解一元一次不等式

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解一元一次不等式

認識一元一次不等式 一元一次不等式的解

一元一次不等式解的圖示法 解一元一次不等式

認識一元一次不等式

在上學期曾經學過三一律，即任意兩

數 a 、 b 間的大小關係有三種情形 a ＞

b

搭配頁數 P.182

解一元一次不等式

搭配頁數 P.182

例如：某次數學段考，

小源的成績為 x 分，小芸 的成績為 80 分，以下三種 情形恰有一種會成立。

(1) 如果小源的成績高於

小芸的成績，則 x ＞ 80

。

(2) 如果小源的成績等於

小芸的成績，則 x ＝ 80

。

(3) 如果小源的成績低於

小芸的成績，則 x ＜ 80

。

搭配頁數 P.182

搭配頁數 P.182

搭配頁數 P.182

表示 x ＝ 80 不成立，可記為「 x ≠ 80 」，

讀作「 x 不等於 80 」。

搭配頁數 P.183

列成不等式

(1) 2x ＞ 18 (2) 3y ＜ 5

(3) 不大於 6 ，表示小於 6 或等於 6 將下列各敘述列成不等式：

(1) 2x 大於 18 (2) 3y 比 5 小

(3) 2x － 3 不大於 6 (4) 4y ＋ 1 不小於 7

搭配頁數 P.183

解

(4) 不小於 7 ，表示大於 7 或等於 7

將下列各敘述列成不等式：

(1)4x 小於 3.2 (2) y 比 20 大

(3) 5x ＋ 2 不小於 0 (4) y － 1 不大於 3

4x ＜ 3.2 y

解

搭配頁數 P.183

搭配頁數 P.183

搭配頁數 P.184

符號 讀法 同義詞舉例

＞ 大於 超過，高於

＜ 小於 不足，不滿，不到，低於

≥ 大於或 等於

不小於，不低於，至少，

以上 ( 含 )

≤ 小於或 等於

不大於，不超過，不高於

，至多，以下 ( 含 )

≠ 不等於 不相等，相異，非

依情境列出不等式

一共用去了 100 ＋ 200x 元，且 不超過 500 元，

宏仁與媽媽上市場買了 100 元的牛肉及每公斤 200 元的蝦 子 x 公斤，且所用去的錢不超過 500 元。依上述的情形列 出不等式。

搭配頁數 P.184

解

小明的體重是 56 公斤，小華的體重是 62 公斤，如果小哲體重為 x 公斤，回答下列 問題：

(1)3 人的平均體重為多少公斤？

( 以 x 表示 )

(2) 如果 3 人的平均體重不低於 60 公斤

，

依此關係列出不等式。

解

搭配頁數 P.184

搭配頁數 P.185

一元一次不等式的解

(1) 將 x ＝2 代入 3x － 4 可得 3×2 － 4 ＝ 2

解

搭配頁數 P.185

( 小於 5)

判別不等式的解

(2) 將 x ＝ 3 代入 3x － 4 可得 3×3 － 4 ＝ 5

( 等於 5)

( 大於 5)

 

解

搭配頁數 P.185

(1) 將 x ＝－ 1 代入 2x ＋ 3 可得 2×( － 1) ＋ 3 ＝ 1

( 小於 7)

(2) 將 x ＝ 2 代入 2x ＋ 3 可得 2×2 ＋ 3 ＝ 7

( 等於 7)

( 大於 7)

 

搭配頁數 P.186

一元一次不等式解的圖示法

搭配頁數 P.186

A

0 1 2 3

A

0 1 2 3

搭配頁數 P.186

A

0 1 2 3

如果要畫出 x ＜ 3 的圖形，因為所有小 於 3 的數，其圖形在 A 點的左邊，所以

x

。

圖 5-4

因為 x ＜ 3 不包括 x ＝ 3 ，所以 A 點 用空心的圓點「 」表示。

搭配頁數 P.187

A

0 1 2 3

解

搭配頁數 P.187

0 1 2 － 3 0 1

2. 寫出下列各圖示所表示的不等式：

(1) (2)

解

搭配頁數 P.187

-1 0 1 -5 ^{0 1}

x ＞

搭配頁數 P.188

解一元一次不等式

在數線上，如果以向右為正向，則愈右邊 的點所代表的數愈大。如圖 5-5 的數線中，

點 A(a) 的位置在點 B(b) 的右邊，即 a ＞

b 。

搭配頁數 P.188

B A

b a

圖 5- 5

將 A 、 B 兩點同時向右移動 c 個單位 長，則移動後 A 點的位置仍然在 B 點的 右邊，

即 a ＋ c ＞ b ＋ c ，如圖 5-6 。

搭配頁數 P.188

B A

b a

圖 5- 6

c

b+c

c

a+c

將 A 、 B 兩點同時向左移動 c 個單位 長，則移動後 A 點的位置仍然在 B 點的 右邊，即 a － c ＞ b － c ，如圖 5-7 。

搭配頁數 P.188

B A

b a

圖 5- 7

c

b － c

c

a － c

搭配頁數 P.189

不等式的等量公理

如果 a ＞ b ， c 為任意數，則

(1) a ＋ c ＞ b ＋ c ， (2) a － c ＞ b － c 。

解下列各不等式，並在數線上圖示其解：

(1) x － 2 ＜－ 3

x － 2 ＜－ 3

x ＜－ 1 解

搭配頁數 P.189

x

因此所有小於－ 1 的數就是 它的所有解，圖示如下：

利用等量公理解不等式

不等號兩邊 同加上 2

0 1 -1

解

搭配頁數 P.189

因此所有大於或等於 3 的數 就是它的所有解，圖示如下：

利用等量公理解不等式

不等號兩邊 同減去 x

0 1 3

搭配頁數 P.189

解

搭配頁數 P.190

3x － 2x ＞ 1

x

9 0 1 0 1

在解不等式的過程中，有些步驟可以省略

，說明如下：

搭配頁數 P.190

看起來好像把不等 號左邊的「－ 3 」

，移到不等號的右 邊變成「＋ 3 」。

4x － 3 ＞ 3x ＋ 1

4x － 3 ＋ 3 ＞ 3x ＋ 1 ＋ 3

＋ 3 _{看起來好像把不等}

號右邊的「＋ 3x 」

，移到不等號的左 邊變成「－ 3x 」。

4x ＞ 3x ＋ 4

4x － 3x ＞ 3x ＋ 4 － 3x

x

因此，解為 x ＞ 4

。

灰色字體的步驟，

在熟練後可以省略

搭配頁數 P.190

不等式的移項

在不等式的運算中，將式子中的項從不等 號的一邊移到另一邊時，須改變其運算符 號，亦即＋變成－（－變成＋）。

解下列各不等式，並在數線上圖示其解：

(1) 7x － 3 ＞ 6x ＋ 1

利用等量公理解題 利用移項法則解題

x － 3 ＞ 1 x － 3 ＞ 1 解

搭配頁數 P.191

7x － 3 ＞ 6x ＋ 1 7x － 3 ＞ 6x ＋ 1

x

等量公理與移項法則的比較

7x － 3 － 6x ＞ 6x ＋ 1 － 6x 7x － 6x

－ 3 ＞ 1

x

0 1 4

利用等量公理解題 利用移項法則解題 解

搭配頁數 P.191

等量公理與移項法則的比較

其解圖示：

0 1 3

解

搭配頁數 P.192

x

3x － 2x ＜ 8 ＋ 2

0 1 10

解

搭配頁數 P.192

0 1 6

搭配頁數 P.192

搭配頁數 P.192

不等式 ^{不等號兩邊同}_{乘以 5} 不等號兩邊同乘以 － 5 3 ＞ 2 3×5 ＞ 2×5 3×( － 5)

＜

－ 4 ＞－

5 ( － 4)×5 ＞ ( －

5)×5 ( － 4)×( － 5) ＜ ( － 5)×

( － 5)

3 ＞－ 2 3×5 ＞ ( －

2)×5 3×( － 5)

＜

5 ＞ 0 5×5 ＞ 0×5 5×( － 5)

＜

3)×5 0×( － 5)

＜

a ＞ b

＜

搭配頁數 P.193

不等式的乘法

將不等號的兩邊同乘以一個正數，原來大 的一邊還是大，小的一邊還是小。

將不等號的兩邊同乘以一個負數，原來大 的一邊會變小，小的一邊會變大。

1 如果 a ＞ b ， c ＞ 0 ，則 a×c ＞ b×c 。 2 如果 a ＞ b ， c ＜ 0 ，則 a×c ＜ b×c

。

綜合上面的說明可以發現：

將不等號的兩邊同除以一個正數，相當於兩 邊同乘以該數的倒數 ( 也是一個正數 ) ，原 來大的一邊還是大，小的一邊還是小。

將不等號的兩邊同除以一個負數，相當於兩 邊同乘以該數的倒數 ( 也是一個負數 ) ，則 原來大的一邊會變小，小的一邊會變大。

搭配頁數 P.193

搭配頁數 P.193

不等式的除法

解

搭配頁數 P.194

同乘、 除以正數解不等式

不等號的兩 邊同乘以 4

其解圖示：

0 1 4

解下列各不等式，並在數線上圖示其解：

(2) 3x ＞－ 9

3x÷3 ＞ ( － 9)÷3 解

搭配頁數 P.194

得 x ＞－ 3

同乘、 除以正數解不等式

不等號的兩 邊同除以 3

其解圖示：

0 1 -3

解

搭配頁數 P.194

不等號的兩 邊同乘以 5

其解圖示：

0 1 2

0 1

解

搭配頁數 P.194

得 x ＜－ 5

不等號的兩 邊同除以 4

其解圖示：

-5

0

解

搭配頁數 P.195

同乘、除以負數解不等式

其解圖示：

0

搭配頁數 P.195

同乘、除以負數解不等式

其解圖示：

解

不等號的兩 邊同除以 － 2

解

搭配頁數 P.195

-3 -2 0

其解圖示：

解

搭配頁數 P.195

其解圖示：

0 1 4

解

搭配頁數 P.196

利用移項法則解不等式

移項

兩邊同除以 3

解下列各不等式：

(2) － 2x ＋ 5 ＞ 8 － x

－ 2x ＋ 5 ＞ 8 － x

－ x ＞ 3

解

搭配頁數 P.196

－ 2x ＋ x ＞ 8 － 5

得 x ＜－

3

利用移項法則解不等式

移項

不等號兩邊同除以 － 1

，則「＞」變成「＜」。

解下列各不等式：

(1) － 4x ＋ 3 ＜－ 8

解

搭配頁數 P.196

－ 4x ＋ 3 ＜－ 8

－ 4x ＜－ 11

－ 4x ＜－ 8 － 3 ^移項

兩邊同除以 － 4

，則＜變成＞

解

搭配頁數 P.196

移項

解下列各不等式：

(1) 5(x ＋ 3) ＜ 4(3x － 1) ＋ 5 5(x ＋ 3) ＜ 4(3x － 1) ＋ 5

解

搭配頁數 P.197

5x ＋ 15 ＜ 12x － 4

＋ 55x ＋ 15 ＜ 12x ＋ 1

展開後移項解不等式

5x － 12x ＜ 1 － 15

－ 7x ＜－ 14 得 x ＞ 2

解

搭配頁數 P.197

展開後移項解不等式

解下列各不等式：

(1) 4(x － 5) － 2(3x ＋ 1) ＞ 0

解

搭配頁數 P.197

4x － 20 － 6x － 2 ＞ 0

－ 2x － 22 ＞ 0

－ 2x ＞ 22

x

解

搭配頁數 P.197

解

搭配頁數 P.198

去分母再化簡解不等式

不等號的兩 邊同乘以 2

解

搭配頁數 P.198

3(x － 1) ＜ 4(x ＋ 2) 3x － 3 ＜ 4x ＋

8 － x ＜

11 x ＞－ 11

解

搭配頁數 P.198

不等號：

搭配頁數 P.199

一元一次不等式：

(1) 包含不等號的數學式子，稱為不等式。

(2) 只含有一種未知數，且最高次方為一次 的不等式，稱為一元一次不等式。

搭配頁數 P.199

一元一次不等式的解：

(1) 如果將一個數代入不等式中的未知數，

而不等式仍然成立，則這個數稱為此不 等式的一個解。

搭配頁數 P.199

x

(2) 解不等式時，須呈現不等式所有的解。

一元一次不等式 2x ＋ 5 ＞ 1 的解 為 x ＞－ 2 。

利用等量公理的觀念解不等式：

搭配頁數 P.199

一元一次不等式解的形式與圖示：

搭配頁數 P.200

k

搭配頁數 P.200

k

k

(4) x ＜ k

表示所有比 k 小的數都是不等式的解

，圖示如下：

搭配頁數 P.200

k

依題意列出各不等式：

1. 張三買了 4 本書，每本 x 元， 4 本 書的總價不低於 500 元。

則可列出不等式 ____________

2. 李四帶 300 元去買文具，共花了 x 元，而剩下的錢不超過 50 元。

則可列出不等式 ____________

搭配頁數 P.201

解

1

依題意列出各不等式：

3. 王五的撲滿內原有 x 元，再存入 100 元後，仍然不滿 350 元。

則可列出不等式 ______________

4. 趙六的身高是 160 公分，如果長高 x 公分後，就超過 180 公分。

則可列出不等式 _____________

搭配頁數 P.201

解

x

160 ＋ x ＞ 180

1

(4) 3×( 0 ) － 4 ＝ － 4 5×( 0 ) ＋ 6 ＝ 6

搭配頁數 P.201

(3) 3×( － 4) － 4 ＝ － 16 5×( － 4) ＋ 6 ＝ － 14

(1) 3×( － 6.5) － 4 ＝ － 23.5 5×( － 6.5) ＋ 6 ＝ － 26.5

－ 23.5 ＞－

26.5 是解 解

2

搭配頁數 P.201

－ 3 0 1

0 1 6

－ 5 0 1 0 1 4

解

3

解下列各一元一次不等式，並在數線上圖示 其解： (1) 2x － 3 ＜ 5

搭配頁數 P.202

2x ＜ 5 ＋ 3 2x ＜ 8

x ＜ 4

0 1 4

解

4

搭配頁數 P.202

3x ＋ 3 ＞ x

－ 73x － x ＞－ 7

－ 3

x ＞－ 5

-5 0 1

2x ＞－ 10

解

4

搭配頁數 P.202

解

5

－ x ＋ 3 ＜－ 5x ＋ 10

搭配頁數 P.202

－ x ＋ 5x ＜ 10 － 3 4x ＜ 7

解

5

(2) － (x － 3) ＜－ 5(x － 2)

5x － 20 ＜ 8x ＋ 1

搭配頁數 P.202

5x － 8x ＜ 1 ＋ 20

－ 3x ＜ 21

x

解

5

搭配頁數 P.202

解

5

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解