盤狀的控制容鍵成分含有旋轉或不動的水龍頭，及在任意時刻 流經控制容鍵內水的鍵分。該控制表面恰好切過灑水頭，如此我們得以容易地 鍵定抵抗運動的鍵扭矩。當灑水器旋轉時，在靜止控制容鍵內的流場具有不穩 定的週期性，但以平均而言依然屬穩定流動。接下來，我們仍沿用動量矩方程 式的鍵向分量解析這類流動狀況。

水在截面 1 處的中空支管沿鍵鍵向進入控制容鍵。在此控制表面上，由 鍵5.21鍵

圖 5.4 a 旋轉灑水器。

控制容積 的內涵

5.2 牛頓第二定律—線性動邾與動邾矩方程式

159

於 r  V 與旋轉鍵垂鍵，故 r  V 沿鍵旋轉鍵的分量為鍵，因此在截面 1 並 沒有鍵向的動量矩流動。水由截面 2 的兩個噴口鍵開控制容鍵。該流出流體 的 r  V 的鍵向分量大小為 r2

V

於噴嘴處觀察到的噴嘴出口流動速度鍵為相對速度 W，鍵對速度 V 與相對速度 W 的向量關係如下成

其中 U 指相對於固定控制表面的鍵動噴嘴速度。

對於 r  V 鍵向分量的幾何符號，我們可依右手定則來鍵定，亦即右手拇 指的指向表示轉鍵的正方向，而其他四鍵手指為鍵鍵旋轉鍵正方向彎曲，如圖 5.5 所示。r  V 的鍵向分量指向類似於相對旋轉鍵的半徑向量 和鍵對切鍵 速度 的向量鍵的方向。所以，對圖 5.4 中的灑水器我們可以數學式表成

圖 5.4紑紑紑

b 旋轉灑水器上視圖。

c 旋轉灑水器的側視圖。

鍵5.22鍵

圖 5.5 慣用的右手定則。

r V r

1 V

z

其中，由於循質量守恆緣故， 表示流經兩個噴嘴的總質量流率。在例題 5.4 中鍵示，無鍵灑水器是否轉動，質量流率必定相同。r  V 鍵向分量的正、負 號由下列方式予以決定鍵若 V 與 U 同方向則為正；假使 V 與 U 不同向則為 負。對於圖 5.4 中的灑水器而言

在 5.24 式中的 T_髏欲鍵為正，主要係假鍵 T_髏與旋轉的方向相同。

由 5.23 及 5.24 式並考慮圖 5.4 中的灑水器，動量矩方程式鍵5.21 式鍵的鍵 向分量為

在 5.25 式中的 T_髏 為負值，表示鍵扭矩實際上與圖 5.4 中灑水器噴管的旋轉方 向相反，就如同在一般的鍵機鍵備中，鍵扭矩 T_髏均與旋轉方向相反。

為了要計算與瘳扭瘳鍵shaft torque；T_髏鍵相關的瘳功率鍵shaft power；

髏鍵，我們將 T_髏與鍵的旋轉速率 相乘而得。故由 5.25 式得

因為 r₂ 為每一個噴嘴的速率 U，故 5.26 式又可寫為

每單位質量的鍵功 w髏，等於 _髏
，所以將 5.27 式鍵以質量流率得

在 5.26 、 5.27 及 5.28 式中，鍵功為負表示由控制容鍵輸出功，即流體對轉子 及轉鍵作功。

鍵5.23鍵

控制

容積內涵 髏向 鍵5.24鍵

鍵5.25鍵

鍵5.26鍵

鍵5.27鍵

鍵5.28鍵

E XAMPLE 例題 5.10

水以穩定速率 1000 ml
s 由草地灑水器的底座流入，如圖 E 5.10 中所示。兩個噴 嘴的各個出口面鍵都是 30 mm²，而且流體都由切鍵方向鍵開噴嘴，同時由旋轉鍵至 每個噴嘴中心鍵的徑向距鍵為 200 mm。

a 試求將灑水頭固定於靜止狀態所需的鍵力扭矩。

b 如果灑水器以 500 rev
min 等速旋轉，試問鍵力扭矩為何？

髏向

髏

髏

髏

髏 髏

髏

5.2 牛頓第二定律—線性動邾與動邾矩方程式

161

c 如果為施以鍵力扭矩，則灑水器的速率為多少？

解答

欲求 a、b、c 的解，我們取如圖 5.4 中所示之固定、不變形之盤形控制容鍵。如 圖 E 5.10 a 所示，抑制運動的 T_髏為唯一鍵考慮的鍵向扭矩。

a鍵考慮當灑水頭鍵固定不動時，流體入、出控制容鍵的速度如圖 E 5.10 b 所標 示者，並將 5.46 式應用於控制容鍵成份得

因控制容鍵固定且不變形，並且流體從噴嘴切鍵方向流出，所以

由 l、2 式得

在例題 5.4 中，我們鍵定 V₂
16.7 m
s，故由 3 式得

圖 E 5.10

鍵1鍵

鍵2鍵

鍵3鍵

髏

髏

髏

或

當灑水器以 500 rpm 的等速率鍵轉時，在控制容鍵內的流場呈現不穩定的週期性流 動，因此平均來鍵，流場仍鍵持穩定流況。流體進出控制容鍵的速度，就如同圖 E 5.10 c 所示。流體鍵開噴嘴的鍵對速度 V₂可由 5.22 式得

其中

如例題 5.4 所得。噴嘴的速度 U₂為

應用動量矩方程式鍵5.25 式鍵的鍵向分量可在一次導出 3 式。由 4 式與 5 式得

或是

故，由 3 式可得

或

由上可得，灑水頭旋轉時所形成的鍵力扭矩遠小於使灑水器保持不動所需的扭矩。

當對旋轉的灑水頭不施以鍵力扭矩時，則將得到鍵轉速率的最大常數值，如以下 之鍵明。將 3  5 式應用於控制容鍵成份得

當為施以鍵力扭矩時，6 式變成

故得

在例題 5.4 中，我們已知只要流體的質量流率 為定值，則流體鍵開每一噴嘴的相對 速度 W₂，與灑水頭的鍵轉速率 無關且鍵相等。因此，由 7 式得

鍵Ans鍵

鍵4鍵

鍵5鍵

鍵Ans鍵

鍵6鍵

鍵7鍵

髏

髏

髏

髏

5.2 牛頓第二定律—線性動邾與動邾矩方程式

163

當動量矩方程式鍵5.21 式鍵應用在一般性且流經轉動機械之一鍵流動時，

我們可利用如圖 5.4 中對灑水器相似的分析而得

rV

U 的方向鍵假使 V

鍵功率 _髏與鍵扭矩 T髏的關係式如下

將 5.29 式 T_髏的取為正，並由 5.29 式及 5.30 式得

或由 r
U 得

當 U 與 V同方向時，UV之乘鍵為正，若 U 與 V不同方向，則 UV之乘鍵為 負。同時，由於在 5.32 式中使用正的 T_髏，因此當 _髏 為正值時表示功率輸入 控制容鍵鍵如鍵泵鍵，而當 _髏 為負值時代表功率由控制容鍵輸出鍵如：鍵 機鍵。

每單位質量的鍵功 w_髏為將 5.32 式，即 _髏 鍵以質量流率 。由質量守恆 可知

由 5.32 式得 或

在這種狀況鍵T髏
0鍵，進、出控制容鍵的水均不具鍵動量。

總而言之鍵旋轉形成的鍵力扭矩小於將轉子保持不動的扭矩。同時，即使為施以 鍵力扭矩，最大的轉子速率仍是有限值。

鍵Ans鍵

鍵5.29鍵

鍵5.30鍵

鍵5.31鍵

鍵5.32鍵

V

rV

V

V

U W

rV

W

V

V

U V

鍵5.33鍵

髏

髏 髏

髏

髏 髏