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axbxcaxx ++=−− ()( ) A2 一元二次方程式的根與係數的關係

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Academic year: 2021

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(1)

125

A2 一元二次方程式的根與係數的關係

在 4-1 節的想想看中,我們請同學觀察兩根的和、兩根的積與原方程 式的係數之間的關係。現在,我們來對這些關係做說明。

設α、β 為方程式ax2 +bx+ =c 0的兩個根,因此ax2+bx+ = 可化c 0 成 (a x−α)(x−β)= 。我們知道 0

ax2+bx+ =c a x( −α)(x−β) ( 2 b c) ( )(

a x x a x x

a a α β)

+ + = − −

2 b c ( )(

x x x x

a a α β)

+ + = − −

2 b c

x x

a a

+ + = x2 −(α β+ )x+αβ

經由比較係數,得到兩根的和α+β b

= − 及兩根的積a α β⋅ c

= 。因此,一a 元二次方程式的根與係數間有以下的關係:

ax2 +bx+ =c 0的兩根為α、β ,則α+β b

= − 及a α β⋅ c

= 。 a 事實上,由公式解也可以得到:

2 2

4 4

2 2

b b ac b b a

a a

α β+ = − + +− − c 2

2 b a

= − b

= −a

2 2

4 4

2 2

b b ac b b ac

a a

α β⋅ = − + − −

2 2

2

( ) ( 4 ) 4

b b ac

a

− − −

= 2

2

4 4

ac c

a a

= =

(2)

126

【範例 1】設α、β為x2+3x− = 08 的兩根,求下列各式的值:

(1) α22 (2) 1 1

α β+ (3) α β−

【解】 ∵α、β 為x2+3x− = 08 的兩根

∴ 3

1 3

α β+ = − = − 、 8 1 8

αβ = = − (1) α222 +2αβ β+ 2 −2αβ

(α β)2 2αβ

= + − ( 3)2 2( 8)

= − − − = 25 (2) 1 1 β α

α β αβ

+ = + 3 3 8 8

= − =

− (3) (α β− )2= α2−2αβ β+ 2

= (α β+ )2−4αβ

= ( 3)− 2 − −4( 8)= 41 所以α β− = ± 41

若知道某一元二次方程式的兩根,我們能不能反推而求得這個一元二次 方程式呢?

設α 、β為所求方程式ax2 +bx+ = 的兩根。 c 0 等號兩邊同除以 a,得 2 b c 0

x x

a a

+ + =

由根與係數的關係得知: b

α β+ = −ac αβ =a 因此,方程式可以改寫成x2−(α β+ )x+αβ = 。 0

【範例 2】設α 、βx2+10x50=0的兩根。求以1 α

1

β 為兩根的方程式。

【解】 以 1 α

1

β 為兩根的方程式可寫為:

2 1 1 1 ( )

x x

α β αβ

− + + = 0 (1)

(3)

127

∵ α 、βx2+10x50=0的兩根

∴ α β+ = − 、10 αβ = − 50

⇒ 1 1 10 1

50 5 β α

α β αβ + −

+ = = =

− (2)

1 1 1 1 1

50 50

α β αβ⋅ = == − (3)

將(2)、(3)的結果代入(1)中得到

2 1 1

5 50 0

xx− = 。 因此,該方程式可表為 2 1 1

5 50 0

xx− = 。

【類題練習】1. 設α 、βx2 +4x− =9 0的兩根,求下列各式的值:

(1) α β+ (2) αβ (3) α22 (4) β α α β+

2. 設α 、β為x2+ 4x + 2= 0 的兩根,求以α2、β2為兩根的方 程式。

【範例 3】 甲、乙兩生同解一個一元二次方程式。甲因為看錯一次項係數,

而解得兩根為 2 與 7;乙因為看錯常數項,而解得兩根為 1 與

;除此以外無其它錯誤。試求正確的兩根為何?

10

【解】 我們可設此一元二次方程式為x2 +bx+ = 。 c 0 以 2 與 7 為兩根的一元二次方程式為

x2(2 7)x+ +2×7= =0⇒x29x+14= 0。

因為甲看錯一次項係數,所以常數項 c= 14 是正確的。

以 1 與 10 為兩根的一元二次方程式為 −

x2( 10 1)x− + +(−10)×1= 0⇒x2+9x−10= 0。

因為乙看錯常數項,所以一次項係數 b= 9 是正確的。

綜合以上的討論得知,原方程式可表為x2+9x+14 0,也就是=

(4)

128

(x+2)(x+7)= 0,所以正確的兩根為−2 或−7。

【家庭作業】

1. 設α 、βx22x− = 07 的兩根,求下列各式的值:

1 α β− 2 α22 3 β α α β+

4 (α1)(β 1) 5 α β αβ2 + 2

2. 甲、乙兩生同解一元二次方程式。甲看錯常數項而得到兩根 1 和 3,

而乙看錯一次項係數得到兩根 4 和

− −

−3,求正確的兩根。

3. 已知方程式的兩根為 4

2 5 1±

,求此方程式。

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