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第第第第1章章章章 綜合演練綜合演練綜合演練綜合演練

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Academic year: 2021

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(1)

第 第

第 第 1 章 章 章 章 綜合演練 綜合演練 綜合演練 綜合演練

月 日 得分得分得分得分

一一

一一、單選題單選題單選題單選題

1. 標準位置角 628 弳位於下列哪一選項?

(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限

(D)第四象限 (E) x 軸上

解 解 解

解 按計算機

6 , 2 , 8 , ÷ , π ,=

得 199.8986085

知 199.5π<628 弳<200π 故選(D)

2. 已知 a=sin 4,選出正確的選項:

(A) a>0 (B) 1

2 a 0

− < < (C) 2 1

2 a 2

− < <−

(D) 3 2

2 a 2

− < <− (E) 3

1 a 2

− < <−

解解

解解 在 RAD 模式下按計算機 得 sin4 ≈ −0.756802495 又 2

− 2 ≈ −0.707106781 3

− 2 ≈ −0.866025403

得 3 2

2 a 2

− < <− ,故選(D)

〈另解〉已知 5 4

4 4 3

π π

< 弳<

作 y=sin x 圖形,可知 3 2 sin 4

2 2

− < <−

故選(D)

(2)

二二

二二、多選題多選題多選題多選題

3. 已知 4

tanθ = −3 且 90°<θ<180°,請選出正確選項。

(A) 4

sinθ =5

(B) 7

cosθ = −25

(C) 2 5

sin 2 5

θ

=

(D) 5

cos2 5

θ

= − (E) tan 2

2

θ

=

解解

解解 4

tan

θ

= −3 且 90°<θ<180°

(A) ○: 4

sin

θ

=5

(B) ×: 3

cos

θ

= −5,45 90 2

°< <

θ

°

(C) ○:

1 3

4 2 5 sin 5

2 2 5 5

θ

 

− − 

 

= = =

(D) ×:

1 3

1 5

cos 5

2 2 5 5

θ

  + − 

 

= = =

(E) ○:

sin 2 5 5

tan 2 2

2 cos 5

2 5

θ θ

=

θ

= =

故選(A)(C)(E)

(3)

4. 假設函數 1

( sin cos )

y= 2 x+ x ,試選出正確選項。

(A)最大值為 1 (B)週期為 2π (C)振幅為 1

2

(D)圖形與 y 軸恰有一個交點 (E)圖形對稱於 x 軸

解解

解解 1 1 1 1 2

( sin cos ) 2 sin cos sin

2 x+ x = ⋅2 2 x+ 2 x= 2 x+

π

4

 

 

 

 

(A) ×:最大值為 2 2 (B) ○:週期為 2π (C) ×:振幅為 2

2

(D) ○:作圖如右,與 y 軸恰有 1 交點 (E) ×:圖形未對稱於 x 軸

故選(B)(D)

三三

三三、填填填填充題充題充題充題

5. (1)設 7

sin cos

θ+ θ =5,則 sin2 θ= 。 (2) 已知 θ 為第二象限角且 4

sinθ =5,則 tan2 θ= 。

解解

解解 (1) 由 2 49 ( sin cos )

θ+ θ =25 可得 49 1 sin 2

θ 25

+ =

∴ 24

sin 2 θ = 25

(2) 由已知可得 3

cosθ = −5

得 4 3 24

sin 2 2 sin cos 2

5 5 25

θ

=

θ θ

= × × −= −

 

2 16 7

cos 2 1 2 sin 1 2

25 25

θ

= −

θ

= − × = −

24 sin 2 25 24 tan2 cos 2 7 7

25

θ θ

θ

= =− =

(4)

6. 已知 90°<θ <180°,且 3

cosθ = −5,則 cos( θ-60°)= 。

解解

解解 由已知可得 4 sinθ =5 cos( θ-60°)

=cos θ cos60°+sin θ sin60°

= 3 1 4 3 5 2 5 2

− × + ×

= 3 4 3 10

− +

7. 設 1

tanα = 4,tan(

α

β

)=1,則 tan

β

= 。

解 解 解

解 tan(αβ)=1,∴ tan tan 1 1 tan tan

α β

α β

+ =

− tanα+tanβ=1-tanα tanβ

將 1

tan

α

=4 代入上式

得 1 1

tan 1 tan 4+

β

= −4

β

移項得 5 3

4 tan

β

= 4

∴ 3

tan

β

=5

(5)

8. 時鐘分針長 12 公分,則 5 點 12 分到 5 點 47 分這 35 分鐘間:

(1) 分針的尖端走了 公分。

(2) 分針掃過的面積為 平方公分。

解解

解解 35 分鐘間,分針轉的圓心角 35 7

2 60 6

θ = π× = π (弳)

(1) 7

12 14

s= × 6π = π(公分)

(2) 1 2 7

12 84

2 6

A= × × π = π(平方公分)

9. 設函數 y=4 sin(3πx-2)+1,則 y 的週期為 ,最大值為 。

解解

解解 週期為 2 2

3 3

π π =

當 sin(3πx-2)=1 時,有最大值 4+1=5

(6)

10. (1)方程式 3 sin x-x+6=0 共有 個實數解。

(2) 已知 0 ≤ x ≤ π 且 sinx+ 3 cosx=1,則 x= 。

解 解 解

解 (1) 由 3 sin x-x+6=0 移項得 3 sin x=x-6 兩邊同乘以 1

3 得 sin 2 3 x= −x

sin 3 2

y x

y x

=



 = −

 圖形

得 3 個交點,故有 3 個實數解

(2) 將 sinx+ 3 cosx=1 疊合成

1 3

2 sin cos 1

2 x 2 x

 

+ =

 

 

 

化簡得 2 sin 1

x

π

3

 

+ =

 

 

移項得 1

sinx+

π

3=2

 

 

令 θ = +x π3 ,則 4

3 3

π ≤ ≤θ π

作 y=sin θ 及 1

y=2 圖形得一交點

此時 5

6 θ = π

故得 5

6 3 2

x= π π π− =

(7)

四四

四四、計算題計算題計算題計算題

11. 設 2 cos 2 cos 2 y= x+

π

3+ x+

 

  ,則在 0 ≤ x ≤ π 範圍內,y 的:

(1) 最大值 (2) 最小值

解 解 解

解 2 cos cos sin sin 2 cos 2

3 3

y= x

π

x

π

+ x+

 

 

1 3

2 cos sin 2 cos 2

2 x 2 x x

 

=  − + +

 

cosx 3 sinx 2 cosx 2

= − + +

3 cosx 3 sinx 2

= − +

3 3

12 cos sin 2

12 x 12 x

 

=  − +

 

3 1

2 3 cos sin 2

2 x 2 x

 

=  − +

 

2 3 cos 2

6 x

π

 

=  + +

 

令 θ = +π6 x,得 7

6 6

π ≤ ≤θ π

(1) 當 6

θ =π 有最大值 5

(2) 當 θ π= 有最小值 −2 3+2

(8)

12. 星期天下午,小輝與小偉到大大樂園乘坐摩天輪。已知摩天輪轉一 圈恰需要 20 分鐘,車廂到達最低點時離地面 40 公尺,到達最高點 時離地面 120 公尺。假設在兩人乘坐 t 秒後,車廂距離地面高度為

( ) sin 3

h= f t =a bt+ 2

π

+c

 

  公尺,且 a>0,b>0,c>0,試求

a,b,c 之值。

解解

解解 3 ( ) sin

f t =a bt+ 2

π

+c

 

  ,週期為 2

b π

由已知可得週期為 20×60=1200(秒)

∴ 2 b 1200

π =

b=600π

故 3

( ) sin

600 2 h= f t =a π t+ π +c

 

 

最低點 t=0

(0) sin3 40

f =a+ =c -a+c=40 ···最高點 t=600

(600) sin 3 120

f =a π+ 2π + =c

   a+c=120 ··· ② 由①+②得 2c=160,c=80 代入

∴ a=40 故 a=40,

b=600π ,c=80

參考文獻

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