 提要 248 ：曲面之面積分

(1)

提要 248：曲面之面積分

之前所曾提及之面積分，是純量函數 f

 

x,y 之面積分，今擬將面積分的概念推廣至向量函數^r

 

^u,^v 之面積分，說明如下。

曲面之面積分

已知任意曲面 S 均可以兩個變數 u、v 所示之位置向量r

 

u,v 加以表示，今欲 推求一流場 F 通過曲面^r

 

^u,^v 之流量(Flux)，則其計算方式為：



^

S

dA

F (1)

其流量之計算係指通過曲面r

 

u,v 之流場 F ，故FF



r

 

u,v



；另外，dA是指如圖 1 所示曲面^r

 

^u,^v ^{上之微小面積。}

圖 1 在 S 曲面r

 

u,v 上取微小面積元素示意圖

(2)

【附註】

面積分有許多種型態，整理如下：

 因為微小面積 dudv

v

d u 



 











 r r

A ，所以



^ ^



^^_^_^ ^_^ ^_^

S S

v dudv

d ur r

F A

F 。

 因為微小面積dAndA， n 表微小面積向量dA之單位法線向量，dA表微小面積向量dA之大小，所以



^ ^



^

S S

dA dA F n

F 。

 因為FF₁iF₂jF₃k、dAdydzidxdzjdxdyk，所以

 



^ ^ ^ ^

S S

dxdy F dxdz F dydz F

dA ₁ ₂ ₃

F 。

 因為

v u







 





 r r r r

n ，所以

 







 











S S

dA v u

v d u

r r

r r F A

F 。

(3)

範例一

已知流場F yi2jxzk(單位：m s)，曲面 S(單位：m )為² y 、x² 0 x2、 3

0 z ，如圖 2 所示，試求通過曲面 S 之流量



^

S

dA

F 。

圖 2 曲面 S：y x²、0 x2、0 z3示意圖

解答：

作者最喜歡引用面積分之關係式為：



^ ^ ^^_^_^ ^_^ ^_^

S S

v dudv

d ur r

F A

F (2)

已知曲面 S 為y  、x² 0 x2、0 z3，擬將其以位置向量r xiyjzk加以表示。

可令：

u

x 、y u²、zv、0 u2、0 v3 (3) 亦即曲面 S 可表為：

(4)

 

i j k

r u,v u u² v (4) 因流場 F 係只通過曲面 S 之向量場，即FF

 

r ，故可根據式(3)將流場 F 加以改寫：

k j i

Fu² 2 uv (5) 故式(2)可調整為：

     

       

 

   

 

12 4

4 4 8

2 2 1

2 2

1 0 0

0 2 1 2

2 2

2

3 0 3

0 3

0

2

0 4

3

0 2

0 3 3

0 2

0 2 3

0 2

0 2 3

0 2

0 2 3

0 2

0

2 2

2









 



 

































 















 







 











 









v dv

dv dv u u

dudv u

uv u

dudv u

uv u

dudv u

uv u

v dudv v u u u

v u uv u

u

v dudv d u

S S

j i k j i

k j i k j i

k j i k

j k i

j i

r F r

A F

其單位是m³ s。