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单摆问题:

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Academic year: 2022

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(1)

非线性物理:

非线性物理:基础知识--相空间基础知识--相空间

单摆问题:

无阻尼单摆例子,哈密顿H为:

x q

, x p

frequency, rinsic

int

&

angle x

p /

H q

, q /

H p

, x cos 2

/ x V

K H

0

2 0 2



• 无阻尼单摆例子,运动方程为:

0 x

sin x

t 0

H

2

0

 

= x

(2)

非线性物理:

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• 平衡位置:

• 系统势能在一个固定范围内交替变化:

,...) 2

, 1 , 0 n

( n x

, 0

x

e

e

    





 

V , x n ( n 0 )

) 0 n

( n x

, x V

cos )

x ( V

e 2

0 max

e 2

0 2 min

0

 

 

(3)

非线性物理:

非线性物理:基础知识--相空间基础知识--相空间

• 势能曲线:

• 系统在 H=02 处出现分界:

) 4arctan(e

x

0 x

0, t

for

) 2 / x cos(

2 x

x cos 2

/ x

0 x

), 1 n

( n x

t 0

2 0 2

0 2

e e

0

(4)

非线性物理:

非线性物理:基础知识--相空间基础知识--相空间

• 分界线将系统动力学分成单摆与圆周运动两个区域: H<02 来回摆动, H>02 时,圆周运动。

• 摆动初始位置 x0



,摆动周期越长,除非给定初速:H>

02

(5)

非线性物理:

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• 相空间相图:

(6)

非线性物理:

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• 对于分界线性质,可求解分界方程看摆动速度与时间的关系:

) t cosh(

) 2 t ( v x

)

4arctan(e x

) t cosh(

1 2

cos x )

x tan 1

(

x tan x 2

2 sin

0 t 0

0 2

0

 

    

 

(7)

非线性物理:

非线性物理:基础知识--相空间基础知识--相空间

我们得到所谓的孤波解(Soliton):物理学家如何孤波?

) t cosh(

) 2 t ( v x

0

0

 

(8)

非线性物理:

非线性物理:基础知识--相空间基础知识--相空间

• 当单摆存在阻尼时:

0 2 

02

    

2

 2   

02

 0

2 0 2

2 ,

1

  

     

02

2

1,2

   i

) cos(  

  Pe

t

)]

sin(

) cos(

[      

    Pe

t

t   t

(9)

非线性物理:

非线性物理:基础知识--相空间基础知识--相空间

• 存在阻尼时的相空间相图:

无阻尼时

(10)

非线性物理:

非线性物理:基础知识--相空间基础知识--相空间

相空间:

• 绝大多数非线性问题要么找不到描述的微分方程,要么微分方 程无解。建立空间几何分析图像比较有效。

• 动力学系统满足牛顿力学:

用位置 x(t) 和速度 v 就可以完全描述系统状态,用平面(x,y)上 的点表示这个状态,即(x,y)空间是相空间。

(11)

非线性物理:

非线性物理:基础知识--相空间基础知识--相空间

• 因此,一般地一个动力系统总可以化成相空间的一阶微分方程 组:

因为不显含时间 t,定义为自治动力系统;速度场与 t 无关,定 常系统。

(12)

非线性物理:

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• 非自治动力系统可以化成更高维自治动力系统:

(13)

非线性物理:

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保守系统、耗散系统、吸引子:

保守系统指系统总能量与时间 t 无关,如无阻尼系统:

H是哈密顿量。系统能量性质也可以通过速度流来表征:

(14)

非线性物理:

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divv=0表示保守系统,相空间体积V在运动中保持不变。divv<0 表示耗散系统,相空间体积随时间缩小。

(15)

非线性物理:

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• 耗散系统--以阻尼单摆为例:

• 保守系统:

• 状态的归宿是耗散系统的吸引子:点 或 曲线 或 曲面。

(16)

非线性物理:

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定常状态:

• 非线性动力系统的求解一般很难,作定性分析的第一步是研究 定常态(空间每一点只有一个速度矢量):

• 以一维动力系统为例:

(17)

非线性物理:

非线性物理:基础知识--相空间基础知识--相空间

两个定常态:x*=0和x*=1。

x代表驱动力,

x2代表耗散力。对于定常态的微小扰动是:

是雅可比矩阵在 x=x* 处的特征值。

Re

>0:驱动力大于耗散力,

x 随时间 t 增加;

Re

<0:驱动力小于耗散力,

x 随时间 t 减小。

(18)

非线性物理:

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• 在两个定常态处,特征值为:

轨迹、吸引子及分叉 (

=0) 图:

(19)

非线性物理:

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• 二维线性动力系统:

定常态为(0, 0)。变换成一维是非线性系统,得到:

第一项是加速度,第二项是阻尼,第三项是回复力(负驱动力)。

(20)

非线性物理:

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• 速度散度为负,如果有阻尼的话,因此是耗散系统。

• 特征方程和雅可比矩阵为:

(21)

非线性物理:

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• 特征行列式和特征根:

• 定常态的稳定性决定于特征根的实部正负。参数相空间不但分成 四个象限,也被 p2=4q 分界。

• 参数相空间的稳定性轨迹如下图:

(22)

非线性物理:

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(23)

非线性物理:

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参数平面(p, q)第一象限。正阻 尼+正恢复力,分成阻尼系数p较 大和较小两部分,被p2=4q分割

。是共轭复根,实部为负:

Re<0,定常态(0, 0)是稳定吸引子。 p2<4q

时,

附近轨道螺旋振 荡趋于定常态,称为稳定的焦点(focus)。

如果p2>4q, 是两个负实根,(0, 0)为稳定的结点(node)。

(24)

非线性物理:

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(p, q)第二象限。负阻尼+正恢复力,

被p2=4q分割:(1) 是共轭复根且实 部为正(|p|较小),(2) 为两个正实数 (|p|较大)。(0, 0)为不稳定排斥子,称 为不稳定焦点和不稳定结点。

第三、第四象限,q<0表示负恢复力,为实数,一正一负。附近 轨道一个向外发散,一个向内收敛。(0, 0)不稳,鞍点(saddle)。

(25)

非线性物理:

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(p, q)第一和第二象限交界处p=0,即无阻尼,是纯虚根,(0, 0) 附近的轨线是闭合的,不会趋向原点,(0, 0)称为中心点。

• 特征根与轨迹线的对应关系如图:

(26)

非线性物理:

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• 对于三维自治动力系统:

• 其定常态的雅可比矩阵特征值满足三次方程:

• 如果:

• 则三根为实根,定常态附近轨迹为:

(27)

非线性物理:

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• 如果

>0,则有一实根、两个共轭复根,轨迹线如下图:

(28)

非线性物理:

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• 对于三维自治动力系统:

(29)

非线性物理:

非线性物理:基础知识--相空间基础知识--相空间

• 三维自治动力系统对应的微分方程为:

其速度散度为 div v=-a=

1+

2+

3。如果a=0,则如果

=4b3+27c2>0,也会出现鞍-焦点。

这一结果证明无论保守系统还是耗散系统都可能出现鞍-焦点。

(30)

非线性物理:

非线性物理:基础知识--相空间基础知识--相空间

(

)

宿轨道:

• 定常态及其相应的轨迹只是局域性质的,而一个动力系统广域上 可能存在多个定常态。

• 多个定常态及其周围轨迹相互关联构成动力系统整体流场的斑图 (pattern)。定常态之间存在相互转化轨道,分为同宿/异宿轨道。

同宿轨道(homoclinic orbit)指 t 时趋于同一状态的轨道。

t+时为同宿轨道的

极限集, t-时为

极限集。

t+和t-时分别趋向不同定常态为异宿轨道(heteroclinic)。

(31)

非线性物理:

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• 在三维相空间也 存在类似的同宿/

异宿轨道演化:

(32)

非线性物理:

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混沌轨道:

• 在一维和二维动力系统不可能形成混沌轨道,只有三维才可能。

• 混沌轨道是有界轨道,不能趋于无穷,且相邻轨道会按指数相互 分离。

以Lorentz方程为例分析:

Pr、Ra和b是Prantdl数、Rayleigh 数和正常数。

(x, y, z)代表三维相空间。

(33)

非线性物理:

非线性物理:基础知识--相空间基础知识--相空间

• 速度散度为:

所以-Prx, -y, -bz项是耗散力;Rax是负恢复力(驱动力),因为:

xy和xz就是非线性项了,因此Lorentz方程含有驱动力、耗散力和 非线性作用。随着Ra增加,驱动力增大,将导致分叉和混沌。

• 三个定常态:

(34)

非线性物理:

非线性物理:基础知识--相空间基础知识--相空间

取b=8/3,Pr=10为例,当0Ra<1时,定常态O是稳定结点,C1,2 不存在于实空间:

(35)

非线性物理:

非线性物理:基础知识--相空间基础知识--相空间

在1<Ra<1.346区间,O点失稳,C1,2出现并是稳定结点,O与C1O与C2之间形成鞍-结异宿轨道:

(36)

非线性物理:

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在1.346<Ra<13.926区间,C1,2变成稳定焦点,O与C1和O与C2间形成鞍-焦异宿轨道。此时C1和C2代表对流状态,但是对流没 有回环:

(37)

非线性物理:

非线性物理:基础知识--相空间基础知识--相空间

在13.926<Ra<24.74区间,C1,2变成不稳定的极限环,O与C1和O 与C2之间形成异宿轨道,呈现对流状态:

(38)

非线性物理:

非线性物理:基础知识--相空间基础知识--相空间

Ra>24.74时,耗散力与驱动力竞争使得C1,2变成鞍-焦点,O与C1 和O与C2之间形成同宿轨道,空间轨道出现伸长与折叠,混沌出 现:

(39)

參考文獻

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