解一元一次不等式

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(1)

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解一元一次不等式

認識一元一次不等式 一元一次不等式的解

一元一次不等式解的圖示法 解一元一次不等式

(2)

認識一元一次不等式

在上學期曾經學過三一律,即任意兩

數 a 、 b 間的大小關係有三種情形 a >

b

, a = b , a < b ,其中恰好有一種會 成立。

搭配頁數 P.182

解一元一次不等式

(3)

搭配頁數 P.182

例如:某次數學段考,

小源的成績為 x 分,小芸 的成績為 80 分,以下三種 情形恰有一種會成立。

(1) 如果小源的成績高於

小芸的成績,則 x > 80

(2) 如果小源的成績等於

小芸的成績,則 x = 80

(3) 如果小源的成績低於

小芸的成績,則 x < 80

(4)

搭配頁數 P.182

(5)

搭配頁數 P.182

(6)

搭配頁數 P.182

表示 x = 80 不成立,可記為「 x ≠ 80 」,

讀作「 x 不等於 80 」。

(7)

搭配頁數 P.183

(8)

列成不等式

(1) 2x > 18 (2) 3y < 5

(3) 不大於 6 ,表示小於 6 或等於 6 將下列各敘述列成不等式:

(1) 2x 大於 18 (2) 3y 比 5 小

(3) 2x - 3 不大於 6 (4) 4y + 1 不小於 7

搭配頁數 P.183

(4) 不小於 7 ,表示大於 7 或等於 7

(9)

將下列各敘述列成不等式:

(1)4x 小於 3.2 (2) y 比 20

(3) 5x + 2 不小於 0 (4) y - 1 不大於 3

4x < 3.2 y

> 20

搭配頁數 P.183

(10)

搭配頁數 P.183

(11)

搭配頁數 P.184

符號 讀法 同義詞舉例

> 大於 超過,高於

< 小於 不足,不滿,不到,低於

≥ 大於或 等於

不小於,不低於,至少,

以上 ( 含 )

≤ 小於或 等於

不大於,不超過,不高於

,至多,以下 ( 含 )

≠ 不等於 不相等,相異,非

(12)

依情境列出不等式

一共用去了 100 + 200x 元,且 不超過 500 元,

宏仁與媽媽上市場買了 100 元的牛肉及每公斤 200 元的蝦 子 x 公斤,且所用去的錢不超過 500 元。依上述的情形列 出不等式。

搭配頁數 P.184

(13)

小明的體重是 56 公斤,小華的體重是 62 公斤,如果小哲體重為 x 公斤,回答下列 問題:

(1)3 人的平均體重為多少公斤?

( 以 x 表示 )

(2) 如果 3 人的平均體重不低於 60 公斤

依此關係列出不等式。

搭配頁數 P.184

(14)

搭配頁數 P.185

一元一次不等式的解

(15)

(1) 將 x 2 代入 3x - 4 可得 3×2 - 4 = 2

搭配頁數 P.185

( 小於 5)

判別不等式的解

(2) 將 x 3 代入 3x - 4 可得 3×3 - 4 = 5

( 等於 5)

( 大於 5)

 

(16)

搭配頁數 P.185

(1) 將 x =- 1 代入 2x + 3 可得 2×( - 1) + 3 = 1

( 小於 7)

(2) 將 x = 2 代入 2x + 3 可得 2×2 + 3 = 7

( 等於 7)

( 大於 7)

 

(17)

搭配頁數 P.186

一元一次不等式解的圖示法

(18)

搭配頁數 P.186

A

0 1 2 3

A

0 1 2 3

(19)

搭配頁數 P.186

A

0 1 2 3

(20)

如果要畫出 x < 3 的圖形,因為所有小 於 3 的數,其圖形在 A 點的左邊,所以

x

< 3 的圖形為 A 點左邊所有點所形成的 圖形,如圖 5-4

圖 5-4

因為 x < 3 不包括 x = 3 ,所以 A 點 用空心的圓點「 」表示。

搭配頁數 P.187

A

0 1 2 3

(21)

搭配頁數 P.187

0 1 2 3 0 1

(22)

2. 寫出下列各圖示所表示的不等式:

(1) (2)

搭配頁數 P.187

-1 0 1 -5 0 1

x >

- 1

(23)

搭配頁數 P.188

解一元一次不等式

(24)

在數線上,如果以向右為正向,則愈右邊 的點所代表的數愈大。如圖 5-5 的數線中,

點 A(a) 的位置在點 B(b) 的右邊,即 a

b 。

搭配頁數 P.188

B A

b a

5- 5

(25)

將 A 、 B 兩點同時向右移動 c 個單位 長,則移動後 A 點的位置仍然在 B 點的 右邊,

即 a + c > b + c ,如圖 5-6 。

搭配頁數 P.188

B A

b a

圖 5- 6

c

b+c

c

a+c

(26)

將 A 、 B 兩點同時向左移動 c 個單位 長,則移動後 A 點的位置仍然在 B 點的 右邊,即 a - c > b - c ,如圖 5-7 。

搭配頁數 P.188

B A

b a

圖 5- 7

c

b - c

c

a - c

(27)

搭配頁數 P.189

不等式的等量公理

如果 a > b , c 為任意數,則

(1) a + c > b + c , (2) a - c > b - c 。

(28)

解下列各不等式,並在數線上圖示其解:

(1) x - 2 <- 3

x - 2 <- 3

x <- 1

搭配頁數 P.189

x

- 2 + 2 <- 3 + 2

因此所有小於- 1 的數就是 它的所有解,圖示如下:

利用等量公理解不等式

不等號兩邊 同加上 2

0 1 -1

(29)

搭配頁數 P.189

因此所有大於或等於 3 的數 就是它的所有解,圖示如下:

利用等量公理解不等式

不等號兩邊 同減去 x

0 1 3

(30)

搭配頁數 P.189

(31)

搭配頁數 P.190

3x - 2x > 1

x

> 1

9 0 1 0 1

(32)

在解不等式的過程中,有些步驟可以省略

,說明如下:

搭配頁數 P.190

看起來好像把不等 號左邊的「- 3 」

,移到不等號的右 邊變成「+ 3 」。

4x - 3 > 3x + 1

4x - 3 + 3 > 3x + 1 + 3

4x > 3x + 1

+ 3 看起來好像把不等

號右邊的「+ 3x 」

,移到不等號的左 邊變成「- 3x 」。

4x > 3x + 4

4x - 3x > 3x + 4 - 3x

4x - 3x > 4

x

> 4

因此,解為 x > 4

灰色字體的步驟,

在熟練後可以省略

(33)

搭配頁數 P.190

不等式的移項

在不等式的運算中,將式子中的項從不等 號的一邊移到另一邊時,須改變其運算符 號,亦即+變成-(-變成+)。

(34)

解下列各不等式,並在數線上圖示其解:

(1) 7x - 3 > 6x + 1

利用等量公理解題 利用移項法則解題

x - 3 > 1 x - 3 > 1

搭配頁數 P.191

7x - 3 > 6x + 1 7x - 3 > 6x + 1

x

- 3 + 3 > 1 + 3 x > 1 + 3

等量公理與移項法則的比較

7x - 3 - 6x > 6x + 1 - 6x 7x - 6x

- 3 > 1

x

> 4 x > 4 其解圖示:

0 1 4

(35)

利用等量公理解題 利用移項法則解題

搭配頁數 P.191

等量公理與移項法則的比較

其解圖示:

0 1 3

(36)

搭配頁數 P.192

x

< 10

3x - 2x < 8 + 2

0 1 10

(37)

搭配頁數 P.192

0 1 6

(38)

搭配頁數 P.192

(39)

搭配頁數 P.192

不等式 不等號兩邊同乘以 5 不等號兩邊同乘以 - 5 3 > 2 3×5 2×5 3×( - 5)

2×( - 5)

- 4 >-

5 ( - 4)×5 (

5)×5 ( - 4)×( - 5) ( - 5)×

( - 5)

3 >- 2 3×5 (

2)×5 3×( - 5)

( - 2)×( - 5)

5 > 0 5×5 0×5 5×( - 5)

0×( - 5) 0 >- 3 0×5 (

3)×5 0×( - 5)

( - 3)×( - 5)

a > b

5a 5b - 5a

- 5b

(40)

搭配頁數 P.193

不等式的乘法

將不等號的兩邊同乘以一個正數,原來大 的一邊還是大,小的一邊還是小。

將不等號的兩邊同乘以一個負數,原來大 的一邊會變小,小的一邊會變大。

1 如果 a > b , c > 0 ,則 a×c > b×c 。 2 如果 a > b , c < 0 ,則 a×c b×c

綜合上面的說明可以發現:

(41)

將不等號的兩邊同除以一個正數,相當於兩 邊同乘以該數的倒數 ( 也是一個正數 ) ,原 來大的一邊還是大,小的一邊還是小。

將不等號的兩邊同除以一個負數,相當於兩 邊同乘以該數的倒數 ( 也是一個負數 ) ,則 原來大的一邊會變小,小的一邊會變大。

搭配頁數 P.193

(42)

搭配頁數 P.193

不等式的除法

(43)

搭配頁數 P.194

同乘、 除以正數解不等式

不等號的兩 邊同乘以 4

其解圖示:

0 1 4

(44)

解下列各不等式,並在數線上圖示其解:

(2) 3x >- 9

3x÷3 > ( - 9)÷3

搭配頁數 P.194

得 x >- 3

同乘、 除以正數解不等式

不等號的兩 邊同除以 3

其解圖示:

0 1 -3

(45)

搭配頁數 P.194

不等號的兩 邊同乘以 5

其解圖示:

0 1 2

(46)

0 1

搭配頁數 P.194

得 x <- 5

不等號的兩 邊同除以 4

其解圖示:

-5

(47)

0

搭配頁數 P.195

同乘、除以負數解不等式

其解圖示:

(48)

0

搭配頁數 P.195

同乘、除以負數解不等式

其解圖示:

不等號的兩 邊同除以 - 2

(49)

搭配頁數 P.195

-3 -2 0

其解圖示:

(50)

搭配頁數 P.195

其解圖示:

0 1 4

(51)

搭配頁數 P.196

利用移項法則解不等式

移項

兩邊同除以 3

(52)

解下列各不等式:

(2) - 2x + 5 > 8 - x

- 2x + 5 > 8 - x

- x > 3

搭配頁數 P.196

- 2x + x > 8 - 5

得 x <-

3

利用移項法則解不等式

移項

不等號兩邊同除以 - 1

,則「>」變成「<」。

(53)

解下列各不等式:

(1) - 4x + 3 <- 8

搭配頁數 P.196

- 4x + 3 <- 8

- 4x <- 11

- 4x <- 8 - 3 移項

兩邊同除以 - 4

,則<變成>

(54)

搭配頁數 P.196

移項

(55)

解下列各不等式:

(1) 5(x + 3) < 4(3x - 1) + 5 5(x + 3) < 4(3x - 1) + 5

搭配頁數 P.197

5x + 15 < 12x - 4

+ 55x + 15 < 12x + 1

展開後移項解不等式

5x - 12x < 1 - 15

- 7x <- 14 得 x > 2

(56)

搭配頁數 P.197

展開後移項解不等式

(57)

解下列各不等式:

(1) 4(x - 5) - 2(3x + 1) > 0

搭配頁數 P.197

4x - 20 - 6x - 2 > 0

- 2x - 22 > 0

- 2x > 22

x

<- 11

(58)

搭配頁數 P.197

(59)

搭配頁數 P.198

去分母再化簡解不等式

不等號的兩 邊同乘以 2

(60)

搭配頁數 P.198

3(x - 1) < 4(x + 2) 3x - 3 < 4x +

8 - x <

11 x >- 11

(61)

搭配頁數 P.198

(62)

不等號:

搭配頁數 P.199

(63)

一元一次不等式:

(1) 包含不等號的數學式子,稱為不等式。

(2) 只含有一種未知數,且最高次方為一次 的不等式,稱為一元一次不等式。

搭配頁數 P.199

(64)

一元一次不等式的解:

(1) 如果將一個數代入不等式中的未知數,

而不等式仍然成立,則這個數稱為此不 等式的一個解。

搭配頁數 P.199

x

= 1 是一元一次不等式 2x + 5 > 1 的一個解。

(2) 解不等式時,須呈現不等式所有的解。

一元一次不等式 2x + 5 > 1 的解 為 x >- 2 。

(65)

利用等量公理的觀念解不等式:

搭配頁數 P.199

(66)

一元一次不等式解的形式與圖示:

搭配頁數 P.200

k

(67)

搭配頁數 P.200

k

k

(68)

(4) x < k

表示所有比 k 小的數都是不等式的解

,圖示如下:

搭配頁數 P.200

k

(69)

依題意列出各不等式:

1. 張三買了 4 本書,每本 x 元, 4 本 書的總價不低於 500 元。

則可列出不等式 ____________

2. 李四帶 300 元去買文具,共花了 x 元,而剩下的錢不超過 50 元。

則可列出不等式 ____________

搭配頁數 P.201

1

(70)

依題意列出各不等式:

3. 王五的撲滿內原有 x 元,再存入 100 元後,仍然不滿 350 元。

則可列出不等式 ______________

4. 趙六的身高是 160 公分,如果長高 x 公分後,就超過 180 公分。

則可列出不等式 _____________

搭配頁數 P.201

x

+ 100 < 350

160 + x > 180

1

(71)

(4) 3×( 0 ) - 4 = - 4 5×( 0 ) + 6 = 6

搭配頁數 P.201

(3) 3×( - 4) - 4 = - 16 5×( - 4) + 6 = - 14

(1) 3×( - 6.5) - 4 = - 23.5 5×( - 6.5) + 6 = - 26.5

- 23.5 >-

26.5 是解

2

(72)

搭配頁數 P.201

- 3 0 1

0 1 6

- 5 0 1 0 1 4

3

(73)

解下列各一元一次不等式,並在數線上圖示 其解: (1) 2x - 3 < 5

搭配頁數 P.202

2x < 5 + 3 2x < 8

x < 4

0 1 4

4

(74)

搭配頁數 P.202

3x + 3 > x

- 73x - x >- 7

- 3

x >- 5

-5 0 1

2x >- 10

4

解下列各一元一次不等式,並在數線上圖示 其解: (2) 3(x + 1) > x - 7

(75)

搭配頁數 P.202

5

(76)

- x + 3 <- 5x + 10

搭配頁數 P.202

- x + 5x < 10 - 3 4x < 7

5

解下列各一元一次不等式:

(2) - (x - 3) <- 5(x - 2)

(77)

5x - 20 < 8x + 1

搭配頁數 P.202

5x - 8x < 1 + 20

- 3x < 21

x

>- 7

5

(78)

搭配頁數 P.202

5

(79)

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解一元一次不等式

(80)

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