數學科試卷 單元：2-2 多項式的運算與應用

數學科試卷 單元： 2-2 多項式的運算與應用

班級： 座號：______ 姓名：__________

一、填充題：

1. 若 f x( )x³4x²8x1, g x( )a x( 1)(x2)(x 3) b x( 1)(x 2) c x(  1) d 且^{f x( )g x( )}，則( , , , )a b c d ____

____.

答案：(1, 2, 3, 4) 解析：∵ ^{f x( )g x( )}

∴ f(1) 1 4 8 1 4      d g(1)

(2) 8 16 16 1 7 4 (2) 3 f        c g  c

(3) 27 36 24 1 14 2 6 4 2 10 (3) 2 f       b   b  g  b

(4) 64 64 32 1 31 6 12 9 4 6 25 (4) 1 f       a    a g  a 故( , , , ) (1, 2,3, 4)a b c d 

2. 已知 a, b 為實數，若 f x( )x²ax b , g x( )bx²2x a ，若 f x g x( ) ( )的乘積中，_x²項之係數為 0，常數項為 8，則數對^{( , )a b} 為________.

答案：( 4, 2)

解析： f x g x( ) ( )  ( a 2a b x ²) ²  ab

∴

2 0

8 a b

ab

  

 







j k 由得 8

a b代入得 8 2

0 b b

   _b³_{ 8 0}(b2)(b²2b4) 0  b 2

∴a 4

故( , ) ( 4, 2)a b  

3. 若 f x( ) 9 x⁶49x⁵78x⁴135x³135x² 49x17，則 f(4)________.

答案：3

解析： f(4)之值即為 f x( )除以(x4)之餘式 9 49 78 135 135 49 17 4 36 52 104 124 44 20 9 13 26 31 11 5, 3

     

     

     

∴ ^{f(4) 3}

4. 若 f x( ) 3 x³4x²ax5除以x1之餘式為 2，則 a 之值為_____, 1 ( )3

f  ______.

答案：_2, 4

解析： f(1) 3 4    a 5 2  a 2 3 4 2 5 1

1 1 1 3 3 3 3 3, 4 1 1 1

  

  

 

 

∴ 1 ( ) 4 f 3 

解得a11, b 42

5. 若 a, b, c, d 為實數，且 f x( )x⁴ 2 (x1)(x2)(x3)(x 4) a x( 1)(x2)(x3) b x( 1)(x 2) c x(  1) d， 則a b c d   ________.

答案：53 解析：

1 0 0 0 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , 3

2 6 14 2 1 3 7 , 15

3 18 3 1 6 , 25

4 4 1, 10

d c b a

   

   

   

  

  

 

 





10 25 15 3 53 a b c d       

6. 若x⁴8x³25x²30x  8 a b x(  1) c x( 1)(x 2) d x( 1)(x2)(x3) e x( 1)(x2)(x3)(x4)，則d_____

___.

答案：2

解析：設f x( )x⁴8x³25x²30x8 1 8 25 30 8 1

1 7 18 12 1 7 18 12 , 4 2 10 16 2 1 5 8 , 4

3 6 3 1 2 , 2

4 4 1, 2

a b c d e

   

   

    

  

  

 

 







∴d 2

7. 已知 ^{f x( )}除以g x( )之商式為Q x( )，餘式為r x( )，若 a, b 為實數，且為非 0 之實數，則以af x( )除以bg x( )，可得 商式________，餘式________.

答案： a ( ), bQ x ^{ar x( )}

解析：∵ ^{f x( )g x Q x( ) ( )r x( )} ( ) ( ) ( ) ( ) af x ag x Q x ar x

    ( ) [a ( )] ( )

bg x Q x ar x

  b 

故商式為a ( )

bQ x ，餘式為ar x( )

8. 若a0，a, b 為實數，多項式 f x( )被ax b 除之，得商式為_2x³_x² _1，若多項式 f x( )被 b

x 除之，得商式為a

3 2

4x 2x 2，則^a________.

答案：2

解析： f x( ) ( ax b )(2x³x²  1) r x( )

3 2

( b)[ (2 1)] ( )

x a x x r x

 a   

3 2

( b)(4 2 2) ( )

x x x r x

 a   

∴a2

9. 若多項式 ^{f x( )}除以(2x3)之餘式為 16，則

(1)x f x³ ( )除以2x3之餘式為_________. (2)x f x² ( )除以 3

x 之餘式為_________.2 答案：(1)54 (2)36

解析：令f x( ) (2 x3) ( ) 16Q x  ，∴ 3 ( ) 16 f 2  (1)x f x³ ( ) (2 x3)[x Q x³ ( )] 16 x³

故餘式為 3 ³ 3 ( ) ( )

2 f 2 27

16 54

 8   (2) ² 3 ^{2 2}

( ) ( )[2 ( )] 16 x f x  x2 x Q x  x 故餘式為 3 ² 3

( ) ( ) 2 f 2 9

16 36

 4 

10. 設 a, b 為實數，若x² x 2是 f x( )x¹⁰30x⁵ax b 的因式，則數對( , )a b ________.

答案：(11, 42)

解析：∵^{x2 x 2 f x( ) (x2)(x1) f x( )}

∴ ^{f(1) 0} 且 f( 2) 0 

10 5

(1) 1 30 0

( 2) ( 2) 30( 2) 2 0

f a b

f a b

    



       



31

2 1024 960 64 a b

a b

  

     

11. 若 a, b 為實數，且_x²_{ x 2}可整除 f x( ) ( x a x )[( 1)²b x(  1) 18]，則數對( , )a b ________.

答案：(1, 9)

解析：∵^{(x2)(x1) | ( )f x}

∴ ^f

 

( 2) ( 2 )[9 3 18] 0 27 3 0 9 f    a  b    b  b ( , ) (1,9)a b 

12. 若_x²_nx1整除_x³_3x² _mx2時，則m______, ^n______。

答案：3, 1

解析：

1 2 1 1 1 3 2

1 1 (3 ) ( 1) 2 2 2 2

0

n m

n

n m

n

    

 

    

 

∴3    n 2 0 n 1 1 2 0

m  n ，∴m3

13. 設 f x( )x³2x²ax7以_x2與_x3分別除之其餘數相同，則a______，又其餘數為________.

答案：5, 1

解析：∵ ^{f(2) f( 3)} ，∴8 8 2  a   7 27 18 3 a   7 a 5 餘數為 f(2) 1

14. 設 a, b 為實數，若3x³5x²ax b 可被(x1)(x3)整除，則a______, b______.

答案：11,3

解析： 3 5 0

11, 3 81 45 3 0

a b a b

a b

    

     

    



15. 設 f x( )x³³x³²x³¹ x 2，則 f x( )除以(x² x 1)之餘式為________.

答案：2

解析：令_x²_{  x 1 0}(x1)(x²  x 1) (x 1) 0

3 1 0

x   將_x³ _1代入 f x( )中得

原式( )x^{3 11}( )x^{3 10}x² ( )x^{3 10}  x x 2 1 x2 2x 2

   

2 2 3

x x

  

( x 1) 2x 3

     2

 x

∴所求為x2

16. 設多項式 ^{f x( )}的次數高於三次，且 f x( )除以x1, x² 2x3之餘式分別為 2 與4x8，則以(x1)(x² 2x3)除 ( )

f x 之餘式為________.

答案：_5x²_14x7

解析： f x( ) ( x1) ( ) 2Q x₁  (x²2x3) ( ) 4Q x₂  x8 設 f x( ) ( x1)(x² 2x3) ( )Q x₃ a x( ²2x 3) 4x8

(1) 2 4 8 2 5

f  a     a

∴r x( ) 5(x²2x 3) 4x8  5x²14x7

17. 若 f x( )x⁴ 4x³3x²2x5a x( 3)⁴b x( 3)³c x( 3)² d x(  3) e，則( , , , , )a b c d e ________， f(2.99)的 近似值為________. (四捨五入至小數點第三位)

答案：(1,8, 21,16, 1) , 1.16 解析：

1 4 3 2 5 3 3 3 0 6 1 1 0 2 , 1 3 6 18 3 1 2 6 ,16

3 15 3 1 5 , 21

3 3 1, 8

e d c b a

   

   

    

  

  

 

 







( , , , , ) (1,8, 21,16, 1)a b c d e  

4 3 2

(2.99) ( 0.01) 8( 0.01) 21( 0.01) 16( 0.01) 1

f           0.16 1

 1.16

18. 若 f x( )x⁴5x³4x² 6x 2 a x( 1)⁴b x( 1)³c x( 1)²d x(  1) e，則( , , , , )a b c d e ________，且 ( 0.99)

f  ________. (四捨五入到小數點第二位) 答案：(1, 9, 25, 33,18),  17.67

解析：

1 5 4 6 2 1 1 6 10 16 1 6 10 16 , 18 1 7 17 1 1 7 17 , 33 1 8 1 1 8 , 25 1 1 1, 9

    

   

  

   

  

  



 



( , , , , ) (1, 9, 25, 33,18)a b c d e   

∴ f x( ) ( x1)⁴9(x1)³25(x1)²33(x 1) 18

4 3 2

( 0.99) (0.01) 9(0.01) 25(0.01) 33(0.01) 18

f       17.67

19. 81(0.666)⁴54(0.666)³63(0.666)²39(0.666) 5 的近似值為________. (四捨五入至小數點第三位) 答案：3.014

解析：設f x( ) 81 x⁴54x³63x² 39x5

4 3 2

(3 2) (3 2) (3 2) (3 2)

a x b x c x d x e

        

81 54 63 39 5 2 54 0 42 2 3 3 81 0 63 3, 3 27 0 21 1 2 18 12 6 3 3 27 18 9, 7 9 6 3 2 6 8 3 3 9 12, 5 3 4 2 2 3 3 3, 6 1

e

d

c

b a

   

   

   

  

  

   

 

 

 









4 3 2

( ) (3 2) 6(3 2) 5(3 2) 7(3 2) 3

f x  x  x  x  x 

∴ f(0.666) ( 0.002)  ⁴ 6( 0.002)³ 5( 0.002)² 7( 0.002) 3 3.014 

20. 若 a, b, c 為實數， f x( )x⁴ ax³bx²cx10有因式(x²1)(x2)，則( , , )a b c ________.

答案：(7,9, 7)

解析：∵^{(x1)(x1)(x2) f x( )}

∴

(1) 1 10 0

( 1) 1 10 0

( 2) 16 8 4 2 10 0

f a b c

f a b c

f a b c

     

       

       



9 9

8 4 2 6 4 2 3

a b c a b c

a b c a b c

  



    

       









j k

l j^k得2b18 b 9, 代入,l得

0

4 21

a c a c

  

  

 , 解得^{a7, c 7} 因此( , , ) (7,9, 7)a b c  

21. 若^{deg ( ) 3f x } ，且多項式 f x( )除以(x1) ,² (x2)²的餘式分別為3x1與3x17，則以(x1)(x2)除 f x( )之餘式 為________，以(x1) (² x2)除 f x( )之餘式為________.

答案：13x15, _16x² _35x17

解析： f x( ) ( x1)²Q x₁( ) 3 x1(x2)²Q x₂( ) 3 x17

∴ ^{f(1) 2} , f(2) 11

令 f x( ) ( x1)(x2) ( )q x₁ a x(  1) 2

(2) 2 11 13

f       a a

∴^{r x( ) 13(x   1) 2 13x15}

令 f x( ) ( x1) (² x2) ( )q x₂ b x( 1)²3x1

(2) 5 11 16

f       b b

∴r x( ) 16(x1)²3x1 16x²35x17

22. 若deg ( ) 3f x  ，且 f(0) f(1) f(2) 4, f(3) 2，則 f( 1) ________.

答案：10

解析：設f x( )ax x( 1)(x 2) 4 (3) 3 2 1 4 2

f       a   a 1

∴ ^{f x( ) x x( 1)(x 2) 4}

故 f( 1) 1( 2)( 3) 4 6 4 10       

23. 若^{deg ( ) 3f x } ，且 f(100) 1, (101) 9, (102) 7, (103) 7 f  f  f  ，則 f(104)________.

答案：21

解析：設f x( )a x( 100)(x101)(x102)b x( 100)(x101)c x( 100) 1 (101) 1 9 8

(102) 2 8 2 1 7 5

(103) 6 5 3 2 8 3 1 7 2

f c c

f b b

f a a

    

        

          



∴ ^{f x( ) 2( x100)(x101)(x102) 5( x100)(x101) 8( x100) 1} (104) 2 4 3 2 5 4 3 8 4 1

 f           48 60 32 1

   

21

24. 若^{deg ( ) 3f x } ，且 f(2009) 1, (2010) f  3, (2011) 5,f  f^{(2012) 1} ，則 f(2013)________.

答案：39

解析：設f x( )a x( 2009)(x2010)(x2011)b x( 2009)(x2010) ( 2009) 1

c x 

(2010) 1 3 4

(2011) 2 4 2 1 2 7 5 6 (2012) 3 2 6 3 2 4 3 1 1 4

f c c

f b b b

f a a

     

 

         

 

            

 

( ) 4( 2009)( 2010)( 2011) 6( 2009)( 2010) 4( 2009) 1

f x x x x x x x

           

(2013) 4 4 3 2 6 4 3 4 4 1

 f            96 72 16 1

    

 39

25. 3 2 2 ⁴ 3 2 2 ³ 3 2 2 ² 3 2 2

4( ) 8( ) 15( ) 13( ) 4

2 2 2 2

         ________.

答案：5

解析：設f x( ) 4 x⁴8x³15x²13x4 又 3 2 2

2 3 2 2 x 2  x  

2 2

4x 12x 9 8 4x 12x 1 0

       

1 1 1 4 12 1 4 8 15 13 4

4 12 1 4 16 13

4 12 1 4 12 4 4 12 1 5

 

     

 

 

 

  

  

即 f x( ) (4 x²12x1)(x²  x 1) 5 3 2 2

( ) 5

f 2 

26. 若 k 為實數，以2x1除 f x( ) 2 x³(2k1)x²7x3與g x( ) 2 x⁴ (2 k x) ³4x²2x8所得之餘式相同，則 k ________.

答案：5

解析： 1 1 ( ) ( )

2 2

f g

1 2 1 7 1 2

3 1 1 8

4 4 2 8 8

k k

        

2 (4k 2) 28 24 1 2 k 64

        

4k 52 k 67

      3k 15

   5

  k

27. 設 f x( )x³5x²kx9可被x3整除，則 k = ______，又f x( ) 0 之根為______.

答案：3; 3, 3,1

解析： f(3) 0 ，∴27 45 3  k 9 0，∴ k 3

1  5 + 3 + 9 3 + 3  6  9 1  2  3 + 0

∴ ^{f x( ) ( x3)(x3)(x1)}

∴ ^{f x( ) 0} 之三根為 3, 3,1

28. 設 f x( )x³2x²4x1, ( )g x  f(2x3)，則以2x1除g x( )的餘式為________.

答案：7 解析： 1

( ) (2) 8 8 8 1 7 g 2  f     

29. 若多項式 ^{f x( )}除以_x² _{ x 2}的餘式為2x3，多項式g x( )除以_x²_5x6的餘式為x5，則：

(1)以x1除 f x( )的餘式為________.

(2)以x1除(x3) ( )f x xg x( )的餘式為________.

答案：(1) 1 (2)4

解析：(1)f x( ) ( x2)(x1) ( ) 2Q x₁  x3，∴ f( 1) 1 

∴ ^{f x( )}除以x1的餘式為 1 (2)g x( ) ( x6)(x1) ( )Q x₂  x 5

∴^{g( 1)  6}

∴^{[(x3) ( )f x xg x( )]}除以 x + 1 的餘式^{    2 ( 6) 4}

30. 若多項式 f x( )的各項係數和為 11，且f x( )除以x2得商式q x( )，餘式為 5，則q x( )除以x1的餘式為________.

答案：2

解析： f(1) 11 且 f x( ) ( x2) ( ) 5q x  (1) 3 (1) 5 (1) 2 f  q  q 

∴

31. 若以(x2)³除多項式 f x( )之餘式為_3x² _5x1，則以(x2)²除 f x( )之餘式為______.

答案： 7x 11

解析： f x( ) ( x2)³Q x( ) 3 x²5x1

2 2

3x 5x 1 3(x2) 7x11，∴餘式_7x11

32. 若多項式 ^{f x( )}以_x² _3x2除之餘式為_5x6，以_x²_{ x 20}除之餘式為_x2，且 deg f x( )4，則 ^{f x( )}除以

2 4 5

x  x 的餘式為________.

答案：3x8

解析： f x( ) ( x1)(x2) ( ) 5Q x  x6，∴ f(1) 11 ( ) ( 5)( 4) ( ) 2

f x  x x Q x  x ，∴ f( 5)  7 ( ) ( 5)( 1) ( )

f x  x x Q x ax b

∴ 11

5 7

a b a b

  

   

 ^{ a 3,b8}，故餘式為3x8 33. 若 f x( )x¹⁰2，則(x1)²除 f x( )之餘式為________.

答案：10x7

解析： f x( )x¹⁰ 2 (x1)²Q x( )ax b (1) 3

f   a b   b a 3

∴x¹⁰ 2 (x1)²Q x( )ax a 3

10 1 ( 1)2 ( ) ( 1)

x x Q x a x

     

9 8 7 6 2 1 ( 1) ( )

x x x x x x x Q x a

          

令x1得a10

∴b 7

故r x( ) 10 x7

34. 設 f x( )為一多項式，a, b 為實數，且 a0，若以(ax b )除 f x( )所得之商為q x( )，餘式為 r，則以(x b )除 ( )x

x f a 之商式為____________，餘式為______.

答案： ( )x , xq r br

a 

解析： f x( ) ( ax b q x ) ( )r

( ) (x ) ( )x

f x b q r

a    a 

( )x ( ) ( )x ( )[ ( )x ] x f x x b q rx x b xq r br

a a a

         (rx (x b) r br) 故商式 ( )x

xq r

a  ，餘br

35. 設 ^{f x( )}為四次多項式，若 f x( )除以(x2)³得餘式4x5， f x( )除以x1得餘式 18，^{f x( )}除以x2得餘式 179，

則 f(2)________，又 ^f(1)_______.

答案：3, 4

解析：∵ ^{f( 1)} = 18, ^{f( 2)} = 179

設 f x( ) ( x2) (³ ax b ) 4x5　

∴ ^{f(2) 3}

∴ 18 27( ) 9 179 64( 2 ) 13

a b a b

    

     

 ^

1

2 3

a b a b

  

  



∴^a2,b1，∴ f(1) ( 1)(3) 4 5     4

36. 若 f x( )x³2x² 4x1且g x(  1) f x( ), h x(  1) g x( 3)，則以x1除xf x( )h x( )之餘式為________.

答案：15

解析：∵^{xf x( )h x( ) ( x1) ( )Q x r} 令x 1代入得r    f( 1) h( 1)

又h( 1)       h( 2 1) g( 2 3) g(1) g(2 1)  f(2) 8 8 8 1 7

    

∴r       ( 1 2 4 1) 715