轉移矩陣.doc 1
轉移矩陣
n階轉移矩陣 A 收斂到一行矩陣 X，且(A-I)X=0 且 X 中各元素和為 1
1. 假設每天的天氣可略分為晴、陰、雨三種狀態，根據經驗，某地方的天氣變 化有如下之規律：
I.今日若晴天，則明日為晴天、陰天、雨天的機率各為 0.5、0.4、0.1。
II.今日若陰天，則明日為晴天、陰天、雨天的機率各為 0.4、0.4、0.2。
III.今日若雨天，則明日為晴天、陰天、雨天的機率各為 0.3、0.5、0.2。
若已知今日為陰天，試求兩天後天氣為晴、陰、雨天之機率為何？
解：
令 A＝
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
2 . 0 2 . 0 1 . 0
5 . 0 4 . 0 4 . 0
3 . 0 4 . 0 5 . 0
，則
) 1
P( ＝AP(0)=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
2 . 0 2 . 0 1 . 0
5 . 0 4 . 0 4 . 0
3 . 0 4 . 0 5 . 0
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
0 1 0
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
2 . 0
4 . 0
4 . 0
) 2
P( ＝AP(1)=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
2 . 0 2 . 0 1 . 0
5 . 0 4 . 0 4 . 0
3 . 0 4 . 0 5 . 0
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
2 . 0
4 . 0
4 . 0
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
16 . 0
42 . 0
42 . 0
故兩天後天氣為晴、陰、雨天之機率為 0.42，0.42 及 0.16
2. 有一人流浪於 A,B,C,D 四地間，如圖，假設每日清晨此 人決定當日夜晚繼續留宿該地，或改而前往相鄰任一地 的機率皆為
3
1。若此人今晚夜宿 A 地，試求後天晚上此 人宿於 A,B,C,D 四地之機率各為何？（
9 3,
9 2,
9 2,
9 2）
3. 有一學生，他有固定的讀書習慣，如下：若他今晚讀書，則明晚也讀書的機 率為 30%；若他今晚不讀書，則明晚也不讀書的機率為 60%。
(1) 試寫出轉移矩陣。（ ⎥
⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡
6 . 0 7 . 0
4 . 0 3 .
0 ）
(2) 若已知本週一晚上他讀書，則本週三也讀書的機率為何？（0.37）
4. 某城市市中心與市郊人口流動情形如下：
I. 若今年住市中心，則明年會搬到市郊者為 10%，其餘不變動。
II. 若今年住市郊，則明年會搬到市中心者為 5%，其餘不變動。
(1) 試寫出轉移矩陣。（ ⎥
⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡
95 . 0 1 . 0
05 . 0 9 .
0 ）
(2) 試求四年後從市中心搬到市郊者，其機率為何？（0.3187）
轉移矩陣.doc 2
(3) 若今年此城市市中心有 30 萬人，市郊有 42 萬人。則三年後市中心人口數 有多少萬人？（假設出生與死亡達到平衡）（27.7）
5. 某城市市中心與市郊人口流動情形如下：
I. 若今年住市中心，則明年會搬到市郊者為 10%，其餘不變動。
II. 若今年住市郊，則明年會搬到市中心者為 50%，其餘不變動。
(1) 試寫出轉移矩陣。（ ⎥
⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡
5 . 0 1 . 0
5 . 0 9 .
0 ）
(2) 試求四年後從市中心搬到市郊者，其機率為何？（0.812）
(3) 若今年此城市市中心有 200 萬人，市郊有 40 萬人。則四年後市中心與市 郊人口數為何？（假設出生與死亡達到平衡）（200 萬人，40 萬人）
(4) 承上，則六年後市中心與市郊人口數為何？（200 萬人，40 萬人）
6. 有 A 與 B 兩種細菌互相突變，每一分鐘，A 突變為 B 的機率為 0.3，B 突變 為 A 的機率為 0.9，而未突變的仍是原來的細菌。現在有 A 細菌 300 萬個，B 細菌 500 萬個，試求 3 分鐘後 A 與 B 細菌各有幾個？（A 有 602.4 萬個，B 有 197.6 萬個）
7. 如圖，四個城市間的交通路線圖。
(1) 試寫出轉移矩陣。
(2) 從 C 出發，共走 5 路段而到達 A，總共有 幾條路線？
8. 假設甲城市每年有 3%的人口移居乙城市，而乙城市每年有 2%的人口移居甲 城市。若已知此二城市n年後人口數無增減（即已達穩定），試求n及n年後 甲乙兩地人口比例？（假設無移居其他成是者）（?，2:3）
9. 某市鎮有發行甲乙兩種報紙，目前甲報佔訂報人數的 70%，乙報佔 30%，且 已知若訂報人數不變，訂甲報的人續訂甲報的比例佔 80%，轉訂乙報者佔 20%；訂乙報的人續訂乙報的比例佔 60%，轉訂甲報者佔 40%。試求後年甲 乙兩種報紙佔訂報人數的比例各為何？（甲佔 0.672，乙佔 0.328，18 年後維 持穩定）
10. 如圖，七個城市間的交通路線圖。
(1) 試寫出轉移矩陣。
(2) 從 C 出發，共走 3 路段而到達 G，總共有幾 條路線？
轉移矩陣.doc 3
11. 如圖，十個城市間的交通路線圖。
(1) 試寫出轉移矩陣。
(2) 用矩陣表示 A、B、F、G 間恰經 過二路段之相異路線數？（
⎥⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡ 3 3
3 3
G F B
A ）
(3) 用矩陣表示 A、B、H、I、J 間恰 經過三路段之相異路線數？
（
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
6 3 6
6 3 6
J I H
B
A ）
12. 某銀行固定每月十日調查其貸款客戶還款的情形，並做成紀錄予以評定等 級，等級如下：
A 級：按期還款。
B 級：延遲一週內還款。
C 級：延遲一週以上才還款。
根據歷史資料顯示，若本月評定為 A 級者，在下一個月仍評定為 A 級者佔 80%，而有 10%轉移到 B 級，10%轉移到 C 級。若本月評定為 B 級者，在下 一個月仍評定為 B 級者佔 70%，而有 20%轉移到 A 級，10%轉移到 C 級。若 本月評定為 C 級者，在下一個月仍評定為 C 級者佔 60%，而有 15%轉移到 A 級，25%轉移到 B 級。假設今年七月十日調查結果，貸款客戶中有 A 級者 60%，
B 級者 30%，C 級者 10%，
(1) 試寫出轉移矩陣。（
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
6 . 0 1 . 0 1 . 0
25 . 0 7 . 0 1 . 0
15 . 0 2 . 0 8 . 0
）
(2) 試預測九月十日之調查結果 A、B、C 級者各佔多少%？（A 佔 52.55、B 佔 29.95、C 佔 17.5）
