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A2 一元二次方程式的根與係數的關係
在 4-1 節的想想看中,我們請同學觀察兩根的和、兩根的積與原方程 式的係數之間的關係。現在,我們來對這些關係做說明。
設α、β 為方程式ax2 +bx+ =c 0的兩個根,因此ax2+bx+ = 可化c 0 成 (a x−α)(x−β)= 。我們知道 0
ax2+bx+ =c a x( −α)(x−β) ⇒ ( 2 b c) ( )(
a x x a x x
a a α β)
+ + = − −
⇒ 2 b c ( )(
x x x x
a a α β)
+ + = − −
⇒ 2 b c
x x
a a
+ + = x2 −(α β+ )x+αβ
經由比較係數,得到兩根的和α+β b
= − 及兩根的積a α β⋅ c
= 。因此,一a 元二次方程式的根與係數間有以下的關係:
若ax2 +bx+ =c 0的兩根為α、β ,則α+β b
= − 及a α β⋅ c
= 。 a 事實上,由公式解也可以得到:
2 2
4 4
2 2
b b ac b b a
a a
α β+ = − + − +− − − c 2
2 b a
= − b
= −a 和
2 2
4 4
2 2
b b ac b b ac
a a
α β⋅ = − + − ⋅− − −
2 2
2
( ) ( 4 ) 4
b b ac
a
− − −
= 2
2
4 4
ac c
a a
= =
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【範例 1】設α、β為x2+3x− = 08 的兩根,求下列各式的值:
(1) α2 +β2 (2) 1 1
α β+ (3) α β−
【解】 ∵α、β 為x2+3x− = 08 的兩根
∴ 3
1 3
α β+ = − = − 、 8 1 8
αβ = − = − (1) α2 +β2 =α2 +2αβ β+ 2 −2αβ
(α β)2 2αβ
= + − ( 3)2 2( 8)
= − − − = 25 (2) 1 1 β α
α β αβ
+ = + 3 3 8 8
= − =
− (3) (α β− )2= α2−2αβ β+ 2
= (α β+ )2−4αβ
= ( 3)− 2 − −4( 8)= 41 所以α β− = ± 41。
若知道某一元二次方程式的兩根,我們能不能反推而求得這個一元二次 方程式呢?
設α 、β為所求方程式ax2 +bx+ = 的兩根。 c 0 等號兩邊同除以 a,得 2 b c 0
x x
a a
+ + =
由根與係數的關係得知: b
α β+ = −a、 c αβ =a 因此,方程式可以改寫成x2−(α β+ )x+αβ = 。 0
【範例 2】設α 、β為x2+10x−50=0的兩根。求以1 α、
1
β 為兩根的方程式。
【解】 以 1 α 及
1
β 為兩根的方程式可寫為:
2 1 1 1 ( )
x x
α β αβ
− + + = 0 (1)
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∵ α 、β為x2+10x−50=0的兩根
∴ α β+ = − 、10 αβ = − 50
⇒ 1 1 10 1
50 5 β α
α β αβ + −
+ = = =
− (2)
1 1 1 1 1
50 50
α β αβ⋅ = = − = − (3)
將(2)、(3)的結果代入(1)中得到
2 1 1
5 50 0
x − x− = 。 因此,該方程式可表為 2 1 1
5 50 0
x − x− = 。
【類題練習】1. 設α 、β為x2 +4x− =9 0的兩根,求下列各式的值:
(1) α β+ (2) αβ (3) α2+β2 (4) β α α β+
2. 設α 、β為x2+ 4x + 2= 0 的兩根,求以α2、β2為兩根的方 程式。
【範例 3】 甲、乙兩生同解一個一元二次方程式。甲因為看錯一次項係數,
而解得兩根為 2 與 7;乙因為看錯常數項,而解得兩根為 1 與
;除此以外無其它錯誤。試求正確的兩根為何?
−10
【解】 我們可設此一元二次方程式為x2 +bx+ = 。 c 0 以 2 與 7 為兩根的一元二次方程式為
x2−(2 7)x+ +2×7= =0⇒x2−9x+14= 0。
因為甲看錯一次項係數,所以常數項 c= 14 是正確的。
以 1 與 10 為兩根的一元二次方程式為 −
x2−( 10 1)x− + +(−10)×1= 0⇒x2+9x−10= 0。
因為乙看錯常數項,所以一次項係數 b= 9 是正確的。
綜合以上的討論得知,原方程式可表為x2+9x+14 0,也就是=
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(x+2)(x+7)= 0,所以正確的兩根為−2 或−7。
【家庭作業】
1. 設α 、β為x2−2x− = 07 的兩根,求下列各式的值:
○1 α β− ○2 α2+β2 ○3 β α α β+
○4 (α−1)(β −1) ○5 α β αβ2 + 2
2. 甲、乙兩生同解一元二次方程式。甲看錯常數項而得到兩根 1 和 3,
而乙看錯一次項係數得到兩根 4 和
− −
−3,求正確的兩根。
3. 已知方程式的兩根為 4
2 5 1±
− ,求此方程式。