直線方程式

(1)

數學公式卡 >>第一冊

直線方程式

1. 距離公式與分點坐標

(1) 直角坐標系中，有相異兩點^{A x y 、}

(

¹^, ¹

)

^{B x y}

(

²^, ²

) (

² ¹

) (

² ² ¹

)

²

AB= x −x + y −y

AB 的中點坐標為 ¹ ², ¹ ²

2 2

x x y y

⁺ ⁺

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

(2) 直角坐標系中，^{A x y 、}

(

¹^, ¹

)

^{B x y}

(

²^, ²

) ( )

^,

P x y 在 AB 上，且

AP BP m n

: ⁼ : ^，

則內分點^{P x y 之坐標為}

( )

^,

mx nx my ny

² ¹^, ² ¹

m n

⁺

m n

⁺

⎛ ⎞

⎜ + + ⎟

⎝ ⎠

若

m n

= ，則AP BP =: 1:1， P 點為 AB 的中點

P x y 在 AB 的延長線上，

( )

^,

若 A B P− − 且

AP BP m n

: ⁼ : ^（

m n

^> ^），

則外分點^{P x y 之坐標為}

( )

^,

mx nx my ny

² ¹^, ² ¹

m n

⁻

m n

⁻

⎛ ⎞

⎜ − − ⎟

⎝ ⎠

2. 線型函數與二次函數

(1) 線型函數

( )

⁰

f x k k f x ax b a

⎧ =

⎪⎨

= + ≠

⎪⎩

常數函數，為常數

一次函數（），圖形皆為直線。

(2) 二次函數 ^{f x}

( )

⁼^ax²^{+ + （}^{bx c} ^{a ≠ ）}⁰

0

a > ，圖形為開口向上的拋物線，有最低點與最小值。

a < ，圖形為開口向下的拋物線，有最高點與最大值。 0 3. 斜率

(1) 利用相異兩點

(

x y 、1, 1

) (

x y 且2, 2

)

x1≠ x2

則 ² ¹

2 1

m x x

⁼

y y

⁻⁻

(2) 利用二元一次方程式

ax by c

+ + = （0 b ≠ ） 0 則

m

^{= −}

b a

(3) 兩直線

L

₁與L 的斜率分別為₂

m

1、

m

₂，

1// 2

L L ⇔

m m

₁= ₂

L₁⊥ ⇔ L₂

m m

₁^× ₂ ^{= − （}1

m

1^、

m

2 ^{≠ ）}0

註：符號「⇔」表示由前面的敘述可以推衍得後面的敘述，且由後面的敘述也可推衍得前面的敘述。

(2)

4. 直線方程式的求法

方法公式圖示使用時機

點斜式

^{y y m x x}

⁻ ⁰ ⁼

(

⁻ ⁰

)

^已知點

(

^{x y ，斜率為}⁰^, ⁰

) ^m

的直線方程式

兩點式

若x₁≠ x₂

( )

2 1

1 1

2 1

y y

y y x x

x x

− = − −

− 已知

(

x y 、1, 1

) (

x y ，由2, 2

)

此相異兩點所決定的直線方程式

若x₁= x₂ x x= 1

斜截式

y mx b

= + 已知斜率

m

，y 截距為 b 的

直線方程式

截距式 x y 1

a b+ = 已知 x 截距為 a，y 截距為

b，且ab ≠ 的直線方程式 0

截距：直線 L 交 x 軸於

( )

^a^,0 ^，交^{y 軸於}

( )

0,b ，則稱 L 的 x 截距為 a ， L 的y 截距為 b 。 5. 二線垂直、平行、重合條件

方程組 ¹ ¹ ¹

2 2 2

0 0 a x b y c a x b y c

+ + =

⎧⎨ + + =

⎩ ，a 、₂

b

₂、

c

₂都不為 0

相容方程組 ¹ ¹

2 2

a b

a ≠ b 恰有一組解

矛盾方程組 ¹ ¹ ¹

2 2 2

a b c

a =b ≠ c 無解

相依方程組 ¹ ¹ ¹

2 2 2

a b c

a =b = c 無限多組解

(3)

三角函數

1. 角的度量單位

(1) 六十分制（度度量）

(2) 弧度制（弳度量）

較常用角的換算如右圖：

2π =360° π =180° 1 90

2π = ° 1 60 3π = ° 1 45

4π = ° 1 30 6π = ° 2. 同界角

(1) 有相同始邊與終邊的有向角。

(2) 若θ 與θ′ 為同界角，則θ θ− =′ 2nπ ， n 為整數。

3. 扇形之弧長及面積

扇形之弧長：L rθ= （θ 為弧度制）

扇形之面積： 1 ² 1

2 2

A= rθ = rL（θ 為弧度制）

4. 銳角三角函數的基本定義 sinθ = 對邊

斜邊 tanθ = 對邊

鄰邊 secθ = 斜邊鄰邊 cosθ = 鄰邊

斜邊 cotθ = 鄰邊

對邊 cscθ = 斜邊對邊 5. 三角函數恆等關係

(1) 倒數關係

sin cscθ θ =1， cos secθ θ = ， tan cot1 θ θ = 1 (2) 商數關係

tan sin

cos θ θ

= θ ，cot cos sin θ θ

= θ (3) 平方關係

2 2

sin θ+cos θ = ，1 tan²θ+ =1 sec²θ，1 cot+ ²θ =csc²θ (4) 餘角關係

( )

sin 90° −θ =cosθ ^{cos 90}

(

^{° −}^θ

)

⁼^sin^θ

( )

tan 90° −θ =cotθ ^{cot 90}

(

^{° −}^θ

)

⁼^tan^θ

( )

sec 90° −θ =cscθ ^{csc 90}

(

^{° −}^θ

)

⁼^sec^θ

(4)

6. 特別角的三角函數值函數

角度 sin cos tan cot sec csc 圖示 30° 1

2 3

2

1

3 3 2

3 2

45° 1 2

1

2 1 1 2 2

60° 3 2

1

2 3 1

3 2 2

3 7. 任意角三角函數的定義

θ 為標準位置角，P x y 在θ 的終邊上，

( )

^, r= x²+y² sin y

θ = r tan y

θ = x sec r θ = x cos x

θ = r cot x

θ = y csc r θ = y 8. 三角函數值的正負

表中僅表示正的三角函數值所在象限。

9. 象限角的三角函數值函數

角度 sin cos tan cot sec csc

0° 0 1 0 無意義 1 無意義

90° 1 0 無意義 0 無意義 1

180° 0 − 1 0 無意義 − 1 無意義 270° − 1 0 無意義 0 無意義 − 1 10. 化任意角為銳角的三角函數公式

( )

sin nπ θ± = ±sinθ（三角函數不變）， n 為整數。

sin 1 cos k 2π θ θ

⎛ × ± ⎞= ±

⎜ ⎟

⎝ ⎠ （三角函數改變）， k 為奇數。

答案的正負符號，由題目的三角函數決定。其他三角函數的性質，同理可得。

(5)

11. 三角函數的週期

(1) sin x 、 cos x 、 sec x 、 csc x 之週期為 2π 。 tan x 、 cot x 之週期為π 。 (2) 週期函數 f x 之週期為 p ，則

( )

f kx 之週期為 p

k

^{f kx m} (

⁺

)

^{之週期為 p}_k ^（^{k > ，}⁰

^m

^為常數）

三角函數的應用

1. 和差角公式

(1) ^sin

(

^{α β}⁺

)

⁼^{sin cos}^α ^β⁺^{cos sin}^α ^β

(2) ^sin

(

^{α β}⁻

)

⁼^{sin cos}^α ^β⁻^{cos sin}^α ^β

(3) ^cos

(

^{α β}⁺

)

⁼^{cos cos}^α ^β⁻^{sin sin}^α ^β

(4) ^cos

(

^{α β}⁻

)

⁼^{cos cos}^α ^β⁺^{sin sin}^α ^β

(5) ^tan

(

^{α β}⁺

)

⁼_{1 tan tan}^tan₋ ^α⁺_α^tan^β_β

(6) ^tan

(

^{α β}⁻

)

⁼_{1 tan tan}^tan₊ ^α⁻_α^tan^β_β

2. 二倍角公式

(1) sin 2θ =2sin cosθ θ

(2) cos2θ =cos²θ−sin²θ =2cos²θ− = −1 1 2sin²θ (3) tan 2 2tan₂

1 tan θ θ

= θ

− 3. 兩直線的交角θ

(1) 斜率為

m

₁^、

m

2的兩直線均不為鉛垂線，且互相不垂直，則 ¹ ²

1 2

tan 1

m m m m

θ = − + 另一交角為π θ−

(2) 兩直線中有一條為鉛垂線

設L 不為鉛垂線，且斜角為₂ θ ，斜率為₂

m

₂

若

m

₂ > ，則交角0 θ = ° − 90 θ₂

若

m

₂ < ，則交角0 θ θ= − ° 2 90 另一交角為π θ−

(3) 兩直線中有一條為水平線

設L 為水平線，所以₁ θ₂= ，則θ L 的斜角即為₂ L 與₁ L 的一交角θ ，另一交角為π θ₂ − 4. 正弦定理

(1) 2

sin sin sin

a b c R

A= B= C = (2) : :a b c=sin : sin : sinA B C 5. 利用正弦定理的時機

(1) 已知三角形一邊的邊長與其對角 (2) 已知兩角及一邊

(6)

6. 餘弦定理

(1) a²= + −b² c² 2 cosbc A (2) cos ² ² ² 2 b c a A bc

= + −

2 2 2 2 cos

b = + −c a ca B cos ² ² ² 2 c a b B ca

= + −

2 2 2 2 cos

c =a + −b ab C cos ² ² ² 2 a b c C ab

= + − 7. 利用餘弦定理的時機

(1) 已知三邊長

(2) 已知兩邊及其夾角 8. 三角形面積公式

ABC

△ 的面積 1

= × 底× 高 2

1 sin 1 sin 1 sin 2ab C 2bc A 2ac B

= = =

( )( )( )

s s a s b s c

= − − −

abc rs4

= R = 9. 三角測量問題解法步驟

(1) 根據題意作圖

(2) 利用正弦定理、餘弦定理或商高定理解題

向量

1. 向量的長度

設A x y 、

(

1, 1

)

B x y ，則

(

2, 2

)

^AB⁼

(

^x²⁻^{x y}¹^, ²⁻^y¹

)

^，且 ^AB ⁼

(

^x²⁻^x¹

) (

²⁺ ^y²⁻^y¹

)

² ^。

2. 向量加法的三角形法 AB BC AC+ = 。 3. 向量的加減與實數積

設 a =

(

a a1, 2

)

、 b =

(

b b1, 2

)

， r 為實數，則 (1) ^a ⁺ ^b ⁼

(

^{a b a b}¹⁺ ¹^, ²⁺ ²

)

(2) ^a ⁻ ^b ⁼

(

^{a b a b}¹⁻ ¹^, ²⁻ ²

)

(3) ^{r a} ⁼

(

^{ra ra}¹^, ²

)

4. 向量內積的定義

(1) 設 a =

(

a a1, 2

)

、 b =

(

b b1, 2

)

，則 a 與 b 的內積為 a b⋅ =a b a b_{1 1}+ _{2 2}。

(7)

(2) 設 a 與 b 之夾角為θ ，則 cos a b a b θ = ⋅ 。

(3) 設 ^a ⁼

(

^{a a}¹^, ²

)

^、 ^b ⁼

(

^{b b}¹^, ²

)

^，則

a ⊥ b ⇔ a b⋅ = ，即0 a b a b_{1 1}+ _{2 2}= 。 0

a b ⇔ a// =r b （ r 為實數），即a b_{1 2} =a b_{2 1}。 5. 內積之基本性質

(1)

2

0 a a⋅ = a ≥ (2) a b⋅ = b a⋅

(3) a⋅⎛⎜⎝ b + c ⎞⎟⎠= a b⋅ + ⋅a c (4) r a⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠⋅ b = a r b⋅⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠=r a b⎛⎜⎝ ⋅ ⎞⎟⎠ 6. 向量的正射影

a 在 b 上的正射影為 a b₂ b a b b b b b

⋅ = ⋅

⋅ 。 7. 利用向量求三角形面積

設 ^a ⁼

(

^{a a}¹^, ²

)

^、 ^b ⁼

(

^{b b}¹^, ²

)

，則以 a 、 b 為兩鄰邊之三角形面積

2 2 2

1

2 a b ⎛ a b ⎞

= −⎜⎝ ⋅ ⎟⎠ ^{1 2} ^{2 1} 1

2 a b a b

= −

8. 點與直線的距離

直線L ax by c: + + = 外一點0 P x y 到 L 的距離

(

⁰^, ⁰

) (

^,

)

^{ax by c}⁰ ₂ ⁰₂

d P L

a b + +

= +

9. 兩平行線的距離

兩平行線L ax by c₁: + + = 、₁ 0 L ax by c₂: + + = （₂ 0 c c₁≠ ）間的距離 ₂

(

¹^, ²

)

^{c c}²₂ ¹₂

d L L

a b

= − + 10. 兩直線的夾角平分線

若L a x b y c₁: ₁ + ₁ + = 與₁ 0 L a x b y c2: 2 + 2 + = 相交於一點，則2 0 L 與1 L 的交角平分線方程式為 2

1 1 1 2 2 2

2 2 2 2

1 1 2 2

a x b y c a x b y c

a b a b

+ + = ± + +

+ +

(8)

數學公式卡 >>第二冊

式的運算

1. 乘法公式

(1)

(

^{a b}^±

)

²⁼^a²^±²^{ab b}⁺²

(2)

(

^{a b a b}⁺

)(

^{− =}

)

^{a b}²⁻²

(3)

(

^{a b a}⁺

) (

²⁻^{ab b}⁺ ²

)

⁼^{a b}³⁺³

(4)

(

^{a b a}⁻

) (

²⁺^{ab b}⁺ ²

)

⁼^{a b}³⁻³

2. 餘式定理與因式定理

(1) 餘式定理： x a− 除多項式 ^{f x 的餘式為}

( )

^{f a}

( )

(2) 因式定理： x a− 為多項式 f x 的因式 ⇔

( )

^{f a =}

( )

⁰

(3) 整係數一次因式檢驗法

設

( )

n 1 n¹ 1 0

n n

f x =a x +a x₋ ⁻ + +a x a+ （a ≠ ）為整係數多項式，若 ax b_n 0 − 為 ^{f x 的因式，}

( )

且 a 、 b 互質之非零整數，則 a 為首項係數a 的因數， b 為常數項_n a 的因數。 ₀ 3. 一元二次方程式

(1) 一元一次方程式ax b+ = 0 若a ≠ ，則0 x b

= − a

若a = ，0 0 0 b b

⎧ ≠

⎨ =

⎩

當，原式無解

當，解為任意數 (2) 一元二次方程式的解法

因式分解法

配方法

代公式法

(3) a 、b、c 為實數，ax bx c²+ + = （0 a ≠ ，且0 b²−4ac≥ ）的公式解為0 ² 4 2 b b ac

x a

− ± −

= (4) 一元二次方程式根的判別式為b²−4ac

2 4 0

b − ac> ⇔ 則方程式有二相異實根

b²−4ac= ⇔ 則方程式有二相等實根 0

b²−4ac< ⇔ 則方程式無實數解 0 (5) 根與係數關係

若α 、 β 為一元二次方程式ax bx c²+ + = 的兩根 0

則

b a c a α β αβ

⎧ + = −

⎪⎪⎨

⎪ =

⎪⎩

兩根和：

兩根積：

(9)

4. 根式的運算

(1) 平方根的運算性質

若a ≥ 、0 b ≥0，則 a× b= ab

若a ≥ 、0 b > ，則0 a b a a b b

÷ = =

a² = ；a

( )

^a ² ^{= （}^a ^{a ≥ ）}⁰

(2) 立方根的運算性質

3a×3b= 3ab

³a ³b ³ a

÷ = b （b ≠ ） 0

³^a³ ⁼

( )

³ ^a ³⁼^a

(3) 二重根式的化簡 2

A± B = x± y，其中 A x y B xy

⎧ = +

⎨ =⎩ （x y≥ ≥ ） 0

聯立方程式

1. 二階及三階行列式展開 (1) 二階行列式 a b

ad bc c d = −

(2) 三階行列式

1 1 1

2 2 2

3 3 3

a b c a b c a b c

1 2 3 2 3 1 3 2 1 3 2 1 2 1 3 1 2 3

a b c a b c a c b a b c a b c a c b

= + + − − −

三階行列式的展開，圖示說明如下：

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

a b c a b a b c a b a b c a b

（↘取 + ，↗取 − ） 2. 行列式的性質

(1) 三階行列式可依某一列（行）降階展開成二階行列式。三階行列式降階展開後，每一元素的負、正符號，可依下述規則決定：

+ − +

− + − + − + (2) 行列式的行、列互換，其值不變

(3) 行列式的任意兩列（行）對調，其值變號 (4) 行列式的任一列（行）提出公因數，其值不變 (5) 行列式的兩列（行）成比例，其值為0

(6) 將行列式的一列（行）的 k 倍加到另一列（行），其值不變

(10)

(7) 兩個二階行列式，若有一行（列）同一位置元素皆相同，則可相加成一個行列式 (8) 兩個三階行列式，若有兩行（列）同一位置元素皆相同，則可相加成一個三階行列式 3. 克拉瑪公式

(1) 二元一次方程組 ax by e cx dy f + =

⎧⎨ + =

⎩ （常數項在等號右邊）

a b 0

Δ = c d ≠ ， _x e b

Δ = f d ， _y a e Δ = c f 二元一次方程組的解為：x Δ= ^x

Δ 、y Δ^y

= Δ

(2) 三元一次方程組

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d

+ + =

⎧⎪ + + =

⎨⎪ + + =

⎩

（常數項在等號右邊）

若

1 1 1

2 2 2

3 3 3

0 a b c a b c a b c

Δ = ≠

令

1 1 1

2 2 2

3 3 3

x

d b c d b c d b c

Δ = （以常數項取代 x 的係數）

1 1 1

2 2 2

3 3 3

y

a d c a d c a d c

Δ = （以常數項取代 y 的係數）

1 1 1

2 2 2

3 3 3

z

a b d a b d a b d

Δ = （以常數項取代 z 的係數）

三元一次方程組的解為：x Δ= ^x

Δ 、y Δ^y

= Δ 、z Δ= ^z Δ

複數

1. 複數相等

設 a 、 b 、 c 、 d 為實數，則 a bi c di+ = + ⇔ a c= 、 b d= 2. 複數的四則運算規則

(1)

(

^{a bi}⁺

) (

^{± +}^{c di}

) (

^{= ± + ±}^{a c}

) (

^{b d i}

)

(2)

(

^{a bi c di}⁺

)(

⁺

) (

⁼ ^{ac bd}⁻

) (

⁺ ^{ad bc i}⁺

)

(3)

( ) ( )

2 2

ac bd bc ad i a bi

c di c d + + −

++ = + （c di+ ≠ ） 0 3. 共軛複數的性質

(1) z z₁± = ± ₂ z z₁ ₂

(11)

(2) z z₁× = × ₂ z z₁ ₂ (3) ¹ ¹

2 2

z z z z

⎛ ⎞=

⎜ ⎟⎝ ⎠ （z ≠ ） ₂ 0 (4) z z=

4. 二次方程式的虛數根

設 a、b、c、α、β 為實數，a ≠ ，若0 α β+ i為方程式ax bx c²+ + = 的一根，則另一根為0 α β− i 5. 複數絕對值的性質

複數 z x yi= + ，則 z = x²+y² (1) z = z

(2) z z z× = ² (3) z z₁× ₂ = z₁× z₂

(4) zⁿ = zⁿ， n 為自然數 (5) ¹ ¹

2 2

z z

z = z （z ≠ ） ₂ 0 6. 複數的極式

將複數 z 用其絕對值和輻角表示為^{z z}⁼

(

^cos^θ⁺ⁱ^sin^θ

)

的形式，稱為複數 z 的極式，且 z x yi= + z x yi

z z

⎛ ⎞

= ⎜⎜⎝ + ⎟⎟⎠⁼ ^z

(

)

^，

其中 cos x

θ = z ， sin y

θ = （z z ≠ ） 0 7. 以極式表複數的積和商

(1) 相乘時，將其絕對值相乘，輻角相加 (2) 相除時，將其絕對值相除，輻角相減 8. 棣美弗定理

設^{z z}⁼

(

)

^{， n 為整數，則}

(

^cos ^sin

)

n n

z = z nθ+i nθ （z ≠ ） 0 9. 複數的 n 次方根

複數z 的極式為^{z z}⁼

(

)

^，則z 的 n 次方根為

2 2

cos sin

k n k k

x z i

n n

θ+ π θ+ π

⎛ ⎞

= ⎜⎝ + ⎟⎠

0

k = 、1、 2 、…、n − 1

不等式及其應用

1. 二元一次不等式的圖形

(1) 根據三一律，一直線分平面成三個部分：一條直線（ax by c+ + = ）與兩個半平面0

（ax by c+ + > 或0 ax by c+ + < ） 0

(12)

(2) 決定二元一次不等式代表哪一個半平面，找直線外的任一點測試即可得，通常以

( )

^{0,0 、}

( )

^{1,0 或}

( )

0,1 代入不等式中測試

(3) 不等式中的不等號，若為「 ≥ 」或「 ≤ 」，圖解時直線部分以「實線」繪出

不等式中的不等號，若為「 > 」或「 < 」，圖解時直線部分以「虛線」繪出

(4) 二元一次聯立不等式的圖解區域為各個不等式圖解的重疊區域；若無重疊區域，則此聯立不等式無解

2. 線性規劃

(1) 在某些限制條件下，列出二元一次聯立不等式，在此聯立不等式的解之中，找一個能使某一次函數達到最大值或最小值的解，此類問題稱為線性規劃

(2) 線性規劃中，一次函數稱為目標函數；聯立不等式的圖解區域稱為可行解區域；在可行解區域中能使目標函數達成目標的解，稱為最佳解

(3) 線性規劃的解題步驟

畫出可行解區域，並求各個頂點坐標

將可行解區域的各頂點坐標代入目標函數，即可求得目標值 3. 一元二次不等式

(1) 設一元二次方程式ax bx c²+ + = （0 a > ）的兩實數根為α 、 β ，且α β0 <

不等式ax bx c²+ + > 之解為 x0

< α

或 x β>

不等式ax bx c²+ + < 之解為0

α <

x< β

(2) 設一元二次方程式ax bx c²+ + = （0 a > ）有兩相等實根，即0 b²−4ac= ，則 0 不等式ax bx c²+ + ≥ 之解為所有實數 0

不等式ax bx c²+ + < 無解 0

(3) 設一元二次方程式ax bx c²+ + = （0 a > ）無實根，即0 b²−4ac< 0 不等式ax bx c²+ + > 之解為所有實數 0

不等式ax bx c²+ + ≤ 無解 0 4. 絕對不等式

(1) 算幾不等式

a 、1 a 、…、₂ a 表示 n 個正實數，則 _n

1 2

n n

n

a a a a a a

n

+ + + ≥ × × ×

「等號」成立時，a a₁= ₂ = = a_n (2) 柯西不等式

設a 、₁ a 、…、2 a ，n b 、1 b 、…、2 b 是 2n 個實數，則 n

(

â¹²⁺â²²^{+ +}âⁿ²

)(

^b¹²⁺^b²²^{+ +}^bⁿ²

)

^≥

⁽

^{a b a b}^{1 1}⁺ ^{2 2}^{+ +}^{a b}^{n n}

⁾

²

若a 、₁ a 、…、2 a 不全為 0 ，「等號」成立時，必有一實數 t 存在使得 n

1 1

a t b= 、a t b₂ = 、…、₂ a t b_n = _n

(13)

數學公式卡 >>第三冊

數列與級數

1. 等差數列

任意後項減前項的差都相同的數列稱為等差數列公差 d = 後項 − 前項

第 n 項^aⁿ ^{= + −}^a¹

(

ⁿ ¹

)

^d

2. 等差中項

若 a , b , c 三數成等差數列，則 b 稱為 a 與 c 的等差中項（或算術平均數），且

2 b= a c+ 3. 等差級數求和公式

等差級數前 n 項的和^Sⁿ ⁼ ₂ⁿ^⎡_⎣²^a¹^{+ −}

(

ⁿ ¹

)

^d^⎤_⎦⁼ ₂ⁿ

(

^{a a}¹⁺ ⁿ

)

4. 等比數列

一數列的各項皆為非零實數，且後項與相鄰前項的比值都相同的數列稱為等比數列公比 r = 後項

前項第 n 項a_n =a r₁ ⁿ⁻¹ 5. 等比中項

若 a , b , c 三數成等比數列，則 b 稱為 a 與 c 的等比中項，且 b= ± ac 6. 等比級數求和公式

等比級數前 n 項的和S _n (1) 當r = 時，1 S_n=na₁

(2) 當r ≠ 時，1 ¹

(

¹

) (

¹ ¹

)

1 1

n n

n

a r a r

S r r

− −

= =

− −

7. ∑ 的運算規則 (1)

( )

1 1 1

n n n

k k k k

k k k

a b a b

= = =

+ = +

∑ ∑ ∑

(2)

1 1

n n

k k

ca ε a

= =

∑

=

∑

8. ∑ 的計算公式 (1)

1 n k

c nc

=

∑

=

(2)

( )

1

1 2

n

k

k n n

=

= +

∑

(3) ²

( )( )

1

1 2 1 6

n

k

n n n k

=

+ +

∑

=

(14)

指數與對數及其運算

1. 指數運算性質

(1) a a^{r s} =a^{r s}⁺ （ r 、 s 為任意實數）

(2)

( )

^a^r ^s ⁼^a^rs^（r 、 s 為任意實數）

(3)

( )

^ab ^s ⁼^{a b}^{s s}（ s 為任意實數）

(4) a = ，但⁰ 1 0 無意義（ a 可為負） ⁰ (5) s 1

a s

a

− = （ s 為任意實數）

(6) a^r_s a^{r s} a

= − （r 、 s 為任意實數）

(7) a¹^s = ^s a（ s 為正整數）

(8) a^r^s = ^s a^r （ s 為正整數， r 為任意數）

2. 指數函數的性質

(1) 若a > ，1 ^{f x}

( )

⁼^a^x^{為遞增函數。}

(2) 若 0< < ，a 1 ^{f x}

( )

^{= 為遞減函數。}^a^x

(3) ^{f x}

( )

^{= 的圖形必通過}^a^x

( )

0,1 ，且以 x 軸為漸近線，圖形在 x 軸上方。

3. 對數的定義

對數 log_ab 中，底數a > ，0 a ≠ ，真數1 b > 。 0 4. 對數的重要性質

a 、 b 、 x 、 y 均為正實數，且a ≠ 、1 b ≠ 1 (1) logaa = ； log 1 01 a =

(2) ^loga

(

x y×

)

=^logax+^logay (3) log_a x log_ax log_a y

y= −

(4) log_axⁿ =nlog_ax， n 為實數 (5) log log

log^b

a

b

x x

= a，b > ，0 b ≠ （換底公式） 1 (6) a^log^a^x = x

5. 對數函數的性質

(1) 若a > ，1 y=logax為遞增函數。

(2) 若 0< < ，a 1 y=log_ax為遞減函數。

(3) y=logax的圖形必通過

( )

^{1,0 ，且以}y 軸為漸近線，圖形在 y 軸右方。

y a= 的圖形 x

(15)

6. 常用對數

(1) log x n α= + ， n 稱為首數，α 稱為尾數。真數 x 為正實數，首數 n 為整數， 0≤ < 。 α 1 (2) log x n α= +

若x ≥ ，且 x 的整數部分為1

m

^位數，則ⁿ= − 。

m

¹

若 0< < ，且 x 自小數點後第x 1

m

^{位始出現非零數字，則}

n

^{= −}

m

^。

排列組合

1. 加法原理

如果完成一件事僅有 n 類辦法，每一類辦法與其他類皆無關聯性，且每一類皆可獨立完成此一件事，則完成這件事的方法數為各類辦法的總和。

2. 乘法原理

如果完成一件事必須要 n 個步驟，每一步驟與其他步驟皆有關聯性，則完成這件事的方法數為完成各步驟方法數的乘積。

3. n 的階乘

( ) ( )

! 1 2 3 2 1

n n n= × − × − × × × × n 0! 1=

4. 相異物的直線排列

(

^!

)

_!

(

¹

) (

²

) (

¹

)

nr n

P n n n n r

= n r = × − × − × × − +

−

5. 完全相異物的直線排列

由 n 個不同的事物中取出 r 個排成一列，其方法數為P （ 0 r nⁿ_r ≤ ≤ ） 6. 不盡相異物的直線排列

若 n 個事物，可分成 r 類，每一類中的事物皆相同，其個數分別以

m

₁、

m

₂、…、

m

_r表示，

即n=

m m

₁+ ₂+ +

m

_r個事物排成一列，則其不同的排法有

1 2

!

! ! _r!

m m

n

m

7. 相異物的組合數

自 n 個不同的事物中，每次不重複地取 r 個為一組，則其組合數為

(

^!

)

! !

nr n

C = r n r

−

n n

r n r

C =C ₋ ；Cⁿ_n=C₀ⁿ= 1 8. 重複組合

自 n 類相異事物中，任取 r 個為一組，且每一類事物可以重複選取，則稱此種組合為 n 中取 r 的重複組合，其組合數為Hⁿ_r=C^{n r}_r^{+ −}¹

9. 二項式定理

(

^{x y}+

)

ⁿ =^{C x}⁰^{n n}+C x y C x y¹^{n n}⁻¹ + ²ⁿ ⁿ⁻^{2 2}+ +C x yⁿ^r ^{n r r}⁻ + +C yⁿⁿ ⁿ 其中第r + 項為1 C x yⁿ_r ^{n r r}⁻

(16)

機率與統計

1. 集合的運算

{ }

A B∪ = x x A∈ 或x B∈ 。

{ }

A B∩ = x x A∈ 且x B∈ 。

{ }

A B− = x x A∈ 但x B∉ 。 2. 取捨原理

設 A、 B 、 C 都是有限集合

(1) ^{n A B}

(

∪

) ( ) ( ) (

=n A n B n A B+ − ∩

)

。

(2) ^{n A B C}

(

∪ ∪

) ( ) ( ) ( ) (

=^{n A n B}+ +^{n C} −n A B n B C∩

) (

− ∩

) (

−n A C∩

) (

+n A B C∩ ∩

)

。 3. 古典機率的定義

事件 A為樣本空間 S 的部分集合，且 S 中每一基本事件發生的機會均等，則

( ) ( )

^{n A}

( )

P A = n S 。 4. 機率性質

(1) ^{P ∅ = ，}

( )

⁰ ^{P S = 。}

( )

¹

(2) A S⊂ ，則⁰^≤^{P A}

( )

^{≤ 。}¹

(3) 若 A′ 為 A的餘事件，則^{P A}

( )

^{′ = −}¹ ^{P A}

( )

^。

(4) 若 A、 B S⊂ ，則^{P A B}

(

^∪

)

⁼^{P A P B}

( ) ( ) (

⁺ ⁻^{P A B}^∩

)

^。

5. 條件機率

設 A、 B 為樣本空間 S 中的二事件，且P A > ，則在事件 A發生的情況下，事件 B 發生的

( )

⁰

條件機率為

( )

^{P A B}

⁽ _{( )} ⁾

^{n A B}

⁽ _{( )} ⁾

P B A

P A n A

∩ ∩

= =

6. 獨立事件

設 A、 B 為樣本空間S 中的二事件，若^{P A B}

(

^∩

)

⁼^{P A P B}

( ) ( )

^× ，則稱 A、 B 為獨立事件，否則稱為相關（或相依）事件。

（設 A、B 為獨立事件，則下列各組事件亦為獨立事件：(1) A′ 與 B；(2) A與 B′；(3) A′ 與 B′ ） 7. 數學期望值

一隨機試驗的^S⁼

{

^{a a}¹^{, , ,}² ^aⁿ

}

， S 中每一基本事件發生的機率為p 、1 p 、…、₂ p ，且每一_n 基本事件發生可得到的報酬為

m

₁^、

m

2^、…、

m

n^，則p1 1

m p m

⁺ 2 2^{+ +}

p m

n n^{稱為該試驗的期望}

值。

8. 資料整理的四個步驟

(1)分類 (2)歸類 (3)列表 (4)製圖

(17)

9. 統計資料的次數分配表編製步驟

(1) 求全距：資料中，最大數據與最小數據的差，叫做全距。

(2) 定組數：組數的多寡，視資料的範圍與特性而定，並無客觀的標準，一般分為5 ～15 組較恰當。

(3) 定組距：將資料分組，每一組的大小範圍，稱為組距，若採用相等的組距分組，則組距

= 全距組數。

(4) 定組限：每一組上下兩端的界限，稱為該組的組限，較小的一端稱為下限，較大的一端稱為上限。本書採用含下限不含上限的組限寫法，即 x 為某一組中的數據，其分組方式表為組下限 x≤ < 組上限。

(5) 歸類劃記：將每一個原始資料在對應的組內劃記，五劃為一小束，記成 //// 或一正字。

(6) 計算次數：歸類劃記後，計算各組次數，並將結果登記於表中的次數欄內。

10. 累積次數分配表

分為以下累積次數分配表與以上累積次數分配表，並進而編製累積相對次數分配表。

11. 圖表編製

(1) 利用次數分配表，可編製直方圖與次數分配折線圖。

(2) 利用相對次數分配表，可編製相對次數分配折線圖。

(3) 利用累積相對次數分配表，可編製累積相對次數分配曲線圖。

12. 算術平均數 (1) 未分組資料

設一群 n 筆數值資料x 、₁ x 、…、2 x ，其算術平均數為 n

1 2 1

n n i i

x x x x

X n ⁼n

+ + +

= =

∑

(2) 已分組資料

一群有 n 個數值的資料依序分成 k 組，各組的次數為 f 、₁ f 、…、₂ f ，每組的組中點為_k x 、1 x 、…、₂ x ，其算術平均數為 _k

(

^{1 1} ^{2 2}

)

1

1 1 ^k

k k i i

i

X f x f x f x f x

n n =

= + + + =

∑

^，^{n f}^{= + + +}¹ ^f² ^f^k

13. 加權算術平均數

設w 、₁ w 、…、₂ w 分別為一群數值_n x 、₁ x 、…、₂ x 的權數，則加權算術平均數為 _n

1 1 2 2 1

1 2

1 n n n i i i

w n

n i

i

w x w x w x w x

X w w w w

=

+ + +

= =

+ + +

∑

14. 中位數

將一群數值由小到大順序排列：

1 2 3 n

x x≤ ≤ ≤ ≤ x x 15. 百分等級

假設某一個資料數值，在全部資料中有 %k 的資料數值小於它（即它會勝過全部資料的 %k 個），而且有

(

¹⁰⁰⁻^k

)

^%的資料數值大於或等於它，我們稱這一個數值的百分等級為 k ，記作

PR k= 。

(18)

16. 四分位距

用 3 個分割點將一群排序後的資料分成四等份，

第1個分割點稱為第1四分位數，以Q 表示 ₁ 第 2 個分割點稱為第 2 四分位數，即中位數 Me 第 3 個分割點稱為第 3 四分位數，以Q 表示 ₃ 四分位距IQR Q Q= ₃− ₁

17. 母群體標準差

(1) 母群體的變異數

設母群體有 N 個資料數值x 、₁ x 、…、₂ x ，則母群體的變異數為 _N

( )

² ²

2 2

1 1

1 ^N 1 ^N

i i

x x

N N

σ μ μ

= =

⎛ ⎞

= − = ⎜ ⎟−

⎝ ⎠

∑ ∑

其中

1

1 ^N

i i

N x μ

=

∑

(2) 母群體標準差σ = σ² 18. 樣本標準差

(1) 樣本的變異數

設有一組 n 個樣本資料x 、₁ x 、…、₂ x ，則樣本的變異數為 _n

( )

² ² ²

2

1 1

n n

i i

S x X x nX

n = n =

⎛ ⎞

= −

∑

− = − ⎝⎜

∑

− ⎟⎠ 其中

1

1 ⁿ

i i

X x

n =

=

∑

(2) 樣本標準差S= S² 19. 線性變換

設有 n 個數值x 、₁ x 、…、2 x 的平均數為 X ，樣本標準差為n S ，將每個數值乘以 a ，再加x

上 b 成另一組數值y 、₁ y 、…、2 y ，即 n

i i

y ax b= + ，i = ， 2 ，…， n ， a 、 b∈» ，1 a ≠ 0 令新數值的算術平均數為Y ，標準差為S ，則有 _y (1)Y aX b= + (2)S_y = a S_x

（公式(2)中，母群體的標準差也有類似性質，即σ_y = aσ_x） 20. 常用的抽樣方法

(1)簡單隨機抽樣 (2)系統抽樣 (3)分層隨機抽樣 (4)部落抽樣 21. 常態分配

當資料的直方圖呈現如鐘形一樣，由中間往左、右兩邊對稱下降的情形，就說這組資料的分布是常態分配。曲線最高點的橫坐標就是母群體的算術平均數 μ 。

22. 68 95 99.7 規則 − −

對於常態分配的資料，平均數為μ ，標準差為σ ，則大約有 68% 的資料落在區間

[

^{μ σ μ σ}⁻ ^, ⁺

]

^內；

大約有95% 的資料落在區間

[

^μ⁻^{2 ,}^{σ μ}⁺²^σ

]

^內；

大約有 99.7% 的資料落在區間

[

^μ⁻^{3 ,}^{σ μ}⁺³^σ

]

^內。

(19)

23. 信賴區間

是用來評估調查的不確定性的指標，它是由抽樣的樣本所計算出來，用以推估有多少的信心說明母群體的平均數或百分比在此區間內，通常是用95% 的信賴區間來表示。

24. 95%的信心水準

不斷地重複抽取隨機樣本，隨著樣本不同，信賴區間也會隨樣本而改變，在眾多的區間當中，

約有 95% 的區間會涵蓋真正的母群體平均數或百分比。

(20)

數學公式卡 >>第四冊

圓

1. 圓的方程式

(1) 圓的標準式：

已知圓心為

( )

h k ，半徑為 r 的圓方程式為^,

(

^{x h}⁻

) (

²^{+ −}^{y k}

)

² ⁼^r²

(2) 圓的一般式：

凡是圓的方程式，都可化成x²+y²+dx ey f+ + = 的形式，稱為圓的一般式 0 2. 圓的判別式

二元二次方程式x²+ y²+dx ey f+ + = 由配方可得 0

( )

2 2

1 4

2 2 4

d e

x y d e f

⎛ + ⎞ ⎛+ + ⎞ = + −

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(1) 當d²+ −e² 4f > ，0 x²+y²+dx ey f+ + = 表一圓，圓心為0 , 2 2 d e

⎛− − ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠，半徑 1 ² ² 4

r= 2 d + −e f

(2) 當d²+ −e² 4f = ，0 x²+y²+dx ey f+ + = 表一點，此點為0 , 2 2 d e

⎛− − ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

(3) 當d²+ −e² 4f < ，0 x²+y²+dx ey f+ + = 沒有圖形 0 3. 圓的參數式

(1) 圓x²+y² = 的參數式為r² cos sin x r y r

θ θ

⎧ =

⎨ =⎩ 0≤ <θ 2π ，θ 為參數 (2) 圓

(

^{x h}⁻

) (

²^{+ −}^{y k}

)

²^{= 的參數式為}^r² ^⎧_{⎨ = +}^{x h r}_{y k r}^{= +} ^cos_sin_θ^θ

⎩ 0≤ <θ 2π ，θ 為參數 4. 圓與直線的關係

設直線L ax by c： + + =0，圓^C^：

(

^{x h}⁻

) (

²^{+ −}^{y k}

)

²⁼^r²^{，圓心 A，半徑}r ，則在平面上，圓與直線的關係有三種：

C 與 L 的關係相離 L 為切線 L 為割線

d 與r 的關係 ^{d A L}

(

^,

)

^>^r ^{d A L}

(

^,

)

⁼^r ^{d A L}

(

^,

)

^<^r

交點數 0 1 2

圖示

(21)

5. 圓的切線

(1) 經過圓內一點，沒有切線 (2) 經過圓上一點，只有一條切線 (3) 經過圓外一點，一定有兩條切線 6. 圓的切線方程式

(1) 過圓^C^：

(

^{x h}⁻

) (

²^{+ −}^{y k}

)

²⁼^r²^上一點P x y 的切線方程式為

(

0, 0

) (

x h x h0−

)(

− +

) (

y k y k0−

)(

−

)

= r²

(2) 過圓C x： ²+y²+dx ey f+ + =0上一點P x y 的切線方程式為

(

⁰^, ⁰

)

0 0

0 0 0

2 2

x x y y

x x y y d+ + ⎛⎜⎝ + ⎞⎟⎠+e⎛⎜⎝ + ⎞⎟⎠+ =f 7. 圓的切線段長

圓外一點P x y 到圓的切線段長：

(

⁰^, ⁰

)

(1) 若圓為標準式

(

^{x h}⁻

) (

²^{+ −}^{y k}

)

²^{= ，切線段長}^r² ⁼

(

^{x h}⁰⁻

) (

²⁺ ^{y k}⁰⁻

)

²⁻^r²

(2) 若圓為一般式x²+ y²+dx ey f+ + = ，切線段長0 = x₀²+ y₀²+dx ey₀+ ₀+ f

二次曲線

1. 拋物線的標準式及性質 (1) 拋物線標準式：y² =4cx

若c > ，則拋物線開口向右； 0 頂點：

( )

^0,0

若c < ，則拋物線開口向左 0

焦點：^{F c}

( )

^,0 ^{準線： x}^{= −}^c

軸：y = 0 正焦弦長： 4 c (2) 拋物線標準式：x² =4cy

若c > ，則拋物線開口向上； 0 頂點：

( )

^0,0

若c < ，則拋物線開口向下 0

焦點：^F

( )

^0,^c ^{準線： y}^{= −}^c

軸：x = 0 正焦弦長：4 c (3) 拋物線方程式：

(

^{y k}⁻

)

² ⁼⁴^{c x h}

(

⁻

)

若c > ，則拋物線開口向右； 0 頂點：

( )

^{h k}^,

若c < ，則拋物線開口向左 0

焦點：

(

^{c h k}⁺ ^,

)

^{準線： x}^{= − +}^{c h}

軸： y k= 正焦弦長：4 c

(22)

(4) 拋物線方程式：

(

^{x h}⁻

)

² ⁼⁴^{c y k}

(

⁻

)

若c > ，則拋物線開口向上； 0 頂點：

( )

^{h k}^,

若c < ，則拋物線開口向下 0

焦點：

(

^{h c k}^, ⁺

)

^{準線： y}^{= − +}^{c k}

軸： x h= 正焦弦長：4 c 2. 橢圓的標準式及性質

(1) 橢圓標準式： x²₂ y₂² 1 a +b =

中心：

( )

^0,0 ^a² ^{= +}^b² ^c²

長軸長： 2a ，長軸頂點：

(

^±^a^,0

)

短軸長： 2b ，短軸頂點：

(

^{0, b}^±

)

焦點：

(

^±^c^,0

)

^{正焦弦長：}^2b_a²

(2) 橢圓標準式： x²₂ y₂² 1 b + a =

中心：

( )

^0,0 ^a² ^{= +}^b² ^c²

(

^{0, a}^±

)

(

^±^b^,0

)

焦點：

(

^{0, c}^±

)

(3) 橢圓方程式：

( ) (

²

)

²

2 2 1

x h y k

a b

− −

+ =

中心：

( )

^{h k}^, ^a² ^{= +}^b² ^c²

(

^{± +}^{a h k}^,

)

(

^{h b k}^,^{± +}

)

焦點：

(

^{± +}^{c h k}^,

)

(4) 橢圓方程式：

( ) (

²

)

²

2 2 1

x h y k

b a

− −

+ =

中心：

( )

^{h k}^, ^a² ^{= +}^{b c}² ²

(

^{h a k}^,^{± +}

)

(

^{± +}^{b h k}^,

)

焦點：

(

^{h c k}^,^{± +}

)

3. 雙曲線的標準式及性質

(1) 雙曲線標準式：x²₂ y₂² 1 a −b =

中心：

( )

^0,0 ^c² ⁼^{a b}²⁺²

貫軸長： 2a ，貫軸頂點：

(

^±^a^,0

)

共軛軸長： 2b ，共軛軸頂點：

(

^{0, b}^±

)

焦點：

(

^±^c^,0

)

(23)

(2) 雙曲線標準式： y₂² x²₂ 1 a −b =

中心：

( )

^0,0 ^c² ⁼^{a b}²⁺²

貫軸長：2a ，貫軸頂點：

(

^{0, a}^±

)

共軛軸長： 2b ，共軛軸頂點：

(

^±^b^,0

)

焦點：

(

^{0, c}^±

)

(3) 雙曲線方程式：

( ) (

²

)

²

2 2 1

x h y k

a b

− −

− =

中心：

( )

^{h k}^, ^c² ⁼^{a b}²⁺²

貫軸長：2a ，貫軸頂點：

(

^{± +}^{a h k}^,

)

共軛軸長：2b，共軛軸頂點：

(

^{h b k}^,^{± +}

)

焦點：

(

^{± +}^{c h k}^,

)

(4) 雙曲線方程式：

( ) (

²

)

²

2 2 1

y k x h

a b

− −

− =

中心：

( )

^{h k}^, ^c² ⁼^{a b}²⁺²

貫軸長： 2a ，貫軸頂點：

(

^{h a k}^,^{± +}

)

共軛軸長：2b，共軛軸頂點：

(

^{± +}^{b h k}^,

)

焦點：

(

^{h c k}^,^{± +}

)

4. 雙曲線的漸近線

(1) 令雙曲線 x²₂ y₂² 1

a −b = ± 的常數項為0，雙曲線的漸近線為 x y 0 a b± = (2) 令雙曲線

( ) (

²

)

²

2 2 1

x h y k

a b

− −

− = ± 的常數項為 0 ，雙曲線的漸近線為x h y k 0

a b

− ± − =

微分

1. 函數的極限

如果 x→a（但 x a≠ ）時，會有 ^{f x}

( )

→ ；則稱 x 趨近 a 時^L f x 的極限為 L，以

( ) lim

_{x a}_→ ^{f x}

( )

⁼^L

表示之

2. 函數極限的性質

設

lim

_{x a}_→ ^{f x}

( )

^{= ，}^L

lim

_{x a}_→ ^{g x}

( )

⁼^M ^，則

(1)

lim

_{x a}_→ ^{c c}= （ c 為定數）

(2)

lim

_{x a}_→ ^{cf x}

( )

⁼^c

lim

_{x a}_→ ^{f x}

( )

⁼^cL^{（ c 為定數）}

(3)

lim

_{x a}_→

(

f x

( ) ( )

±g x

)

=

lim

_{x a}_→ f x

( )

±

lim

_{x a}_→ g x

( )

= ±L M (4)

^lim

_{x a}_→

(

^{f x g x}

( ) ( ) )

⁼

^lim

_{x a}_→ ^{f x}

^{( )} ^lim

_{x a}_→ ^{g x}

^{( )}

⁼^LM

(5)

( )

( ) ( )

( ) lim

^{x a}

lim lim

^{x a}_{x a}

f x f x L g x ^→ g x M

→

= = （M ≠ ） 0

(24)

3. 函數的左、右極限

(1) 右極限：當 x a> 且 x→ ，會使得a ^{f x}

( )

→ ，則我們稱 L 為^L f x 於 a 的右極限，記作

( ) lim ( )

x a₊ f x L

→ =

(2) 左極限：當 x a< 且 x→ ，會使得a ^{f x}

( )

^→^M ^{，則我們稱 M 為} f x 於 a 的左極限，記作

( ) lim ( )

x a₋ f x M

→ =

4. 函數的連續性

函數 f x 若滿足下列三個條件，則稱函數

( )

^{f x 於點 x a}

( )

^{= 為連續：}

(1) ^{f a 存在 (2)}

( ) lim

_{x a}_→ ^{f x}

( )

^{存在 (3)}

lim

_{x a}_→ ^{f x}

( )

⁼ ^{f a}

( )

5. 導數的意義

(1) 導數： a 為函數 f x 定義域內一點，

( )

^{f x 在 x a}

( )

^{= 處的導數以} ^{f a}^′

( )

^{表示之，且}

( ) lim

_{x a} ^{f x}

( ) ( )

^{f a}

f a ^→ x a

′ = −

−

( ) ( ) ( )

lim

_h 0 ^{f a h} ^{f a}

f a ^→ h

′ = + −

(2) 導數的幾何意義： ^{f a}^′

( )

^為曲線 ^{y f x}⁼

( )

^在點

(

a f a 的切線斜率。過曲線上一點^,

( ) ) (

^{a f a}^,

( ) )

^{的切線方程式為}^{y f a}⁻

^{( )}

⁼ ^{f a x a}^′

^{( )(}

⁻

⁾

(3) 導數的物理意義：設運動物體的位移函數為 ^{f t ，速度函數為}

( )

v t ，加速度函數為

( )

^{a t ，}

( )

則 ^{f t}^′

( ) ( )

⁼^{v t} ^，^{v t}^′

( ) ( )

⁼^{a t}

(4) 可微分與連續的關係：

可微分的函數一定是連續函數

連續函數不一定可微分 6. 微分公式

設下列公式中的函數 ^{f x 與}

( )

g x 都是可微分函數：

( )

(1) 若 ^{f x}

( )

^{= ，則}^xⁿ ^{f x}^′

( )

⁼^nxⁿ⁻¹^{（ n 為有理數）}

(2) 若 ^{f x}

( )

^{= ，則}^k ^{f x}^′

( )

= （ k 為常數） ⁰

(3) 若^{F x}

( )

⁼^{kf x}

( )

^，則^{F x}^′

( )

⁼^{kf x}^′

( )

^{（ k 為常數）}

(4) 若^{F x}

( )

⁼ ^{f x}

( ) ( )

^±^{g x} ^，則^{F x}^′

( )

⁼ ^{f x}^′

( )

^±^{g x}^′

( )

(5) 若^{F x}

( )

⁼ ^{f x g x}

( ) ( )

^，則^{F x}^′

( )

⁼ ^{f x g x}^′

( ) ( ) ( ) ( )

⁺ ^{f x g x}^′

(6) 若

( ) ( ) ( )

F x f x

= g x （其中^{g x ≠ ），則}

( )

⁰

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

²

f x g x f x g x

F x g x

′ − ′

′ =

⎡ ⎤

⎣ ⎦

(7) 連鎖規則：設^{F x}

( )

⁼^{g f x}

( ( ) )

^且 ^{f x}^′

^{( )}

^、^{g f x}^′

( ( ) )

^{均存在，則}^{F x}^′

( )

⁼ ^{g f x f x}^′

( ( ) )

^′

( )

(8) 設 n 為有理數， f x 為可微分函數，若

( )

^{F x}

( )

⁼

(

^{f x}

( ) )

ⁿ^，則^{F x}^′

^{( )}

⁼^{n f x}

( ^{( )} )

ⁿ⁻¹ ^{f x}^′

^{( )}

(25)

7. 高階導函數

(1) 第一階導函數： ^{f x}^′

( )

^、_dx^{d f x}

( )

^{、 y′ 、 dy}_dx

(2) 第二階導函數： ^{f x}^′′

( )

^、 d f x²2

( )

dx 、 y′′、d y²₂ dx (3) 第三階導函數： ^{f x}^′′′

( )

^、 d f x³3

( )

dx 、 y′′′ 、d y³₃ dx (4) 第 n 階導函數： ^f^{( )}ⁿ

( )

^{x 、} d f xⁿn

( )

dx 、y 、^{( )}ⁿ d yⁿ_n dx 8. 函數的遞增與遞減

(1) 遞增函數

函數 f x 具有下列性質，我們稱之為遞增函數：

( )

x1< 則x2 ^{f x}

( )

¹ ^≤ ^{f x}

( )

²

函數的圖形由左方往右方上升

若 ^{f x 於開區間}

( ) ( )

a b 內每一點都可微分，且^, ^{f x}^′

( )

^{> ，則}⁰ ^{f x 在區間}

( ) ( )

^{a b 內為遞}^,

增函數 (2) 遞減函數

函數 f x 具有下列性質，我們稱之為遞減函數：

( )

x1< 則x2 ^{f x}

( )

¹ ^≥ ^{f x}

( )

²

函數的圖形由左方往右方下降

( ) ( )

a b 內每一點都可微分，且^, ^{f x}^′

( )

^{< ，則}⁰ ^{f x 在區間}

( ) ( )

^{a b 內為遞}^,

減函數 9. 函數的極值

(1) 最大值（絕對極大值）：若函數 f x 定義域中的每個 x，

( )

^{f x}

( )

^≤ ^{f x}

( )

⁰ ^{都成立，則稱} ^{f x}

( )

⁰

是函數 ^{f x 的最大值}

( )

(2) 最小值（絕對極小值）：若函數 f x 定義域中的每個 x，

( )

^{f x}

( )

^≥ ^{f x}

( )

⁰ ^{都成立，則稱} ^{f x}

( )

⁰

是函數 ^{f x 的最小值}

( )

(3) 極大值（相對極大值）：在函數 f x 的定義域中，存在一開區間包含

( )

x ，使得此開區間0

內的任意 x ，滿足 ^{f x}

( )

^≤ ^{f x}

( )

⁰ ^，則稱 ^{f x 為}

( )

⁰ f x 的一個極大值

( )

(4) 極小值（相對極小值）：在函數 f x 的定義域中，存在一開區間包含

( )

x ，使得此開區間₀ 內的任意 x ，滿足 f x

( )

≥ f x

( )

0 ，則稱 f x 為

( )

0 f x 的一個極小值

( )

10. 利用導函數判別極大、極小值

(1) 函數 ^{f x 在 x a}

( )

⁼ ^時，且 ^{f a}^′

( )

^{= ：}⁰

若 x a< ，且 ^{f x}^′

( )

> ，即在 a 的左方，⁰ f x 為遞增函數；

( )

若 x a> ，且 ^{f x}^′

( )

< ，即在 a 的右方，⁰ f x 為遞減函數，

( )

且^{f a 為函數}

( )

f x 的一個極大值

( )

若 x a< ，且 ^{f x}^′

( )

< ，即在 a 的左方，⁰ f x 為遞減函數；

( )

若 x a> ，且 ^{f x}^′

( )

> ，即在 a 的右方，⁰ f x 為遞增函數，

( )

且^{f a 為函數}

( )

f x 的一個極小值

( )

(26)

(2) 設函數 ^{f x 在 x a}

( )

^{= 時，} ^{f a}^′

( )

^{= 且}⁰ ^{f a}^′′

( )

^存在，

若^{f a}^′′

( )

^{< ，則}⁰ ^{f x 在 x a}

( )

^{= 有極大值} ^{f a}

( )

若 ^{f a}^′′

( )

^{> ，則}⁰ ^{f x 在 x a}

( )

^{= 有極小值} ^{f a}

( )

11. 函數圖形的凹向與函數圖形的描繪

(1) 函數圖形的凹向：設函數 ^{f x 在開區間}

( ) ( )

a b 內可微分，c 為開區間^,

( )

^{a b 內任一點，過}^,

點

(

^{c f c}^,

( ) )

^作 f x 的切線 L ：

( )

若^{f x 於開區間}

( ) ( )

a b 內的圖形均在切線 L 上方，則稱凹口向上 ^,

( ) ( )

a b 內的圖形均在切線 L 下方，則稱凹口向下 ^,

(2) 導函數與函數圖形凹向的關係：設函數 ^{f x 於開區間}

( ) ( )

a b 內可微分，且 c 為^,

( )

^{a b 內任}^,

一點：

若 ^{f c}^′′

( )

^{> ，則}⁰ ^{f x 的圖形於點}

( ) (

c f c 為凹口向上 ^,

( ) )

若 ^{f c}^′′

( )

^{< ，則}⁰ ^{f x 的圖形於點}

( ) (

c f c 為凹口向下 ^,

( ) )

(3) 反曲點：函數 ^{f x 在 x c}

( )

= 的附近都可微分，且 f x 的圖形在 x c

( )

= 的左、右兩方凹性改變，則稱點

(

^{c f c 為}^,

( ) )

f x 的反曲點或拐點

^{( )}

(4) 導函數與反曲點的關係：

若點

(

^{c f c 為}^,

( ) )

^{f x 的反曲點，則}

( )

^{f c}^′′

( )

⁼⁰

(5) 描繪函數圖形：在描繪函數圖形前，先將下列資料列表討論遞增、遞減函數的範圍

極大值與極小值，即圖形的最高點與最低點位置

圖形的凹向

積分

1. 無窮數列的極限

(1) 無窮數列 a 收斂於α ，當 n → ∞ 時，_n a_n → 或α

lim

n an α

→∞ =

(2) 無窮數列 a 不收斂，就是發散，即_n

lim

n an

→∞ 不存在

2. 數列極限的性質設

lim

n an α

→∞ = ，

lim

n bn β

→∞ = ，α 、 β 為兩定數，則 (1)

lim

n kan kα

→∞ = ， k 為定數

(2)

lim

n

(

a bn n

) lim

n an

lim

n b α βn

→∞ + = →∞ + →∞ = + (3)

lim

n

(

a bn n

) lim

n an

lim

n b α βn

→∞ − = →∞ − →∞ = − (4)

lim

n

(

a bn n

) lim

n an

lim

n b αβn

→∞ × = →∞ × →∞ =

(5) 若β ≠ ，則0

lim lim lim

n n n

n n n n

a a

b b

α β

→∞

= =

(6) 若對任何 n 且a_n ≥ ，則b_n

lim

an ≥

lim

bn

(27)

3. 分式型數列的極限

設a ≠ ，_s 0 b ≠ ， s 、 t 為自然數或 0 ，若_t 0 a 的一般項_n ¹ ₁¹ ¹ ⁰

1 1 0

s s

n t t

t t

a n a n a n a a b n b n b n b

− −

+ + + +

= + + + + ，

則

0

lim

n ^s

n t

s t

a a s t

b

s t

→∞

⎧= <

⎪⎪= =

⎨⎪

⎪ >

⎩

，若

，若不存在，若 4. 等比數列的發散與收斂

無窮等比數列 r ⁿ

(1) 當 1− < ≤ 時，r 1 r 為收斂數列 ⁿ (2) 當r ≤ − 或1 r > 時，1 r 為發散數列 ⁿ 5. 夾擠定理

數列 a 、_n b 、_n c ，若滿足_n a_n≤ ≤ （b_n c_n n =1, 2, 3, ），且

lim

n_→∞an=

lim

n_→∞cn = ，則α

lim

n_→∞b αn= 6. 無窮等比級數

無窮等比級數 ¹ ² ¹

1

k n

k

ar a ar ar ar

∞ − −

=

= + + + + +

∑

(1) 當 r < 時，1 ¹

1 1

k k

ar a

r

∞ −

=

= −

∑

^{，且為收斂級數}

(2) 當 r ≥ 時，1 ¹

1 k k

∞ ar

−

∑

= 無法求和，且為發散級數 7. 定積分

函數 ^{f x 在閉區間}

( ) [ ]

a b 上的定積分，以^,

∫

^b_a^{f x dx}

( )

表示之，a 稱為下限，b 稱為上限，^{f x}

( )

稱為被積分式，且定義

∫

^b_a^{f x dx}

( )

^{= −}

∫

^a_b^{f x dx}

( )

8. 定積分的性質

(1)

∫

^b_a^{kdx k b a}⁼

(

⁻

)

^{， k 為定數}

(2)

∫

^a_a^{f x dx =}

( )

⁰

(3)

∫

^b_a^{kf x dx k}

( )

⁼

∫

^b_a^{f x dx}

( )

^{， k 為定數}

(4)

∫

^b_a^⎡_⎣^{f x}

( ) ( )

^±^{g x dx}^⎤_⎦ ⁼

∫

^b_a^{f x dx}

( )

^±

∫

^b_a^{g x dx}

( )

(5)

∫

^b_a^{f x dx}

( )

⁼

∫

^c_a^{f x dx}

( )

⁺

∫

^b_c^{f x dx}

( )

^{（ a c b}^{< <} ^）

9. 不定積分

(1) 反導函數（不定積分）：設^{F x}^′

( )

⁼ ^{f x}

( )

^，則^{F x 稱為}

( )

f x 的反導函數或不定積分，通

( )

常記為

∫

f x dx F x c

( )

=

( )

+ ^{， c 為常數} (2) 單項不定積分公式：若n ≠ − ，1 ¹

1

n xn

x dx c n

= + +

∫

+ ^{， c∈»}

(28)

(3) 代換積分法：

1

n un

u du c n

= + +

∫

+ ^，其中n ≠ − ， u 為 x 的函數， c∈» ¹ 10. 微積分基本定理

設多項函數 ^{f x 於閉區間}

( ) [ ]

^{a b 中，且}^, ^{F x}^′

( )

⁼ ^{f x}

( )

^，則

∫

^b_a^{f x dx F x}

( )

⁼

( )

^b_a ⁼^{F b F a}

( ) ( )

⁻

11. 曲線所夾面積

(1) 多項函數 f x 與 x 軸間之面積：函數

( )

^{y f x}⁼

( )

^{的圖形、 x a}^{= 、 x b}= 與 x 軸所圍成區域的面積為

∫

^b_a ^{f x dx}

( )

(2) 兩多項函數^{y f x}⁼

( )

^與 ^{y g x}⁼

( )

圖形之間的面積：兩曲線^{y f x}⁼

( )

^與 ^{y g x}⁼

( )

^在區間

[ ]

a b 所圍成區域的面積為^,

∫

^b_a ^{f x}

( ) ( )

⁻^{g x dx}

直線方程式

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