第 第
第 第 1 章 章 章 章 綜合演練 綜合演練 綜合演練 綜合演練
月月 日月月 日日日 得分得分得分得分一一
一一、單選題單選題單選題單選題
1. 標準位置角 628 弳位於下列哪一選項?
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限
(D)第四象限 (E) x 軸上
解 解 解
解 按計算機
6 , 2 , 8 , ÷ , π ,=
得 199.8986085
知 199.5π<628 弳<200π 故選(D)
2. 已知 a=sin 4,選出正確的選項:
(A) a>0 (B) 1
2 a 0
− < < (C) 2 1
2 a 2
− < <−
(D) 3 2
2 a 2
− < <− (E) 3
1 a 2
− < <−
解解
解解 在 RAD 模式下按計算機 得 sin4 ≈ −0.756802495 又 2
− 2 ≈ −0.707106781 3
− 2 ≈ −0.866025403
得 3 2
2 a 2
− < <− ,故選(D)
〈另解〉已知 5 4
4 4 3
π π
< 弳<
作 y=sin x 圖形,可知 3 2 sin 4
2 2
− < <−
故選(D)
二二
二二、多選題多選題多選題多選題
3. 已知 4
tanθ = −3 且 90°<θ<180°,請選出正確選項。
(A) 4
sinθ =5
(B) 7
cosθ = −25
(C) 2 5
sin 2 5
θ
=(D) 5
cos2 5
θ
= − (E) tan 22
θ
=解解
解解 4
tan
θ
= −3 且 90°<θ<180°(A) ○: 4
sin
θ
=5(B) ×: 3
cos
θ
= −5,45 90 2°< <
θ
°(C) ○:
1 3
4 2 5 sin 5
2 2 5 5
θ
− −
= = =
(D) ×:
1 3
1 5
cos 5
2 2 5 5
θ
+ −
= = =
(E) ○:
sin 2 5 5
tan 2 2
2 cos 5
2 5
θ θ
=
θ
= =故選(A)(C)(E)
4. 假設函數 1
( sin cos )
y= 2 x+ x ,試選出正確選項。
(A)最大值為 1 (B)週期為 2π (C)振幅為 1
2
(D)圖形與 y 軸恰有一個交點 (E)圖形對稱於 x 軸
解解
解解 1 1 1 1 2
( sin cos ) 2 sin cos sin
2 x+ x = ⋅2 2 x+ 2 x= 2 x+
π
4
(A) ×:最大值為 2 2 (B) ○:週期為 2π (C) ×:振幅為 2
2
(D) ○:作圖如右,與 y 軸恰有 1 交點 (E) ×:圖形未對稱於 x 軸
故選(B)(D)
三三
三三、填填填填充題充題充題充題
5. (1)設 7
sin cos
θ+ θ =5,則 sin2 θ= 。 (2) 已知 θ 為第二象限角且 4
sinθ =5,則 tan2 θ= 。
解解
解解 (1) 由 2 49 ( sin cos )
θ+ θ =25 可得 49 1 sin 2
θ 25
+ =
∴ 24
sin 2 θ = 25
(2) 由已知可得 3
cosθ = −5
得 4 3 24
sin 2 2 sin cos 2
5 5 25
θ
=θ θ
= × × − = −
2 16 7
cos 2 1 2 sin 1 2
25 25
θ
= −θ
= − × = −∴
24 sin 2 25 24 tan2 cos 2 7 7
25
θ θ
θ
= =− =
−
6. 已知 90°<θ <180°,且 3
cosθ = −5,則 cos( θ-60°)= 。
解解
解解 由已知可得 4 sinθ =5 cos( θ-60°)
=cos θ cos60°+sin θ sin60°
= 3 1 4 3 5 2 5 2
− × + ×
= 3 4 3 10
− +
7. 設 1
tanα = 4,tan(
α
+β
)=1,則 tanβ
= 。解 解 解
解 tan(α+β)=1,∴ tan tan 1 1 tan tan
α β
α β
+ =
− tanα+tanβ=1-tanα tanβ
將 1
tan
α
=4 代入上式得 1 1
tan 1 tan 4+
β
= −4β
移項得 5 3
4 tan
β
= 4∴ 3
tan
β
=58. 時鐘分針長 12 公分,則 5 點 12 分到 5 點 47 分這 35 分鐘間:
(1) 分針的尖端走了 公分。
(2) 分針掃過的面積為 平方公分。
解解
解解 35 分鐘間,分針轉的圓心角 35 7
2 60 6
θ = π× = π (弳)
(1) 7
12 14
s= × 6π = π(公分)
(2) 1 2 7
12 84
2 6
A= × × π = π(平方公分)
9. 設函數 y=4 sin(3πx-2)+1,則 y 的週期為 ,最大值為 。
解解
解解 週期為 2 2
3 3
π π =
當 sin(3πx-2)=1 時,有最大值 4+1=5
10. (1)方程式 3 sin x-x+6=0 共有 個實數解。
(2) 已知 0 ≤ x ≤ π 且 sinx+ 3 cosx=1,則 x= 。
解 解 解
解 (1) 由 3 sin x-x+6=0 移項得 3 sin x=x-6 兩邊同乘以 1
3 得 sin 2 3 x= −x
作
sin 3 2
y x
y x
=
= −
圖形
得 3 個交點,故有 3 個實數解
(2) 將 sinx+ 3 cosx=1 疊合成
1 3
2 sin cos 1
2 x 2 x
+ =
化簡得 2 sin 1
x
π
3
+ =
移項得 1
sinx+
π
3=2
令 θ = +x π3 ,則 4
3 3
π ≤ ≤θ π
作 y=sin θ 及 1
y=2 圖形得一交點
此時 5
6 θ = π
故得 5
6 3 2
x= π π π− =
四四
四四、計算題計算題計算題計算題
11. 設 2 cos 2 cos 2 y= x+
π
3+ x+
,則在 0 ≤ x ≤ π 範圍內,y 的:
(1) 最大值 (2) 最小值
解 解 解
解 2 cos cos sin sin 2 cos 2
3 3
y= x
π
− xπ
+ x+
1 3
2 cos sin 2 cos 2
2 x 2 x x
= − + +
cosx 3 sinx 2 cosx 2
= − + +
3 cosx 3 sinx 2
= − +
3 3
12 cos sin 2
12 x 12 x
= − +
3 1
2 3 cos sin 2
2 x 2 x
= − +
2 3 cos 2
6 x
π
= + +
令 θ = +π6 x,得 7
6 6
π ≤ ≤θ π
(1) 當 6
θ =π 有最大值 5
(2) 當 θ π= 有最小值 −2 3+2
12. 星期天下午,小輝與小偉到大大樂園乘坐摩天輪。已知摩天輪轉一 圈恰需要 20 分鐘,車廂到達最低點時離地面 40 公尺,到達最高點 時離地面 120 公尺。假設在兩人乘坐 t 秒後,車廂距離地面高度為
( ) sin 3
h= f t =a bt+ 2
π
+c
公尺,且 a>0,b>0,c>0,試求
a,b,c 之值。
解解
解解 3 ( ) sin
f t =a bt+ 2
π
+c
,週期為 2
b π
由已知可得週期為 20×60=1200(秒)
∴ 2 b 1200
π =
得 b=600π
故 3
( ) sin
600 2 h= f t =a π t+ π +c
最低點 t=0
(0) sin3 40
f =a 2π + =c -a+c=40 ··· ① 最高點 t=600
(600) sin 3 120
f =a π+ 2π + =c
a+c=120 ··· ② 由①+②得 2c=160,c=80 代入②
∴ a=40 故 a=40,
b=600π ,c=80