目 录

———伽利略

一种科学 只 有 在 成 功 地 运 用 数 学 时 ,才算达 到完善的地步 .

———马克思

致 同 学

亲爱的同学,你感到高中阶段的学习生活有趣吗?

我们知道,数学与生活紧密相连.数学可以帮助我们认识世界, 改造世界,创造新的生活.数学是高中阶段的重要学科,不仅是学习 物理、化学等学科的基础,而且对我们的终身发展有较大的影响.

面对实 际 问 题,我们要认真观察、实验、归纳,大胆提出猜想.为 了证实或推翻提出的猜想,我们要通过分析,概括、抽象出数学概念, 通过探究、推理,建立数学理论.我们要积极地运用这些理论去解决 问题.在探究与应用过程中,我们的思维水平会不断提高,我们的创 造能力会得到发展.在数学学习过程中,我们将快乐地成长.

考虑广大同学的不同需要,本书提供了较大的选择空间.

书中的引言、正文、练习、习题中的“感受·理解”部分、阅读、回 顾等内容构成一个完整的体系.它体现了教材的基本要求,是所有学 生应当掌握的内容.相信你一定能学好这部分内容.

本书还设计了一些具有挑战性的内容,包括思考、探究、链接,以 及习题中的“思考·运用”、“探究·拓展”等,以激发你探索数学的兴 趣.在掌握基本内容之后,选择其中一些内容作思考与探究,你会更 加喜欢数学.

目 录

第 1章

1.1

1.2

1.3

正弦定理……… 5

余弦定理 ……… 13

正弦定理、余弦定理的应用……… 18

第 2章

等差数列 ……… 35

等比数列 ……… 49

第 3章

一元二次不等式 ……… 75

二元一次不等式组与简单的线性规划问题 ……… 81

基本不等式 ab ≤a+b2 (a ≥0,b≥0)……… 96

附 录

sinA 角 A 的正弦

cosA 角A 的余弦

a 向量a

0 零向量

AB^→ 起点为A、终点为B 的向量

|AB^→| 向量AB^→的模(或长度) AB^→·BC^→ 向量AB^→与BC^→的数量积 S△ABC △ABC 的面积

an 数列{an}的第n项

Sn 数列的前n 项和

N 自然数集

N^* 正整数集

⌀ 空集

R 实数集

第 1章 解 三 角 形

对自然界的深刻研究是数学发现的最丰富的来源 .

———傅里叶

从金字塔的建造 到 尼 罗 河 两 岸 的 土 地 丈 量,从大禹治水到都江 堰的修建,从天文观测到精密仪器的制造……人们都离不开对几何 图形的测量、设计和计算.

例如,测量河流两岸码头之间的距离,确定待建隧道的长度,计 算卫星的角度与高度……

许多实际问题都 可 以 转 化 为 求 三 角 形 的 边 或 角 的 问 题.我们已 经知道直角三角形中的边角关系,那么,

● 任意三角形的边与角之间存在怎样的关系?

● 如何利用这些关系解决实际问题?

1. 1 ^正弦定理

为了探索任意三 角 形 中 的 边 角 关 系,我们先回忆直角三角形中 的边角关系.

图1 1 1

如图1 1 1,在 Rt△ABC 中,我们有 sinA =a

c,sinB = bc,sinC =1= cc. 所以

a

sinA= b

sinB= csinC .

● 上述结论,对任意三角形也成立吗?

如图1 1 2所示,任意画一个三角形,然后测量此三角形三个 内角的大小及三 条 边 的 长,再对每条边计算其长度与它的对角的正 弦值之比,三个比值相等吗? 改变三角形的形状再试一试.

图1 1 2 本章如 无 特 别 说

明,a,b,c 分 别 表 示

△ABC 中角A,B,C 所对边的长.

于是我们猜想:对于任意三角形 ABC,都有 a

sinA= b

sinB= c sinC.

即在一个三角形中,各边和它所对角的正弦之比相等.

我们可以通过下面的途径尝试证明上述结论:

(1)转化为直角三角形中的边角关系;

(2)建立直角坐标系,利用三角函数的定义;

(3)通过三角形的外接圆,将任意三角形问题转化为直角三角形 问题;

(4)利用向量的投影或向量的数量积(产生三角函数).

证法1 不妨设∠C 为最大角.

(1)若∠C 为直角,我们已经证得结论成立.

必修系列 数学5

(2)若∠C 为锐角(图1 1 3(1)),过点A 作AD ⊥BC 于D,此 时有

sinB =AD

c ,sinC = ADb , 所以csinB =bsinC,即

b

sinB= c sinC.

同理可得 a

sinA= c sinC, 所以

a

sinA= b

sinB= csinC.

图1 1 3

(3)若∠C 为钝角(图1 1 3(2)),过点A 作AD ⊥BC,交BC 的延长线于D,此时也有

sinB =AD c , 且

sin∠ACB =sin(180°- ∠ACB)=AD b . 仿(2)可得

a

sinA= b

sinB= csinC.

由(1),(2),(3)知,结论成立.

图1 1 4

证 法2 在△ABC 中,有BC^→=BA^→+AC^→.不妨设 ∠C为最大角,过点 A 作AD ⊥BC 于D (图1 1 4),于是

BC^→·AD^→= (BA^→+AC^→)·AD^→

=BA^→·AD^→+AC^→·AD^→, 即

向量的 数 量 积 是 将向量 等 式 转 化 为 数 量等式的常用工具.

0=|BA^→||AD^→|cos(90°+B)+|AC^→||AD^→|cosα, 其中,当∠C 为锐角或直角时,α=90°-C;

当 ∠C 为钝角时,α=C-90°.

故可得

csinB-bsinC =0, 即

b

sinB= c sinC.

同理可得 a

sinA= c sinC, 所以

a

sinA= b

sinB= csinC.

上述等式表 明,三 角 形 的 各 边 和 它 所 对 角 的 正 弦 之 比 相 等.这 样,我们得到正弦定理(sinetheorem):

a

sinA= b

sinB= csinC.

思 考

例1 如图1 1 5,在△ABC 中,A =30°,C =100°,a=10,求 b,c(精确到0.01).

图1 1 5

解 因为A =30°,C =100°,所以B =50°.

因为 a

sinA= b

sinB= csinC,所以

b=asinBsinA =10sin50°sin30° ≈15.32,

c=asinC

sinA =10sin100°

sin30° ≈19.70.

因此,b,c的长分别为15.32和19.70.

解斜三 角 形 是 指 由 六 个 元 素(三 条 边 和 三 个 角)中 的 三 个 元 素(至 少 有 一 个 是 边),求其余三个未知 元素的过程.

例2 根据下列条件解三角形(边长精确到0.01,角度精确到0.1°):

(1)a=16,b=26,A =30°;

(2)a=30,b=26,A =30°.

解 (1)由正弦定理,得

sinB =bsinA

a =26sin30°

16 =13 16,

必修系列 数学5

所以 B1 ≈54.3°,或B²=180°-54.3°=125.7°.

由于B2+A=125.7°+30°=155.7°<180°,故B²也符合要求. 从而B 有两解(图1 1 6):

图1 1 6

B1=54.3°,或B2=125.7°.

当B1 =54.3°时,

C1=180°- (A+B1)

=180°- (30°+54.3°)

=95.7°,

c1 =asinC¹

sinA =16sin95.7°

sin30° ≈31.84.

当B2 =125.7°时,

C2=180°- (A+B2)

=180°- (30°+125.7°)

=24.3°, c2 =asinC²

sinA =16sin24.3°

sin30° ≈13.17.

(2)由正弦定理,得

sinB =bsinA

a =26sin30°

30 =13 30, 所以 B1 =25.7°,或B2=180°-25.7°=154.3°.

图1 1 7

由 于B2+A =154.3°+30°=184.3°>180°,故B²不符合要求, 从而B 只有一解(图1 1 7),

C =180°- (A+B)

=180°- (30°+25.7°)

=124.3°, c=asinC

sinA =30sin124.3°

sin30° ≈49.57.

利用正弦定理,可以解决以下两类解斜三角形的问题:

(1)已知两角与任一边,求其他两边和一角;

(2)已知两边与其中一边的对角,求另一边的对角(从而进一步 求出其他的边和角).

练 习

A.4 B.4 2 C.4 3 D.4 6 2.在△ABC 中,

(1)已知A =75°,B =45°,c=3 2,求a,b;

(2)已知A =30°,B =120°,b=12,求a,c.

3.根据下列条件解三角形:

(1)b=40,c=20,C =25°;

(2)b=13,a=26,B =30°;

(3)A =45°,C =30°,c=10.

图1 1 8

例3 如图 1 1 8,某登山队在山脚 A 处测得山顶B 的仰角 为 35°,沿倾斜角为20°的斜坡前进1000m 后到达 D 处,又测得山顶的

仰角为65°,求山的高度BC(精确到1m).

分析 要求BC,只要求 AB,为此考虑解△ABD.

解 过 点 D 作 DE ∥ AC 交 BC 于 E,因 为 ∠DAC = 20°,所 以

∠ADE =160°,于是

∠ADB =360°-160°-65°=135°.

又 ∠BAD =35°-20°=15°,所以 ∠ABD =30°.

在△ABD 中,由正弦定理,得

AB = ADsin∠ADBsin∠ABD =1000sin135°sin30° =1000 2(m).

在Rt△ABC 中,

BC = ABsin35°=1000 2sin35°≈811(m).

答 山的高度约为811m.

例4 在△ABC 中,已知 a

cosA= b

cosB= c

cosC,试判断△ABC 的 形状.

解 令 a

sinA=k,由正弦定理,得

a =ksinA,b=ksinB,c=ksinC.

代入已知条件,得

通 过 正 弦 定 理, 可以实现边角互化.

sinA

cosA= sinB

cosB= sinC cosC, 即

必修系列 数学5

tanA =tanB =tanC.

又A,B,C ∈ (0,π),所以 A = B = C,从而△ABC 为正三 角形.

图1 1 9

例5 在△ABC 中,AD 是∠BAC 的平分线(图1 1 9),用正弦定 理证明

AB

AC =BD DC.

证 设 ∠BAD =α,∠BDA =β,则 ∠CAD =α,∠CDA =180°- β.在△ABD 和△ACD 中分别运用正弦定理,得

AB

BD =sinβsinα, AC

DC =sin(180°-β) sinα . 又sin(180°-β)=sinβ,所以

AB

BD =AC DC, 即

AB

AC =BD DC.

练 习

(第2题)

1.已知轮船A 和轮船B 同时离开C 岛,A 船沿北偏东30°方向航行,B 船沿正 北方向航行.若A 船的航行速度为40nmile/h,1h后,B 船测得A 船位于 B 船的北偏东45°处,则此时 A,B 两船相距 nmile.

2.为了在一条河上建一座桥,施工前在河两岸打上两个桥位桩A,B(如图).

要测算出A,B 两点间的距离,测量人员在岸边定出基线 BC,测得 BC = 78.35m,∠B =69°43',∠C=41°12',试计算AB 的长(精确到0.01m).

3.在一座10m 高的观测台顶测得对面一水塔塔顶仰角为 60°,塔底俯角为 45°,求水塔的高度.

4.根据下列条件,判断△ABC 的形状:

(1)sin²A+sin²B =sin²C;

(2)acosA =bcosB.

5.在△ABC 中,若 A =60°,a = 3,则 a+b+c

sinA+sinB+sinC等于( ).

A.2 B.12

C. 3 D. 32

习题 1. 1

感受·理解

(1)已知A =135°,B =15°,c=1,求这个三角形的最大边的长;

(2)已知A =26°,C =47°,b=16,求a,c,B;

(3)已知a=6,b=6 3,B=120°,求c;

(4)已知 2a=2bsinA,求B.

2.根据下列条件解三角形:

(1)A =30°,B =105°,c= 2;

(2)a=14,b=7 6,B =60°;

(3)b=47,c=38,C =110°;

(4)b=25,c=12,C =23°.

3.如图,从A 点和B 点测得上海东方明珠电视塔塔顶C 的仰角分别为38.3°

和50°(A,B 两点与塔底D 点在同一条直线上),AB =200m,求东方明珠 电视塔的高度(精确到1m).

(第3题)

(第4题)

4.一艘船以42nmile/h的速度向正北方向航行.从 A 处看灯塔S 位于船北 偏东25°的方向上,30min后船航行到B 处,从B 处看灯塔S 位于船北偏东 58°的方向上.求灯塔S 与B 之间的距离(精确到0.1nmile).

5.在△ABC 中,已知sinA

a =cosB

b =cosC

c ,试判断△ABC 的形状.

思考·运用

(1)在△ABC 中,已知a=2,b=3,C =150°,求S△ABC; (2)在△ABC 中,已知c=10,A =45°,C =30°,求b和S△ABC; (3)证明正弦定理.

7.在△ABC 中,已知a²tanB =b²tanA,试判断△ABC 的形状.

8.在△ABC 中,BC→ =a,CA→ =b,AB→ =c,a·b=b·c=c·a,证明△ABC 为正三角形.

9.在△ABC 中,∠A 的外角平分线交BC 的延长线于D,用正弦定理证明:

AB AC =BD

DC.

必修系列 数学5

探究·拓展

sinB= c

sinC=2R,这一关系对任意三角形也成立吗(如图)? 探索并证明 你的结论.

(第10题)

11.(阅读题)在已知两边a,b和一边的对角A,求角B 时,如果A 为锐角,那么 可能出现以下情况(如图):

(第11题)

如果A 为钝角,那么可能会出现哪几种情况? 试画出草图加以说明.

1. 2 ^余弦定理

在上节中,我们通过等式 BC^→= BA^→+AC^→的 两 边 与AD^→(AD 为

△ABC 中BC 边上的高)作数量积,将向量等式转化为数量关系,进 而推出了正弦定理.

图1 2 1

● 还有其他途径将向量等式BC^→=BA^→+AC^→数量化吗? 因为BC^→=BA^→+AC^→(图1 2 1),所以

BC^→·BC^→= (BA^→+AC^→)·(BA^→+AC^→)

=BA^→2+2BA^→·AC^→+AC^→2

=|BA^→|²+2|BA^→||AC^→|cos(180°-A)+|AC^→|²

=c²-2cbcosA+b², 即

a² =b²+c²-2bccosA.

同理可得

b²=c²+a²-2cacosB, c²=a²+b²-2abcosC.

上述等式表明,三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和 减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.这样,我们得到余弦定理 (cosinetheorem):

a² =b²+c²-2bccosA, b²=c²+a²-2cacosB, c²=a²+b²-2abcosC.

思 考

余弦定理也可以写成如下形式:

cosA =b²+c²-a² 2bc , cosB =c²+a²-b²

2ca , cosC =a²+b²-c²

2ab .

必修系列 数学5

例1 在△ABC 中,

(1)已知b=3,c=1,A =60°,求a;

(2)已知a=4,b=5,c=6,求A(精确到0.1°).

解 (1)由余弦定理,得

a² =b²+c²-2bccosA =3²+1²-2×3×1×cos60°=7, 所以

a = 7.

(2)由余弦定理,得

cosA =b²+c²-a²

2bc =5²+6²-4²

2×5×6 =0.75, 所以

A ≈41.4°.

图1 2 2

例2 A,B 两地之间隔着一个水塘(图1 2 2),现选择另一点C, 测得CA =182m,CB =126m,∠ACB =63°,求A,B 两地之间的 距离(精确到1m).

解 由余弦定理,得

AB² =CA²+CB²-2CA·CBcosC

=182²+126²-2×182×126cos63°

≈28178.18, 所以 AB ≈168(m).

答 A,B 两地之间的距离约为168m.

例3 用余弦定理证明:在△ABC 中,当∠C 为锐角时,a²+b²>

c²;当 ∠C 为钝角时,a²+b² <c².

证 当∠C 为锐角时,cosC >0.由余弦定理,得 余弦定 理 可 以 看

做 是 勾 股 定 理 的 推 广.

c²=a²+b²-2abcosC <a²+b², 即

a²+b² >c². 同理可证,当∠C 为钝角时,a²+b² <c².

利用余弦定理,可以解决以下两类解斜三角形的问题:

(1)已知三边,求三个角;

(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角.

练 习

1)已知a=6,b=5,c=4,求cosC;

(2)已知A =60°,b=4,c=7,求a;

(3)已知a=7,b=5,c=3,求A;

(4)已知a=7,b=8,cosC =13 14,求c.

2.若三条线段的长分别为5,6,7,则用这三条线段( ).

A.能组成直角三角形 B.能组成锐角三角形 C.能组成钝角三角形 D.不能组成三角形

3.若△ABC 的三边a,b,c满足c²<a²+b²,此三角形是锐角三角形吗?

4.在△ABC 中,已知a²+b²+ 2ab =c²,求C.

5.在△ABC 中,已知 (a+b+c)(a-b+c)=ac,求B.

6.两游艇自某地同时出发,一艇以10km/h的速度向正北方向行驶,另一艇以 7km/h的速度向北偏东45°的方向行驶.问:经过40min,两艇相距多远(精

确到0.01km)?

图1 2 3

例4 在长江某渡口处,江水以5km/h的速度向东流.一渡船在江 南岸 的 A 码 头 出 发,预 定 要 在 0.1 h 后 到 达 江 北 岸 B 码 头 (图1 2 3).设AN^→为正北方向,已知B 码头在A 码头北偏东15°的 方向上,并与 A 码头相距1.2km.该渡船应按什么方向航行? 速度 是多少(角度精确到0.1°,速度精确到0.1km/h)?

解 如图1 2 3,船按AD^→方向开出,AC^→方向为水流方向,以 AC 为 一边、AB 为对角线作平行四边形ACBD,其中

AB =1.2(km),AC =5×0.1=0.5(km).

在△ABC 中,由余弦定理,得

BC²=1.2²+0.5²-2×1.2×0.5cos(90°-15°)≈1.38, 所以

AD =BC ≈1.17(km).

因此,船的航行速度为

1.17÷0.1=11.7(km/h).

在△ABC 中,由正弦定理,得

sin∠ABC =ACsin∠BAC

BC =0.5sin75°

1.17 ≈0.4128, 所以

∠ABC ≈24.4°.

所以 ∠DAN = ∠DAB - ∠NAB = ∠ABC -15°≈9.4°.

答 渡船应按北偏西9.4°的方向,并以11.7km/h的速度航行.

必修系列 数学5

例5 在△ABC 中,已知sinA =2sinBcosC,试判断该三角形的 形状.

解 由正弦定理及余弦定理,得 sinAsinB=a

b,cosC =a²+b²-c² 2ab , 所以

a

b =2·a²+b²-c² 2ab , 整理,得

b²=c².

因为b>0,c>0,所以b=c.因此,△ABC 为等腰三角形.

图1 2 4

例6 如图1 2 4,AM 是△ABC 中BC 边上的中线,求证:

AM = 1

2 2(AB²+AC²)-BC². 证 设 ∠AMB =α,则 ∠AMC =180°-α.

在△ABM 中,由余弦定理,得

AB²= AM²+BM²-2AM ·BMcosα.

在△ACM 中,由余弦定理,得

AC²= AM²+MC²-2AM ·MCcos(180°-α).

因为cos(180°-α)=-cosα,BM = MC = 1 2BC, 所以

AB²+AC²=2AM²+ 1

2BC², 因此,

AM = 1

2 2(AB²+AC²)-BC².

练 习

A.23 B.-23 C.-13 D.-14

(第4题)

2.在△ABC 中,已知a²-b²= (acosB+bcosA)²,试判断此三角形的形状.

3.(1)在△ABC 中,已知a=2,b=3,C=60°,试证明此三角形为锐角三角形;

(2)在△ABC 中,设CB→ =a,AC→ =b,且|a|=2,|b|= 3,a·b=

- 3,求 AB 的长(精确到0.01).

4.如图,长7m 的梯子 BC 靠在斜壁上,梯脚与壁基相距1.5m,梯顶在沿着 壁向上6m 的地方,求壁面和地面所成的角α(精确到0.1°).

习题 1. 2

感受·理解

(1)已知a=24,b=13,C =108°,求c,B;

(2)已知b=2,c=10,A =42°,求a,B,C;

(3)已知a=7,b=4 3,c= 13,求最小的内角.

2.牵牛星和织女星分别距离地球约17光年和26光年,从地球上观测这两颗 星的张角为34°,求牵牛星与织女星之间的距离(精确到0.01光年).

(第4题)

3.在平行四边形ABCD 中,已知AB =12cm,BC =10cm,A =60°,求平 行四边形两条对角线的长.

4.自动卸货汽车的车箱采用液压机构,设计时需要计算油泵顶杆BC 的长度 (如图).已知车箱的最大仰角为60°,油泵顶点B 与车箱支点A 之间的距离 为1.95m,AB 与水平线之间的夹角为6°20',AC 长为1.40m,试计算 BC 的长(精确到0.01m).

5.在△ABC 中,已知c=2acosB,试判断△ABC 的形状.

6.在△ABC 中,已知 (a+b+c)(b+c-a)=3bc,求 A 的度数.

7.用余弦定理证明:在△ABC 中, 这三个 关 系 式 也

称为射影定理.

(1)a=bcosC+ccosB;

(2)b=ccosA+acosC;

(3)c=acosB+bcosA.

8.用余弦定理证明:平行四边形两条对角线平方的和等于四边平方的和.

思考·运用

(第11题) 9.试用向量方法证明第7题中的结论.

10.在△ABC 中,已知C=60°,BC =a,AC =b,且a,b是 方程x²-13x+40=0的两个根,求 AB 的长.

11.如图,我炮兵阵地位于A 处,两观察所分别设于 C,D 处,已知△ACD 为边长等于a 的正三角形.当目标出现 于B 处时,测得 ∠CDB =45°,∠BCD =75°,试求炮 击目标的距离AB.

探究·拓展

(第12题)

(第13题)

13.如图,已知圆内接四边形ABCD 中,AB =2,BC =6,AD =CD =4,如 何求四边形ABCD 的面积?

1. 3 ^{正弦定理 、余弦定理的应用}

正弦定理、余弦定理体现了三角形中边角之间的相互关系,在测 量学、运动学、力学、电学等许多领域有着广泛的应用.

图1 3 1

例1 如图1 3 1,为了测量河对岸两点 A,B 之间的距离,在河 岸这边取点C,D,测得 ∠ADC =85°,∠BDC =60°,∠ACD =47°,

∠BCD =72°,CD =100m.设A,B,C,D 在同一平面内,试求A, B 两点之间的距离(精确到1m).

解 在△ADC 中,∠ADC =85°,∠ACD =47°,则 ∠DAC =48°.

又DC =100,由正弦定理,得

AC = DCsin∠ADC

sin∠DAC =100sin85°sin48° ≈134.05(m).

在△BDC 中,∠BDC =60°,∠BCD =72°,则 ∠DBC =48°.

又DC =100,由正弦定理,得

BC = DCsin∠BDC

sin∠DBC =100sin60°sin48° ≈116.54(m).

在△ABC 中,由余弦定理,得

AB² = AC²+BC²-2AC·BCcos∠ACB

=134.05²+116.54²-2×134.05×116.54cos(72°-47°)

≈3233.95, 所以 AB ≈57(m).

答 A,B 两点之间的距离约为57m.

方位角 是 从 指 北 方向顺 时 针 转 到 目 标 方向线的角.

例2 如图1 3 2,某渔轮在航行中不幸遇险,发出呼救信号.我海 军 舰 艇 在 A 处 获 悉 后,测 出 该 渔 轮 在 方 位 角 为 45°,距 离 为 10nmile的C 处,并测得渔轮正沿方位角为105°的方向,以9nmile/h

的速度向小岛靠拢.我海军舰艇立即以21nmile/h的速度前去营救.

求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间(角度精确到0.1°,时间精确到 1min).

图1 3 2

解 设舰艇收到信号后xh在 B 处靠拢渔轮,则 AB =21x,BC = 9x.又 AC =10,∠ACB =45°+ (180°-105°)=120°.

由余弦定理,得

AB²= AC²+BC²-2AC·BCcos∠ACB, 即

(21x)²=10²+ (9x)²-2×10×9xcos120°.

化简,得

36x²-9x-10=0, 解得x = 2

3(h)=40(min)(负值舍去).

由正弦定理,得

sin∠BAC =BCsin∠ACB

AB =9xsin120°

21x =3 3 14, 所以 ∠BAC ≈21.8°,方位角为45°+21.8°=66.8°.

答 舰艇应沿着方位角66.8°的方向航行,经过40min就可靠近渔轮.

图1 3 3

例3 作用于同一点的三个力 F¹,F2,F3 平 衡.已知F1 =30N, F2=50N,F¹与F2之间的夹角是60°,求F³ 的大小与方向(精确到 0.1°).

解 F3应和F1,F2的合力F 平衡,所以F3和F 在同一直线上,并且 大小相等,方向相反.

如图1 3 3,在△OF1F 中,由余弦定理,得

F = 30²+50²-2×30×50cos120°=70(N).

再由正弦定理,得

sin∠F¹OF =50sin120°

70 =5 3 14, 所以 ∠F1OF ≈38.2°,从而 ∠F¹OF3≈141.8°.

答 F³为70N,F³和F1间的夹角为141.8°.

图1 3 4

例4 如图1 3 4,半圆O 的直径为2,A 为直径延长线上的一点, OA =2,B 为半圆上任意一点,以 AB 为一边作等边三角形ABC.

问:点B 在什么位置时,四边形OACB 的面积最大?

分析 四 边 形 OACB 的 面 积 由 点 B 的 位 置 惟 一 确 定,而 点 B 由

∠AOB 惟一确定,因此可设 ∠AOB =α,再用α的三角函数来表示 四边形OACB 的面积.

解 设 ∠AOB =α.在△AOB 中,由余弦定理,得

必修系列 数学5

AB²=1²+2²-2×1×2cosα=5-4cosα.

于是,四边形OACB 的面积为 S =S△AOB+S△ABC

= 12OA·OBsinα+ 34AB²

= 12×2×1×sinα+ 3

4(5-4cosα)

=sinα- 3cosα+54 3

=2sinα- π3 + 54 3.

因 为0<α<π,所以当α-π3= π2,α=56π,即 ∠AOB = 56π时, 四边形OACB 的面积最大.

练 习

(1)α=50°; (2)α=135°.

(第1题)

(第2题)

2.如图,用两根绳子牵引重为F1=100N 的物体,两根绳子拉力分别为 F2, F3,此时平衡.如果F2=80N,F2与F3夹角α=135°.

(1)求F3的大小(精确到1N);

(2)求F3与F1的夹角β的值(精确到0.1°).

(第3题)

3.如图,货 轮 在 海 上 以 40n mile/h 的 速 度 由 B 向C 航 行,航 行 的 方 位 角

∠NBC =140°,A 处有灯塔,其方位角 ∠NBA =110°.在C 处观察灯塔A 的方位角∠N'CA =35°.由 B 到C 需航行0.5h,求C 到灯塔A 的距离 (精确到0.01nmile).

(第4题) 4.如图,某人在高出海面600m 的山上P 处,测得海

面上的航标A 在正东,俯角为30°,航标B 在南偏 东60°,俯角为45°,求这两个航标间的距离.

习题 1. 3

感受·理解

2.从200m 高的电视塔塔顶 A 测得地面上某两点B,C 的俯角分别为30°和 45°,∠BAC=45°,求这两个点之间的距离(精确到0.1m).

(第4题)

3.飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内,已知飞机的高度为海拔20250m, 速度为600km/h,飞行员先看到山顶的俯角为18°30',经过288s后又看到 山顶的俯角为81°,求山顶的海拔高度(精确到1m).

4.如图,一船由西向东航行,测得某岛的方位角为65°,前进5km后测得此岛的 方位角为42°.已知该岛周围3km 内有暗礁,如果继续东行,有无触礁危险?

(第6题)

5.作用于同一点的三个力F1,F2,F3平 衡,且 F1,F2 的 夹 角 为θ3,F2,F3

的夹角为θ1,F3,F1的夹角为θ2.求证: Fsinθ¹1= F2

sinθ2= F3

sinθ3.

6.如图,在 △ABC 中,已知B =45°,D 是BC 边上一点,AD =10,AC =14, DC =6,求 AB 的长.

7.把一根长为30cm 的木条锯成两段,分别作钝角三角形ABC 的两边AB 和 BC,且 ∠ABC =120°.如何锯断木条,才能使第三条边 AC 最短?

思考·运用

(第8题) 8.如图,有两条相交成60°角的直路 XX',YY',交

点是O,甲、乙 分 别 在 OX,OY 上,起 初 甲 离 O 点3km,乙离O 点1km.后来甲沿XX'的方向, 乙沿Y'Y 的方向,同时以4km/h的速度步行.

(1)起初两人的距离是多少?

(2)th后两人的距离是多少?

(3)什么时候两人的距离最短?

探究·拓展

求 距 离

两点间不可通又不可视 两点间可视但不可达 两点都不可达

求 高 度

底部可达 底部不可达

实习作业 解三角形在测量中的应用

你知道学校的旗杆有多高?

如何测量山高或电视塔的高度?

怎样计算房屋前后的两根电线杆之间的距离?

……

运用本章所学的知识,通过实地测量,你就能顺利地解决上面的 问题.在测量实践中,你可以更好地体会数学在解决实际问题中的作 用和价值.

活动建议:

1.准备简单的测量长度、角度的工具(如皮尺、测角器等);

2.选择适当的测量问题(目标不易直接到达);

3.设计测量方案;

4.收集数据,利用数据进行计算;

5.完成实习作业报告;

6.班级交流(报告会、墙报展示等).

本章回顾

本 章 概 览

本章主要学习了正弦定理、余弦定理,以及正弦定理、余弦定理 在解决实际问题中的简单应用.

三角形中的边角关系

正弦定理 余弦定理

􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋

􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋

􀪋􀪋

􀪋􀪋

􀪋􀪋

􀪋􀪋

􀪋􀪋

􀪋􀪋

􀪋 􀪋􀪋 􀪋􀪋

􀪋􀪋􀪋􀪋

解 三 角 形↓

解三角形的应用

↓

正弦定理、余弦定理是反映三角形边、角关系的重要定理.利用 正弦定理、余弦定理,可以将三角形中的边的关系与角的关系进行相 互转化,从而有助于问题的解决,另外,许多几何问题也可以转化为 解三角形的问题来研究.

内 容 提 要

1.正弦定理 a

sinA= b

sinB= c sinC. 2.余弦定理

a²=b²+c²-2bccosA, b²=c²+a²-2cacosB, c² =a²+b²-2abcosC;

cosA =b²+c²-a²

2bc ,cosB =c²+a²-b²

2ca ,cosC =a²+b²-c² 2ab . 3.三角形的面积公式

S△ABC = 1

2bcsinA = 12casinB = 12absinC.

必修系列 数学5

复 习 题

感受·理解

(1)已知a=1,A =60°,c= 3 3,求C;

(2)已知a=2,b= 2,c= 3+1,求A;

(3)已知a=3 3,c=2,B =150°,求b.

2.在△ABC 中,已知a-b=ccosB-ccosA,判断△ABC 的形状.

3.海上A,B 两个小岛相距10nmile,从 A 岛望 C 岛和 B 岛所成的视角为 60°,从 B 岛望 C 岛 和 A 岛 所 成 的 视 角 为 75°,试 求 B 岛 和 C 岛 之 间 的

距离.

4.在O 点的正上方有气球P,从 O 点的正西方A 点,测得气球 P 的仰角为 45°,同时从O 点南偏东45°的B 点,测得气球P 的仰角为60°,A,B 两点间

的距离为200m.问:气球P 离地面约多少米(精确到1m)?

5.已知向量a,b,c满足a+b+c=0,且a与b 的夹角等于135°,b与c 的夹 角等于120°,|c|=2,求|a|,|b|.

6.在△ABC 中,已知2a=b+c,sin²A =sinBsinC,试判断△ABC 的形状.

思考·运用

(第7题)

(第8题)

8.外轮除特许外,不得进入离我国海岸线dnmile以内的区域.如图,设 A,B 是相距snmile的两个观察站,一外轮在 P 点,测得 ∠BAP =α,∠ABP = β,问:α,β满足什么关系时就该向外轮发出警告,令其退出我国海域?

探究 ·拓展

S△ABC = 14c²a²- c²+a²-b² 2

􀭠 2

􀭡

􀪁􀪁 􀭤

􀭥

􀪁􀪁 ,

它与古希腊数学家海伦给出的三角形面积公式

S△ABC= p(p-a)(p-b)(p-c) p =1

2(a+b+c) 是一致的.

“三斜求积”公式的证明已经失传,吴文俊教授根据我国古代几何证明的

传统特点作了一个补证.

式中“大”、“中”和

“小”分别指“大斜”、“中

斜”和“小斜”. 面积²= 14 小²·大²- 大²+ 小²- 中² 2

􀭠 2

􀭡

􀪁􀪁 􀭤

􀭥

􀪁􀪁

(第9题)

如图,作大斜上的高分大斜成两部分,作为勾股形的弦和股,由于三角形 面积等于“1

2 ×高× 大”这一事实是我国古代数学家早就知道的,所以问题 归结为怎样求高,而高又是可以通过股与小求得,因此只要求出股就可以了.

根据刘徽得出的公式

股=(股弦和)²- 勾² 2× 股弦和 ,

知道由股弦和与勾²可 以 求 股,所以问题又归结为求勾²与 股 弦 和.这 很 简 单,因为

股弦和= 大,勾²= 弦²- 股²= 中²- 小², 所以

股=(股弦和)²- 勾²

2× 股弦和 =大²- (中²- 小²) 2× 大 ,

高²= 小²- 股²= 小²- 大²+ 小²- 中² 2× 大

2.

从而得到“三斜求积”公式.

你能用正弦定理和余弦定理证明“三斜求积”公式或海伦公式吗?

本章测试

说明:本测试题中,a,b,c分别表示△ABC 中角A,B,C 所对边的长, S△ABC表示△ABC 的面积.

一、填空题 1.在△ABC 中,若a =8,b=7,B =30°,则sinA = . 2.在△ABC 中,若b=4 3,c=2 3,A =120°,则a= .

(第6题)

3.在 △ABC 中,若 A =60°,b=1,S△ABC = 3,则a = . 4.在△ABC 中,若b²+c²-a²= 3bc,则 A= .

5.在△ABC 中,若acosB =bcosA,则 △ABC 的形状是 . 6.如图,海岸线上有相距5nmile的两座灯塔A,B,灯塔B 位于灯塔A 的正

南方向.海上停泊着两艘轮船,甲船位于灯塔A 的北偏西75°方向,与 A 相 距3 2nmile的D 处;乙船位于灯塔B的北偏西60°方向,与B相距5nmile 的C 处.则两艘轮船之间的距离为 nmile.

二、选择题 7.在△ABC 中,若sin²B+sin²C

sin²A =1,则 A 等于( ).

A.150° B.120°

C.90° D.60°

8.在△ABC 中,若a =2 3,A =30°,则 b+c

sinB+sinC的值为( ).

A.4 3 B.2 3

C.4 D.2

9.已 知A,B 两 地 的 距 离 为 10km,B,C 两 地 的 距 离 为 20km.现 测 得

∠ABC =120°,则 A,C 两地的距离为( ).

A.10km B. 3km

C.10 5km D.10 7km

10.在△ABC 中,若sinA∶sinB∶sinC=3∶5∶7,则C 等于( ).

A.30° B.60°

C.120° D.150°

三、解答题 11.在△ABC 中,已知a =4 2,b=4 3,A =45°,求B.

12.在△ABC 中,已知 A =30°,B =105°,a =20,求c和S△ABC. 13.在△ABC 中,已知tanA = 1

4,tanB = 3

5.若 △ABC 最大边的长为 17, 求最小边的长.

14.如图,已知 △ABC 中,AB =3 62 ,CD =5,∠ABC =45°,∠ACB =60°, 求AD 的长.

(第14题)

(第15题)

15.海滨某城市A 附近海面上有一台风,在城市 A 测得该台风中心位于方位角 150°、距离400km 的海面 P 处,并以70km/h的速度沿北偏西60°的方向 移动.如果台风侵袭的范围是半径为250km 的圆形区域,问:几小时后该 城市开始受到台风侵袭? (3≈1.732)

第 2章 数 列

数学科学是 一 个 不 可 分 割 的 有 机 整 体 ,它的生命力正 在于各部分之间的联系 .

———希尔伯特

大千世界蕴含着 无 数 的 自 然 规 律,从细胞分裂到放射性物质的 衰变,从树木的生成模式到葵花种子、鹦鹉螺壳花纹的排列……它们 各有其消长的方式和特点.

在日常生活中,我们经常会遇到存款利息、购房贷款、资产折旧 等实际计算问题.

描述、解决上述问题,就要用到本章我们将要学习的数列的有关 知识.在本章中,我们主要研究两种特殊的数列———等差数列和等比 数列.

● 等差数列和等比数列各有什么特点?

● 如何运用等差数列和等比数列解决有关的实际问题?

2. 1 ^数列

考察下面的问题:

图2 1 1

某剧场有30排座位,第一排有20个座位,从第二排起,后一排都 比前一排多2个座位(图2 1 1),那么各排的座位数依次为

20,22,24,26,28,…. ① 人们在1740年发现了一颗彗星,并推算出这颗彗星每隔83年出 现一次,那么从发现那次算起,这颗彗星出现的年份依次为

1740,1823,1906,1989,2072,…. ② 某种细胞,如果每个细胞每分钟分裂为2个,那么每过1分钟, 1个细胞分裂的个数依次为

1,2,4,8,16,…. ③

“一尺之棰,日取其半,万世不竭”的意思为:一尺长的木棒,每日 取其一半,永远也取不完.如果将“一尺之棰”视为1份,那么每日剩下 的部分依次为

1 2,1

4,1 8,1

16,1

32,…. ④

图2 1 2

某种树木第1年长出幼枝,第2年幼枝长成粗干,第3年粗干可生 出幼枝(图2 1 2),那么按照这个规律,各年树木的枝干数依次为

1,1,2,3,5,8,…. ⑤ 从1984年到2004年,我国共参加了6次奥运会,各次参赛获得 的金牌总数依次为

15,5,16,16,28,32. ⑥

● 这些问题有什么共同的特点?

像这 样 按 照 一 定 次 序 排 列 的 一 列 数 称 为数 列(sequenceof number),数列中的每个数都叫做这个数列的项(term).项数有限的

数列叫做有穷数列,项数无限的数列叫做无穷数列.

数列的一般形式可以写成

a1,a2,a3,…,an,…,

简记为{an},其中a1称为数列{an}的第1项(或称为首项),a₂ 称为第

必修系列 数学5

2项,…,an称为第n 项.

在数列{an}中,对于每一个正整数n(或n ∈ {1,2,…,k}),都 有一个数an 与之对应,因此,数列可以看成以正整数集 N^*(或它的有 限子集{1,2,…,k})为定义域的函数an=f(n),当自变量按照从小 到大的顺序依次取值时,所对应的一列函数值.反过来,对于函数y=

f(x),如果f(i)(i=1,2,3,…)有意义,那么我们可以得到一个 数列

f(1),f(2),f(3),…,f(n),….

例1 已知数列的第n 项an 为2n-1,写出这个数列的首项、第2 项和第3项.

解 首项为 a1=2×1-1=1;

第2项为 a2=2×2-1=3;

第3项为 a₃=2×3-1=5.

在例1中,第n项an 可用一个公式2n-1来表示.一般地,如果 数列{an}的第n项与序号n 之间的关系可以用一个公式来表示,那么 这个公式叫做这个数列的通项公式(theformulaofgeneralterm).

数列可以用通项公式来描述,也可以通过列表或图象来表示.

例2 已知数列{an}的通项公式,写出这个数列的前5项,并作出它 的图象:

(1)aⁿ= n

n+1; (2)aⁿ= (-1)ⁿ 2ⁿ . 解 我们用列表法分别给出这两个数列的前5项.

n 1 2 3 4 5

an= n

n+1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 an=(-1)ⁿ

2ⁿ -1

2 1

4 -1

8 1

16 -1

32

它们的图象如图2 1 3所示.

例3 写出数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数:

(1) 1

1×2,- 1

2×3, 1

3×4,- 1 4×5; (2)0,2,0,2.

写出数 列 的 通 项 公式,就是寻找an 与 n 的 对 应 关 系 an=

f(n).

解 (1)这个数列的前4项的分母都等于序号与序号加1的积,且奇 数项为正,偶数项为负,所以它的一个通项公式是

an= (-1)ⁿ⁺¹ n(n+1).

(2)这个数列的奇数项是0,偶数项是2,所以它的一个通项公 式是

an =1+ (-1)ⁿ.

EXCEL

例如,在单元格 A1,A2内分别输入1,2,选中这两个单元格后向 下拖曳填充柄,生成序号1,2,3,….在 B1内输入“=A1/(A1+1)”, 双击B1的填充柄,就得到与序号相对应的项.

选中A,B两列,插入“图表”,选择“XY 散点图”,可得数列an = n

n+1的图象(图2 1 4).

图2 1 4

练 习

2. 根据数列{an}的通项公式,写出它的前5项:

(1)an=1-3n; (2)aⁿ= (-1)ⁿ2n.

3. 根据数列{an}的通项公式,写出它的第6项和第10项:

(1)an=n²+n; (2)an=5-2^n-1. 4.37是否为数列 {3n+1}中的项? 如果是,是第几项?

5. 写出数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数:

(1)-1,2,-3,4;

(2)2,4,6,8;

(3)1,4,9,16;

必修系列 数学5

(4)1- 1 2,1

2- 1 3,1

3- 1 4,1

4- 1 5.

6. 写出本节开始问题中数列①,③的通项公式,并作出它的图象.

习题 2. 1

感受 ·理解

(1)在0~16之间的奇数按从小到大的顺序构成的数列;

(2)在0~16之间的质数按从小到大的顺序构成的数列.

2.根据数列{an}的通项公式,写出它的前5项:

(1)aⁿ= 1n²;

(2)aⁿ= (-1)ⁿ(n²-1);

(3)aⁿ=|2n-7|.

3. 写出数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数:

(1)2,4,8,16; (2)1,8,27,64;

(3)-1,12,-1 3,1

4; (4)1, 2, 3,2.

4.写出一个分别满足下列条件的数列{an}的通项公式:

(1)从第2项起,每一项都比它的前一项大2;

(2)各项均不为0,且从第二项起,每一项都是它的前一项的3倍.

5. 已知数列 {n(n+2)}.

(1)写出这个数列的第8项和第20项;

(2)323是不是这个数列中的项? 如果是,是第几项?

6. 写出数列{an}的前5项,并作出它的图象:

(1)an=2n+3; (2)an=3;

(3)an= 1

3(2ⁿ-1); (4)an= 1, 2n-1,

n 为奇数;

n 为偶数.

思考 ·运用

(第7题)

8. 已知数列{an}的通项公式是an=n²+3n+2,56是这个数列中的项吗? 如 果是,是第几项?

9. 已知数列{an}的通项公式是an=n²-8n+5.

(1)写出这个数列的前5项,并作出它的图象;

(2)这个数列所有项中有没有最小的项?

2. 2 ^等差数列

2.2.1 等差数列的概念

回顾本章 第 2.1 节 开 始 我 们 遇 到 的 数 列 ①,②,再 考 察 下 面 的 问题:

第23届到第28届奥运会举行的年份依次为 1984,1988,1992,1996,2000,2004.

某电信公司的一种计费标准是:通话时间不超过3分钟,收话费 0.2元,以后每分钟收话费0.1元.那么通话费按从小到大的次序依

次为

0.2,0.2+0.1,0.2+0.1×2,0.2+0.1×3,….

“本利和”是 指 本 金 与 利 息 的 和,按 照 单利计 算 本 利 和 的 公 式是

本利 和= 本 金 × (1+利率×存期).

如果1年期储蓄的月利率为1.65‰,那么将10000元分别存1 个月,2个月,3个月,……,12个月,所得的本利和依次为

10000+16.5,10000+16.5×2,…,10000+16.5×12.

● 上面这些数列有什么共同的特点?

在等 差 数 列 {an} 中,始终有

an+1-an=d.

一般地,如果一个数列从第二项起,每一项减去它的前一项所得 的差 都 等 于 同 一 个 常 数,那么这个数列就叫做等 差 数 列(arithmetic progression),这个常数叫做等差数列的公差(commondifference),公

差通常用d 表示.

思 考

例1 判断下列数列是否为等差数列:

(1)1,1,1,1,1;

(2)4,7,10,13,16;

(3)-3,-2,-1,1,2,3.

解 (1)所给数列是首项为1,公差为0的等差数列.

(2)所给数列是首项为4,公差为3的等差数列.

(3)因为

必修系列 数学5

(-1)- (-2)≠1- (-1), 所以这个数列不是等差数列.

例2 求出下列等差数列中的未知项:

(1)3,a,5;

(2)3,b,c,-9.

解 (1)根据题意,得

a-3=5-a, 解得

a =4.

(2)根据题意,得

b-3=c-b, c-b=-9-c, 解得

b=-1, c=-5.

例3 (1)在等差数列{an}中,是否有 an =an-1+an+1

2 (n ≥2)?

(2)在数列{aⁿ}中,如果对于任意的正整数n(n≥2),都有 an =an-1+aⁿ⁺¹

2 , 那么数列{an}一定是等差数列吗?

解 (1)因为{aⁿ}是等差数列,所以

an+1-aⁿ=aⁿ-an-1(n ≥2), 所以

an =an-1+an+1

2 .

(2)在数列{aⁿ}中,如果对于任意的正整数n(n≥2)都有 an =an-1+an+1

2 , 那么

an+1-aⁿ=aⁿ-an-1(n ≥2).

这表明,这个数列从第2项起,后一项减去前一项所得的差始终 相等,所以数列{an}是等差数列.

练 习

(1)-1,-1,-1,-1,-1;

(2)1,12,1 3,1

4; (3)1,0,1,0,1,0;

(4)2,4,6,8,10,12;

(5)7,12,17,22,27.

2.目前男子举重比赛共有10个级别,除108公斤以上级别外,其余的9个级 别 从轻到重依次为(单位:kg):54,59,64,70,76,83,91,99,108.这个 数列是等差数列吗?

3.已知下列数列是等差数列,试在括号内填上适当的数:

(1)( ),5,10; (2)1, 2,( );

(3)31,( ),( ),10.

4.已知数列 {an}是等差数列.

(1)如果a1=2,a3=6,求公差d 和a2; (2)如果a2=2,a3=5,求公差d 和a1; (3)如果a1=1,a2=4,求公差d 和a6.

5.已知数列{an}的通项公式,判断它是否为等差数列:

(1)an=3n+1; (2)an=4-2n;

(3)aⁿ=n²; (4)aⁿ=0.

6.已知a1,a2,a3,…,aⁿ,an+1,…,a2n是公差为d 的等差数列.

(1)aⁿ,an-1,…,a2,a1也是等差数列吗? 如果是,公差是多少?

(2)a2,a4,a6,…,a2n也是等差数列吗? 如果是,公差是多少?

2. 2. 2 等差数列的通项公式

观察等差数列{an}

4,7,10,13,16,…, 如何写出它的第100项a100呢?

我们有

a1=4,

a2=7=4+3, a3=10=4+3×2, a4=13=4+3×3,

……

从而

a100=4+3×99=301.

必修系列 数学5

● 设{an}是一个首项为a1,公差为d 的等差数列,你能写出它的 第n 项an 吗?

一般地,对于等差数列{an}的第n项an,有

an =a1+ (n-1)d.

这就是等差数列{an}的通项公式,其中a1为首项,d 为公差.

证 因为{an}为等差数列,所以当n≥2时,有 a2-a1=d, a3-a2=d,

……

an-an-1=d.

将上面n-1个等式的两边分别相加,得 an-a1 = (n-1)d, 所以

aⁿ =a1+ (n-1)d.

当n =1时,上面的等式也成立.

例1 第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行,此后每4年举 行一次.奥运会如因故不能举行,届数照算.

(1)试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式;

(2)2008年北京奥运会是第几届? 2050年举行奥运会吗?

解 (1)由题意知,举行奥运会的年份构成的数列是一个以1896为 首项,4为公差的等差数列.这个数列的通项公式为

an=1896+4(n-1)

=1892+4n (n ∈ N^*).

(2)假设aⁿ =2008,由2008=1892+4n,得n=29.

假设an=2050,2050=1892+4n无正整数解.

答 所求通项公式为aⁿ =1892+4n(n∈ N^*),2008年北京奥运会 是第29届奥运会,2050年不举行奥运会.

例2 在等差数列{an}中,已知a3 =10,a⁹=28,求a¹². 解 由题意,得

a1+2d =10, a1+8d =28.

解得

a1=4, d =3.

所以

a12=4+ (12-1)×3=37.

例3 已知等差数列{an}的通项公式为an=2n-1,求首项a1和公 差d.

或d =an+1-aⁿ

=2(n+1)-1- (2n -1)=2.

解 a1=2×1-1=1, a2=2×2-1=3, 所以

d =a2-a1=3-1=2.

图2 2 1

在例3中,等差数列的通项公式 an =2n-1

是关于n 的一次式,从图象上看(图2 2 1),表示这个数列的各点 (n,an)均在直线y =2x-1上.

思 考

练 习

(1)2,6,10,…;

(2)13,9,5,…;

(3)-12,1 2,3

2,….

2.(1)求等差数列8,5,2,…的第20项;

(2)等差数列-5,-9,-13,…的第几项是-401?

(3)-20是不是等差数列0,-72,-7,…的项? 如果是,是第几项? 如 果不是,请说明理由.

3.等差数列{aⁿ}的首项为a1,公差为d,项数为n.

(1)已知a1=3,d =2,n =6,求aⁿ; (2)已知a1=1,d =2,aⁿ=15,求n;

(3)已知a1= 12,n =5,aⁿ=8,求d;

(4)已知d =- 3

2,n =12,aⁿ=-8,求a1.

必修系列 数学5

4.已知等差数列的通项公式为an=1- 1

2n,求它的首项和公差,并画出它的 图象.

5.诺沃 尔 (Knowall)在 1740 年发现了一颗彗星,并推算 出 在 1823 年、1906 年、1989年……人们都可以看到这颗彗星,即彗星每隔83年出现一次.

(1)从发现那次算起,彗星第8次出现是在哪一年?

(2)你认为这颗彗星在2500年会出现吗? 为什么?

6.某滑轮组由直径成等差数列的6个滑轮组成.已知最小和最大的滑轮的直 径分别为15cm 和25cm,求中间四个滑轮的直径.

7.在等差数列{an}中,

(1)已知a5=19,a8=10,求a1和d;

(2)已知a4=10,a10=4,求a14.

习题 2. 2( 1)

感受·理解

(1)12,1,32,2,52;

(2)4,2,0,-2,-4;

(3)1, 2, 3,2.

2.求出下列等差数列中的未知项:

(1)a,b,-10,c,-20;

(2)x,lg3,lg6,y.

3.求下列等差数列的第n 项:

(1)-1,3,7,11,…;

(2)13,8,3,-2,…;

(3)13,- 1

3,-1,- 5 3,….

4.在等差数列{an}中,

(1)已知a1=-1,d =4,求a8; (2)已知d =- 1

3,a7=8,求a1;

(3)已知a1=9,d =-2,aⁿ=-15,求n.

5.在等差数列{an}中,

(1)已知a3=31,a7=76,求a1和d;

(2)已知a4=4,a8=-4,求a12; (3)已知a3=7,a6=16,求a10; (4)已知a1+a6=12,a4=7,求a9.

6.一个等差数列的第40项等于第20项与第30项的和,且公差是-10,试求 首项和第10项.

7.一种变速自行车后齿轮组由5个齿轮组成,它们的齿数成等差数列,其中最 小和最大的齿轮的齿数分别为12和28,求中间三个齿轮的齿数.

8.已知等差数列{an}的首项a1=16,公差d=-34. (1)此等差数列中从第几项开始出现负数?

(2)当|aⁿ|最小时,求n.

9.三个数成等差数列,它们的和是15,它们的平方和等于83,求这三个数.

10.如图(1)是一个三角形,分别连结这个三角形三边的中点,将原三角形剖分 成4个三角形(如图(2)),再分别连结图(2)中间的一个小三角形三边的中 点,又可将原三角形剖分成7个三角形(如图(3)).依此类推,第n个图中原 三角形被剖分为aⁿ个三角形.

(第10题) (1)求数列{aⁿ}的通项公式;

(2)第100个图中原三角形被剖分为多少个三角形?

11.如果a,A,b这三个数成等差数列,那么A =a+b2 .我们把A =a+b2 叫做 a 和b 的等差中项.试求下列各组数的等差中项:

(1)7+3 5和7-3 5;

(2)(m+n)²和(m -n)².

12.已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d.

(1)将数列{aⁿ}中的每一项都乘以常数a,所得的新数列仍是等差数列吗?

如果是,公差是多少?

(2)由数列{aⁿ}中的所有奇数项按原来的顺序组成的新数列{cn}是等差数 列吗? 如果是,它的首项和公差分别是多少?

思考 ·运用

{an+bn}是等差数列,并求它的公差.

15.已知{an}是等差数列,当 m +n=p+q时,是否一定有a^m+aⁿ=a^p+a^q? 16.在等差数列{an}中,已知ap=q,aq=p(p≠q),求a^p+q.

探究·拓展

在于:如 果 某 个 自 然 数n 出 现 在 表 中,那 么2n+1肯定不是质 数;如果n在表中不出 现,那么 2n+1 肯定

4 7 10 13 16 … 7 12 17 22 27 … 10 17 24 31 38 … 13 22 31 40 49 … 16 27 38 49 60 …

… … … …

必修系列 数学5

(1)这个“正方形筛子”的每一行有什么特点? 每一列呢?

(2)“正方形筛子”中位于第100行的第100个数是多少?

2. 2. 3 等差数列的前n项和

图2 2 2

先考察图2 2 2.这是某仓库堆放的一堆钢管,最上面的一层 有4根钢管,下面的每一层都比上一层多一根,最下面的一层有9根, 怎样计算这堆钢管的总数呢?

假设在这堆钢管旁边倒放着同样一堆钢管(图2 2 3).

图2 2 3

这样,每层的钢管数都等于4+9,共有6层.从而原来一堆钢管 的总数为

6× (4+9)

2 =39.

● 一般地,如何求等差数列{an}的前n项和Sⁿ? 设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则 Sⁿ=a1+a2+ … +aⁿ

=a1+ (a1+d)+ … + [a1+ (n-1)d]. ① 把各项的次序反过来,Sⁿ 又可以写成

Sⁿ=aⁿ+an-1+ … +a1

=aⁿ+ (an-d)+ … + [an- (n-1)d]. ② 由①+②得

2Sⁿ= (a1+aⁿ)+ (a¹+aⁿ)+ … + (a¹+aⁿ)

=n(a1+aⁿ),

由此可得等差数列{an}的前n项和公式 等差数列前n 项

的和等 于 首 末 两 项 和 的一半的n 倍.

Sn =n(a1+aⁿ) 2 .

根据等差数列的通项公式an =a1+ (n-1)d,又可得到 Sn =na1+n(n-1)

2 d.

例1 在等差数列{an}中,

(1)已知a1 =3,a50=101,求S50; (2)已知a1 =3,d = 12,求S10. 解 (1)根据等差数列前n项和公式,得

S50=3+1012 ×50=2600.

(2)根据等差数列前n项和公式,得 S10=10×3+10×9

2 × 1

2=105 2 .

例2 在等差数列{an}中,已知d= 1

2,an= 32,Sn=-15

2,求a1及n.

解 由题意,得

在等差 数 列 的 通 项公 式 与 前n 项和公 式中,含 有a1,d,n, an,Sⁿ 五 个 量,只 要

已 知 其 中 的 三 个 量, 就可以 求 出 余 下 的 两 个量.

a1+ 3 2

2 ×n =-152, a1+ (n-1)×12= 3

2.

􀮠

􀮢

􀮡

􀪁􀪁􀪁􀪁􀪁􀪁􀪁􀪁

①

②

由②,得

a1=- 1

2n+2, 代入①后化简,得

n²-7n-30=0.

所以n =10或 -3(舍去),从而a¹=-3.

例3 在等差数列{aⁿ}中,已知第1项到第10项的和为310,第11 项到第20项的和为910,求第21项到第30项的和.

解 设等差数列的首项为a1,公差为d,由题意,得 S10=310,

S20-S10=910, 即

10a¹+10×9

2 d =310,

20a¹+20×192 d-310=910,

􀮠

􀮢

􀮡

􀪁􀪁􀪁􀪁􀪁􀪁

必修系列 数学5

解得

a1=4, d =6.

所以a21=4+20×6=124,于是

a21+a22+ … +a30=10×124+10×9

2 ×6=1510, 即第21项到第30项的和为1510.

思 考

练 习

罐头,这样的摆法需要多少个罐头?

2.在等差数列{an}中,

(1)已知a1=7,a¹⁰=-43,求S¹⁰; (2)已知a1=100,d =-2,求S⁵⁰. 3.在等差数列{an}中,

(1)已知a1=1,d =2,n =15,求aⁿ和Sn; (2)已知a1=-13,d =2,aⁿ=7,求n 和Sⁿ; (3)已知a1=8,n =5,aⁿ= 1

2,求d 和Sⁿ; (4)已知aⁿ=2,n=12,Sⁿ=90,求a1和d.

4.在等差数列1 6,1

3,1 2,2

3,…中, (1)求前20项的和;

(2)已知前n项的和为1552 ,求n的值.

5.在等差数列{an}中,

(1)已知a15=-10,d =2,求S20; (2)已知a5=8,a9=24,求aⁿ和Sn; (3)已知a5=8,求S9.

6.在等差数列{an}中,已知S8=100,S16=392,试求S24.

例4 某剧场有20排座位,后一排比前一排多2个座位,最后一排 有60个座位,这个剧场共有多少个座位?

解 这个剧场各排的座位数组成等差数列{an},其中公差d=2,项数 n =20,且第20项是a20=60.

由等差数列的通项公式,得

60=a1+ (20-1)×2, 所以

a1=22.