第2章綜合演練詳解1.

第 2 章 綜合演練詳解

1. 如下圖，兩直線 L1、L2 之方程式分別為 L1：x－ay＋b＝0、L2：cx－y＋d＝0；

以下哪些選項是正確的？

(A) a＞0 (B) b＞0 (C) c＞0 (D) d＞0 (E) ac＞1。

解 由題圖可得 L₁ 的斜率為 ¹

a＞0 a＞0，L₁ 的 x 截距為 －b＞0 b＜0，

L2 的斜率為 c＞0，L2 的 y 截距為 d＞0，

又 L1 比 L2 傾斜，故 ¹

a＞c＞0  ac＜1，

故選(A)(C)(D)。

2. 如下圖所示，一正方形的兩頂點坐標為 O（0，0），P（5，2），試求：

(1) R 點坐標。

(2) Q 點坐標。

解 (1) 直線 OP 的斜率為 ²

5，又直線 OR 與直線 OP 垂直，故其斜率為 ⁵

−2。 再由 OR=OP= 5²+2² = 29 ，且 R 點在第二象限，

故 R 點坐標為（－2，5）。

(2) 直線 PQ 的斜率等於直線 OR 的斜率－⁵

2，所以其方程式為 y－2＝－⁵

2（x－5），

整理得 5x＋2y＝29... ①

直線 QR 的斜率等於直線 OP 的斜率 ²

5，所以其方程式為 y－5＝²

5（x＋2），

整理得－2x＋5y＝29... ②

Q 點即為此兩直線之交點，由①、②解聯立可得其坐標為（3，7）。

3. 坐標平面上一矩形蛋糕 ABCD，頂點分別為 A（2，1），B（8，1），C（8，5），D（2，5）。

今要切一刀將蛋糕分成兩面積相等的兩塊，但下刀處需通過 P（3，1），試問下刀處所在的直 線方程式。

解 由矩形的對稱性，

知下刀處所在的直線必通過矩形的中心 O（5，3），

如右圖所示。

故此直線為直線 OP，

其方程式為 x－y－2＝0。

4. 五個正方形 A、B、C、D、E 邊長分別為 1、1、2、3、5 拼成一個矩形，如下圖。

(1) 設正方形 A 的左下角的坐標為（0，0），右下角的坐標為（1，0），請分別寫出 A、C、

E 三個正方形中心點的坐標。

(2) 請問 A，C，E 三個中心點是否共線？

解 (1) 由題意可作圖如下，則 A 圖中心為 ^{1 1},

2 2

 

 

 ，B 圖中心為 ¹, ¹

2 2

 − 

 

 ，

C 圖中心為（2，0），D 圖中心為 ^{3 5}, 2 2

 

 

 ，

E 圖中心為 ^{5 3}, 2 2

− 

 

 。

(2) mAC＝ 0 1

2 1 1 3 2 2

− = −

− ，m_AE＝

3 1 2 2 1

5 1 3 2 2

− = −

− −

 

 

。

因 A，C 兩圖中心點所決定的斜率與 A，E 兩圖中心點所決定的斜率相等，

故 A，C，E 的中心三點共線。

5. 已知 x，y 滿足 3

5 0 0 x

x y x y k

 ≤

 − + ≥

 + + ≥



且 2x＋4y 的最小值為－6，求 k 的值。

解 如下圖 3

5 0 0 x

x y x y k

 ≤

 − + ≥

 + + ≥



之最大區域應包含於

3

5 0 2 4 6 x

x y x y

 ≤

 − + ≥

 + = −



區域內，

所以 x＋y＋k＝0 需通過（3，－3），即 k＝0。

6. 右圖中 A，B，C，D，E 為坐標平面上的五個點。將這五個點的坐標分別代入目標函數 P＝2x－y，請問哪一個點所得之 P 值為最大？

(A) A (B) B (C) C (D) D (E) E。

解 欲使代入的點得到最大 P 值，應找 x 坐標的值愈大，即往右的點，y 坐標的值愈小，即 往下的點，故選(E)。

7. 有一傢俱公司專門生產椅子與桌子，製作一張椅子需要用去 5 平方呎的木材及花費 10 小 時，製作一張桌子則需要用去 20 平方呎的木材及花費 15 小時，目前共有 400 平方呎的木 材及 450 個工作小時，若每張椅子可獲利 450 元而每張桌子可獲利 800 元，試問該公司之 最大獲利為何？

解 設傢俱公司製作 x 張椅子及 y 張桌子，

依題意列式得 0

0

5 20 400 10 15 450

x y

x y x y

 ≥

 ≥

 + ≤

 + ≤



x，y 為整數，

依此繪出可行解區域如右圖，

目標函數 P＝450x＋800y。

故當（x，y）＝（24，14）時，

得最大值 P＝450×24＋800×14＝22000，

即傢俱公司製作 24 張椅子及 14 張桌子時有最大獲利 22000 元。

8. 試求圓 C：x²＋y²－2x－3＝0 關於直線 L：x＝y 對稱的圓方程式。

解 C：x²＋y²－2x－3＝0（x－1）²＋y²＝2² 即圓 C 的圓心 A（1，0），半徑為 2，

A（1，0）對直線 L：x＝y 的對稱點為 B（0，1），

圓 C 對直線 L：x＝y 的對稱圓的半徑仍為 2，

故得對稱圓方程式 x2＋（y－1）2＝22，即 x2＋y2－2y－3＝0。

9. (1) 試求原點 O（0，0）到圓（x－4）²＋（y－3）²＝4 的最遠距離。

(2) 承(1)，由 O 向圓作切線，切點為 P，試求 OP 的長度。

解 (1) 由題意知該圓圓心為 C（4，3），半徑為 2。

連直線 OC，與該圓交於兩點 A，B，

如圖（一）所示。

故原點 O 到圓上一點的最遠距離為

2 2

4 3 2

OA=OC+CA= + + ＝5＋2＝7。

圖(一) 圖(二)

(2) 由圓之切線性質知△OPC 為直角三角形，∠P 為直角，如圖（二）所示。

故 OP= OC²−CP² ＝ 25 5− ＝ 21 。

10.已知坐標平面上兩點 A（1，2），B（4，5），試求：

(1) 坐標平面上所有滿足 _PA=PB 的點 P 所成的圖形與方程式。

(2) 坐標平面上所有滿足 _PA=2PB 的點 P 所成的圖形與方程式。

解 (1) 設 P（x，y），因為 _PA=PB  PA² =PB²， 所以（x－1）²＋（y－2）²＝（x－4）²＋（y－5）²， 得方程式 x＋y－6＝0，

故 P 所成的圖形為一直線。

(2) 設 P（x，y），因為 _PA=2PB  PA² =4PB²，

所以（x－1）²＋（y－2）²＝4（（x－4）²＋（y－5）²），

得方程式 x²＋y²－10x－12y＋53＝0

（x－5）²＋（y－6）²＝8，

故 P 所成的圖形為圓心為（5，6），半徑為 2 2 的圓。