第九章

(1)

第九章

簡單隨機抽樣與抽樣分配

(2)

學習目的

1. 了解抽樣的意義以及抽樣的重要性。

應用統計學林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 2006

(3)

學習目的

2. 了解抽樣誤差與非機率誤差。

(4)

學習目的

3. 知悉樣本大小、抽樣成本和抽樣誤差的關係。

(5)

學習目的

4. 了解簡單隨機抽樣。

(6)

學習目的

5. 了解樣本統計量：樣本平均數、樣本比例的抽樣分配的形狀及其平均數、變異數的計算。

(7)

學習目的

6. 了解中央極限定理及其應用。

(8)

學習目的

7. 了解其他抽樣方法。

(9)

學習目的

(10)

本章結構

簡單隨機抽樣與抽樣分配

抽樣的重要性與抽樣誤差

樣本比例的抽樣分配

Excel 的使用簡單隨機

抽樣

簡單隨機抽樣的方

法簡單隨機抽樣的實

施方法抽樣的

重要性抽樣誤差與非抽樣

誤差抽樣成本與抽樣誤

差抽樣單位與抽樣底

冊

抽樣分配

中央極限定理

其他抽樣分配母體比例與

樣本比例樣本比例的平均數與變異數樣本比例抽樣

分配的情形樣本比例抽樣

分配的應用樣本平均數的

抽樣分配

母體分配樣本平均數的抽樣分配抽樣誤差與非抽樣誤差樣本平均數的平均數與

變異數樣本平均數的平均數與

變異數

樣本平均數抽樣分配的

應用

(11)

•

統計推論係利用樣本統計量去推論母體的特質，

而樣本是否具有代表性會受抽樣方法的影響，因此抽樣方法非常重要。

抽樣的重要性

(12)

抽樣的重要性

等待看牙時間（母體）

(13)

抽樣的重要性

等待看牙時間（樣本一）等待看牙時間（樣本二）

(14)

•

^抽樣誤差

抽樣誤差是樣本統計量與相對應的母體參數間的差異。

此種差異來自抽樣過程中的機遇（chance）、抽樣方法及推論方法的不同。

抽樣誤差與非抽樣誤差

(15)

•

^抽樣誤差

抽樣誤差是樣本統計量與相對應的母體參數間的差異。

此種差異來自抽樣過程中的機遇（chance）、抽樣方法及推論方法的不同。

•

^{非抽樣誤差}

非抽樣誤差主要來自調查時的執行與事後在記錄、整理資料時所發生的錯誤。

抽樣誤差與非抽樣誤差

(16)

抽樣誤差與非抽樣誤差

樣本統計量母體參數

(17)

抽樣誤差與非抽樣誤差

估計誤差

(18)

抽樣誤差與非抽樣誤差

估計誤差

非抽樣誤差抽樣誤差

(19)

抽樣誤差與非抽樣誤差

估計誤差

資時料的

(20)

抽樣誤差與非抽樣誤差

估計誤差

資時料的整疏理失

抽樣方法

推論方法

樣本數

(21)

抽樣成本與抽樣誤差

(22)

抽樣底冊

•

^抽樣單位

抽樣母體中的一個母體元素或一組母體元素。

(23)

抽樣底冊

•

^抽樣單位

抽樣母體中的一個母體元素或一組母體元素。

•

^抽樣底冊

抽樣單位的名冊或一覽表。

(24)

簡單隨機抽樣

•

^{簡單隨機抽樣的意義}

抽取樣本時，若所有可能抽出的樣本被抽出的機率均相等，則稱該抽樣方法為簡單隨機抽樣。

(25)

簡單隨機抽樣

•

簡單隨機抽樣的實施方式 1. 抽籤式

(26)

簡單隨機抽樣

•

2. 以亂數表抽取樣本

(27)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 6824 7709 3937 3289 9545 620 3904 5203 6590 8769 2 237 7574 8607 1502 4776 944 4946 1519 4834 2810 3 1336 8960 2192 7132 9267 4262 6070 7664 7690 3873 4 6840 3016 3991 8582 1813 12 3781 8635 286 3932 5 5577 7452 9477 7942 7328 822 7876 6379 9014 6845 6 3495 3500 9497 8688 7764 17 1221 5816 8840 8573 7 5163 5127 5955 7826 982 3563 7783 1575 7738 9146 8 3746 5767 5137 3846 9113 3394 5172 3745 2574 5275 9 596 6736 4273 7665 8229 6933 6510 93 4091 4567 10 6553 4267 4071 3532 593 3874 5368 5295 6303 2629

亂數表

(28)

簡單隨機抽樣

•

2. 以亂數表抽取樣本 3. 用電腦做隨機抽樣

(29)

設定母體元素個數

^（編輯 → 填滿 → 數列）

(30)

設定母體元素個數

1~800

（編輯 → 填滿 → 數列）

(31)

設定母體元素個數

1~800

進行隨機抽樣

^（工具 → 資料分析 → 抽樣）

(32)

設定母體元素個數

1~800

進行隨機抽樣

^（工具 → 資料分析 → 抽樣）

抽取 50 個樣本

(33)

抽樣分配

•

^母體參數

母體參數是描述母體資料特性的統計測量數，一班簡稱為參數或母數。參數是我們想要獲取的，是統計的核心。

(34)

抽樣分配

•

^母體參數

•

^{樣本統計量}

樣本統計量為樣本的實體函數。通常用來描述樣本的資料特性，或用來推論母體參數。

(35)

抽樣分配

•

^母體參數

•

^{樣本統計量}

樣本統計量為樣本的實體函數。通常用來描述樣本的資料特性，或用來推論母體參數。

•

^抽樣分配

(36)

樣本平均數的抽樣分配

(37)

樣本平均數的抽樣分配

•

^母體分配

母體分配是母體元素的機率分配。

(38)

樣本平均數的抽樣分配

x f

22 1

25 2

28 1

30 1

N = 5

展示小姐的月薪的次數分配

•

^母體分配

(39)

x f(x)

22 1 / 5 = 0.2

25 2 / 5 = 0.4

28 1 / 5 = 0.2

展示小姐的月薪的母體機率分配

樣本平均數的抽樣分配

•

^母體分配

(40)

樣本平均數的抽樣分配

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

22 25 28 30 x

f(x)

µ = 26，σ

²= 7.6

展示小姐的月薪的母體機率分配

•

^母體分配

(41)

樣本平均數的抽樣分配

•

^母體分配

•

^{樣本平均數的抽樣分配}

設母體為隨機變數 X，其機率分配為 f(x)，若字母體中簡單 隨機抽取 n 個元素為一組樣本，表為 (X1

, X

2

, ... , X

n)，若令

，則為樣本平均數。其機率分配表為，

稱為樣本平均數的抽樣分配。

X = n X

i i = 1

/

n

^X ^{f x}

^{] g}

(42)

母體

N

(43)

母體

N

所有可能樣本

x

¹

⠇

x

n

抽樣

x

¹

⠇

x

n

S

1

S

2

S

⠇

(44)

母體

N

所有可能樣本所有樣本平均數

x

¹

⠇

x

n

抽樣

x

¹

⠇

x

n

x

1

⠇

x

ⁿ

S

1

S

2

S

^Cⁿ^N

⠇

x

1

=

n

/ x

x

₂

=

n

/ x

x

C_n^N

=

n

/ x

(45)

x ^{f x} ^{] g}

x

₁

1 C

_n^N

x

₂

1 C

_n^N

⠇ ⠇

x

_C_n^N

1 C

_n^N

的平均數與變異數

E X ] g

^、

_{V X} ] g

X

樣本平均數的機率分配

(46)

A = 22 B = 25 C = 25 D = 28 E = 30

展示小姐月薪的抽樣

(47)

A = 22 B = 25 C = 25 D = 28 E = 30

(ABC) (ABD) (ABE) (ACD) (ACE) (ADE) (BCD) (BCE) (BDE) (CDE)

展示小姐月薪的抽樣

(48)

A = 22 B = 25 C = 25 D = 28 E = 30

(ABC) (ABD) (ABE) (ACD) (ACE) (ADE) (BCD) (BCE) (BDE) (CDE)

X = 3

X

₁

+ X

₂

+ X

₃

定義

X

：樣本組的平均數展示小姐月薪的抽樣

(49)

樣本樣本平均數

(ABC) = (22 , 25 , 25) 24

(ABD) = (22 , 25 , 28) 25

(ABE) = (22 , 25 , 30) 25.66667

(ACD) = (22 , 25 , 28) 25

(ACE) = (22 , 25 , 30) 25.66667 (ADE) = (22 , 28 , 30) 26.66667

(BCD) = (25 , 25 , 28) 26

(BCE) = (25 , 25 , 30) 26.66667 (BDE) = (25 , 28 , 30) 27.66667

x

展示小姐月薪的樣本平均數

(50)

x x

²

^{f x} ^{] g} ^x

²

^{f x} ^{] g}

24 576 1 / 10 = 0.10 57.6

25 625 2 / 10 = 0.20 125

25.66667 659.7779489 2 / 10 = 0.20 131.7555898

26 676 1 / 10 = 0.10 67.6

26.66667 711.1112889 2 / 10 = 0.20 142.2222578 27.66667 765.4446289 2 / 10 = 0.20 153.0999258

∑ f( ) = 1.00x 677.2667733

展示小姐的月薪的抽樣分配

(51)

0.1 0.2 0.3

展示小姐的月薪抽樣分配圖

f x ^{] g}

(52)

樣本平均數的平均數與變異數

•

抽樣分配的平均數

X

E X ] g

_{= n}_X _{= n}

X

抽樣分配的平均數等於母體平均數，即

(53)

樣本平均數的平均數與變異數

•

X

E X ] g

_{= n}_X _{= n}

•

無限母體樣本平均數的變異數與標準差

v

²_X

= V X ] g _{= n} ^v

²

_v

_X

₌

n v

X

(54)

樣本平均數的平均數與變異數

•

X

E X ] g

_{= n}_X _{= n}

•

無限母體樣本平均數的變異數與標準差

•

有限母體抽出不放回樣本平均數的變異數與標準差

v

²_X

= V X ] g _{= n} ^v

²

_v

_X

₌

n v

v

²_X

= V X ] g _{= n} ^v

²

_{$ N - 1} ^{N - n} v

_X

=

n

v $ N - 1

N - n

X

(55)

常態母體樣本平均數的抽樣分配

•

常態母體的抽樣分配

X

X X

設母體

X 為一常態分配，表為 X ~ N(µ , σ

²)，自母體中簡單隨機抽取 n 個為樣本，令 = ∑ X / n，

則不論樣本數為何

為一常態分配，且平均數為 µ、變異數為 σ

²

/ n 表為：

X ~N n, n a v

²

k

(56)

中央極限定理

•

中央極限定理（非常態母體的抽樣分配）

X

無論母體為何種分配，自母體簡單隨機抽取

n 個為

一組樣本，若樣本數

n 夠大（一般認為 n ≥ 30），

則樣本平均數的抽樣分配會趨近於常態分配。

(57)

中央極限定理

•

中央極限定理（非常態母體的抽樣分配）

X

無論母體為何種分配，自母體簡單隨機抽取

n 個為

一組樣本，若樣本數

n 夠大（一般認為 n ≥ 30），

則樣本平均數的抽樣分配會趨近於常態分配。

母體分配 A 母體分配 B

(58)

n = 5

抽樣分配 A 抽樣分配 B

µ µ

(59)

n = 10 n = 5

抽樣分配 A 抽樣分配 B

(60)

n = 30 n = 10

n = 5

抽樣分配 A 抽樣分配 B

µ µ

(61)

n = 30 n = 10

n = 5

抽樣分配 A 抽樣分配 B

(62)

中央極限定理

•

應用中央極限定理的注意事項

1. 一般而言，不論母體為何種分配，當 n ≥ 30 時，

漸趨於常態分配。

X

(63)

中央極限定理

•

2. 中央極限定理可適用於樣本統計量為隨機樣本 (X1, X2, ... , Xn) 線性函數的情況。

X

(64)

中央極限定理

•

3. 若母體為非常態分配，雖是大樣本，則其抽樣分配不是常態分配，而是近似常態分配。

X

(65)

中央極限定理

•

3. 若母體為非常態分配，雖是大樣本，則其抽樣分配不是常態分配，而是近似常態分配。

X

(66)

的抽樣分配

X

樣本母體分配抽樣分配

大樣本母體為常態分配

(n ≥ 30)

母體非常態分配

小樣本母體為常態分配

(n < 30)

母體非常態分配

X

的分配決定於母體分配

X ~N n, n a v

²

k

X ~N n, n a v

²

k

X ~N n, n a v

²

k

(67)

樣本平均數的抽樣分配 - Excel

工具 → 資料分析 → 亂數產生器

(68)

樣本平均數的抽樣分配 - Excel

(69)

工具 → 資料分析 → 敘述統計

樣本平均數的抽樣分配 - Excel

(70)

工具 → 資料分析 → 直方圖

樣本平均數的抽樣分配 - Excel

(71)

樣本比例的抽樣分配

•

^母體比例

p = K N

(72)

樣本比例的抽樣分配

•

^母體比例

•

^樣本比例

p = K N

W p

= n k

= n X

i i = 1

/

n

(73)

樣本比例的抽樣分配

•

^母體比例

•

^樣本比例

•

^{樣本比例的平均數}

p = K N

W p

= n k

= n X

i i = 1

/

n

E p _{a k} W

= n = p

(74)

樣本比例的抽樣分配

•

^{變異數與標準差}

1. 無限母體

V p _{a k}

W

= vWp

2 = n

pq

v

Wp

= pq n

(75)

樣本比例的抽樣分配

•

^{變異數與標準差}

1. 無限母體

2. 有限母體

V p _{a k}

W

= vWp

2 = n

pq

v

Wp

= pq n

V p _{a k} W

= v

Wp

2

= n pq

$ N - 1 N - n

(76)

樣本比例的抽樣分配

點二項分配

(77)

樣本比例抽樣分配的形狀

母體為一點二項分配 E(X) = p , V(X) = pq

母體無限母體有限

大樣本

np > 5 , nq > 5

小樣本

W~N p, n p _b pq _l

W~N p, n p pq

N - 1 N - n

c m

超幾何分配

W~p p, npq

N - 1 N - n

c m

p

二項分配

W~

_b p, n pq _l

(78)

分層抽樣－比例抽樣

第一層第二層 ... 第 K 層

n¹ n² n^k

(79)

分層抽樣－比例抽樣

樣本

分層抽樣是將母體依其特性，或依與調查目的有關的性質，分成幾類或組。母體中的每一個個體或元素都屬

第一層第二層 ... 第 K 層

n¹ n² n^k

(80)

部落抽樣

第一母體

部落

第二部落

第 K

... 部落

(81)

部落抽樣

部落抽樣是先將母體中相鄰的某些群體劃分為 n 個不同 的部落，母體中的每一個元素均屬於其中的一個部落，

且是唯一的一個部落。然後再從這些部落中隨機抽取部

第一母體

部落

第二部落

第 K

... 部落

樣本

隨機抽樣

(82)

系統抽樣

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 ... k (k+1) (k+2) ... N 母體

(83)

系統抽樣

系統抽樣法是自母體自然隨機排列的資料中，每隔一定間隔選取一個樣本，直到抽

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 ... k (k+1) (k+2) ... N 母體

樣本

6 12 18

(84)

以 Excel 做系統抽樣

工具 → 資料分析 → 抽樣

母體資料範圍

(85)

以 Excel 做系統抽樣

工具 → 資料分析 → 抽樣

母體資料範圍

抽樣週期

(86)

以 Excel 做系統抽樣

(87)

分段抽樣

... 母體

(88)

分段抽樣

... 母體

部落抽樣或分層抽樣

(89)

分段抽樣

分段抽樣法是將母體按照某些特性或某種分類標準分為數個部落或層別，先由這些部落或層別中抽出幾個部落或層別，

此為第一段。再由已經抽出的部落或層別，依特性或分類標準再抽出部落或層別，此為第 ... 母體

部落抽樣或分層抽樣

(90)

•

^{判斷抽樣法}

統計人員或調查研究人員根據自己的專長、知識、研究的目的來選取代表性的樣本，此種抽樣方法稱為判斷抽樣法，又稱為目的抽樣法。

非機率抽樣法

(91)

•

^{判斷抽樣法}

統計人員或調查研究人員根據自己的專長、知識、研究的目的來選取代表性的樣本，此種抽樣方法稱為判斷抽樣法，又稱為目的抽樣法。

•

^{方便抽樣法}

方便抽樣法式調查研究人員以現有的或方便取得的方式來抽取樣本的方法。

非機率抽樣法