非线性物理:
非线性物理:基础知识--相空间基础知识--相空间
单摆问题:
• 无阻尼单摆例子,哈密顿H为:
x q
, x p
frequency, rinsic
int
&
angle x
p /
H q
, q /
H p
, x cos 2
/ x V
K H
0
2 0 2
• 无阻尼单摆例子,运动方程为:
0 x
sin x
t 0
H
20
= x非线性物理:
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• 平衡位置:
• 系统势能在一个固定范围内交替变化:
,...) 2
, 1 , 0 n
( n x
, 0
x
e
e
V , x n ( n 0 )
) 0 n
( n x
, x V
cos )
x ( V
e 2
0 max
e 2
0 2 min
0
非线性物理:
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• 势能曲线:
• 系统在 H=02 处出现分界:
) 4arctan(e
x
0 x
0, t
for
) 2 / x cos(
2 x
x cos 2
/ x
0 x
), 1 n
( n x
t 0
2 0 2
0 2
e e
0
非线性物理:
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• 分界线将系统动力学分成单摆与圆周运动两个区域: H<02 时 来回摆动, H>02 时,圆周运动。
• 摆动初始位置 x0
,摆动周期越长,除非给定初速:H>
02。非线性物理:
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• 相空间相图:
非线性物理:
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• 对于分界线性质,可求解分界方程看摆动速度与时间的关系:
) t cosh(
) 2 t ( v x
)
4arctan(e x
) t cosh(
1 2
cos x )
x tan 1
(
x tan x 2
2 sin
0 t 0
0 2
0
非线性物理:
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• 我们得到所谓的孤波解(Soliton):物理学家如何孤波?
) t cosh(
) 2 t ( v x
0
0
非线性物理:
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• 当单摆存在阻尼时:
0 2
02
2 2 02 0
2 0 2
2 ,
1
02
2
1,2 i
) cos(
P e
t
)]
sin(
) cos(
[
P e
tt t
非线性物理:
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• 存在阻尼时的相空间相图:
无阻尼时
非线性物理:
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相空间:
• 绝大多数非线性问题要么找不到描述的微分方程,要么微分方 程无解。建立空间几何分析图像比较有效。
• 动力学系统满足牛顿力学:
• 用位置 x(t) 和速度 v 就可以完全描述系统状态,用平面(x,y)上 的点表示这个状态,即(x,y)空间是相空间。
非线性物理:
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• 因此,一般地一个动力系统总可以化成相空间的一阶微分方程 组:
• 因为不显含时间 t,定义为自治动力系统;速度场与 t 无关,定 常系统。
非线性物理:
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• 非自治动力系统可以化成更高维自治动力系统:
非线性物理:
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保守系统、耗散系统、吸引子:
• 保守系统指系统总能量与时间 t 无关,如无阻尼系统:
• H是哈密顿量。系统能量性质也可以通过速度流来表征:
非线性物理:
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• divv=0表示保守系统,相空间体积V在运动中保持不变。divv<0 表示耗散系统,相空间体积随时间缩小。
非线性物理:
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• 耗散系统--以阻尼单摆为例:
• 保守系统:
• 状态的归宿是耗散系统的吸引子:点 或 曲线 或 曲面。
非线性物理:
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定常状态:
• 非线性动力系统的求解一般很难,作定性分析的第一步是研究 定常态(空间每一点只有一个速度矢量):
• 以一维动力系统为例:
非线性物理:
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• 两个定常态:x*=0和x*=1。
•
x代表驱动力,
x2代表耗散力。对于定常态的微小扰动是:•
是雅可比矩阵在 x=x* 处的特征值。• Re
>0:驱动力大于耗散力,
x 随时间 t 增加;• Re
<0:驱动力小于耗散力,
x 随时间 t 减小。非线性物理:
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• 在两个定常态处,特征值为:
• 轨迹、吸引子及分叉 (
=0) 图:非线性物理:
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• 二维线性动力系统:
• 定常态为(0, 0)。变换成一维是非线性系统,得到:
• 第一项是加速度,第二项是阻尼,第三项是回复力(负驱动力)。
非线性物理:
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• 速度散度为负,如果有阻尼的话,因此是耗散系统。
• 特征方程和雅可比矩阵为:
非线性物理:
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• 特征行列式和特征根:
• 定常态的稳定性决定于特征根的实部正负。参数相空间不但分成 四个象限,也被 p2=4q 分界。
• 参数相空间的稳定性轨迹如下图:
非线性物理:
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非线性物理:
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• 参数平面(p, q)第一象限。正阻 尼+正恢复力,分成阻尼系数p较 大和较小两部分,被p2=4q分割
。是共轭复根,实部为负:
• Re<0,定常态(0, 0)是稳定吸引子。 p2<4q
时,
附近轨道螺旋振 荡趋于定常态,称为稳定的焦点(focus)。• 如果p2>4q, 是两个负实根,(0, 0)为稳定的结点(node)。
非线性物理:
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• (p, q)第二象限。负阻尼+正恢复力,
被p2=4q分割:(1) 是共轭复根且实 部为正(|p|较小),(2) 为两个正实数 (|p|较大)。(0, 0)为不稳定排斥子,称 为不稳定焦点和不稳定结点。
• 第三、第四象限,q<0表示负恢复力,为实数,一正一负。附近 轨道一个向外发散,一个向内收敛。(0, 0)不稳,鞍点(saddle)。
非线性物理:
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• (p, q)第一和第二象限交界处p=0,即无阻尼,是纯虚根,(0, 0) 附近的轨线是闭合的,不会趋向原点,(0, 0)称为中心点。
• 特征根与轨迹线的对应关系如图:
非线性物理:
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• 对于三维自治动力系统:
• 其定常态的雅可比矩阵特征值满足三次方程:
• 如果:
• 则三根为实根,定常态附近轨迹为:
非线性物理:
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• 如果
>0,则有一实根、两个共轭复根,轨迹线如下图:非线性物理:
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• 对于三维自治动力系统:
非线性物理:
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• 三维自治动力系统对应的微分方程为:
• 其速度散度为 div v=-a=
1+
2+
3。如果a=0,则如果
=4b3+27c2>0,也会出现鞍-焦点。• 这一结果证明无论保守系统还是耗散系统都可能出现鞍-焦点。
非线性物理:
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同
(异
)宿轨道:
• 定常态及其相应的轨迹只是局域性质的,而一个动力系统广域上 可能存在多个定常态。
• 多个定常态及其周围轨迹相互关联构成动力系统整体流场的斑图 (pattern)。定常态之间存在相互转化轨道,分为同宿/异宿轨道。
• 同宿轨道(homoclinic orbit)指 t 时趋于同一状态的轨道。
• t+时为同宿轨道的
极限集, t-时为
极限集。• t+和t-时分别趋向不同定常态为异宿轨道(heteroclinic)。
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• 在三维相空间也 存在类似的同宿/
异宿轨道演化:
非线性物理:
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混沌轨道:
• 在一维和二维动力系统不可能形成混沌轨道,只有三维才可能。
• 混沌轨道是有界轨道,不能趋于无穷,且相邻轨道会按指数相互 分离。
• 以Lorentz方程为例分析:
• Pr、Ra和b是Prantdl数、Rayleigh 数和正常数。
• (x, y, z)代表三维相空间。
非线性物理:
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• 速度散度为:
• 所以-Prx, -y, -bz项是耗散力;Rax是负恢复力(驱动力),因为:
• xy和xz就是非线性项了,因此Lorentz方程含有驱动力、耗散力和 非线性作用。随着Ra增加,驱动力增大,将导致分叉和混沌。
• 三个定常态:
非线性物理:
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• 取b=8/3,Pr=10为例,当0Ra<1时,定常态O是稳定结点,C1,2 不存在于实空间:
非线性物理:
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• 在1<Ra<1.346区间,O点失稳,C1,2出现并是稳定结点,O与C1和 O与C2之间形成鞍-结异宿轨道:
非线性物理:
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• 在1.346<Ra<13.926区间,C1,2变成稳定焦点,O与C1和O与C2之 间形成鞍-焦异宿轨道。此时C1和C2代表对流状态,但是对流没 有回环:
非线性物理:
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• 在13.926<Ra<24.74区间,C1,2变成不稳定的极限环,O与C1和O 与C2之间形成异宿轨道,呈现对流状态:
非线性物理:
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• Ra>24.74时,耗散力与驱动力竞争使得C1,2变成鞍-焦点,O与C1 和O与C2之间形成同宿轨道,空间轨道出现伸长与折叠,混沌出 现: